Dạy học đạo hàm theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN ANH

DẠY HỌC ĐẠO HÀM
THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
CHO HỌC SINH THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN ANH

DẠY HỌC ĐẠO HÀM
THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
CHO HỌC SINH THPT
Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Anh

i


LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh
sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy cô,
cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học
tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người
đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu cùng toàn thể
quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng đào tạo - trường Đại
học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý
báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quá trình học
tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các anh chị đồng
nghiệp đã luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.

Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong đề tài nghiên cứu khoa học này không
tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong Quý thầy cô, các chuyên gia, những
người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý
kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Tiến Anh

ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan ...................................................................................................................... i
Lời cảm ơn......................................................................................................................... ii
Mục lục .............................................................................................................................iii
Danh mục các chữ viết tắt trong luận văn ..................................................................... iv
Danh mục các bảng........................................................................................................... v
Danh mục hình vẽ ............................................................................................................ vi
Danh mục biểu đồ ...........................................................................................................vii
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................2
3. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................2
4. Giải thuyết khoa học..............................................................................................3
5. Cấu trúc luận văn ...................................................................................................3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..............................................4
1.1. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn......................................................4

1.1.1. Những vấn đề cơ bản về năng lực, năng lực vận dụng toán học vào
thực tiễn......................................................................................................................4
1.1.2. Vấn đề hình thành và phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực
tiễn .................................................................................................................. 8
1.2. Dạy học đạo hàm và vấn đề phát triển năng lực vận dụng toán học vào
thực tiễn thông qua nội dung đạo hàm ........................................................ 12
1.2.1. Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông ............................................. 12
1.2.2. Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông .. 13
1.2.3. Một số nét về việc dạy và học nội dung đạo hàm ở trường phổ thông hiện
nay ............................................................................................................................ 15
1.2.4. Một số biểu hiện của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong nội
dung đạo hàm ở trường THPT............................................................................... 29
1.3. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 30

iii


Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN
CHO HỌC SINH THPT ..................................................................................... 31
2.1. Định hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy
học đạo hàm ở trường THPT ................................................................................. 31
2.2. Một số biện pháp dạy học đạo hàm góp phần phát triển năng lực vận dụng
toán học vào thực tiễn ............................................................................................. 33
2.2.1. Củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm trước khi trang bị cho học sinh
cách thức giải bài toán có nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm................ 33
2.2.2. Luyện tập kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong môn Toán thông qua việc hệ
thống hóa các câu hỏi và bài tập ............................................................................ 40
2.2.3. Tổ chức các hoạt động rèn luyện phát hiện và giải quyết các bài toán có
nội dung thực tiễn bằng công cụ đạo hàm ............................................................ 63

2.2.4. Tổ chức hoạt động ngoại khóa Toán học với nội dung tìm hiểu thực tiễn,
hướng dẫn học sinh sưu tầm những tình huống thực tiễn và tập luyện xây dựng
bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết ............................................ 76
2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 81
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 83
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm..................................................................... 83
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 83
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................... 83
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 83
3.4.1. Thời gian tổ chức thực nghiệm ................................................................... 83
3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm................................................................... 84
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm........................................................................ 85
3.5.1. Đánh giá định tính ........................................................................................ 85
3.5.2. Đánh giá định lượng..................................................................................... 86
2.6. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 88
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 91
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

DH

Dạy học

ĐC

Đối chứng

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

TH

Toán học

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

Tr

Trang

TT

Thực tiễn

TXĐ

Tập xác định

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang
Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực
nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)........................................... 86
Bảng 3.2. Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút ........................ 86
Bảng 3.3. Bảng phân bố kết quả của nhóm đối tượng HS trước và sau TN 87

v


DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1. Sơ đồ quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn ........................ 11
Hình 2.1 ....................................................................................................... 48
Hình 2.2 ....................................................................................................... 49
Hình 2.3 ....................................................................................................... 49
Hình 2.4 ....................................................................................................... 64
Hình 2.5 ....................................................................................................... 65
Hình 2.6 ....................................................................................................... 66
Hình 2.7 ....................................................................................................... 75

vi


DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Trang
Biểu đồ 1.1.

Vai trò của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn.............. 17

Biểu đồ 1.2.

