HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VỚI MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Phạm Anh Lý

Chuyên ngành : Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ NGA
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, ngƣời
đã nhiệt tình hƣớng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Trần Lƣơng Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi
những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học Trƣờng ĐHSP TP.HCM đã
tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trƣờng THCS Phƣờng 1, thị

xã Gò Công – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những
ngƣời đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những ngƣời thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.
PHẠM ANH LÝ


2


3

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .........................................................................7
DANH MỤC CÁC BẢNG..........................................................................................8
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................9
1. Những ghi nhận ban đầu .....................................................................................9
2. Câu hỏi nghiên cứu ...........................................................................................11
3. Phƣơng pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ...........................................11
3.1. Nghiên cứu thể chế.....................................................................................11
3.2. Đồ án sƣ phạm ...........................................................................................12
4. Tổ chức của luận văn ........................................................................................13
Chƣơng 1: TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA
TOÁN HỌC .................................................................................................15
1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học ...................................15
1.1. Mô hình hóa toán học .................................................................................15
1.2. Quá trình mô hình hóa toán học .................................................................18
1.3. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa .................................20
2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán .....................................................21

3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học ..............22
4. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nƣớc và ở Việt Nam ...24
4.1. Ở Pháp ........................................................................................................24
4.2. Ở một số nƣớc khác ...................................................................................24
4.3. Ở Việt Nam ................................................................................................26
Chƣơng 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MÔ
HÌNH HÓA TOÁN HỌC ............................................................................31
1. Ở bậc đại học .....................................................................................................32
1.1. Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes) ........................................................34


4

1.2. Mô hình cân bằng thị trƣờng ......................................................................35
1.3. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô ................................................................36
1.4. Kết luận ......................................................................................................38
2. Ở bậc phổ thông ................................................................................................39
2.1. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn ..................39
2.2. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tƣợng và công cụ tƣờng
minh...................................................................................................................42
2.2.1. Phân tích chƣơng trình ........................................................................42
2.2.2. Phân tích sách giáo khoa .....................................................................43
2.2.3. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10...................................55
2.3. Kết luận ......................................................................................................57
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) .................................................61
1. Mục đích thực nghiệm.......................................................................................61
2. Nội dung thực nghiệm .......................................................................................62
2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ......................................................62
2.2 Dàn dựng kịch bản ......................................................................................64
3. Đối tƣợng thực nghiệm .....................................................................................66

4. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................66
4.1. Biến và giá trị của chúng ............................................................................66
4.2. Chiến lƣợc và cái có thể quan sát đƣợc, ảnh hƣởng của biến ....................68
4.2.1. Phiếu số 1 ............................................................................................68
4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3 ......................................................................68
4.2.3. Phiếu số 4 ............................................................................................73
4.2.4. Phiếu số 5 ............................................................................................73
4.3. Phân tích kịch bản ......................................................................................75
5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................77


5

5.1. Ghi nhận tổng quát .....................................................................................77
5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm .......................................................78
5.2.1. Pha 1 ....................................................................................................78
5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phƣơng trình ........................79
5.2.3. Pha 4: Thể chế hóa ..............................................................................86
5.2.4. Pha 5 và pha 6: Vận dụng ...................................................................88
6. Kết luận .............................................................................................................92
KẾT LUẬN ...............................................................................................................95
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................99
PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN ..............................................................................................101
PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH.............................................105
PHỤ LỤC 3: Protocole ...........................................................................................113


6

7

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BTĐS10

: Bài tập Đại số 10 cơ bản.

HS

: Học sinh.

GV

: Giáo viên.

PTTT

: Phƣơng trình tuyến tính.

SGK

: Sách giáo khoa.

SGK4

: Sách giáo khoa toán lớp 4.

SGK5

: Sách giáo khoa toán lớp 5.

SGK8

: Sách giáo khoa toán lớp 8.

SGK9

: Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 2.

SGK10

: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản.

SGK10NC : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.
SGV

: Sách giáo viên.

SGV9

: Sách giáo viên toán lớp 9 tập 2.

SGV10

: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản.

THCS

: Trung học cơ sở.

THPT

: Trung học phổ thông.


