Đề thi có đáp án chọn lọc hay

TTLT ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
Đề ngày 29/6 Môn thi Toán
Thời gian làm bài 180 phút
A. PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (8,0 ®iÓm)
CÂU I (2 ®iÓm)
Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
(1)
a. Khảo sát hàm số (1) khi m=1
b. Chứng minh rằng ,
m∀
hàm số (1) luôn đạt cực trị tại
1
x
,
2
x
với
1 2
x x−
không phụ thuộc m
CÂU II (2 ®iÓm)
Cho hệ phương trình:
2
2
12
26
xy y
x xy m


− =


− = +


a) Giải hệ phương trình với m=2
b) Với nhương giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm?
CÂU III (2 ®iÓm)
a) Tính:
36
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường
lny x=
,
0y =
,
x e=
.Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh
trục Ox
CÂU IV (2 ®iÓm)
Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn

chọn một tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt
trong tổ
B. PHẦN TỰ CHỌN (2 ®iÓm) (Thí sinh được chọn một trong 2 câu sau)
CÂU VA (2 ®iÓm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
d
1
:x = 2 + t, y = t, z = -2 + 2t ; d
2
:
4 2 1
1 2 1
x y z− − −
= =
; d
3
:
5 1 2
2 1 1
x y z− + +
= =
− −
Và mặt cầu:
2 2 2
( ) : 2 2 2 1 0S x y z x y z+ + + − + − =
a) Chứng minh rằng d
1
,d

2
chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d
1
,cắt
d
2
và song song với d
3
.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P)
và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1.
CÂU VB (2 ®iÓm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,ta lấy điểm S sao cho góc
ˆ
60SCB = °
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD
b) Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) .Tính diện
tích thiết diện tạo bởi (
α
) và hình chóp S.ABCD
ĐÁP ÁN
• CÂU I:
a) Khảo sát (1) khi m= 1:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + +

3 2
1: 2 9 12 1m y x x x= = − + +
• TXĐ: D= R
2
' 6 18 12
1 6
' 0
2 5
'' 12 18
3 11 3 11
'' 0 ,
2 2 2 2
y x x
x y
y
x y
y x
y x y
= − +
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ =

= −
 
= ⇔ = ⇒ = ⇒
 
 

ñieåm uoán I
• BBT:
• Đồ thị:
b) Chứng minh rằng
∀
m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ
thuộc vào m.
Ta có:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
2
' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m
y x m x m m
m m m
= − + + + +
= − + + +

= ⇔ − + + + =
∆ = + − + = >
⇒
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
⇒
Hàm số luôn đạt cực trị tại
1 2
,x x
.
Ta có:
2 1 1 2
1
2 1 1 2 2
2
2 2 2 2
2 1
x m m
x m m
x x m m
= + − =
= + + = +
⇒ − = + − = (haèng soá)
Vậy:
2 1
x x−
không phụ thuộc m.
• CÂU II:

Cho
2
2
12
26
xy y
x xy m

− =


− = +


Giải hệ khi m=2.
Ta có: Hệ phương trình
( ) 12
( ) 26
y x y
x x y m
− =

⇔

− = +


( ) 12 (1)
(26 )
(2)

12
y x y
m y
x
− =


⇔

+
=


Thế (2) vào (1) ta được :
2
(14 ) 144 (*)y m+ =
Với m= 2: Phương trình (*) trở thành :
2
16 144y =
2
9
(2)
3 7
(2)
3 7
y
y x
y x
⇔ =


= → =

⇔

= − → = −

Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm :
7 7
3 3
x x
y y
= = −
 
∨
 
= = −
 
b) Tìm m để hệ có nghiệm:
Ta có: Hệ có nghiệm
⇔
phương trình (*) có nghiệm.

14 0
14
m
m
⇔ + >
⇔ > −
• CÂU III:
a) Tính

6
3
0
cos2
tg x
I dx
x
∏
=
∫
Đặt t= tgx
1
2
cos
dt dx
x
⇒ =
Đổi cận :

0 0
3
6 3
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =

3 3
6 6

2 2 2 2
cos sin cos (1 )
0 0
3 3
3
3 3
1
2 2
1 1
0 0
3
3
2
1 1 1 2
2
ln 1 ln
2 2 6 2 3
0
tg x tg x
I dx dx
x x x tg x
t
dt t dt
t t
t
t
π π
⇒ = =
∫ ∫
− −

 
= = − +
 ÷
∫ ∫
 ÷
− −
 
 
 ÷
= − − − = − −
 ÷
 
b) Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox.
Đồ thị y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1
Do đó:
e
2
ln
1
V xdx
π
=
∫
Đặt
ln
2
ln 2
x
u x du dx
x

= ⇒ =
dv = dx, chọn v = x

( )
e
e
2
. ln 2 ln
1
1
e
e 2 ln
1
V x x xdx
xdx
π
π
 
⇒ = −
 
∫
 
 
 
= −
 
∫
 
 
Xem

e
ln
1
J xdx=
∫
Đặt
1
lnu x du dx
x
= ⇒ =
dv = dx, chọn v = x

( )
e
e
ln 1
1
1
J x x dx⇒ = − =
∫
Vậy:
(e 2)V
π
= −
(đvtt)
• CÂU IV:
Có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình.
Lập tổ công tác 6 người. Tìm số cách chọn:
a) Có cả nam lẫn nữ:
• Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là:

6
14
C
.
• Số cách lập tổ công tác toàn nam là:
6
6
C
.
• Số cách lập tổ công tác toàn nữ là:
6
8
C
.
Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam lẫn nữ là:
6 6 6
( ) 2974
14 6 8
C C C− + =
(cách).
b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt:
Có 3 trường hợp xảy ra:
• Trường hợp 1: Trong tổ không có An lẫn Bình.
Như vậy còn lại 12 người.
Số cách chọn tổ trưởng :12 cách.
Số cách chọn tổ viên:
5
11
C
.

⇒
Số cách chọn tổ trong đó không có An lẫn Bình là:

5
12. 5544
11
C =
(cách).
• Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có Bình.
Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có Bình.
Nếu An là tổ trưởng thì số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là:
5
12
C
.
Nếu An là tổ viên thì số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12
người còn lại là:
4
12.
11
C
.
⇒
Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có Bình là:
5 4
12 4752
12 11
C C+ =
(cách).
• Trường hợp 3: Trong tổ có Bình và không có An:

Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách.
• Tóm lại:
Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có
mặt
là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách).
• CÂU IV:
a)
21
d;d
chéo nhau.
Ta có
1
d
đi qua A(0, -2, -6) có VTCP
(1,1, 2)
1
a =
uur

2
d
đi qua B(4, 2, 1) có VTCP
(1,2,1)
2
a =
uur
Ta có: