TÍNH NHANH cực TRỊ số PHỨC CASIO by BH HK

TÍNH NHANH CỰC TRỊ SỐ PHỨC
DẠNG ĐOẠN THẲNG VÀ ELIP
Bài viết này vận dụng khả năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết bài toán max – min với một dạng bài
toán đã từng xuất hiện trong đề tham khảo của BGD và các dạng toán mở rộng.
Xét bài toán: z  z1  z  z2  k . Tìm max min của P  z  z3
Khi đó ta sẽ có các trường hợp sau:
-

Nếu z1  z2  k thì ta có quỹ tích của z là một đoạn thẳng.

-

Nếu z1  z2  k thì ta có quỹ tích của z là một elip (chưa chuẩn hóa).

-

Nếu z1  z2  k ta không xét đến trường hợp này.

Để biết được bài toán thuộc dạng nào thì trước tiên ta phải kiểm tra trước z1  z2

Bài toán 1: Quỹ tích là đoạn thẳng
Ta xét lại bài toán: z  z1  z  z2  k . Tìm max min của P  z  z3
Khi đó: MA  MB  k với M là điểm biểu diễn số phức z vào M thuộc AB và nằm giữa A và B , A là điểm
biểu diễn z1 , B là điểm biểu diễn z2

Quy trình thực hiện: Tính toán trong môi trường số phức w2
-

Bước 1: Gán các số phức z1 , z2 , z3 lần lượt vào các biến A, B, C trong máy tính. Quy ước z1  z2

-

Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k (Bước này để kiểm tra là dạng nào).

-

ax2  b  y1
Bước 3: Viết phương trình đoạn thẳng AB . Sử dụng nhanh w51 giải hệ 
với
ax2  b  y2
z1  x1  y1i, z2  x2  y2i . Khi đó:



max P  z2  z3
Nếu A, B cùng nằm về một bên của Oy thì 
min P  z1  z3



max P  z2  z3
Nếu A, B nằm về hai bên của Oy thì 
min P  dC  AB

Một bài toán tương tự z  z1  z  z2  k . Tìm max min của P  z  z3
Khi đó: MA  MB  k thì khi đó M không còn thuộc đoạn AB nữa nên sẽ không tồn tại max . Khi đó
min P  z2  z3


Xét cái ví dụ:
VD 1. [Đề MH lần 3 – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi M , m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  1  i . Tính M  m
13  73

A.

B. 5 2  73

C.

5 2  2 73
2

D.

5 2  73
2

Vào w2 gán lần lượt các số phức z1  2  i  A, z2  4  7i  B, z3  1  i  C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 . Ở đây ta thấy z1  z2  k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng.

max P  z2  z3
Để ý: hai điểm A, B nằm về hai bên của Oy thì 
min P  dC  AB
Tìm max:

Tìm min:
Phương trình đoạn thẳng AB : x  y  3  0  min P  dC  AB .
Nhập

X Y  3
r1=p1=
2

Vậy khi đó ta có:

Chọn C.


VD 2. [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  3  2i  5. Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2i . Tính M  m
5  5 10
5

A.

B.

10  5

C. 2 10  5

D.

2  13

Vào w2 gán lần lượt các số phức z1  1  i  A, z2  3  2i  B, z3  2i  C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 . Ở đây ta thấy z1  z2  k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng.



max P  z2  z3
Để ý: hai điểm A, B cùng nằm về một bên của Oy thì 
min P  z1  z3

Tìm max:

Tìm min:

Vậy khi đó ta có:

Chọn B.


VD 3. [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  2i  z  1  3i  34. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z 1 i
A. 2

B. 3

D. 4

C. 1

Vào w2 gán lần lượt các số phức z1  1  i  A, z2  3  2i  B, z3  2i  C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 . Ở đây ta thấy z1  z2  k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng.

Tuy nhiên, ta phải để ý rằng bài toán này có dạng MA  MB  k cho nên M không còn thuộc đoạn AB nữa
nên sẽ không tồn tại max . Khi đó min P  z2  z3

Chọn D.