Sự cần thiết về việc giới thiệu ứng dụng thực tiễn của kiến
thức đạo hàm ....................................................................... 17

Biểu đồ 1.3.

Mức độ đưa ra các tình huống thực tiễn trong quá trình dạy
học ....................................................................................... 18

Biểu đồ 1.4.

Mức độ tổ chức các buổi hoạt động ngoại khóa về kiến thức
Toán học .............................................................................. 18

Biểu đồ 1.5.

Phản ứng của GV khi HS hỏi các vấn đề liên quan đến ứng
dụng toán học vào thực tiễn ................................................ 19

Biểu đồ 1.6.

Mức độ gợi động mở đầu, gợi động cơ kết thúc từ thực tiễn
của GV khi dạy học ............................................................. 19

Biểu đồ 1.7.

Mức độ vận dụng kiến thức đạo hàm cho các bài toán liên
môn ...................................................................................... 20

Biểu đồ 1.8.

Tần suất đưa các nội dung ứng dụng thực tiễn vào việc kiểm
tra, đánh giá ......................................................................... 20

Biểu đồ 1.9.

Sự cần thiết tăng cường các yếu tố vận dụng Toán học vào
thực tiễn ............................................................................... 22

Biểu đồ 1.10. Sự cần thiết về của nội dung ứng dụng đạo hàm ................ 22
Biểu đồ 1.11. Mức độ nhiệt tình của GV khi dạy học nội dung ứng dụng đạo
hàm ...................................................................................... 23
Biểu đồ 1.12. Khả năng tìm hiểu của HS về ứng dụng thực tiễn của nội dung
đạo hàm - ứng dụng đạo hàm .............................................. 23
Biểu đồ 1.13.

Nhận xét của GV về cách thức truyền đạt của giáo viên về nội
dung đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm liên quan đến thực
tiễn ....................................................................................... 24

Biểu đồ 1.14. Thái độ của HS khi tiếp xúc với bài toán thực tiễn............. 25
Biểu đồ 1.15. Khả năng giải quyết bài toán thực tiễn của HS ................... 25

vii


Biểu đồ 1.16. Mức độ hiểu bài sau khi học xong nội dung đạo hàm, ứng dụng
của đạo hàm......................................................................... 26
Biểu đồ 3.1.

Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp
TN và lớp ĐC ...................................................................... 87

viii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu
giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện dạy học. Nâng cao chất lượng
dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu
cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Giáo viên (GV) phải thiết kế
các hoạt động, tổ chức dạy học một cách thuận lợi đồng thời giúp học sinh (HS)
nắm bắt, vận dụng được kiến thức trong thời gian ngắn nhất vào thực tiễn một
cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết trong việc nâng cao
chất lượng và hiệu quả giảng dạy. Trong đó phương pháp giảng dạy là một trong
những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và học của mình,
nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ, truyền
thông.
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội
hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công
cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển.
Một trong những mục tiêu của Đảng ta về giáo dục và đào tạo trong giai đoạn
hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có
năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp
và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh,
xã hội dân chủ, công bằng, văn minh.
Một đòi hỏi mang tính nguyên tắc của nền giáo dục nước ta là “Hoạt động
giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết
hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền vào thực tiễn, giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” (Luật giáo dục 2005). Đây là
quan điểm chỉ đạo cần được quán triệt sâu sắc đối với dạy học tất cả các môn
học ở trường phổ thông, đặc biệt với môn toán là môn học công cụ, cung cấp

1


kiến thức kĩ năng và phương pháp để góp phần xây dựng nền tảng văn hoá phổ
thông của người lao động mới và hình thành mối liên hệ qua lại giữa kĩ thuật lao
động sản xuất, cuộc sống và toán học.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung, chương trình sách
giáo khoa của Bộ Giáo dục & Đào tạo đã xác định rõ: Chú ý dạy học theo hướng
sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào
thực tiễn; tạo cơ sở để HS học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề Toán
học gắn vào thực tiễn. Tuy nhiên đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả
về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học, vì vậy chúng tôi chọn
đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Dạy học đạo hàm theo hướng phát triển
năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích
Thiết kế nội dung và biện pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển
năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT, góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học môn Toán ở trường phổ thông.
Nhiệm vụ
- Nghiên cứu một số vấn đề cơ sở lý luận về dạy học theo định hướng phát
triển năng lực HS; năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.
- Điều tra, tìm hiểu thực tế dạy học và đạo hàm; thực trạng tình hình phát
triển năng lực vận dụng toán vào thực tiễn cho HS ở trường THPT.
- Xây dựng nội dung và biện pháp dạy học đạo hàm theo hướng phát triển
năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các
biện pháp sư phạm đã đề xuất.
3. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
2


- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc dạy học nội
dung đạo hàm ở trường THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát, điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm và
xử lý số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lượng.
4. Giải thuyết khoa học
Trong dạy học nội dung đạo hàm nếu giáo viên quan tâm đến việc khai
thác nội dung kiến thức và xây dựng, sử dụng hệ thống câu hỏi, bài tập có nội
dung thực tiễn một cách hợp lí thì sẽ góp phần nâng cao năng lực vận dụng Toán
học vào thực tiễn cho học sinh và thực hiện mục tiêu giáo dục môn Toán ở trường
THPT.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính
của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp dạy học đạo hàm góp phần phát triển năng
lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
1.1.1. Những vấn đề cơ bản về năng lực, năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn
a) Khái niệm năng lực
Thông thường, chúng ta thường quan niệm rằng: Một người có năng lực
nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó
và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn người khác cùng tiến hành hoạt động đó
trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Dưới đây là một số cách diễn
đạt và tiếp cận về khái niệm năng lực:
- Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên
sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao.
- Theo nhà tâm lý học người Nga, V.A.Cruchetxki thì cho rằng: “Năng
lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người
đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện
thành công hoạt động đó”. [3-Tr.15]
- Theo tác giả Đặng Thành Hưng: “Năng lực là một loại tổ hợp những đặc
điểm tâm lí của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định
và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó”. [8]
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định
của con người. Năng lực này chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải
quyết những yêu cầu đặt ra.
- Theo tác giả Bùi Văn Nghị: “Năng lực của học sinh phổ thông không chỉ
là khả năng tái hiện tri thức, thông hiểu tri thức, mà quan trọng là khả năng
hành động, ứng dụng, vận dụng tri thức để giải quyết những vấn đề của cuộc
sống, càng sáng tạo càng tốt”. [10]

4


Từ những khái niệm trên ta thấy được Năng lực đều có điểm chung là tổ
hợp những đặc điểm tâm lý và khả năng của con người thực hiện tốt một nội
dung công việc nào đó.

b) Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết
một bài toán cụ thể có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện.
Qua đó, người học được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm
vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả trong
hoạt động đó.
Năng lực giải toán là một thành phần trong năng lực toán học, các yếu tố
cấu thành của năng lực giải toán được cụ thể hóa từ các yếu tố cơ bản sau:
- Nền kiến thức chắc chắn có được qua quá trình thu thập thông tin toán học.
- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của
năng lực giải quyết vấn đề.
- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao
trong lao động giải toán.
- Khả năng huy động kiến thức để giải quyết một số bài toán cụ thể, khả
năng vận dụng thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hóa,
trừu tượng hóa để xử lý thông tin toán học đã nhận được.
- Sau khi lĩnh hội kiến thức thu được thì khả năng suy luận, lập luận trở
lên hợp lý.
- Khả năng tự giác toán học, tổng hợp, khái quát một hiện tượng toán học.
Những yếu tố trên có quan hệ mật thiết, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành
một hệ thống duy nhất, một cấu trúc trọn vẹn của năng lực giải toán.
Bên cạnh đó, năng lực giải toán gồm những thành phần cơ bản như: [4]
- Năng lực dự đoán vấn đề.
- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.

5


- Năng lực quy lạ về quen, nhờ biến đổi về dạng tương tự.

- Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau.
- Năng lực diễn đạt bài toán theo nhiều hướng khác nhau.
- Năng lực phân chia trường hợp.
- Năng lực suy luận logic.
- Năng lực khái quát hóa.
c) Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn được đúc kết qua khả năng thực
hiện các hoạt động vận dụng toán học và có thể rèn luyện được nhờ sự bền bỉ
trong hoạt động của người làm toán. Như vậy vận dụng toán học vào thực tiễn là
những hoạt động rất cần thiết trong đời sống.
Theo PISA, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (Mathematical
literacy) là: “Khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong
cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết vấn đề của thực
tiễn, đáp ứng nhu cầu của đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là
khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu
quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các
tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và
hoạt động”. [8, Tr. 84]
Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn theo PISA: “Không đồng nhất
với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ
thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học,
vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận,
lập luận, khái quát hóa và phát hiện được những tri thức toán học ẩn dấu bên
trong các tình huống, các sự kiện”. [8, Tr. 84]
Xem xét cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là một vấn đề
phức tạp. Theo [11, Tr. 25], vấn đề này được trình bày trên cơ sở quan điểm của
lý thuyết thông tin để thấy được một số biểu hiện của người có khả năng vận
dụng toán học vào thực tiễn, như là:
6

- Khả năng thu, nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: Đó là khả
năng nhận thức những yếu tố định tính về hình dạng, kích thước, vị trí của các
đối tượng trong thực tế, trong không gian.
- Khả năng ước lượng trong xử lý các thông tin toán học từ tình huống
thực tiễn: Khả năng này được biểu hiện trong nhiều hoạt động tính toán thực tế.
Đó là khả năng ước lượng trong tính giá trị các đại lượng như khoảng cách, độ
cao, diện tích,...
- Khả năng chuyển đổi thông tin giữa toán học và thực tiễn: Là khả năng
chuyển đổi thông tin toán học có trong thực tiễn từ cách diễn đạt bằng lời sang
diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học để có được các dữ kiện toán học và ngược lại
khi giải quyết xong bài toán có thể chuyển kết quả bài toán sang dạng diễn đạt
bằng ngôn ngữ thông thường.
- Khả năng áp dụng các mô hình toán học vào các tình huống thực tiễn:
Là khả năng vận dụng kiến thức toán học sẽ phát hiện, nhận biết được nhiều tình
huống thực tiễn ăn khớp với những kiến thức toán, các mô hình đã biết, nhận
dạng được kiến thức toán học trong các tình huống thực tiễn khác nhau.
- Khả năng vận dụng tri thức của các môn Toán cơ bản để giải các mô hình
toán học của tình huống thực tiễn: Là khả năng dựa vào các tình huống thực tiễn
xây dựng được các mô hình toán học, việc tiếp theo là chủ thể phải xác định được
kiến thức nào của môn Toán cơ bản được vận dụng để giải quyết mô hình toán
học có liên quan.
- Khả năng thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn: Là khả
năng phụ thuộc vào nhận thức của chủ thể về những quan hệ toán học giữa các
đối tượng tham gia trong tình huống toán học và độ linh hoạt tư duy của họ trong
hoạt động liên hệ các yếu tố toán học và các yếu tố thực tiễn để thiết lập một mô
hình toán học cụ thể.
- Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tiễn:
Là khả năng lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tiễn là

7


một thuộc tính tâm lý thường có trong các hoạt động vận dụng toán học vào thực
tiễn và góp phần để hoạt động này thành công. Biểu hiện của ý thức tối ưu hóa
là ở chỗ chủ thể luôn luôn có ý thức và thói quen lựa chọn phương án tốt nhất
theo một nghĩa nào đó để thực hiện khi đối mặt với tình huống thực tiễn.
Từ những phân tích trên, chúng tôi quan niệm năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn là khả năng giải thích những vấn đề, hiện tượng trong toán học có
liên quan đến thực tiễn, giải quyết các vấn đề trong thực tiễn và các bài toán do
thực tiễn đặt ra.
1.1.2. Vấn đề hình thành và phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
a) Quan niệm về ứng dụng toán học vào thực tiễn
Theo từ điển Bách khoa quốc tế về giáo dục toán học thì ứng dụng của
toán học nghĩa là sử dụng những quan niệm hay quy tắc toán học để mô tả những
tình huống của cuộc sống hay để giải toán. Từ “ứng dụng” trong toán học được
hiểu theo nghĩa bất kỳ công trình nghiên cứu nào đều có vận dụng các lý thuyết
toán học vào giải quyết các đối tượng trong thực tiễn.
Các ứng dụng toán học có thể chia thành ba loại như: Những ứng dụng
trong nội bộ môn Toán, ứng dụng trong các môn học khác và ứng dụng trong
các lĩnh vực đời sống.
Các ứng dụng trong nội bộ môn Toán nhằm lĩnh hội các kiến thức và kỹ năng
(sử dụng cái đã biết, cái đã có để tìm hiểu cái chưa biết) hoặc là hoàn thành quy
trình nhận thức, đồng thời chuẩn bị cho việc nghiên cứu những vấn đề mới đặt ra
(ứng dụng các kiến thức và kỹ năng trong việc giải bài tập toán học).
Các ứng dụng trong những lĩnh vực ngoài toán học được thực hiện dưới
các dạng như: Thực hiện các đề tài được quy định trong các buổi ngoại khóa,
thực hành hoặc làm các bài tập có nội dụng thực hành; vận dụng kiến thức, kĩ
năng, phương pháp toán học để nghiên cứu những vấn đề hoặc bài tập của môn
học khác, trước hết và gần gũi nhất là các môn Khoa học tự nhiên; ứng dụng vào

việc giải quyết các công việc trong đời sống hàng ngày.

8


Nói về ứng dụng toán học được thống nhất theo quan điểm là khi nghiên
cứu đến một đối tượng hay một khách thể nào đó trong thực tiễn thì luôn cần đến
sự trợ giúp của các kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học để giải quyết.
Chẳng hạn: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm
được ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân được ứng dụng để tính diện
tích, thể tích, vận dụng tổ hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri
thức về hình học không gian trong kĩ thuật...Trong nội bộ môn Toán, cần cho HS
làm toán có nội dung thực tiễn như giải toán bằng cách lập phương trình, bài toán
cực trị, đo khoảng cách không tới được...
b) Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn
Theo Nguyễn Bá Kim [9, tr.35 – 36]: Một trong những đặc điểm của môn
Toán là tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Tính trừu tượng cao
độ chỉ che lấp chứ không làm mất đi tính thực tiễn của Toán học. Tính trừu tượng
cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của đời sống; ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau
như Vật lý, Hóa học, Thiên văn học, Địa lý, Sinh học, Ngôn ngữ học,... và trở
thành công cụ có hiệu lực của các ngành đó.
Để đạt được mục tiêu đào tạo con người mới, toàn bộ hoạt động giáo dục,
nói riêng là việc dạy học các môn, phải thực hiện theo nguyên lí “học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo
dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”.
Một trong những phương hướng thực hiện nguyên lý giáo dục trong môn
Toán được Nguyễn Bá Kim trình bày trong tài liệu [9, tr.62 – 66] đó là mối liên
hệ giữa Toán học và thực tiễn. Thông qua cái vỏ trừu tượng của toán học, phải
làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể là:

- Làm rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu
đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt trên
bờ sông Nin (Ai cập), v.v...

9


- Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của toán học: Khái niệm véc-tơ phản ánh
những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng
hạn vận tốc, lực,... khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng
nhưng khác nhau về độ lớn v.v...
- Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của toán học: Ứng dụng lượng giác để
đo những khoảng cách không tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc
tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích,... Muốn vậy, cần tăng
cường cho HS tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lý
thuyết cũng như làm bài tập.
Người thầy cần tránh tư tưởng máy móc trong việc liên hệ toán học với
thực tiễn, phải thấy rõ mối liên hệ này có đặc thù so với các môn học khác, đó là
tính phổ dụng, tính toàn bộ và tính nhiều tầng.
Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính phổ dụng, tức là cùng một
đối tượng toán học (khái niệm, định lí, công thức,...) có thể phản ánh rất nhiều
hiện tượng trên những lĩnh vực rất khác nhau trong đời sống. Chẳng hạn hàm số
𝑦 = 𝑎𝑥 có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện tích của một tam giác với đường
cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó, giữa quãng đường đi được với thời
gian trong một chuyển động đều khi cho trước vận tốc, giữa hiệu điện thế với
cường độ dòng điện khi cho trước điện trở v.v...
Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính toàn bộ. Muốn thấy rõ ứng
dụng của toán học, nhiều khi không thể xét khái niệm, từng định lí riêng lẻ mà
phải xét toàn bộ lý thuyết, toàn bộ lĩnh vực. Chẳng hạn, khó mà thấy được ứng
dụng trực tiếp của định lí “Không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2”, nhưng

ý nghĩa thực tế của định lí này là ở vai trò của nó trong việc xây dựng số thực,
mà toàn bộ lĩnh vực này là cơ sở để hình thành giải tích toán học, một ngành có
nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn có tính nhiều tầng. Như ta đã biết,
toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau,

10


Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng
vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu tượng hóa
những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Do vây, từ toán học tới thực tế nhiều khi
phải qua nhiều tầng. Ứng dụng của một lĩnh vực toán học được thể hiện có khi không
trực tiếp ở ngay trong thực tế mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn nó. Giải phương
trình là một lĩnh vực gần thực tế, ứng dụng của nó đã được thấy rõ ràng. Khảo sát
hàm số có khi giúp ta giải phương trình, như vậy, khảo sát hàm số cũng là có ứng
dụng thực tế. Đạo hàm là một công cụ khảo sát hàm số, điều đó cũng là một biểu hiện
của ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm.
Tương tự như vậy, ứng dụng của toán học nhiều khi thấy rõ ở những môn
học khác gần thực tế hơn, chẳng hạn như Vật lí, Hóa học,... Làm việc với những
ứng dụng của toán học trong những môn học này cũng là một hình thức liên hệ
toán học với thực tế, đồng thời cũng là góp phần làm rõ những mối liên hệ liên
môn.
c) Quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn
Theo [2, tr.10 - 11], quy trình vận dụng Toán học vào thực tiễn được chia
thành 5 bước và có thể biểu diễn theo sơ đồ sau:
Mô hình
(b2)

(b1)

Tình huống

Bài toán

thực tiễn

toán học
(b3)

thực tiễn
(b5)

(b4)

Lời giải
bài toán toán học

Hình 1.1. Sơ đồ quy trình vận dụng toán học vào thực tiễn
Nói “Toán học hóa một tình huống thực tiễn” thực chất là nói đến việc
Toán học hóa bài toán thực tiễn nảy sinh từ tình huống thực tiễn và sẽ là thực
hiện cả hai bước (b1) và (b2) trong quy trình ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Trên sơ đồ thể hiện đầy đủ các bước của một quy trình vận dụng Toán học

11


vào thực tiễn phổ biến: Vận dụng Toán học để giải quyết một tình huống thực
tiễn thông qua giải quyết bài toán thực tiễn. Cũng có những quy trình vận dụng
Toán học vào thực tiễn không gồm đủ các bước hay không thể hiện rõ thành các
bước như vậy. Chẳng hạn trường hợp đã có sẵn bài toán thực tiễn thì quy trình

vận dụng Toán học vào thực tiễn chỉ còn các bước (b2), (b3), (b4) trong đó bước
(b2) là bước Toán học hóa bài toán thực tiễn đó, trường hợp sử dụng biểu đồ đoạn
thẳng (hay hình quạt) để biểu diễn các số liệu thực tiễn nào đó sẽ không có bước
(b1) và trường hợp vận dụng ngôn ngữ Toán học để diễn đạt một nội dung thực
tiễn đời sống (hay một nội dung thuộc một môn học khác) lại không được phát
biểu thành một bài toán.
Trong dạy học ở THPT hiện nay, hầu như HS chỉ được rèn luyện vận dụng
TH trong các tình huống thực tiễn dưới dạng đã được phát biểu sẵn thành một bài
toán thực tiễn. Như vậy, mặc dù vẫn được coi là rèn luyện kỹ năng Toán học hoá
tình huống thực tiễn, nhưng thực chất chỉ là rèn luyện bước (b2). Các tình huống
thực tiễn để rèn luyện bước (b1) còn ít được quan tâm xây dựng và khai thác.
Các ý tưởng và các bước trong quy trình sẽ được trình bày trong chương
2 của luận văn để thiết lập và phân tích rõ hơn về 4 biện pháp.
1.2. Dạy học đạo hàm và vấn đề phát triển năng lực vận dụng toán học vào
thực tiễn thông qua nội dung đạo hàm
1.2.1. Nội dung đạo hàm ở trường phổ thông
Trước đây, nội dung đạo hàm được học trọn vẹn trong Giải tích 12. Ngày
nay, phần Lý thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và giải tích 11
để kịp thời cho việc học các bộ môn khác như Vật lí, Hóa học,...
Ở đây, HS được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một từ các bài
toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và các
công thức đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất. Tiếp đến là đạo hàm cấp hai được
đưa ra nhằm giúp cho việc hiểu bản chất và cách tính toán một khái niệm quan

12


trọng của Vật lí là gia tốc. Ngoài ra, định nghĩa Vi phân cũng được đưa ra nhằm
chuẩn bị cho việc học Tích phân ở Giải tích 12.
Nội dung “Ứng dụng đạo hàm” ở chương đầu của Giải tích 12, trong

chương này ứng dụng của đạo hàm được trình bày qua một số bài toán như: Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số hay thông qua công cụ đạo
hàm để tính diện tích, thể tích của một số vật thể.
Trong những năm gần đây việc dạy học bài tập ứng dụng đạo hàm là khá
phổ biến, do các bài tập này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HS giỏi, đề
thi đại học, cao đẳng. Bài tập về phần này rất đa dạng và phong phú. Hơn nữa, với
hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay thì những bài toán về ứng dụng của đạo
hàm lại xuất hiện với tuần suất khá lớn. Kể đến trong các đề thi Đại học các năm
như: 2007 (câu 2 ý 2, khối B, D), 2010 (câu 5, khối A), 2011 (câu 5, khối D), 2013
(câu 3, khối A), 2017 (câu 12, câu 22, khối A, B)...
1.2.2. Yêu cầu, mục đích của nội dung đạo hàm đối với học sinh phổ thông
Đạo hàm là chương quan trọng đối với lớp 11. Việc học tốt chương này
để làm nền tảng cho các kiến thức liên quan đến lớp 12, ôn thi Đại học cũng như
việc học Toán tại các trường chuyên nghiệp sau này. Do vậy, giáo viên cần lưu
ý một số vấn đề khi dạy lý thuyết và bài tập về đạo hàm - ứng dụng của đạo hàm
như sau:
+ Nắm vững định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một
khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng.
+ Nắm được phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa, công thức của
một số hàm số thường gặp.
+ Hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
+ Nắm được ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn, khảo sát, vẽ đồ thị
hàm số.
+ Cách tính đạo hàm cấp cao của hàm số.
+ Giáo viên cần đưa ra các ví dụ minh họa, trong một số ví dụ, GV cần chỉ
rõ các bước thực hiện. Giáo viên nêu những chú ý cần thiết hoặc những sai lầm

13

thường gặp khi giải toán và trong mỗi ví dụ đó có thể đưa ra nhiều cách giải theo
nhiều hướng khác nhau để HS hiểu sâu kiến thức. Đặc biệt các bài toán có nội
dung thực tiễn.
+ Cho HS làm các bài tập phân theo từng dạng phải đảm bảo tính linh hoạt
cho từng đối tượng HS, bám sát nội dung đã học và không loại trừ các kiến thức
nâng cao.
+ Cho HS thực hiện luyện tập các bài toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho
HS kĩ năng biến đổi thành thạo, thực hiện linh hoạt các thao tác trong giải toán
ứng dụng đạo hàm nói riêng và giải toán nói chung.
Cụ thể hơn, việc dạy học ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 nhằm đạt được các
mục đích và yêu cầu sau:
Về kiến thức:
HS nắm được:
- Quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.
- Khái niệm GTLN, GTNT của hàm số và cách tìm.
- Khái niệm cực trị và quy tắc tìm cực trị của hàm số.
- Khảo sát hàm số: Hàm bậc 3, bậc 4, hàm phân thức hữu tỉ.
- Giải PT, BPT, HPT, biện luận số nghiệm của PT, BPT, HPT hoặc chứng
minh bất đẳng thức nhờ ứng dụng của đạo hàm.
- Thông qua nội dung đã học, HS sử dụng kiến thức đã tiếp thu được để
vận dụng vào giải các bài toán có ở các môn học khác, cũng như các bài toán có
tính thực tế.
Về phương pháp:
GV cần tổ chức cho HS học tập, trong hoạt động và bằng hoạt động tích
cực chủ động sáng tạo. GV tùy theo đối tượng HS và điều kiện thực tế mà sử
dụng các phương pháp dạy học khác nhau như: Phương pháp dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học tự học, dạy học khám phá, dạy học
hợp tác hay đàm thoại phát hiện.

14