hinh hoc khong gian

Tµi liƯu «n thi
H×nh häc kh«nng gian
M«n
: to¸n
12
CHUN ĐỀ
GI Ả I H × NH H Ọ C KH«NG GIAN B Ằ NG PH ƯƠ NG P h¸P T Ọ A ĐỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh,
điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O)
Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan
(có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
• Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
• Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia
đọan thẳng để tìm tọa độ
• Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
• Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán
Các dạng toán thường gặp:
• Độ dài đọan thẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện

• Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
• Bài toán cực trò, quỹ tích
Bổ sung kiến thức :
1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S
'
bằng tích của S với cosin của góc
ϕ
giữa mặt phẳng của
tam giác và mặt phẳng chiếu
ϕ
cos.
'
SS
=
2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A
'
, B
'
, C
'
khác với S
Ta luôn có:

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V

V
ABCS
CBAS
'''
.
'''
.
..
=
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vng
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách
lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Ngun V¨n Linh_Líp 12B8_Trêng: THPT Giao Thủ Thø mÊt ®i mµ kh«ng thĨ lÊy l¹i ®ỵc ®ã chÝnh lµ thêi gian
1
Tµi liƯu «n thi
H×nh häc kh«nng gian
M«n
: to¸n
12
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3
Þ
z
M
= 3.
Tương tự

Þ
M(1; 2; 3).
pt(ABC):
x y z
1
a b c
+ + =
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
Ỵ Þ + + =
(1).
O.ABC
1
V abc
6
=
(2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³

1
abc 27
6
Þ ³
.
(2)

min
1 2 3 1
V 27
a b c 3
Þ = Û = = =
.
Ví dụ:
1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :
( )
2S abc a b c≥ + +
(Dự bò 2 – Đại học khối D – 2003)
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0),
C(0;b;0), D(0;0;a)
( ) ( ) ( )
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
≥
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c
2 2
đpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a


≥ + + ≥ + +


+ ≥

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b
b. Dạng khác
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và
ABCD
vng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1.
Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
Hướng dẫn giải

Ngun V¨n Linh_Líp 12B8_Trêng: THPT Giao Thủ Thø mÊt ®i mµ kh«ng thĨ lÊy l¹i ®ỵc ®ã chÝnh lµ thêi gian
2
z
y
x
A
B
C
D
Tài liệu ôn thi
Hình học khônng gian
Môn
: toán
12
Chn h trc ta nh hỡnh v, ta cú:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) v H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuụng gúc vi SB ti I ct ng thng SC ti
K, d thy
[H, SB, C] =
( )
IH, IK
uur uur
(1).
SB ( 1; 3; 4)= - -
uur
,
SC (0; 3; 4)= -
uur
suy ra:
ptts SB:

x 1 t
y 3 3t
z 4t
ỡ
ù
= -
ù
ù
ù
ù
= -
ớ
ù
ù
ù
=
ù
ù
ợ
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ù

= -
ớ
ù
ù
ù
=
ù
ù
ợ

v (P): x + 3y 4z 1 = 0.
( ) ( )
5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25
ị
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
ị =
uur uur
=
Chỳ ý: Nu C v H i xng qua AB thỡ C thuc (P), khi ú ta khụng cn phi tỡm K.
Vớ d 3 (trớch thi i hc khi A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB,
SC. Tớnh theo a din tớch
D
AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC).
Hng dn gii
Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O l trng
tõm

ABCD
. Gi I l trung im ca BC, ta cú:
3 a 3
AI BC
2 2
= =
a 3 a 3
OA , OI
3 6
ị = =
Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA. t SO =
h, chn h trc ta nh hỡnh v ta c:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
a 3
A ; 0; 0
3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
a 3
I ; 0; 0
6
ổ ử
ữ
ỗ

ị -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a
B ; ; 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
a 3 a
C ; ; 0
6 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
,
a 3 a h
M ; ;
12 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
v
a 3 a h
N ; ;
12 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
2

(AMN)
ah 5a 3
n AM, AN ; 0;
4 24
ổ ử
ộ ự
ữ
ỗ
ị = =
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ở ỷ
ố ứ
uuur uuur
r
,
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah; 0;
6
ổ ử
ữ
ộ ự
ỗ
= = -
ữ

ỗ
ờ ỳ
ữở ỷ
ỗ
ố ứ
uur uur
r
2 2
2
(AMN) (SBC)
AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16
D
ộ ự
^ ị = ị = ị = =
ờ ỳ
ở ỷ
uuur uuur
r r
.
2. Hỡnh chúp t giỏc
a) Hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi ỏy v ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh ch nht). Ta chn h trc ta nh dng tam din
vuụng.
b) Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh thoi) tõm O ng cao SO vuụng gúc vi ỏy. Ta chn h trc ta tia OA,
OB, OS ln lt l Ox, Oy, Oz. Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta cú
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(a; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0; h).
Nguyễn Văn Linh_Lớp 12B8_Trờng: THPT Giao Thuỷ Thứ mất đi mà không thể lấy lại đợc đó chính là thời gian
3

Tài liệu ôn thi
Hình học khônng gian
Môn
: toán
12
c) Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy hỡnh ch nht ABCD v AB = b.
SADD
u cnh a v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im AD,
trong (ABCD) ta v tia Hy vuụng gúc vi AD. Chn h trc ta Hxyz ta cú:
H(0; 0; 0),
( ) ( )
a a
A ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2
( ) ( )
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
3. Hỡnh lng tr ng
Tựy theo hỡnh dng ca ỏy ta chn h trc nh cỏc dng trờn.
Vớ d: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp (A'BD)

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz Giả sử hình lập phơng
ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị
A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):
x + y + z = a hay x + y + z a = 0
Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n
(A'BC)
= (1;1;1) mà AC' = (1;1;1)
Vậy AC' vuông góc (A'BC)
2. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4
Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Lời giải:
+ Chọn hệ trục Oxyz sao cho A O
D Ox; C Oy và B Oz
A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Phơng trình đoạn chắn của (BCD) là:
1
4 4 3
+ + =
x y z
3x + 3y + 4z 12 = 0
Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:
Nhn mnh cho hc sinh:
II. Phơng pháp giải:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp sử dụng tọa độ Đề các trong không gian ta làm nh sau:
* B ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.
* B ớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian. Bằng cách:
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần

chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích
v.v
III. Luyện tập.
Bài 1: Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là tâm của ABC. I là trung điểm của SO.
1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
2. H là chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi qua trọng tâm G của SAC.
Lời giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ
AOx, S Oz, BC//Oy
Tọa độ các điểm:
3
( ;0;0)
3
A
;
3 1
( ; ;0)
6 2
B
;
3 1
( ; ;0)
6 2
C
;
6
(0;0 )
3

S
;
6
(0;0; )
6
I
Ta cú:
(0;1;0)=
uuur
BC
;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
=
uur
IC
;
6 3
, ( ;0; )
6 6

=

uuur uur
BC IC
Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6

+ + =x y z
Hay:
6
2 0
6
+ =z
m ta li cú:
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
=
uur uur r
SA
SA SA u
Phơng trình đờng thẳng SA:
3
;
3
= +x t
0; 2= = y z t
.
Nguyễn Văn Linh_Lớp 12B8_Trờng: THPT Giao Thuỷ Thứ mất đi mà không thể lấy lại đợc đó chính là thời gian
4
Tài liệu ôn thi
Hình học khônng gian
Môn
: toán
12
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
3

(1)
3
0 (2)
2 (3)
6
2 0(4)
6

= +


=



=



+ =


x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vào (4) có:
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4

= = = x y z M
;
3 6
( ;0; ) 4
12 12
= =
uuur uur uuur
SM SA SM
M nằm trên đoạn SA và
1
4
=
SM
SA
( )
1
( ) 4
=
SBCM
SABC
V
V
.
2. Do G là trọng tâm của ASC
SG đi qua trung điểm N của AC
GI (SNB) GI và SB đồng phẳng (1)
Ta lại có tọa độ G
3 1 6
( ; ; )
18 6 9

3 1 6
( ; ; )
18 6 18
=
uur
GI
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
=
uur
GI
. 0 (2) =
uur uur
GI SB GI SB
Từ (1) và (2)
=GI SB H

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. AA
1
= 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung
điểm của BB
1
; M di động trên cạnh AA

1
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích MC
1
D.
Lời giải:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O; B Oy; A
1
Oz. Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A
1
(0;0;2a)
1
3
( ; ;2 )
2 2
a a
C a
và D(0;a;a)
Do M di động trên AA
1
, tọa độ M (0;0;t)với t [0;2a]
Nguyễn Văn Linh_Lớp 12B8_Trờng: THPT Giao Thuỷ Thứ mất đi mà không thể lấy lại đợc đó chính là thời gian
z
x
y
I
O
B
A
C
S

M
5
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
z
x
C
C
1
M
A
A
1
B
1
B
D