Vận dụng:
Câu 1. [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  3  2i  5. Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m
A.

5  5 13
5

B.

5  5 13

C.

2  13

D.

2  2 13

Câu 2. [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z  2  3i  2 5. Gọi M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m
A.

1C

5  5 13
5

2A

B.

5  5 13

C.

2  13

D.

2  2 13


Chính tắc hóa phương trình elip – xoay elip về dạng chuẩn u  a  u  a  2c
Ta xét bài toán: z  z1  z  z2  k . Với z1  z2  k thì ta có quỹ tích của z là một elip (chưa chuẩn hóa).
Ta tiến hành chuẩn hóa elip để về elip chuẩn. Với một elip chuẩn ta thường có:
Tâm đối xứng là O  0;0  hai tiêu điểm F1  c;0  , F2  c;0  thỏa mãn E : MF1  MF2  2a
x2 y 2
F1F2  2c  z1  z2  2c  với a  c . Phương trình chính tắc 2  2  1.
a
b

Đặt z 

z z
z z 
u

 1 2  u  z1  z2  z  1 2    EC  : u  2c 2  u  2c 2  4ac
2
2 
z1  z2


-

Bước 1: Gán các số phức z1 , z2 lần lượt vào các biến A, B trong máy tính.

-

Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k

-

Bước 3: Tính z1  z2 và tâm elip:

-

Bước 4: Tính a 

-

z z
u

A B
khi đó ta có: z 
 1 2
2
2
z1  z2

A B
k
, c
2
2
Bước 5: Suy ra elip.

VD. Chuyển elip sau về dạng chính tắc: z  3  4i  z  1  2i  8
Gán các số phức z1  3  4i  A, z2  1  2i  B và kiểm tra z1  z2  k

Tính z1  z2 và tâm elip:

A B
2

Suy ra z 

u
1 i
4  6i

Ta có: a 

8
 4, c  13 . Khi đó chuẩn hóa elip ta được.
2

 EC  : u  2c2

 u  2c2  4ac  u  26  u  26  16 13.

 zz

1

 z  z2  k  ,


Làm nhanh hơn nữa ta cần nhớ cách sau:

z z

z z

Elip sau khi chuẩn hóa sẽ có dạng EC : u  z1  z2  1 2  z1   u  z1  z2  1 2  z2   k z1  z2
 2

 2

Ta vẫn gán Gán các số phức z1  3  4i  A, z2  1  2i  B và kiểm tra z1  z2  k

z z


Tính z1  z2  1 2  z1 
 2


Bấm: qcq22QzpQx)(aQz+Qx$2$pQz)=

Tính k z1  z2
Bấm: 8qcq22QzpQx)=

Khi đó ta có u  26  u  26  16 13 là phương trình elip đã được chuẩn hóa.
Cách trên chỉ có ba bước bấm hoàn toàn, không cần nhiều.

Việc xoay elip về dạng chuẩn, sẽ giúp ta dễ dàng đưa về phương trình elip chính tắc – dạng mà chúng ta quen
thuộc hơn rất nhiều. Đồng thời xoay elip cũng là một cách để giải quyết bài toán max – min trong elip sẽ được
đề cập phần sau đây.

Vận dụng:
Câu 1. Chuẩn hóa elip sau: z  2  i  z  2  i  2 10.
Câu 2. Chuẩn hóa elip sau: iz 

2
2
 iz 
 4.
1 i
1 i

Đáp án:
Câu 1. u  10  u  10  20 2

Câu 2. u  4  u  4  8 2


Bài toán 2: Quỹ tích là elip
Xét bài toán: z  z1  z  z2  k . Tìm max min của P  z  z3
Với z1  z2  k thì ta có quỹ tích của z là một elip.
Quy trình giải:
Cách 1: Chuẩn hóa elip

-

z z

u  z1  z2  1 2  z3 
 2

Bước 1: Chuẩn hóa elip về dạng chuẩn. Chuẩn hóa môđun cần tính P 
k .z1  z2

Bước 2: Viết phương trình elip dạng chính tắc.
Sau khi chuẩn hóa elip sẽ về dạng chuẩn: z  c  z  c  2a
Ta có a, c

a  c

và b  a 2  c 2

x2 y 2

 1 Chính là phương trình elip chính tắc cần tìm. Giả sử với a là nữa độ dài

a 2 b2
trục lớn nên max z  a , b là nửa độ dài trục bé nên min z  b

Khi đó ta thu được:

-

Bước 3: Tìm max – min.
z z

u  z1  z2  1 2  z3 
2


Từ P 
kết hợp với
k .z1  z2


max z  a


min z  b

a

max P 
k . z1  z2



b
min P 

k . z1  z2


Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Quy trình thực hiện: Tính toán trong môi trường số phức w2
-

Bước 1: Gán các số phức z1 , z2 , z3 lần lượt vào các biến A, B, C trong máy tính.

-

Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k (Bước này để kiểm tra là dạng elip).


-

-


a 


Bước 3: Tính các đại lượng c 

b 



Bước 4: Xét max – min

k
2
A B
2
a2  c2




max z  a
Đối với z : 

min z  b




A B
max z  z3  IC  a  2  C  a

Đối với z  z3 : 
min z  z  IC  a  A  B  C  a
3

2

VD 1. [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  z  1  2i  8. Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  i .
A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Cách 1:
Gán các số phức z1  3  4i  A, z2  1  2i  B, z3  1  i  C

 A B

u  A B
C
u
 2

Chuẩn hóa elip: u  26  u  26  16 13 . Chuẩn hóa môđun P 

k.A  B
2 13
Viết phương trình elip chính tắc:
Ta có: a 





16 13
 8 13, c  26 8 13  26  b 

2

8 13 

2

 26 2  2 39

x2
y2

 1  max u  8 13 .
Suy ra phương trình elip cần tìm là:
832 156
 max P 

max u
2 13



8 13
 4 . Chọn A.
2 13

Cách 2:
Vẫn gán các số phức vào các biến như trên.
Kiểm tra: z1  z2  k


a 


Tính c 

b 



k
2
A B

a  4

 c  13
2

b 3
2
2

a c

Khi đó: max z  1  i  IC  a 

A B
 C  a  0  4  4 . Chọn A
2

VD 2. [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn 2  z 1  i   2  z 1  i   4 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m
A. M  m  4  2

B. M  m  2  2

C. M  m  2  2 2

Chia cả hai vế cho 1  i : 2  z 1  i   2  z 1  i   4 2  z  1  i  z  1  i  4
Gán các số phức vào các biến: z1  1  i  A, z2  1  i  B
Kiểm tra: z1  z2  k


a 


Tính c 

b 



k
2
A B

a  2

 c  2

2

b  2
a2  c2

max z  a  2
 M  m  2  2. Chọn B.
Khi đó: 
min z  b  2

D. M  m  4  2 2


Vận dụng:
Câu 1. [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2  i  2 10. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của z  6  3i . Tính M 2  m2
B. 60

A. 3 10

D. 60 2

C. 4 5

Câu 2. [THCN – ĐHTN] Cho số phức z thỏa mãn iz 

2
2
 z
 4. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

1 i
i 1

nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M .m
A. M .m  1

Đáp án: 1D

B. M .m  2

C. M .m  2 2

D. M .m  2 3

2C

Ý tưởng CASIO: Bình Hoàng (Đoạn thẳng) và Hiura Kirina (Dũng – Elip)
Rewrite: Bình Hoàng.

Tài liệu tham khảo

-

Tư duy siêu nhanh giải Casio max min số phức

-

Phát triển thêm một tẹo đề minh họa lần 3 số phức

Link driver: />Link driver: />

Trong quá trình gõ lại không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong bạn đọc phát hiện và góp ý! Xin cảm ơn!