Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT KỲ SƠN

Đề tài:
TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY
SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI
VÀ ỨNG DỤNG

Giaùo vieân

: Traàn Thanh

Vaân
Toå
Ñt

: Toaùn
: 0979057900

Năm học 2014 – 2015


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

MỤC LỤC

MỤC LỤC.............................................................................................................1
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................2
Phần 2: NỘI DUNG ............................................................................................3
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .....................................................................................3
I. DÃY SỐ ............................................................................................................3

II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN..................................................................5
B. NỘI DUNG CHÍNH........................................................................................7
I. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC
TRUY HỒI............................................................................................................7
II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ....................................................................................14
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG .....................................................................................25
Phần 3: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...................................................................28
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................31

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

2


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Phần 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là
một phần quan trọng. Học sinh thường gặp phải nhiều bài toán liên quan đến
dãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của
dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát
của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trong
chương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh để
giúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khi
đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiến
thức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội.
Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài
“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ

cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối
với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác
giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình
giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số.
Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm
cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng
các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy
số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của
một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ
thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.
Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài
toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.
Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung. Tuy
nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên
trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo
logic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp
học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

3


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Phần 2
NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I. DÃY SỐ.
1. Định nghĩa
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt
là dãy số)
u:
n u(n)
Đặt u(n) = un và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (un).
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m , được gọi là dãy
số hữu hạn.
2. Cách cho một dãy số.
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát un.
Khi đó un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên .
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1. Khi đó nếu viết dãy số này
dưới dạng khai triển ta được 3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với un là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số ,
khi đó ta có dãy số: u1 = 3; u2 = 1; u3 = 4; u4 = 1; u5 = 5; …
trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng un qua n.
c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi.
- Cho số hạng đầu u1(hoặc một vài số hạng đầu)
- Với n 2, cho một công thức tính un nếu biết un-1 (hoặc một vài số hạng đứng
trước nó). Các công thức có thể là:

Ví dụ 3: cho dãy số (Fn) xác định bởi

Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi.
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

4

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

3. Tính chất của dãy số.
-

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un< un+1.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un> un+1.
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: .
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: .
Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới,
nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : .
Chú ý :

- Dãy số (un) tăng
- Dãy số (un) giảm

4. Giới hạn của dãy số.
a. Dãy số có giới hạn 0.
-

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước,
mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết :

lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc
limun = 0 .

- Định lí 1: Cho hai dãy số (un) và (vn)

Nếu với mọi n và limvn = 0 thì limun = 0.
- Định lí 2: Nếu thì limqn = 0.
b. Dãy số có giới hạn hữu hạn.
- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0.
Khi đó ta viết : lim(un) = L hoặc limun = L hoặc . Dãy số có giới hạn là một số
thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
- Định lí 3: Giả sử limun = A, limvn = B và c là một hằng số. Khi đó :
lim(un + vn) = A + B ;
lim(un.vn) = A.B;

lim(un – vn) = A – B,

lim(cun) = cA ;

- Định lí 4:(Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn)
Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q2, …, u1.qn, … có công bội q với gọi là một cấp
số nhân lùi vô hạn.
S = u1 + u1q + u1q2 + … + u1.qn + … =.
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

5


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

c. Dãy số có giới hạn vô cực.
- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước,
mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương
đó. Khi đó ta viết :
lim(un) = hoặc limun = hoặc

- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi
số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó. Khi
đó ta viết:
lim(un) = hoặc limun = hoặc
- Định lí 5: Nếu
5. Các tổng đặc biệt.

