Ma trận và đề kiểm tra 1 tiết chương nguyên hàm tích phân và ứng dụng (Có đáp án và lời giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (251.71 KB, 20 trang )
Ma trận và đề kiểm tra 1 tiết
(Có đáp án và lời giải chi tiết)
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TÍCH 12
1. Mục tiêu kiểm tra
Đề kiểm tra được thiết kế nhằm mục tiêu kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh trong
chương Nguyên hàm, tích phân.
a) Về kiến thức
- Biết được khái niệm nguyên hàm, tích phân, sự tồn tại của nguyên hàm và ứng dụng của ngun
hàm, ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Hiểu và vận dụng được các tính chất, định lý của nguyên hàm và tích phân. Hiểu và vận dụng
được các công thức của bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng. Hiểu và vận dụng được các
phương pháp tính nguyên hàm và tích phân.
- Hiểu và vận dụng được phương pháp nguyên hàm đổi biến số, nguyên hàm từng phần; phương
pháp tích phân đổi biến số, tích phân từng phần.
- Hiểu và vận dụng được cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối
chóp – khối chóp cụt và thể tích khối tròn xoay.
b) Về kỹ năng
- Vận dụng bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng để tính nguyên hàm của các hàm số như
hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lũy
thừa, hàm số logarit,…
- Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần
- Tính được diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể, thể tích khối chóp – khối chóp cụt và thể
tích khối trịn xoay.
- Ứng dụng ngun hàm, tích phân để giải các bài tốn thực tế như tìm vận tốc, gia tốc, quãng
đường mà vật di chuyển, tính tiền,…
2. Ma trận đề kiểm tra
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Nhận thức
Chủ đề
Chủ đề 1
Định nghĩa, tính
Nhận
Thơng
Vận dụng
Vận dụng
biết
hiểu
thấp
cao
1 câu
2 câu
1 câu
Câu 15
Câu 1
Câu 6
chất của nguyên
Cộng
4 câu
Câu 24
hàm- tích phân
Chủ đề 2
3 câu
4 câu
2 câu
1 câu
Các phương pháp
Câu 18
Câu 2
Câu 7
Câu 16
tìm ngun hàm,
Câu 22
Câu 3
Câu 8
tích phân.
Câu 20
Câu 4
Câu 5
Chủ đề 3
Ứng
dụng
tích phân.
của
16 %
10 câu
40 %
2 câu
4 câu
2 câu
3 câu
Câu 11
Câu 9
Câu 23
Câu 14
Câu 13
Câu 10
Câu 25
Câu 17
Câu 12
11 câu
Câu 21
Tổng
6 câu
Câu 19
10 câu
5 câu
4 câu
44 %
25
Tỉ lệ
24 %
40 %
20 %
16 %
100 %
Đề kiểm tra được thiết kế dành cho lớp có học lực khá, giỏi nên phần lớn câu hỏi ở dạng từ
thông hiểu cho đến vận dụng cao (chiếm 76%), trong đó có nhiều câu hỏi thực tiễn. Đề kiểm tra
cũng được thiết kế theo định hướng năng lực, trong đó tập trung vào hai dạng năng lực chính là
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực mơ hình hóa. Tuy nhiên các thuật tốn để giải các câu này
khơng khó. Đề kiểm tra có 25 câu hỏi, trong đó có 6 câu hỏi nhận biết (chiếm 24%) nhằm kiểm
tra năng lực huy động kiến thức cho học sinh, 10 câu hỏi (chiếm 40%) kiểm tra mức độ thông
hiểu kiến thức, còn lại 9 câu hỏi vận dụng thấp và vận dụng cao (chiếm 36%), nhằm kiểm tra
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực mơ hình hóa của học sinh.
3. Nội dung đề kiểm tra
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
Thời gian làm bài: 45 phút
c
Câu 1. Biết a b c,
f ( x )dx 15
�
a
A. I = 7.
b
c
và
f ( x)dx 8.
�
b
B. I = 120.
Tính giá trị của
I �
f ( x )dx.
a
C. I =- 7.
D. I = 23.
Bài giải: Đáp án A
Ta có
b
c
c
a
b
a
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x )dx
�
� I 15 8 7.
Phân tích:
c
c
a
b
f ( x )dx .�
f ( x)dx 15.8 120
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn I �
c
c
b
a
c
c
a
b
f ( x )dx �
f ( x)dx 8 15 7
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn I �
f ( x )dx �
f ( x)dx 15 8 23
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn I �
2
Câu 2. Cho hàm số f ( x) liên tục trên �và
A. I 9.
B. I 1.
f ( x) 2 x dx 5.
�
0
C. I 3.
2
Tính
I �
f ( x)dx.
0
D. I 7.
Bài giải: Đáp án B
2
2
2
f
(
x
)
dx
2 x dx 5 � I 5 x 2 5 4 1.
Ta có �
�
0
0
0
Phân tích:
2
2
2
f
(
x
)
dx
2 x dx 5 � I 5 x 2 5 4 9
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh sai lúc chuyển vế �
�
0
0
0
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh tìm sai nguyên hàm
2
2
0
0
f ( x ) dx �
2 x dx 5 � I 5 2 x 2
�
2
5 8 3.
0
2
2
2 2
f
(
x
)
dx
2
x
dx
5
�
I
5
x
5 0 2 7
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh thế cận sai �
�
0
0
0
1
Câu 3. Tích phân
A.
I
I �
1 x
2018
dx
có giá trị bằng
0
1
.
2019
B.
I
1
.
2017
C.
I
1
.
2019
D. I 1.
Bài giải: Đáp án A
�x 1� t 0
�
t
1
x
�
dx
dt
Đặt
. Đổi cận �x 0 � t 1
Khi đó
0
1
1
0
I �
t 2018 dt �
t 2018 dt
t 2019 1
1
2019 0 2019
.
Phân tích:
0
1
I �
t dt �
t 2018 dt
2018
- Đáp án nhiễu B dự đốn học sinh tìm sai nguyên hàm
1
0
1
0
I �
t dt �
t
2018
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh qn đổi cận tích phân
- Đáp án nhiễu D dự đốn học sinh tính tốn sai
0
0
1
1
0
I �
t 2018 dt �
t 2018 dt
2018
1
t 2017 1
1
2017 0 2017
t 2019 0
1
dt
2019 1
2019
t 2019 1 2019
1
2019 0 2019
e
Câu 4. Tích phân
A.
I
I�
( x 1) ln xdx
e2 5
.
2
1
B.
I
có giá trị bằng
e2 5
.
4
C.
I
e 2 5
.
4
D.
I
e2 5
.
4
Bài giải: Đáp án D
Đặt
1
�
du
dx
�
u ln x
�
x
�
��
�
x2
�x �
�dv x 1 dx �
v x x � 1�
�
�2 �
� 2
�x 2
� e e �x �
�x 2
�e e2
�e2
� �1 �
e2
I � x�
ln x �
1�
dx e � x � e � e � � 1�
�
2
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1 2
�4
� �4 �
Khi đó
I
e2
e2
1
e2 5
e e 1
2
4
4
4 .
Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đốn học sinh tính tốn sai
�x 2
� e e �x �
�x 2
�e e 2
�e 2
� �1 � e 2 5
e2
I � x�
ln x �
dx e � x � e � e � � 1�
� 1�
2
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1 2
�4
� �4 � 2
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh sai dấu khi tính
�x 2
� e e �x �
�x 2
�e e 2
�e2
� �1 � e 2 5
e2
I � x�
ln x �
1
dx
e
x
e
e
�
�
�
� � 1�
� �
2
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1 2
�4
� �4 � 4
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh thay cận sai
2
�x 2
� e e �x �
�x 2
�e
� e 2 5
e2
e2
�1 � �e
I � x�
ln x �
1
dx
e
x
e
1
e
.
�
�
�
� �
� ��
2
2
4
�4 � �4
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1
�
p
2
Câu 5. Tích phân
I = �x cos 2 xdx
1
I .
2
A.
0
có giá trị bằng
B. I =- 2.
C. I 0.
Bài giải: Đáp án A
�du dx
ux
�
�
� � sin 2 x
�
dv cos 2 x dx �
v
�
�
2
Đặt
sin 2 x
12
cos 2 x
1 1
1
I x.
sin 2 x dx
2 �
2 .
2
20
4
4 4
2
0
0
Khi đó
Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đốn học sinh sai khi lấy nguyên hàm của cos 2x
ux
du dx
�
�
��
�
Đặt �dv cos 2 x dx �v sin 2 x .
2
I x.sin 2 x 2 �
sin 2 x dx cos 2 x 2 1 1 2
0
0
0
Khi đó
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh sai khi tính cos 0
D. I 1.
sin 2 x
12
cos 2 x
1 1
I x.
sin 2 x dx
2 �
2 0
2
20
4
4 4
0
0
sin 2 x
12
cos 2 x
1 1
I x.
sin 2 x dx
2 �
2 1.
2
20
2
2 2
0
0
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh sai
9
f ( x)dx 9.
�
Câu 6. Biết hàm số f ( x) liên tục trên �và 0
A. 9.
B. 27.
3
f (3x)dx
�
Khi đó, 0
có giá trị bằng
D. 3.
C. 3.
Bài giải: Đáp án C
9
Ta có
f ( x )dx F x
�
0
3
3 1
1
1
F 9 F 0 9 � �
f (3x)dx F 3x �
F 9 F 0 �
.9 3.
�
�
0
0 3
3
3
0
9
Phân tích:
3
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn
3
f (3 x)dx F 3x F 9 F 0 9
�
0
0
3
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn
f (3 x) dx 3.F 3 x
�
0
3
3. �
F 9 F 0 �
�
� 3.9 27
0
3
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn
3 1
1
1
f
(3
x
)
dx
F
3
x
�
F 0 F 9 �
9. 3.
�
�
�
0 3
3
3
0
2
x
I�
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5.
( x 1)(2 x 1)
1
Câu 7. Biết
Giá trị a b c bằng
A. 2 .
B. 1.
C. 3.
D. 1.
Bài giải: Đáp án D
2
2
2 x 1 x 1 dx 2 � 1 1 �dx
x
I�
dx �
�x 1 2 x 1 �
�
( x 1)(2 x 1)
( x 1)(2 x 1)
�
1
1
1�
Ta có
1
1
1
3
1
�
�2
I�
ln x 1 ln 2 x 1 � ln 3 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5
2
2
2
2
2
�
�1
3 1
a b c 1 1.
2 2
Vậy
Phân tích:
1
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh lấy nguyên hàm của 2 x 1 sai
2
2
2 x 1 x 1
x
1 �
�1
I�
dx �
dx �
dx
�
�
( x 1)(2 x 1)
( x 1)(2 x 1)
x 1 2x 1 �
1
1
1�
2
I ln x 1 ln 2 x 1
2
ln 3 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 2 ln 3 ln 5
1
Vậy a b c 1 2 1 2.
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh thế cận sai
2
2
2 x 1 x 1 dx 2 � 1 1 �dx
x
I�
dx �
�
�
�
( x 1)(2 x 1)
( x 1)(2 x 1)
x 1 2x 1 �
1
1
1�
1
1
1
3
1
�
�2
I�
ln x 1 ln 2 x 1 � ln 2 ln 3 ln 3 ln 5 ln 2 ln 3 ln 5
2
2
2
2
2
�
�1
3 1
a b c 1 1.
2 2
Vậy
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh xác định sai vị trí của a, b, c
2
2
2 x 1 x 1 dx 2 � 1 1 �dx
x
I�
dx �
�
�
�
( x 1)(2 x 1)
( x 1)(2 x 1)
x 1 2x 1 �
1
1
1�
1
1
1
1
3
�
�2
I�
ln x 1 ln 2 x 1 � ln 3 ln 5 ln 2 ln 3 ln 5 ln 2 ln 3
2
2
2
2
2
�
�1
1
3
a b c 1 3.
2
2
Vậy
7
I
Câu 8. Biết
x3
�1 x
3
0
2
dx
a
,
b
a
với b là phân số tối giản ( a, b là các số nguyên dương). Giá trị
a 7b bằng
A. -281.
C. 23 .
B. 1.
D. 967 .
Bài giải: Đáp án B
3 2
�
�xdx t dt
t 1 x � t 1 x � �
2
�x 2 t 3 1
�
Đặt
. Đổi cận
3
2
3
2
t
�x 7 � t 2
�
�x 0 � t 1
2
1 3 2
3 4
I �
dx �
xdx �
. t dt �
t t dt
3
2
3
2
t
2
21
1
x
1
x
0
0
1
Khi đó
7
x3
7
x2
2
3 �t 5 t 2 �2 3 �32
1 1 � 141
I � � � 2 �
2 �5 2 �1 2 �5
5 2 � 20
Vậy a 7b 141 7.20 1
Phân tích:
3
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh thế vị trí cận sai
I
t
1
1 3 2
3 4
dx
xdx
.
t
dt
t t dt
�
�
�
3
3
t
2
2�
1 x2
1 x2
0
0
2
2
7
7
x3
1
x2
3
3 �t 5 t 2 �1 3 �1 1 32
� 141
I � � � 2 �
2 �5 2 �2 2 �5 2 5
� 20
Vậy a 7b 141 7.20 281
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh thế cận sai
3
�
�xdx tdt
t 1 x � t 1 x � �
2
2
3
�x t 1
�
Đặt
. Đổi cận
3
2
3
�x 7 � t 2
�
�x 0 � t 1
2
t
2
1 3
3 3
I �
dx �
xdx �
. tdt �
t 1 dt
3
2
3
2
t
2
21
1
x
1
x
0
0
1
Khi đó
7
7
x3
x2
2
3
3 �t 4 �2 3 �
1 � 33
I � t � �4 2 1�
2 �4 �1 2 �
4 � 8
Vậy a 7b 33 7.8 23
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh xác định sai vị trí của a, b . Vậy a 7b 20 7.141 967.
2
Câu 9. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ( P) : y = x - 4 x + 3 và trục Ox.
A.
S
4
3 (đvdt).
B.
S
4
3 (đvdt).
C.
S
2
3 (đvdt).
D.
S
4
3 (đvdt).
Bài giải: Đáp án A
�
x =1
x2 - 4 x +3 = 0 � �
�
x =3
�
Ta có
Khi đó
3
�x3
�3 4
2
�
S = �x 2 - 4 x + 3 dx = �
=
� - 2 x + 3x �
�
�1 3
�
3
�
�
1
.
Phân tích:
�x3
�3 4p
�
S = p�x - 4 x + 3 dx = p �
- 2 x 2 + 3 x�
�
�1 = 3
�
�
�3
�
3
2
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn
1
�x3
�3 2
2
�
S = �x 2 - 4 x + 3 dx = �
=
� - 2 x + 3 x�
�
�1 3
�
3
�
�
1
3
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh tính tốn sai
�x3
�1
4
�
S = �x - 4 x + 3 dx = �
- 2 x 2 + 3 x�
=�
�
�
�3
3
�3
�
1
3
2
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn
3
2
Câu 10. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x x và y x x .
A.
S
37
đvdt .
12
B.
S
37
đvdt .
12
C.
S
9
đvdt .
4
D.
S
9
đvdt .
4
Bài giải: Đáp án B
x 2
�
�
x x x x � x x 2x 0 � �
x0
�
x 1
�
3
Phương trình hồnh độ giao điểm:
0
S
Khi đó
x
�
2
3
2
1
3
2
x 2 2 x dx �
x3 x 2 2 x dx
0
�x 4 x3
�0 �x 4 x3
�1 37
S � x2 � � x2 �
�4 3
�2 �4 3
�0 12 (đvdt).
Phân tích:
1
�0 3
� 37
2
S ��
x x 2x dx �
x3 x 2 2x dx � 12
2
0
�
�
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn
0
S
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn
x
�
2
1
3
x 2 x dx �
x3 x 2 2 x dx
2
0
9
4
1
�0 3
�
2
S ��
x x 2 x dx �
x3 x 2 2 x dx � 94
0
�2
�
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn
Câu 11. Tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y cos x, y 0, x 0 và x quay xung quanh trục Ox.
p
V = ( đvtt ) .
2
A.
B.
V=
p2
( đvtt ) .
2
C.
V = 0 ( đvtt ) .
D.
V =-
p2
( đvtt ) .
2
Bài giải: Đáp án B
sin 2 x � 2
V �
cos xdx �
x
1 cos 2 x dx �
�
�
20
2�
2 �0
2
0
2
Ta có
(đvtt)
Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đốn học sinh nhầm lẫn cơng thức tính thể tích
1
V �
cos xdx �
1 cos 2 x dx
20
0
2
1 � sin 2 x �
�x
�
2�
2 �0 2
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh nhầm lẫn cơng thức
V �
cos xdx sin x
0
0
0
- Đáp án nhiễu D sai vì thể tích của khối trịn xoay khơng là số âm.
2
Câu 12. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = 2 x - x và trục hồnh. Tính thể tích
V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) xung quanh trục hoành.
A.
V=
16p
( đvtt ) .
15
B.
V=
4p
( đvtt ) .
3
C.
V=
16
( đvtt ) .
15
4
V = ( đvtt ) .
3
D.
Bài giải: Đáp án A
�
x =2
2 x - x2 = 0 � �
�
x =0
�
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
Khi đó
V �
2x x
2 2
0
2
�4 x3
x 5 �2 16
4
dx �
4 x 4 x x dx �3 x 5 �0 15 .
�
�
0
2
3
4
Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đốn học sinh nhầm lẫn cơng thức tính thể tích
2
3
�
�2
V �
2 x x 2 dx �x 2 x3 �0 43
�
�
0
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn cơng thức tính thể tích
2
V �
2x x
0
2 2
2
�4 x3
x 5 �2 16
4
dx �
4 x 4 x x dx �3 x 5 �0 15
�
�
0
2
3
4
- Đáp án nhiễu D dự đốn học sinh nhầm lẫn cơng thức tính thể tích
2
�2 x 3 �2 4
2
V �
2
x
x
dx
�x 3 �0 3
�
�
0
Câu 13. Tính thể tích V của khối trịn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox, hai đường thẳng x = a và x = b quay quanh trục Ox.
b
A.
V = p�f ( x) dx.
a
b
B.
b
C.
V = p�f 2 ( x) dx.
a
V = �f ( x) dx.
a
b
D.
V = �f 2 ( x) dx.
a
Bài giải: Đáp án C
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, B, D dự đốn học sinh nhầm lẫn cơng thức tính thể tích khối trịn
xoay.
Câu 14. Ông A muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích
thước như hình vẽ bên. Biết đường cong phía trên là parabol, tứ giác
ABCD là hình chữ nhật và giá thành là 900 000 đồng trên 1m 2 thành
phẩm. Hỏi ông A phải trả bao nhiêu tiền để làm cánh của đó?
A. 13 200 000 đồng.
B. 6 000 000 đồng.
C. 8 400 000 đồng.
D. 6 600 000 đồng.
Bài giải: Đáp án C
2
- Ta có S ABCD 4.2 8m
- Diện tích tạo bởi cung AB và đoạn AB: Chọn A �O 0;0 � P , khi đó đỉnh của Parabol là
I 1;1 và B 2;0 � P
2
� x3
�2 4
2
S
x
2
x
dx
x2 �
�
2
�
P : y x 2x
� 3
�0 3
0
- Ta được
. Vậy
� 4�
T �
8 �
900.000 8.400.000
� 3�
Vậy số tiền phải trả là
đồng.
Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đốn học sinh nhầm lẫn:
2
- Ta có S ABCD 4.2 8m
- Diện tích tạo bởi cung AB và đoạn AB: Chọn A �O 0;0 � P , khi đó đỉnh của Parabol là
I 1;1 và B 2;0 � P
2
2 20
�x 3
2
2�
S
x
2
x
dx
� x �
2
�
P : y x 2x
�3
�0 3
0
- Ta được
. Vậy
� 20 �
T �
8 �
900.000 13.200.000
3
�
�
Vậy số tiền phải trả là
đồng.
- Vì số tiền để làm phần diện tích hình chữ nhật là S 8.900000 7.200.000 nên dùng phương
pháp loại trừ thì đáp án nhiễu B và D là đáp sán sai.
Câu 15. Cho hàm số
f x , g x
xác định trên K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của
�). Khẳng định nào dưới đây sai?
�
dx �
f x dx �
g x dx
�f x g x �
�
A. �
B.
f x .g x dx �
f x dx.�
g x dx
�
C.
kf x dx k �
f x dx
�
(với k là hằng số, khác 0)
�
dx �
f x dx �
g x dx
�f x g x �
�
D. �
Bài giải: Đáp án B
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, C, D dự đốn học sinh đọc khơng kỹ đề và nhầm lẫn các cơng
thức tính tổng, hiệu của các tích phân.
3
x
a
I �
dx c ln 2 d ln 3,
b
0 4 2 x 1
Câu 16. Cho
với a, b, c, d là các số nguyên. Gía trị của
a b c d bằng:
A. 10
B. 2
C. 28
D. 4
Bài giải: Đáp án D
dx 2tdt
�
2
Đặt t x 1 � t x 1 � �
�x t 1
2
2t t 2 1
2
�x 3 � t 2
�x 0 � t 1
. Đổi cận �
2
� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
dt 2 �
t �
dt 2 �
3ln 2t 4 t �
Khi đó I �
�
2t 4
2t 4 2
2�
6 2 2 �1
�
1
1�
4
1 1 3� 7
�
� �
I 2�
3ln 8 2 3 � 2 �
3ln 6 � 12 ln 2 6 ln 3
3
6 2 2� 3
�
� �
Vậy a b c d 7 3 12 6 4.
Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đốn học sinh tính vi phân sai
dx 2tdt
�
2
Đặt t x 1 � t x 1 � �
2
�x t 1
2
�x 3 � t 2
�x 0 � t 1
. Đổi cận �
t t 2 1
2
� 6
t2
3� �
t 3 t 2 3 �2
I
dt
t
dt
3ln
2
t
4
t�
Khi đó
�
� �
�
�
2t 4
2t 4 2
2� �
6 2 2 �1
1
1�
4
1 1 3� 7
�
��
I �
3ln 8 2 3 � �
3ln 6 � 6 ln 2 3ln 3
3
6 2 2� 6
�
��
Vậy a b c d 7 6 6 3 10 .
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh thế sai cận
dx 2tdt
�
2
Đặt t x 1 � t x 1 � �
�x t 1
2
�x 3 � t 2
�x 0 � t 1
. Đổi cận �
2
2t t 2 1
2
� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
I
dt
2
t
dt
2
3ln
2
t
4
t�
Khi đó
�
�
�
�
�
2t 4
2t 4 2
2�
6 2 2 �1
�
1
1�
1 1 3� �
4
�
� 7
I 2�
3ln 6 � 2 �
3ln 8 2 3 � 12 ln 2 6 ln 3
6 2 2� �
3
�
� 3
Vậy a b c d 7 3 12 6 2 .
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh xác định a, b, c, d sai
dx 2tdt
�
2
Đặt t x 1 � t x 1 � �
�x t 1
2
2t t 2 1
�x 3 � t 2
�x 0 � t 1
. Đổi cận �
2
� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
dt 2 �
t
dt
2
3ln
2
t
4
t�
�
�
�
2t 4
2t 4 2
2�
6 2 2 �1
�
1�
Khi đó I �
1
2
4
1 1 3� 7
�
� �
I 2�
3ln 8 2 3 � 2 �
3ln 6 � 12 ln 2 6 ln 3
3
6 2 2� 3
�
� �
Vậy a b c 7 3 12 6 28.
Câu 17. Một vật chuyển động với vận tốc
kilomet/giờ
v t at 2 bt c
h
với t tính bằng giờ và v tính bằng
km / h có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I 1;1 và trục đối xứng
song song với trục tung như hình bên. Quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ kể
từ lúc xuất phát là
2
km
A. s 6
km
B. s 4
km
C. s 3
km
D. s 5
Bài giải: Đáp án A
Khi t 0 ta có v t 2 � c 2 1
Khi t 3 ta có v t 2 � 9a 3b 2 5 � 9a 3b 3 2
Khi t 1 ta có v t 1 � a b 2 1 � a b 1 3
2
Từ 1 , 2 , 3 ta được v t t 2t 2
v t dt �
Vậy s �
t 2 2t 2 dt
t3 2
t 2t k
3
Khi t 0 thì s 0 , suy ra k 0
Khi
t 3
suy ra s
t3 2
27 2
t 2t k
3 2.3 0 6 km
3
3
Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đốn học sinh làm như sau
Khi t 0 ta có v t 2 � c 2 1
Khi t 3 ta có v t 2 � 9a 3b 2 5 � 9a 3b 3 2
Khi t 1 ta có v t 1 � a b 2 1 � a b 1 3
2
Từ 1 , 2 , 3 ta được v t t 2t 2
Suy ra s 2t 2 . Vậy t 3 � s 2.3 2 4 .