8

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1: Giá trị các biến đƣợc lựa chọn trong tình huống .......................................66
Bảng 2. Thống kê số nhóm giải theo chiến lƣợc .....................................................78
Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1 ..............................................................................79
Bảng 4. Thống kê chiến lƣợc giải các nhóm trong pha 2 và pha 3 .........................80
Bảng 5. Thống kê kết quả pha 5 ..............................................................................89


9

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chƣơng trình toán phổ thông, hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn là một
chủ đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học. Nó không chỉ xuất
hiện trong chƣơng trình môn toán mà còn hiện diện nhƣ một công cụ trong nhiều
môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống. Ngoài ra, hệ phƣơng trình tuyến tính
cũng là một chủ đề quan trọng trong chƣơng trình toán cao cấp ở bậc đại học.
Những ghi nhận này thúc đẩy chúng tôi đi tìm hiểu việc dạy và học tri thức hệ
phƣơng trình tuyến tính.
Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học
sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bƣớc vào cuộc sống sau
này. Ngoài ra, đa số học sinh phổ thông sau này không phải là ngƣời làm toán mà là

ngƣời sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả
năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao
năng lực tự học của học sinh. Để đạt đƣợc mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô
hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết.
Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International
Student Assessment) là chƣơng trình hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ
chức Hợp tác và phát triển kinh tế (OECD – Organization

for Economic

Cooperation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh tuổi mƣời
lăm nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội. Bắt đầu từ năm 1997, chƣơng trình
PISA đánh giá theo chu kỳ ba năm một lần với quy mô toàn cầu, hiện đã có trên 70
quốc gia và nền kinh tế tham gia. Chƣơng trình PISA đƣa ra cho học sinh những
vấn đề đƣợc đặt trong các tình huống lấy từ thực tế cuộc sống và đƣợc xây dựng sao
cho toán học giải quyết các vấn đề đó. Mục tiêu của điều tra PISA là xác định trong
chừng mực nào học sinh có khả năng khai thác các tri thức và kĩ năng toán học của
họ để giải quyết các vấn đề đƣợc đặt ra. Chƣơng trình này không chỉ đánh giá kiến


10

thức mà còn xem xét những khả năng, kĩ năng cần thiết của học sinh trong độ tuổi
mƣời lăm trong việc áp dụng kinh nghiệm và kiến thức của mình vào giải quyết các
vấn đề thực tế. Dƣới đây là một ví dụ đã đƣợc PISA đƣa ra đánh giá: Bài toán “Đèn
đƣờng”.
“Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đƣờng trong một công viên
nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên.
Ngƣời ta nên đặt nó ở đâu?”

[The Pisa (2003); tr.26]
Chƣơng trình PISA làm nổi bật vai trò của mô hình hóa trong toán học cũng
nhƣ trong các khoa học khác.
Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong dạy học và vai trò
công cụ của hệ phƣơng trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế,
chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là dạy học hệ phƣơng trình tuyến
tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.
Về vấn đề mô hình hóa trong chƣơng trình toán trung học Việt Nam, nghiên
cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2011) đã đƣa ra kết luận nhƣ sau:
“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề đƣợc đề cập trong chƣơng trình và sách
giáo khoa ở Việt Nam. Sách giáo khoa chỉ đƣa vào các bài tập áp dụng kiến
thức toán để giải quyết một số vấn đề thực tế. Trong các bài tập, những mô hình
toán học (…) đƣợc cung cấp trong đề bài và thực tế đã đƣợc mô hình hóa chỉ là
cái cớ để làm việc toán học trong mô hình đã đƣợc xác định rõ.”