II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.
1. Cấp số cộng
a. Định nghĩa: Dãy số (un) xác định bởi
(a, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.
- a là số hạng đầu tiên.
- d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và
gọi là dãy số không đổi.
b. Các tính chất:
Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) nếu:

Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (un) được cho bởi công thức:

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn) của cấp số cộng (un) được
cho bởi công thức :

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

6


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

2. Cấp số nhân.
a. Định nghĩa: Dãy số (un) xác định bởi

(a, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân.
- a là số hạng đầu tiên.
- q là công bội.
Đặc biệt khi q = 1 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và
gọi là dãy số không đổi.
b. Các tính chất:
Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (un) nếu:

Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân (un) được cho bởi công thức:

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn) của cấp số nhân (un) được
cho bởi công thức :

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

7


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

B. NỘI DUNG
I. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ
THỨC TRUY HỒI
Phần dãy số trong chương trình Đại số & Giải tích 11, khi đề cập đến bài
toán tìm số hạng tổng quát thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứng
minh. Phương pháp này chỉ khả thi khi chúng ta biết trước công thức số hạng
tổng quát, hoặc dự đoán được nó. Trong nhiều trường hợp chúng ta chưa biết

trước và cũng không dự đoán được công thức số hạng tổng quát thì phương pháp
trên không khả thi.
Vì vậy, phần này sẽ xây dựng cách xác định công thức tổng quát của một
số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi đặc biệt (các bài toán về dãy số chủ yếu được
cho bởi hệ thức truy hồi dạng này) dựa vào các kiến thức đã biết về cấp số cộng,
cấp số nhân và đặc biệt là cách lựa chọn các dãy số phụ thích hợp.
1. Các ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta thấy dãy số (un) là một cấp số cộng, với u1 = 3, công sai d = 2.
Áp dụng kết quả (2) ta có un = 3 + (n-1)2 = 2n + 1
Vậy un = 2n + 1 .
Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta thấy dãy số (un) là một cấp số nhân, với u1 = -2, công bội q = 3.
Áp dụng kết quả (4) ta có un = -2.3n-1
Vậy un = -2.3n-1.
2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Ở phần 1 ta thấy việc xác định số hạng tổng quát của các dãy số đã cho là
khá đơn giản khi áp dụng trực tiếp các kết quả đã có về cấp số cộng và cấp số
nhân. Tuy nhiên thực tế các bài toán chúng ta gặp hầu hết đều không đơn giản
như thế, chẳng hạn dãy số :
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

8


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Ở đây ta nhận thấy trong hệ thức truy hồi thì hệ số đi kèm u n-1 khác 1 do
đó nó không phải là cấp số cộng, đồng thời hệ số đi kèm khác 0 nên nó không là
cấp số nhân ddơn thuần.
Khi đó ta làm thế nào để xác định số hạng tổng quát của dãy số đã cho?
Sau đây ta sẽ nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:

Giải
Với bài toán này thì công việc không còn đơn giản, vì dãy số đã cho không phải
là cấp số cộng hay cấp số nhân, ta sẽ giải bài toán này với tư tưởng cố gắng đưa
dãy số đã cho về dạng một cấp số nhân.
Gọi (vn) là một dãy số sao cho un = vn – 1 (1). Suy ra v1 = 3
Và từ hệ thức truy hồi ta có :

Như vậy (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 = 3 và công bội q = 3, nên ta
có số hạng tổng quát vn=3.3n-1=3n
Thay vào (1) ta có un = 3n – 1, .
Nhận xét: Mấu chốt của cách làm trên là ta đặt u n = vn – 1, và thay vào hệ
thức truy hồi của (un) ta dễ dàng suy ra (vn) là một cấp số nhân. Từ đó suy ra kết
quả bài toán.
Vậy câu hỏi đặt ra là «tại sao lại đặt un=vn– 1?», « con số -1 từ đâu mà
có ? ». Quay lại ví dụ trên ta thấy nếu không có số « 2 » trong hệ thức truy hồi
thì dãy số đã cho là một cấp số nhân, do đó việc xác định số hạng tổng quát của
dãy số này là đơn giản. Vì vậy ta tìm cách « loại bỏ » số « 2 » để đưa dãy số đã
cho trở thành một cấp số nhân bằng cách đặt un = vn + c, thay vào hệ thức truy
hồi (*) ta có vn = 3vn-1 + 2c + 2. Ta chọn c sao cho 2c + 2 = 0, suy ra c = -1. Do
đó mà ta có cách đặt như trên ......
Tổng quát : Với cách làm như trên ta xác định được số hạng tổng quát của dãy
số (un) cho bởi:

- Nếu a = 1 thì (un) là cấp số cộng với công sai d = b, nên ta có un= + (n-1)b.
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

9


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

- Nếu , ta gọi (vn) là dãy số có các số hạng thỏa mãn un = vn + c, thay vào hệ thức
truy hồi ta có vn = avn-1 + (a-1)c + b.
+ Ta chọn c sao cho (a-1)c + b = 0 hay
+ Khi đó (vn) là một cấp số nhân với công bội q = a, số hạng đầu v1=u1 - c, tức là
v1 = .
Do đó số hạng tổng quát

Suy ra

Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 1 : Dãy số (un) cho bởi (a, b là các số thực khác 0) có số hạng tổng
quát như sau:

Như vậy ta đã giải quyết xong trường hợp b trong biểu thức truy hồi đi kèm là
hằng số, sau đây ta sẽ xét một dãy số mà b là một biểu thức f(n).
Ví dụ 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Với tư tưởng như ở ví dụ 3. Để tìm số hạng tổng quát của dãy số trên ta sẽ tìm
cách làm mất đi « 3n-2 », và đưa dãy số đã cho về cấp số nhân.
Muốn vậy ta gọi (vn) là dãy số thỏa mãn un = vn + an + b.

Khi đó ta có:
vn = 2[vn-1+a(n-1)+b]- an – b + 3n – 2
vn = 2vn-1 + (a + 3)n - 2a + b – 2
Ta chọn a, b sao cho (a + 3)n - 2a + b – 2 = 0
Như vậy ta có un = vn - 3n – 4
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

10


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

(vn) xác định bởi là cấp số nhân, do đó vn = 8.2n-1=2n+2.
Vậy un = 2n+2 - 3n – 4.
Tổng quát : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Với f(n) đa là một đa thức bậc k, ta làm như sau:
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn un = vn + g(n).
Khi đó ta có
vn = avn-1 + ag(n-1) – g(n) + f(n).
Ta lựa chọn g(n) thích hợp sao cho ag(n-1) – g(n) + f(n) = 0

Do đó từ hệ thức truy hồi ta có
un – g(n) = a[un-1 – g(n-1)]=[un-2 – g(n-2)]a2 =……=[u1 – g(1)]an-1.
Vậy un = [u1 – g(1)]an-1+ g(n).
Vấn đề ở đây là ta chọn g(n) như thế nào cho thích hợp?
-

-

Nếu a = 1 thì có bậc nhỏ hơn k (là bậc của f(n)), do đó ta chọn g(n) là
một đa thức bậc k+1, và để đơn giản ta chọn hệ số tự do bằng không. Để
xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ số của đa thức bằng 0.
Nếu thì có bậc k cùng bậc với f(n), do đó ta chọn g(n) là một đa thức bậc
k. Để xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ số của đa thức bằng
0.

*) Vậy ta có kết quả sau:
Dạng 2 : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với f(n) đa là một đa thức bậc k, a và là hằng số, ta làm như sau:
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn, un = vn + g(n), từ đó suy ra .
Ta có được un = [u1 – g(1)]an-1 + g(n).
Chú ý: Nếu a = 1 thì ta chọn g(n) là đa thức bậc k + 1 có hệ số tự do bằng 0,
còn nếu thì chọn g(n) là đa thức bậc k.