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh làm như sau
Khi t 0 ta có v t 2 � c 2 1
Khi t 3 ta có v t 2 � 9a 3b 2 5 � 9a 3b 3 2
Khi t 1 ta có v t 1 � a b 2 1 � a b 1 3
2
Từ 1 , 2 , 3 ta được v t t 2t 2
t3 2
v t dt �
Vậy s �
t 2t 2 dt 3 t 2t k
2
Khi t 0 thì s 0 , suy ra k 2
t3 2
27 2
Khi
suy ra s t 2t k 3 2.3 2 8 km
t 3
3
3
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh làm như sau
Khi t 0 ta có v t 2 � c 2 1
Khi t 3 ta có v t 2 � 9a 3b 2 5 � 9a 3b 3 2
Khi t 1 ta có v t 1 � a b 2 1 � a b 1 3
2
Từ 1 , 2 , 3 ta được v t t 2t 2
Khi đó s 32 2.3 2 5 km
Câu 18. Tìm nguyên hàm
x
f x cos .
2
của hàm số
F x
x
F x 2sin C.
2
A.
1
x
F x sin C.
2
2
B.
x
F ( x 2sin C.
2
C.
1
x
F x sin C.
2
2
D.
Bài giải: Đáp án C
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, B, D dự đoán học sinh nhần lẫn cơng thức tính ngun hàm của
cos
x
2.
Câu 19. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 3, biết rằng thiết diện
của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox tại điểm có hồnh độ là x
0 �x �3 là
2
hình chữ nhật có hai kích thước là x và 9 x .
A. V 9 .
B. V 6.
C. V 9.
D. V 9.
Bài giải: Đáp án C
b
3
a
0
S x dx �
x. 9 x 2 dx
Ta có V �
Đặt
�x 3 � t 0
. Đổi cận �x 0 � t 3
t 9 x � t 9 x � xdx tdt
�
2
2
2
0
3
t 3 3 27
2
2
V
t
dt
t
dt
9.
Vậy
�
�
0
3
3
3
0
Phân tích:
3
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn
V �
x 9 x
0
2
2
dx 9
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn lấy nguyên hàm sai
0
3
3
0
V �
t 2 dt �
t 2 dt 2t
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn qn khơng đổi cận tích phân
3
6
0
3
V �
t 2 dt
0
t3 3
27
9.
3 0
3
e
ln x
I �
dx
x
1
3ln
x
u
1
3ln
x
1
Câu 20. Với cách biến đổi
thì tích phân
trở thành
e
A.
I
2
u 2 1 du.
9�
1
I
2
u 2 1 du.
9�
e
2
B.
I
2
u 2 1 du.
9�
1
I
2
u 2 1 du.
�
31
1
C.
2
D.
Bài giải: Đáp án B
�
u2 1
ln
x
�
�
3
2
Đặt u 1 3ln x � u 1 3ln x � �
.
�1 dx 2 udu
�x
3
�x e � t 2
Đổi cận �x 1 � t 1
�
u 1 2t du 2 u
Khi đó I �
3t.3
9�
2
2
2
2
1
1
1 du
Phân tích:
e
- Đáp án nhiễu A dự đốn học sinh nhầm lẫn quên đổi cận tích phân
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn khi thay cận tích phân
I
2
u 2 1 du.
�
91
I
2
u 2 1 du.
9�
e
1
2
2
I �
u 2 1 du.
31
- Đáp án nhiễu C dự đốn học sinh tính vi phân sai
H
Câu 21. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường
y
1
1
,x ,x 2
x
2
và trục hoành.
�1
�
x k � k 2�
�2
�chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ
Đường thẳng
bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để S1 3S 2 .
A. k = 2.
B.
k=
1
.
2
C. k = 1.
D. k = 4.
Bài giải: Đáp án A
k
1
S1 �dx ln x 1 ln k ln 2
1 x
2
2
k
Ta có
2
2
1
S 2 �dx ln x ln 2 ln k
k
x
k
Vì
S1 3S2 � ln k ln 2 3 ln 2 ln k � 4 ln k 2 ln 2 � ln k 2 ln 2
�
k �0
k 2
�
� �2
��
k 2
k 2
�
�
Vì k 0 nên k 2 .
Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh làm như sau
k
1
S1 �dx ln x 1 ln k ln 2
1 x
2
2
k
Ta có
2
2
1
S 2 �dx ln x ln 2 ln k
k
x
k
Vì
S 2 3S1 � ln 2 ln k 3 ln k ln 2 � 4 ln k 2 ln 2 � ln k 2 ln
� 1
k
�k �0
�
�
2
� �2 1 � �
1
k
�
�
k
�
2
�
2
�
Vì k 0 nên
k
1
2.
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh làm như sau
k
1
S1 �dx ln x 1 ln k ln 2
1 x
2
2
k
Ta có
2
2
1
S 2 �dx ln x ln 2 ln k
k
x
k
Ta có S1 S 2 � ln k ln 2 ln 2 ln k � ln k 0 � k 1
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh làm như sau
1
2
k
1
S1 �dx ln x 1 ln k ln 2
1 x
2
2
k
Ta có
2
2
1
S 2 �dx ln x ln 2 ln k
k
x
k
Vì
S1 3S2 � ln k ln 2 3 ln 2 ln k � 4 ln k 2 ln 2 � ln k 2 ln 2
k �0
�
� �2
�k 4
k 2
�
.
I �
x3 3x2 2 dx.
1
Câu 22. Tính tích phân
A.
I
3
4
0
B.
I
3
4
C.
I
4
3
D.
I
5
3
Bài giải: Đáp án B
Ta có
�x 4
�1 1
3
I � x3 2 x � 1 2
4
�4
�0 4
Phân tích:
�x 4
�0 1
3
I � x3 2 x � 1 2
4
�4
�1 4
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh thế cận sai
- Các đáp án B, D dự đốn học sinh sai sót trong q trình tính tốn.
H
y f x
f x
Câu 23. Gọi S là ydiện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và hai
y
2
0
đường
thẳng x 1 , x 2 (như hình vẽ bên). Đặt
O
1
2
x
a
f x dx
�f x dx b �
1
,
0
sau đây đúng?
A. S = b - a.
B. S = b + a.
C. S =- b + a.
D. S =- b - a.
Bài giải: Đáp án A
Ta có
Phân tích:
f x �0
với
x � 1;0
,
f x �0
với
x � 0; 2
nên S b a
, mệnh đề nào
- Đáp án nhiễu B sai vì
f x �0
với
x � 1;0
- Đáp án nhiễu C sai vì
f x �0
với
x � 1;0
- Đáp án nhiễu D sai vì
f x �0
với
x � 0; 2
,
f x �0
với
x � 0; 2
Câu 24. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [2;3]. Biết f (2) 1, f (3) 2. Tính
3
I �f '( x) dx.
2
A. I =- 3.
B. I =- 1.
C. I = 1.
D. I = 2.
Bài giải: Đáp án B
3
3
f '( x) dx f x f 3 f 2 2 1 1
Ta có I �
2
2
Phân tích:
3
3
3
2
f '( x) dx f x f 3 f 2 2 (1) 3
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn I �
2
2
f '( x )dx f x f 2 f 3 1 2 1
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn I �
2
3
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh sai sót trong q trình tính tốn.
Câu 25. Diện tích hình phẳng được tơ đậm trong hình vẽ sau là:
A.
C.
S
9
2
S
B.
34
3
D.
S
16
3
S
10
3
Bài giải: Đáp án D
P : y2 x
d : y x2
Dựa vào đồ thị ta tìm được parabol
và đường thẳng
2
�y 3 y 2
�2 8
10
S�
y y 2 dy � 2 y � 2 4
3
�3 2
�0 3
0
2
Khi đó
Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn khi lấy cận tính từ phương trình tung độ giao điểm,
khơng quan sát kĩ hình ảnh phần diện tích cần tính
2
S
�y 3 y 2
�2
10 7 9
2
y
y
2
dy
� 2y�
�
2
3 6 2
�3
�1
1
- Đáp án nhiễu B dự đốn học sinh tính tốn sai
2
�y 3 y 2
�2 8
16
S �
y 2 y 2 dy � 2 y � 2 4
3
�3 2
�0 3
0
.
2
4
S�
y dy �
y 2 y 2 dy
2
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh sử dụng cận của x để tính
0
2
34
3
----------- HẾT ----------
BẢNG ĐÁP ÁN
Câ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ĐA
A
B
A
D
A
C
D
B
A
B
B
A
C
C
Câ
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
B
D
A
C
C
B
A
B
A
B
D
u
u
ĐA