Theo tác giả này, việc dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Pháp thực sự đặt ra một
vấn đề:
“Nhƣ vậy, thực sự tồn tại một vấn đề dạy học: hoặc ngƣời ta tránh dạy học mô
hình hóa bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa toán học và các môn khoa học
khác nhƣ mối quan hệ ứng dụng (Việt Nam), hoặc ngƣời ta khuyến khích sự
quan tâm đến mô hình hóa nhƣng không cung cấp cho giáo viên những phƣơng
tiện để dạy học nó (Pháp)”. [21; tr.318]

Liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn, chúng tôi có ghi
nhận việc trình bày của sách giáo khoa lớp 9 về tri thức này nhƣ sau: Nêu bài toán
thực tiễn→Trình bày định nghĩa hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn → Trình bày các
cách giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn → Củng cố bằng cách giải các hệ phƣơng


11

trình, các bài toán thực tiễn. Bài toán thực tế ban đầu đƣợc đƣa vào chỉ nhằm mục
đích dẫn dắt vào bài học. SGK9 đƣa vào định nghĩa hệ phƣơng trình trực tiếp bằng
ngôn ngữ toán học, tách rời với bài toán thực tiễn ban đầu. Các bài toán thực tiễn
khác chỉ đƣợc giải quyết sau khi các kiến thức về hệ phƣơng trình đã đƣợc trình
bày. Nhƣ vậy, ở đây, mối liên hệ giữa toán học và vấn đề thực tiễn là mối quan hệ
ứng dụng. Câu hỏi cần thiết đặt ra là liệu có thể đƣa vào hệ phƣơng trình tuyến tính
bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa hay không?
2. Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu
để định hƣớng cho nghiên cứu nhƣ sau:
1) Hệ phƣơng trình tuyến tính và sự mô hình hóa toán học bởi hệ phƣơng
trình tuyến tính đƣợc trình bày nhƣ thế nào ở bậc đại học? Chúng nhằm giải
quyết những vấn đề gì?
2) Việc nghiên cứu hệ phƣơng trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn đƣợc thể hiện
nhƣ thế nào trong chƣơng trình toán ở bậc phổ thông? Có sự chênh lệch nào
giữa tri thức toán học và tri thức cần giảng dạy về đối tƣợng hệ phƣơng trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ nào với
việc mô hình hóa toán học?
3) Liệu có thể tổ chức dạy học hệ phƣơng trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn
bằng mô hình hóa trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể
chế?
3. Phƣơng pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời các câu hỏi 1 và 2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý
thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối

12

tƣợng tri thức; đƣa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trƣng của mối
quan hệ thể chế với đối tƣợng tri thức đã chọn.
Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính và các
tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tƣợng
tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy
học hệ phƣơng trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa ở bậc đại học làm
tham chiếu cho thể chế dạy học ở bậc phổ thông. Việc nghiên cứu đồng thời hai thể
chế và so sánh chúng với nhau giúp chúng tôi hiểu rõ ràng buộc thể chế đối với đối
tƣợng hệ phƣơng trình tuyến tính ở bậc phổ thông.
Ngoài ra khái niệm hợp đồng sƣ phạm giúp chúng tôi tìm hiểu ứng xử của
giáo viên và học sinh: có những quy tắc ngầm ẩn nào liên quan đến việc dạy học hệ
phƣơng trình tuyến tính đƣợc hình thành giữa họ?
Chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi 1 và 2 nhƣ sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc trình
bày nhƣ thế nào? Vai trò công cụ của hệ phƣơng trình tuyến tính là gì? Việc mô
hình hóa bằng hệ phƣơng trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực
tiễn nào?
CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phƣơng trình tuyến tính bậc nhất
hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tƣờng minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai
đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phƣơng trình tuyến tính
đƣợc trình bày nhƣ thế nào trong chƣơng trình phổ thông? Việc dạy học mô hình
hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc quan tâm nhƣ thế
nào và có những đặc trƣng, ràng buộc gì?
3.2. Đồ án sƣ phạm
Dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý
thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống dạy học hệ phƣơng trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa. Tình huống này đƣợc xây dựng theo
các ràng buộc thể chế.

13

Có thể trình bày phƣơng pháp luận nghiên cứu theo sơ đồ:
NGHIÊN CỨU
TRI THỨC KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU
TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Thể chế dạy học bậc đại học

Thể chế dạy học PT ở Việt Nam

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
ĐỒ ÁN DẠY HỌC

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chƣơng sau:
Chương 1: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học.
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày hai phần:
- Các khái niệm chung về mô hình hóa toán học.
- Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa.
Chương 2: Hệ phƣơng trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.
Trong chƣơng này chúng tôi sẽ phân tích hai thể chế (thể chế dạy học ở bậc đại học
và thể chế dạy học phổ thông) để làm rõ các đặc trƣng của việc dạy học hệ phƣơng
trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa. Cụ thể, kiểu nhiệm vụ “Giải bài

toán thực tế bằng cách lập hệ phƣơng trình” sẽ đƣợc xem xét trong cả hai thể chế để
so sánh các đặc trƣng, ràng buộc của chúng.
Chương 3: Thực nghiệm (Đồ án dạy học).
Trong chƣơng này chúng tôi xây dựng, thực nghiệm và phân tích tình huống
dạy học hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa.


14


15

Chƣơng 1:
TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học
1.1. Mô hình hóa toán học
Trong ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng và thảo
luận về vai trò của mô hình toán học và các ứng dụng trong toán học giảng dạy và
học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr, 2003). Henry Pollak
(1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy nên chuyển từ việc hiểu “Đây
là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây là một định lý, chứng minh điều
đó", sang việc hiểu "Ở đây là một tình huống, suy nghĩ về nó”. Ông cũng chỉ ra rằng
có một nhu cầu mạnh mẽ để cho phép sinh viên khám phá một tình huống có vấn
đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các công cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử
dụng để giải quyết tình hình trong thế giới thực dựa trên tình huống đó.
Ngày nay, mô hình hóa đƣợc hầu hết mọi ngƣời ƣa chuộng, giải quyết vấn
đề, hoạt động học tập và các hoạt động khác, liên kết toán học với các đối tƣợng
khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hƣớng tới ý nghĩa của việc học tập và
giảng dạy toán học.

Theo Từ điển bách khoa toàn thƣ, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tƣợng
một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã đƣợc
quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này đƣợc đặt dƣới sự kiểm
tra của tƣ duy lôgic hay tƣ duy toán học.
Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán
học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà ngƣời ta đặt ra trên hệ thống này. Mô hình
toán học có thể đƣợc thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phƣơng trình, hệ thống
các phƣơng trình…


16

Mô hình hóa toán học có vai trò hết sức quan trọng, ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Những tình huống đƣợc mô hình
hóa có tình huống trong toán học và cả tình huống ngoài toán học.
Một số ví dụ về mô hình toán học:
+ Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho
bài toán này là mô hình phát triển Malthus, là một mô hình mô tả sự tăng trƣởng
của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Mô hình này
đƣợc đặt theo tên của Thomas Malthus. Mô hình này xác định bởi công thức:
P(t) = P0er.t
Với P0: Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trƣởng, t: thời gian.
Tuy nhiên, theo Joel E. Cohen thì sự đơn giản của mô hình đƣa ra chỉ hữu ích cho
việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng
thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Để khắc phục yếu điểm này Pierre Francois
Verhulst đã phát triển mô hình hàm lôgit (logistic function) vào năm 1838.
+ Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng. Khách
hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô
hình này, ta xem xét trƣờng hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n
mặt hàng đƣợc đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng

khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tƣơng ứng cho
số lƣợng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả
thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích
là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách
hàng trở thành bài toán tối ƣu hóa, nghĩa là:
max U  x1 , x2 ,..., xn 

thỏa mãn:

n

px
i 1

i i

M

xi  0, i 1, 2,..., n


17

Mô hình này đƣợc sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng
minh sự tồn tại và tối ƣu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng
mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề
tranh cãi.
+ Trong vật lí: Mô hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế
(potential-field). Trong mô hình này, một phần tử đƣợc xem là một khối điểm m với
quĩ đạo của nó đƣợc mô hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong không

gian là một hàm theo thời gian. Trƣờng-điện thế đƣợc cho bởi hàm V: R3 → R và
quĩ đạo là nghiệm của phƣơng trình sai phân:

m



d2
x  t    grad V  x  t  
dt 2



Chú ý mô hình này lấy giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng
trong nhiều trƣờng hợp, ví dụ: mô hình cho chuyển động của hành tinh.
+ Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển
động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao
động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt
động học dao động điều hòa đƣợc miêu tả bởi hệ thức:
q = Asin(kt + α)
Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc
toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và đƣợc
gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha
ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ
T bởi hệ thức:
k

2
 rad / s 
T

Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đƣợc tính theo công thức:
f 

1 T

T 2


18

1.2. Quá trình mô hình hóa toán học
Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn đƣợc thực hiện theo sơ đồ sau: (Theo
Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bƣớc: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga
(2011))
- Bƣớc 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian.
Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. Mô hình trung gian
giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp
độ trừu tƣợng hóa đầu tiên của “thực tiễn”. Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô
hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với
tình huống thực tế đƣợc xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng.
- Bƣớc 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả
lại dƣới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có mô hình trung gian
ta chọn các biến đặc trƣng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến
việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của
tình huống. Nhƣ vậy mô hình hóa toán học là trừu tƣợng hóa dƣới dạng ngôn ngữ
toán học của hiện tƣợng thực tế, cần phải đƣợc xây dựng sao cho việc phân tích nó

cho phép ta hiểu đƣợc bản chất của hiện tƣợng.


19

- Bƣớc 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ
toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bƣớc thứ hai. Căn
cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phƣơng pháp giải cho
phù hợp.
- Bƣớc 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu đƣợc trong bƣớc ba. Trở
lại tình huống đƣợc nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu
trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn đƣợc mô hình
hóa.
Trong bƣớc này có hai khả năng:
* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó
cần xem xét các nguyên nhân sau:
- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình.
- Mô hình định tính đã xây dựng chƣa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét.
- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng.
- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế.
Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm mô hình toán học thích hợp cho
tình huống đang xét.
Ngoài ra theo Coulange (1998), bƣớc 1 chuyển bài toán thực tiễn thành bài
toán phỏng thực tiễn nhƣ là tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống,
tình huống cần giải quyết để đƣa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách loại
bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên
dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ
thống rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi
của hệ thống.

Những bƣớc của quy trình mô hình hóa trên chỉ có ý nghĩa với tình huống
thực tế thực sự, còn đối với những tình huống trong dạy – học toán ở trƣờng phổ
thông chỉ là những tình huống nhân tạo liên quan đến một số chủ đề toán học. Quá


20

trình mơ hình hóa chỉ chủ yếu thực hiện bƣớc 2, bƣớc 3 và q trình mơ hình hóa
dừng lại khi chu kỳ chỉ có một.
1.3. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa
Theo Lê Thị Hồi Châu (2011) “Để nâng cao năng lực hiểu biết tốn cho
học sinh, khơng thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học để
giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra”. Mơ hình hóa tốn học khơng thể
thiếu trong việc nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh, do đó việc áp dụng mơ
hình hóa vào dạy – học tốn ở trƣờng phổ thơng là rất cần thiết. Việc giảng dạy tốn
ở trƣờng phổ thơng thƣờng có thể theo hai tiến trình sau (Tham khảo Lê Văn Tiến
(2005)):
“…, dạy học mơ hình hố là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
…, quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết → Vận
dụng các tri thức này vào việc giải các bài tốn thực tiễn và do đó vào việc xây
dựng mơ hình của thực tiễn.
Quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các bài tốn thực tiễn và do đó
làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức tốn học: tri thức tốn học
khơng còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài tốn thực tiễn.
Quan niệm “Dạy học bằng mơ hình hố” cho phép khắc phục khiếm khuyết
này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình
hố. Nhƣ vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua q trình giải
quyết các bài tốn thức tiễn. Quy trình dạy học tƣơng ứng có thể là:
Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho bài tốn

thực tiễn→ Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài
tốn thực tiễn.”

[Lê Văn Tiến (2005); tr.171-172]
Tiến trình dạy học bằng mơ hình hố đã khắc phục đƣợc khuyết điểm của
tiến trình dạy học mơ hình hố và giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng tốn
học vào cuộc sống hằng ngày. Điều này rất cần thiết trong dạy – học tốn ở trƣờng
phổ thơng hiện nay. Việc tăng cƣờng dạy tốn thơng qua dạy học bằng mơ hình hóa
giúp học sinh có khả năng áp dụng nhiều hơn vào các mơn học khác (mơ hình tốn


21

học cũng đƣợc sử dụng nhiều trong các môn vật lý, hóa học, sinh học,…) cũng nhƣ
cuộc sống hằng ngày.
2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán
Hiện nay, nhiều chƣơng trình giáo dục mong muốn nâng cao năng lực hiểu
biết toán học cho học sinh và khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Từ năm
1997 chƣơng trình đánh giá quốc tế PISA ra đời chú trọng đánh giá khả năng sử
dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống mà các học
sinh có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trƣờng. Điều này cho
thấy vai trò của mô hình hóa trong dạy – học toán ngày càng đƣợc chú trọng.
Mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh
khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn,
chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa
dạng sau này và nối liền toán học với các môn học khác.
Theo W.Blum (1993), gần đây trong dạy – học toán đã có một xu hƣớng thay
đổi, đó là xu hƣớng nhấn mạnh quá trình chuyển đổi về mô hình toán học (bƣớc 1
và bƣớc 2: quá trình “dịch” tình huống ban đầu về mô hình toán học). Ngày nay, có
nhiều lý do khác nhau để ứng dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán. W.Blum

(1993) đã đề cập đến bốn lý do chính sau đây:
- Toán học đƣợc thiết kế để giúp học sinh hiểu và đối phó với tình huống và
các vấn đề của thế giới thực.
- Học sinh cần đƣợc học các chủ đề toán học nhƣ là một nguồn cho sự phản
ánh, hoặc để tạo ra một hình ảnh toàn diện và cân bằng của toán học nhƣ một khoa
học và một phần của lịch sử và văn hóa của con ngƣời.
- Chúng ta hy vọng học sinh có đƣợc trình độ chung (chẳng hạn nhƣ khả
năng để giải quyết vấn đề) hoặc thái độ (chẳng hạn nhƣ sự cởi mở đối với những
tình huống mới). Mô hình hóa là một trong những cách quan trọng để phát triển các
vấn đề này.


22

- Nội dung toán học có thể thúc đẩy hoặc củng cố bằng các ví dụ mô hình
hóa phù hợp, và có thể góp phần hƣớng tới sự hiểu biết sâu sắc hơn và duy trì lâu
hơn các chủ đề toán học, hoặc nó có thể cải thiện thái độ của học sinh đối với toán
học.
Theo quan điểm của Barbosa (2002), mô hình hóa nhƣ là một môi trƣờng
học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học
“Mô hình hóa là một môi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và /
hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong
các lĩnh vực kiến thức khác.”
Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán thật rõ ràng và ngày càng đƣợc
rất nhiều ngƣời quan tâm đến. Theo Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani, việc ứng
dụng mô hình hóa trong dạy học toán có những ƣu điểm sau:
“• Các học sinh quan tâm trong một hoạt động nhƣ mô hình hóa toán học nhiều
hơn so với học tập các bối cảnh, giải quyết một số vấn đề, và tìm hiểu làm thế
nào để giải quyết một phƣơng trình. […]
• Các học sinh tìm hiểu làm thế nào để kết nối với các tình huống khác, đặc biệt

là các tình huống vật lý, trong thực tế học sinh sẽ cảm thấy đƣợc chuẩn bị nhiều
cho việc sử dụng của toán học trong các lĩnh vực khác;
• Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng
kết nối với các tình huống và các vấn đề khác;
• Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều
thời gian so với một phƣơng trình toán học;
• Việc này có thể xảy ra ở bất kỳ mức độ giáo dục, tiểu học và giáo dục trung
học; […]”

Tuy nhiên, trong giáo dục toán học ở các nƣớc khác nhau có những mục tiêu
khác nhau và có những lý luận khác nhau cho việc tích hợp mô hình hóa với giảng
dạy toán học.
3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học
Mặc dù mô hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trƣờng
phổ thông nhƣng cũng có không ít trở ngại, theo Werner Blum (1993) và Aslan
Doosti & Alireza M.Ashtiani thì có các trở ngại sau:


23

- Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên. Lựa chọn các vấn đề để thảo luận
trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên.
Một tình huống thực tế thực sự hay một tình huống nhân tạo ở mức độ mô hình hóa
nhƣ thế nào? Tình huống nhƣ thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này
đòi hỏi giáo viên phải đầu tƣ rất nhiều và những cái họ có trong tay phải đƣợc cập
nhật và phải đƣợc điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả
năng quản lý tình hình mở trong lớp học của giáo viên.
- Những trở ngại từ quan điểm của học sinh. Mô hình hoá làm cho bài học và các kỳ
thi toán học đƣợc yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn. Các học sinh không muốn
thử nghiệm một phƣơng pháp tiếp cận mới. Vì vậy, giáo viên cần thiết phải chọn

đƣợc một vấn đề hoặc tình huống hay, kích thích tính tò mò của học sinh.
Từ hai trở ngại trên chúng tôi thấy, việc thiết kế những tình huống dạy học
mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa để chuyển giao cho giáo viên áp dụng
vào thực tế dạy học là một việc làm thực sự cần thiết. Việc thiết kế này đòi hỏi phải
đƣợc thực hiện theo một phƣơng pháp luận chặt chẽ và phải đƣợc thực nghiệm kiểm
chứng (nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu thực tiễn dạy học).
- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá. Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời
gian hơn so với các phƣơng pháp truyền thống. Mô hình hoá thật khó khăn để đánh
giá, và những gì không kiểm tra sẽ không đƣợc thực hiện nghiêm túc bởi các học
sinh hoặc giáo viên.
Trở ngại này cho thấy để tạo ra “vùng sống” cho mô hình hóa trong dạy học
ở trƣờng phổ thông, cần thiết phải thay đổi cách kiểm tra, đánh giá. Nếu kiểm tra,
đánh giá chỉ dựa trên việc đánh giá kiến thức toán học của học sinh thì việc dạy học
mô hình hóa sẽ khó đƣợc thực hiện bởi ảnh hƣởng của tƣ tƣởng “học để thi”. Ngƣợc
lại, nếu các đề thi, đề kiểm tra tập trung vào việc kiểm tra khả năng mô hình hóa
toán học của học sinh (khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực
tiễn, khả năng xây dựng mô hình toán học,…) thì mô hình hóa sẽ có “đất sống”
trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông.


24

4. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nƣớc và ở Việt Nam
4.1. Ở Pháp
Theo nghiên cứu của Nguyễn thị Nga (2011), tƣơng tự nhƣ nhiều nƣớc khác,
thể chế Pháp mong muốn đƣa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn học khác.
“Trong luật về định hƣớng và chƣơng trình cho tƣơng lai của trƣờng học
(23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực
hành một “phƣơng pháp tiếp cận khoa học” đƣợc yêu cầu nhƣ một năng lực của
học sinh. Phƣơng pháp đó đƣợc mô tả nhƣ sau:

- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh
luận, mô hình hóa theo cách cơ bản;
- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tƣợng tự nhiên và ngôn ngữ toán học đƣợc áp
dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tƣợng này.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315]
Tài liệu kèm theo chƣơng trình lớp Terminale1 S, ES đã đƣa vào tƣờng minh những
chỉ dẫn về việc giảng dạy mô hình hóa ở THPT:
“Ở cấp độ THPT, chúng ta hƣớng dẫn bƣớc đầu cho học sinh việc mô hình hóa
nhờ vào một số tình huống thực tế mà chúng ta cố ý làm đơn giản hóa đến mức
tối đa và vì vậy đối với chúng, mô hình thô đã đƣợc thiết lập trở nên sáng sủa
hoặc cho phép đƣa ra một dự đoán: khó khăn lúc đó là việc giữ lại nghĩa và sự
nhất quán cho vấn đề đƣợc đơn giản hóa.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.316]
4.2. Ở một số nƣớc khác
Phần này đƣợc trích từ Werner Blum (1993) - Mathematical modelling in
mathematics education and instruction,

Mathematics Department, Kassel

University, Germany. Ở các nƣớc, có nhiều tài liệu về dạy học bằng mô hình hóa và
dạy học mô hình hóa đƣợc chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến
trung học phổ thông và đại học.
“Ở Úc

1

Tƣơng đƣơng lớp 12 của Việt Nam