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

11


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Ta vận dụng kết quả trên để tìm số hạng tổng quát của dãy số sau đây.
Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có hệ số a = 1.
Theo kết quả trên ta có un = u1 – g(1) + g(n), với g(n) = an2 + bn là một đa thức
bậc 2 có hệ số tự do bằng 0, thỏa mãn

(2a – 4)n – a + b + 2 = 0
Do đó g(n) = 2n2. Vậy .
Tiếp theo ta sẽ xét trường hợp f(n) =
Ví dụ 6: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Tương tự các ví dụ trên.
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn un = vn + a.2n.
Khi đó ta có vn = 3vn-1 + . Chọn a = -2. Suy ra un = vn - 2n+1.
Từ đó (vn) là dãy số xác định bởi .
Như vậy (vn) là một cấp số nhân với và công bội q = 3.
Do đó vn = 3.3n-1=3n
Vậy un = 3n – 2n+1.
Tổng quát : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

a, b, x0 là hằng số, . Ta làm như sau:
Gọi (vn) là một dãy số thỏa mãn un = vn + .
Khi đó ta có
Chọn k sao cho .

Từ hệ thức truy hồi ban đầu ta có:
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

12


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

.
Vậy với .

Trường hợp ta phân tích , khi đó ta có
.
.
Vậy ta có kết quả sau :
Dạng 3 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x0 và là hằng số:
-

Nếu
Nếu ta gọi gọi (vn) là một dãy số thỏa mãn un = vn+ .

Chọn k sao cho .
Ta được

Từ Dạng 3 ta có thể xây dựng cách tìm số hạng tổng quát của dãy số ở dạng sau:
Dạng 4 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :
Với a, b, c, x0, là hằng số
Ở trên ta đã nghiên cứu cách xác định số hạng tổng quát của một số dãy số cho
bởi hệ thức truy hồi ở dạng un = f(un-1). Sau đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp
để tìm số hạng tổng quát của một vài dạng dãy số mà un = f(un-1, un-2).
Ví dụ 7: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có
Gọi (vn) là dãy số thỏa mãn .
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

13

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Suy ra (vn) xác định bởi là một cấp số nhân nên

Do đó , thay vào (*) ta có
Như vậy ta có (un) là một dãy số xác định bởi :

Đến đây đưa bài toán về dạng 3 ở trên và ta dễ dàng tìm được

Từ ví dụ trên suy ra cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:
Dạng 5 : Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x1 và x2 là hằng số và , ta làm như sau:
-

Tìm 2 số
Ta có , xét dãy số (vn) thỏa mãn , suy ra (v n) là một cấp số nhân, do đó
dễ dàng tìm được vn. Từ đó đưa về dãy số Dạng 3 và suy ra kết quả.

Ví dụ 8: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Gọi là hai số thỏa mãn

Khi đó từ hệ thức truy hồi, ta có

Đặt (vn) là dãy số xác định bởi là một cấp số nhân, do đó .
Từ (*) suy ra :

Như vậy (un) là một dãy số xác định bởi :
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

14


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Theo Dạng 3 ta có

Chú ý : Với cách làm tương tự kết hợp cả Dạng 3, 4, 5 ta sẽ xây dựng được
phương pháp tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho ở dạng sau :
Dạng 6 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x1 và x2 là hằng số và , f(n) là một đa thức ẩn n.
Dạng 7 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với a, b, x1, x2 và là hằng số và , f(n) là một đa thức ẩn n.
Các Dạng toán trên ta đã tìm được số hạng tổng quát của các dãy số mà hệ thức
truy hồi là một biểu thức tuyến tính. Sau đây ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãy
số mà hệ thức truy hồi ở dạng phi tuyến với hệ số hằng đơn giản.
Ta xét một vài ví dụ như sau :
Ví dụ 9: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải
Ta có

Đặt thì dãy số xác định bởi :

Từ đó theo Dạng 1 ta dễ dàng có được .
Vậy

Ví dụ 10: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Giải

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

15


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này lại không đơn giản như ví dụ trên nữa
vì ta thấy ở tử số có cả hệ số tự do. Vì vậy ta tìm cách làm mất đi hệ số tự do của
tử bằng cách, đặt , với t là hằng số. Thay vào (*) ta có :
Chọn t sao cho –t2 + 1 = 0

Do đó xác định bởi

Ta có:

Đặt thì dãy số xác định bởi

Từ đó theo Dạng 1 ta dễ dàng có được

Thay vào (2) ta có:

Tiếp tục thay t = 1 và vào (1) ta có:

Từ hai ví dụ trên ta có kết quả sau :

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

16


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Dạng 8: Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:
Với , a, b, p và q là hằng số, ta làm như sau:
-

Đặt , ta có :

-

Ta chọn sao cho .
Khi đó ta có :

-

Từ đây đặt , tìm được (xn) suy ra (vn) và có được (un).

II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ.
Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau xem xét một số ứng dụng rất hiệu
quả của bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Tính giới hạn của dãy số,
chứng minh tính bị chặn, tính đơn điệu của dãy số, tính tổng của một dãy số, …
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi :

Tính limun
Giải
Đặt vn = un - thì dễ dàng chứng minh được dãy số (vn) là một cấp số nhân xác

định như sau:

Do đó ta có

Suy ra

Từ đó ta được
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

17


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) thỏa mãn

a. Đặt , chứng minh (vn) là một cấp số cộng.
b. Tìm số hạng tổng quát của (un) và (vn). Từ đó tính limun và limvn.
Giải
a. Ta có

Mặt khác

Vậy (vn) là một cấp số cộng với và d = -1.
b. (vn) là một cấp số cộng do đó số hạng tổng quát của (vn) là:

Vậy

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi :

Tính

Giải
Ta có:

Đặt , ta có (vn) là dãy số xác định bởi :

Sử dụng cách giải bài toán ở Dạng 2 ta tìm được

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

18


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Vậy

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:

Số 16385 có nằm trong dãy (un) không? Nếu có thì dó là số hạng thứ mấy?
Giải
Ta có

Đặt , thì là dãy số xác định bởi , tức là một cấp số nhân do đó số hạng tổng quát
cảu nó là .
Khi đó dãy số xác định bởi:

Từ đó tìm được số hạng tổng quát của là:
Xét

Vậy 16385 là số hạng thứ 15 của dãy số
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Tìm số hạng tổng quát un
b) Tính tổng n số hạng đầu tiên Sn.
Giải
a) Từ hệ thức truy hồi ta có
Đặt , ta có dãy số (vn) là một cấp số cộng xác định bởi :

Do đó số hạng tổng quát
Như vậy dãy số (un) xác định bởi:

Suy ra , với
Sao cho

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

19


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:

b. Sn = u1 + u2 + … + un

Vậy
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un).

b) Tính tổng
(HSG Long An 2011)
Giải
a) Từ hệ thức truy hồi ta có
Đặt , thì là dãy số xác định bởi :

Từ đó dễ dàng tìm được .
Vậy ta có
b) Ta có:

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi:

Tính limun.
(HSG - TP HCM 2012-2013)
Giải
Đặt , ta có
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

20


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Chọn t sao cho
Khi đó ( là dãy số xác định bởi :

Từ (*) ta có :

Đặt , thì là dãy số xác định bởi :

Từ đó dễ dàng tìm được số hạng tổng quát của dãy số là:

Vậy

Ví dụ 8: Cho dãy số (xn) xác định bởi:

Tính
(Olympic 30/04/2006 – Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ)
Giải
Ta có
Đặt , thì là dãy số xác định bởi:

Từ đó dễ dàng suy ra là một cấp số cộng xác định bởi

Do đó ta có

Suy ra:

Vậy
Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

21


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Ví dụ 9: Cho dãy số

( un )

xác định bởi

u1 = 4


1
un+1 = 9 un + 4 + 4 1 + 2un

(

Tìm công thức số hạng tổng quát

un

)

∀n ∈ N *
.

của dãy số.
(HSG Thái Nguyên 2011 – 2012)
Giải

Đặt

xn = 1 + 2un ∀n ∈ N *

Ta có

xn ≥ 0

và

xn2 = 1 + 2un , ∀n ∈ N *

hay

xn2 − 1
un =
2

Thay vào giả thiết, ta được:
xn2+1 − 1 1  xn2 − 1

= 
+ 4 + 4 xn ÷
2
9 2

⇔ 9 xn2+1 − 9 = xn2 − 1 + 8 + 8 xn
⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + 4 )
2

Suy ra:
Hay
Đặt

( Do

xn ≥ 0 , ∀n ∈ N *

)

3n+1 xn +1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N *
yn = 3n xn , ∀n ∈ N *

Từ đó
Hay

3xn+1 = xn + 4 ∀n ∈ N *

2

. Ta có:

yn +1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N *

yn+1 = y1 + 4 ( 3n + 3n−1 + ..... + 3) , ∀n ∈ N *

yn +1 = y1 − 6 + 2.3n+1 , ∀n ∈ N *

Theo cách đặt ta có:

x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3n

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

.
22

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

xn = 2 +
Suy ra:

Do đó

1
, ∀n ∈ N *
n −1
3

1
4
1 
un =  3 + n −1 + 2 n −2 ÷ , ∀n ∈ N *
2
3
3 

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

23


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

a)

c)

e)

g)

i)

u1 = 1

*
un +1 = 3un + 2(n ∈ N )
u1 = 2

*
un +1 = un + 2n + 1( n ∈ N )
u1 = 12

*
un +1 = 5un − 2n + 9(n ∈ N )
u1 = 2

n
*
un +1 = 4un + 3 (n ∈ N )

j)

b)

d)

f)

h)

u1 = 2


1
1
*
u
=
u
+
 n +1 3 n 3 (n ∈ N )
u1 = 1

2
*
un +1 = un + n (n ∈ N )
u1 = 1

n +1
*
un +1 = 3un + 2 ( n ∈ N )

u1 = 1; u2 = 5

*
un + 2 = 5un +1 − 6un (n ∈ N )

u1 = u2 = 1


un − 2un −1 + un− 2 = 2; ∀n ≥ 3

Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un).
b) Chứng minh rằng có thể biểu diễn thành tổng của ba số tự nhiên liên tiếp

với .

Bài 3:Cho dãy số (un) xác định bởi:
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un).
b) Tìm các giá trị của n để .

Bài 4: (Đề thi OLYPIC 30 - 4 Toán 11 Lần thứ VIII - 2002)
Cho dãy số (un) xác định bởi:

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

24


“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Tìm công thức số hạng tổng quát

(x )

un

.

n

Bài 5: Cho dãy số

xác định như sau
 xn + 2 − 2 xn +1 + xn = 2

 x0 = 1, x1 = 0

Xác định số tự nhiên n sao cho

(x )

n∈ N

xn +1 + xn = 22685

n

Bài 6: Cho dãy số

xác định như sau
 xn+ 2 + 8.xn +1 + 9.xn = 0

 x0 = 2, x1 = −8

Tính giá trị của biểu thức
Bài 7: Cho dãy số

(u )
n

A = x2006 − 5.x2007 + 4

thoả mãn điều kiện

un+ 2 − 2.un +1 + un = 2
n∈ N

u0 = 1, u1 = 0

Chứng minh rằng

un

n∈ N

( n ≥ 2)

là một số chính phương.

Bài 8:(Đề thi HSG Đồng Tháp 2011)
Cho dãy số (un) xác định bởi:

Hãy xác định công thức số hạng tổng quát un.

Bài 9: (Đề thi HSG Hà Nam 2011 – 2012)
Cho dãy số (un) xác định bởi:

a) Chứng minh dãy số trên có giới hạn, tìm giới hạn đó.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

25