ví dụ và bài tập phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1012.1 KB, 164 trang )
Mục lục
Chủ đề 1.
Phương trình quy về bậc hai
2
1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Chủ đề 2.
Phương trình chứa căn
35
2.1 Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2 Sử dụng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.4 Phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2.5 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.7 Sử dụng hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.8 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.9 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Chủ đề 3.
Bất phương trình
130
3.1 Giải bất phương trình nhờ tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Chủ đề 4.
Hệ phương trình
137
4.1 Biến đổi hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Sử dụng phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Hệ phương trình đối xứng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Hệ phương trình phản xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Tài liệu tham khảo
168
1
Chủ đề 1
Phương trình quy về bậc hai
1.1
Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:
1)
1
1
2
;
+
=
( x + 2)2 ( x − 4)2 9
Hướng dẫn. Đặt t =
2)
Đáp số. 1; 1 − 3 3; 1 + 3 3 .
( x + 2) + ( x − 4)
= x − 1.
2
1
4
+
= 5;
2
(2 x − 3)
(4 x − 7)2
Đáp số. 2;
5
.
4
Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng
1
3
4 x−
2
2
+
1
7
4 x−
4
2
= 5.
Đặt
x−
t=
3
7
+ x−
2
4 = x − 13 .
2
8
Với phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c, ta đặt
t=
( x + a) + ( x + b )
a+b
= x+
.
2
2
Chú ý
1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ;
2) (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 .
Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:
1) ( x − 6)4 + ( x − 8)4 = 16;
Đáp số. {6; 8}.
2
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
3
2) ( x − 2)4 + ( x − 4)4 = 16;
Đáp số. x = 2 ∨ x = 4.
3) ( x − 1)4 + ( x − 3)4 = 16.
Đáp số. x = 1 ∨ x = 3.
Phương trình có dạng
( x + a) · ( x + b) · ( x + c) · ( x + d ) = A,
với a < b < c < d và a + d = b + c. Ta đặt
t=
( x + a) + ( x + b ) + ( x + c ) + ( x + d )
a+b+c+d
= x+
.
4
4
Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:
1) x · ( x + 1) · ( x − 1) · ( x + 2) = 24
Đáp số. {−3; 2}.
2) ( x − 4) · ( x − 5) · ( x − 6) · ( x − 7) = 1680;
Đáp số. {−1; 12}.
3) (12 x − 1) · (6 x − 1) · (4 x − 1) · (3 x − 1) = 5;
Đáp số. −
1 1
; .
12 2
Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng
x−
1
1
1
5
1
· x− · x− · x−
=
.
12
6
4
3
3 · 4 · 6 · 12
Phương trình có dạng
(ax2 + b 1 x + c)(ax2 + b 2 x + c) = dx2 ,
c = 0.
• Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình.
• Chia phương trình cho x2 , ta được
ax + b 1 +
c
c
· ax + b 2 +
= d.
x
x
c
x
Đặt t = ax + .
Chú ý. Ta cũng có thể đặt
t = ax2 +
Bài tập 1.4.
1
Giải các phương trình sau:
1) ( x − 2)( x − 3)( x − 6)( x − 9) =
1 Trần
b1 + b2
x + c.
2
Văn Toàn
45 x2
.
4
Đáp số. x =
3
∨ x = 12.
2
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
4
2) ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 8) =
10 2
x .
9
Đáp số. x =
3) 2 x2 − 3 x + 1 2 x2 − 4 x + 1 =
8
1
1
∨ x = 3 ∨ x = 14 − 2 31 ∨ x = 14 + 2 31 .
3
3
3
3 x2
;
4
Đáp số. x =
1
∨ x = 2.
4
4) ( x − 1) · ( x − 2) · ( x − 6) · ( x − 12) = 6 x2 ;
Đáp số. x = 3 ∨ x = 4 ∨ x = 7 − 37 ∨ x = 7 + 37.
5) ( x2 − 5 x + 1) · ( x2 − 4) = −4( x − 1)2 .
Đáp số. x = 0 ∨ x = 4 ∨ x =
1
1
1 − 13 ∨ x = 1 + 13 .
2
2
Hướng dẫn. Đặt u = x − 1.
Phương trình dạng
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
(a = 0)
và
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
Bài tập 1.5.
2
a, b = 0,
e
d
=
a
b
2
.
Giải các phương trình sau:
1) 6 x4 − 35 x3 + 62 x2 − 35 x + 6 = 0;
Đáp số. x =
1
1
∨ x = ∨ x = 2 ∨ x = 3.
3
2
2) 6 x4 − 25 x3 + 12 x2 + 25 x + 6 = 0;
1
2
1
3
Đáp số. x = − ∨ x = − ∨ x = 2 ∨ x = 3.
3) x4 + x3 − 10 x2 + x + 1 = 0;
Đáp số. x = −2 − 3 ∨ x = 3 − 2 ∨ x =
1
1
3− 5 ∨ x = 3+ 5 .
2
2
4) x4 − 6 x3 + 6 x2 + 6 x + 1 = 0;
Đáp số. x = 1 − 2 ∨ x = 1 + 2 ∨ x = 2 − 5 ∨ x = 2 + 5.
5) 2 x4 − x3 − 14 x2 + x + 2 = 0;
Đáp số. x = −1 − 2 ∨ x = 2 − 1 ∨ x =
1
1
5 − 41 ∨ x = 5 + 41 .
4
4
6) 16 x4 − 48 x3 + 24 x2 + 12 x + 1 = 0.
Đáp số. x =
2 Trần
Văn Toàn
1
1
1
1
1− 2 ∨ x = 1+ 2 ∨ x = 2− 5 ∨ x = 2+ 5 .
2
2
2
2
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
5
1
∨x=1 .
2
7) 2 x4 + 9 x3 − x2 − 18 x + 8 = 0.
Đáp số. x = −4 ∨ x = −2 ∨ x =
8) 2 x4 − 7 x3 − 34 x2 + 21 x + 18 = 0.
Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = 6 .
1
2
9) x4 − 3 x3 − 8 x2 + 12 x + 16 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4).
10) x4 + 3 x3 − 8 x2 − 12 x + 16 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 2).
11) x4 − 12 x3 + 47 x2 − 72 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 ∨ x = 6).
12) x4 − 6 x3 − 7 x2 + 36 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 6).
13) x4 − 4 x3 − 17 x2 + 24 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 6).
14) x4 + 2 x3 − 23 x2 + 12 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 3).
15) x4 − 2 x3 − 23 x2 − 12 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 6).
16) x4 + 4 x3 − 17 x2 − 24 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 3).
17) x4 + 6 x3 − 7 x2 − 36 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 2).
18) x4 + 12 x3 + 47 x2 + 72 x + 36 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = −1).
19) x4 − 9 x3 − 2 x2 + 72 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 8).
20) x4 − 5 x3 − 30 x2 + 40 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 8).
21) x4 + 3 x3 − 38 x2 + 24 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4).
22) x4 − 3 x3 − 38 x2 − 24 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 8).
23) x4 + 5 x3 − 30 x2 − 40 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4).
24) x4 + 9 x3 − 2 x2 − 72 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 1 ∨ x = 2).
25) x4 + 15 x3 + 70 x2 + 120 x + 64 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = −1).
26) x4 − 8 x3 − 18 x2 + 72 x + 81 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 9).
27) x4 + 8 x3 − 18 x2 − 72 x + 81 = 0.
Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 3).
28) x4 − 12 x3 + 7 x2 + 120 x + 100 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 10).
29) x4 − 6 x3 − 47 x2 + 60 x + 100 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 10).
30) x4 + 4 x3 − 57 x2 + 40 x + 100 = 0.
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 5).
31) x4 − 4 x3 − 57 x2 − 40 x + 100 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 10).
6
32) x4 + 6 x3 − 47 x2 − 60 x + 100 = 0.
33) x4 + 18 x3 + 97 x2 + 180 x + 100 = 0.
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 5).
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = −1).
34) x4 − 5 x3 − 20 x2 + 60 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 6).
35) x4 − 3 x3 − 28 x2 + 36 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6).
36) x4 + x3 − 32 x2 + 12 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 4).
37) x4 − x3 − 32 x2 − 12 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 6).
38) x4 + 3 x3 − 28 x2 − 36 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 4).
39) x4 + 5 x3 − 20 x2 − 60 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 3).
40) x4 + 15 x3 + 80 x2 + 180 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −2).
41) x4 − 15 x3 + 20 x2 + 180 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 12).
42) x4 − 7 x3 − 68 x2 + 84 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 12).
43) x4 + 5 x3 − 80 x2 + 60 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 6).
44) x4 − 5 x3 − 80 x2 − 60 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 12).
45) x4 + 7 x3 − 68 x2 − 84 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 6).
46) x4 + 21 x3 + 128 x2 + 252 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = −1).
47) x4 − 12 x3 − 13 x2 + 144 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 12).
48) x4 − 10 x3 − 35 x2 + 120 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 12).
49) x4 + 6 x3 − 67 x2 + 72 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 4).
50) x4 − 6 x3 − 67 x2 − 72 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 12).
51) x4 + 20 x3 + 115 x2 + 240 x + 144 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −1).
52) x4 − 18 x3 + 37 x2 + 252 x + 196 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 14).
53) x4 − 8 x3 − 93 x2 + 112 x + 196 = 0.
Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 14).
54) x4 − 16 x3 − 2 x2 + 240 x + 225 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 15).
55) x4 − 12 x3 − 58 x2 + 180 x + 225 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 15).
56) x4 + 8 x3 − 98 x2 + 120 x + 225 = 0.
Đáp số. ( x = −15 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 5).
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
7
57) x4 − 6 x3 − 32 x2 + 96 x + 256 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 8).
58) x4 + 6 x3 − 32 x2 − 96 x + 256 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 4).
59) x4 − 21 x3 + 58 x2 + 336 x + 256 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 8 ∨ x = 16).
60) x4 − 15 x3 − 32 x2 + 240 x + 256 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 16).
61) x4 − 10 x3 − 15 x2 + 180 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 9).
62) x4 − 4 x3 − 57 x2 + 72 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 9).
63) x4 + 2 x3 − 63 x2 + 36 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6).
64) x4 − 2 x3 − 63 x2 − 36 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 9).
65) x4 + 4 x3 − 57 x2 − 72 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 6).
66) x4 + 20 x3 + 135 x2 + 360 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2).
67) x4 − 24 x3 + 83 x2 + 432 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 9 ∨ x = 18).
68) x4 − 20 x3 + 15 x2 + 360 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 18).
69) x4 − 14 x3 − 87 x2 + 252 x + 324 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 18).
70) x4 − 9 x3 − 32 x2 + 180 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 5 ∨ x = 10).
71) x4 − 7 x3 − 48 x2 + 140 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 10).
72) x4 + 3 x3 − 68 x2 + 60 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 5).
73) x4 − 3 x3 − 68 x2 − 60 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 10).
74) x4 + 21 x3 + 148 x2 + 420 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = −2).
75) x4 − 27 x3 + 112 x2 + 540 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 10 ∨ x = 20).
76) x4 − 20 x3 − 21 x2 + 400 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 20).
77) x4 − 18 x3 − 59 x2 + 360 x + 400 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 20).
78) x4 − 24 x3 + 38 x2 + 504 x + 441 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 21).
79) x4 − 30 x3 + 145 x2 + 660 x + 484 = 0.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 11 ∨ x = 22).
80) x4 − 15 x3 + 2 x2 + 360 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 8 ∨ x = 12).
81) x4 − 5 x3 − 98 x2 + 120 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 12).
8
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
82) x4 − 12 x3 − 28 x2 + 288 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 12).
83) x4 − 8 x3 − 68 x2 + 192 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 12).
84) x4 + 4 x3 − 92 x2 + 96 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 6).
85) x4 − 4 x3 − 92 x2 − 96 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 12).
86) x4 − 7 x3 − 38 x2 + 168 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = 8).
87) x4 − 3 x3 − 58 x2 + 72 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 4 ∨ x = 8).
88) x4 + x3 − 62 x2 + 24 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −3 ∨ x = 4 ∨ x = 6).
89) x4 − x3 − 62 x2 − 24 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = 8).
90) x4 + 3 x3 − 58 x2 − 72 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = 6).
91) x4 − 28 x3 + 67 x2 + 672 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 8 ∨ x = 24).
92) x4 − 25 x3 − 2 x2 + 600 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 24).
93) x4 − 21 x3 − 94 x2 + 504 x + 576 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 24).
94) x4 − 24 x3 − 50 x2 + 600 x + 625 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 25).
95) x4 − 32 x3 + 102 x2 + 864 x + 729 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 9 ∨ x = 27).
96) x4 − 15 x3 − 20 x2 + 420 x + 784 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 7 ∨ x = 14).
97) x4 − 9 x3 − 92 x2 + 252 x + 784 = 0.
Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 14).
98) x4 − 30 x3 + 25 x2 + 840 x + 784 = 0.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 28).
99) x4 − 20 x3 + 31 x2 + 600 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 10 ∨ x = 15).
100) x4 − 14 x3 − 47 x2 + 420 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 15).
101) x4 − 12 x3 − 73 x2 + 360 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 5 ∨ x = 15).
102) x4 − 8 x3 − 53 x2 + 240 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = 10).
103) x4 − 6 x3 − 67 x2 + 180 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 5 ∨ x = 10).
104) x4 + 2 x3 − 83 x2 + 60 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −3 ∨ x = 5 ∨ x = 6).
105) x4 − 2 x3 − 83 x2 − 60 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −5 ∨ x = 3 ∨ x = 10).
106) x4 − 30 x3 − 31 x2 + 900 x + 900 = 0.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 30).
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
107) x4 − 28 x3 − 89 x2 + 840 x + 900 = 0.
Bài tập 1.6.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
3
x4 + 100
x x2 − 10
x4 + 100
x
x2 − 10
x4 + 81
x
x2 − 9
x4 + 81
x x2 − 9
x4 + 81
x
x2 − 9
x4 + 64
x x2 − 8
x4 + 64
x x2 − 8
x4 + 49
x
x2 − 7
x4 + 49
x
x2 − 7
x4 + 36
x x2 − 6
x4 + 36
x
x2 − 6
x4 + 36
x
x2 − 6
x4 + 25
x x2 − 5
x4 + 25
x
x2 − 5
x4 + 25
x
3 Trần
x2 − 5
9
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 30).
Giải các phương trình sau:
=
29
.
3
Đáp số. x = −2 ∨ x = 5 ∨ x =
=
89
.
6
Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x =
=
17
.
2
=
41
.
4
=
97
.
10
= 10.
5
2
190 + 10 .
1
1
20 − 7 10 ∨ x = 7 10 + 20 .
3
3
3
2
Đáp số. x = − ∨ x = 6 ∨ x = 2 − 13 ∨ x = 13 + 2 .
Đáp số. x = −1 ∨ x = 9 ∨ x =
Đáp số. x = −2 ∨ x =
1
1
9 − 3 73 ∨ x = 3 73 + 9 .
8
8
9
1
1
∨ x = 18 − 3 61 ∨ x = 3 61 + 18 .
2
5
5
Đáp số. x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 4 − 2 6 ∨ x = 2 6 + 4 .
=
65
.
7
Đáp số. x = −1 ∨ x = 8 ∨ x =
=
65
.
3
Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x =
=
65
.
6
Đáp số. x = −2 ∨ x =
= 13.
1
1
10 − 190 ∨ x =
3
3
1
1
8 − 2 114 ∨ x = 2 114 + 8 .
7
7
1
1
21 − 469 ∨ x =
2
2
469 + 21 .
7
1
1
∨ x = 14 − 259 ∨ x =
2
3
3
259 + 14 .
7
3
Đáp số. x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6 − 42 ∨ x = 42 + 6 .
=
37
.
5
Đáp số. x = −1 ∨ x = 6 ∨ x =
=
73
.
10
Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x =
1
1
12 − 7 6 ∨ x = 7 6 + 12 .
5
5
=
13
.
2
Đáp số. x = −1 ∨ x = 5 ∨ x =
1
1
5 − 105 ∨ x =
4
4
105 + 5 .
=
41
.
2
Đáp số. x = −2 ∨ x =
5
∨ x = 10 − 105 ∨ x =
2
105 + 10 .
=
53
.
6
Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x =
Văn Toàn
3
2
5
3
1
1
6 − 186 ∨ x =
5
5
1
1
15 − 305 ∨ x =
4
4
186 + 6 .
305 + 15 .
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
10
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
x4 + 16
x x2 − 4
x4 + 16
x
x2 − 4
x4 + 16
x
x2 − 4
x4 + 9
x x2 − 3
x4 + 9
x
x2 − 3
x4 + 4
x x2 − 2
x4 + 4
x x2 − 2
x4 + 4
x
x2 − 2
x4 + 1
x
x2 − 1
x4 + 1
x x2 − 1
x4 + 1
x x2 + 1
x4 + 1
x
x2 + 1
x4 + 1
x x2 + 1
=
17
.
3
=
41
.
6
=
97
.
15
= 5.
=
25
.
2
= 5.
x
x4 + 4
x
x2 + 2
x4 + 9
2
3
Đáp số. x = − ∨ x = 6 ∨ x =
4
3
Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x =
Đáp số. x = −1 ∨ x = 3 ∨ x =
73 + 3 .
1
1
3 − 21 ∨ x =
2
2
21 + 3 .
3
2
Đáp số. x = − ∨ x = 2 ∨ x = 6 − 39 ∨ x = 39 + 6 .
Đáp số. x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 2 − 6 ∨ x = 6 + 2 .
Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x =
=
85
.
21
Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x =
=
17
.
6
Đáp số. x = − ∨ x = 2 ∨ x =
=
41
.
12
Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x =
= 1.
1
1
3 − 73 ∨ x =
4
4
1
1
12 − 2 61 ∨ x = 2 61 + 12 .
5
5
65
.
14
1
2
1
1
4 − 114 ∨ x =
7
7
114 + 4 .
2
3
1
1
6 − 134 ∨ x =
7
7
134 + 6 .
1
2
1
1
2 − 13 ∨ x =
3
3
13 + 2 .
1
3
1
1
3 − 73 ∨ x =
8
8
73 + 3 .
Đáp số. x = 1.
=
17
.
10
Đáp số. x =
1
∨x=2 .
2
=
41
.
15
Đáp số. x =
1
∨x=3 .
3
5
=
.
3
x x2 + 2
x2 + 2
1
1
4 − 2 13 ∨ x = 2 13 + 4 .
3
3
=
x4 + 4
x4 + 4
Đáp số. x = −1 ∨ x = 4 ∨ x =
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 2).
=
65
.
18
Đáp số. x =
1
∨x=4 .
2
=
85
.
33
Đáp số. x =
2
∨x=3 .
3
5
=
.
2
x x2 + 3
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 3).
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
x4 + 9
x x2 + 3
x4 + 16
x x2 + 4
x4 + 16
x
x2 + 4
x4 + 16
x x2 + 4
x4 + 16
x
x2 + 4
x4 + 25
x
x2 + 5
x4 + 25
x x2 + 5
x4 + 25
x
x2 + 5
x4 + 36
x
x2 + 6
x4 + 36
x x2 + 6
x4 + 36
x
x2 + 6
x4 + 49
x
x2 + 7
x4 + 49
x x2 + 7
x4 + 49
x x2 + 7
x4 + 64
x
x2 + 8
x4 + 64
x
x2 + 8
x4 + 64
x x2 + 8
=
25
.
14
= 2.
11
Đáp số. x =
3
∨x=2 .
2
Đáp số. x = 2.
=
17
.
5
=
82
.
15
Đáp số. x =
2
∨x=6 .
3
=
97
.
39
Đáp số. x =
4
∨x=3 .
3
=
13
.
3
=
41
.
18
Đáp số. x = 2 ∨ x =
=
53
.
21
Đáp số. x =
=
13
.
5
Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 3).
=
37
.
7
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 6).
=
73
.
22
=
25
.
4
=
65
.
22
Đáp số. x = 2 ∨ x =
=
65
.
24
Đáp số. x =
=
10
.
3
Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 4).
=
65
.
9
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 8).
=
65
.
9
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 8).
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 4).
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 5).
Đáp số. x =
5
.
2
5
∨x=3 .
3
3
∨x=4 .
2
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 7).
7
.
2
7
∨x=3 .
3
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
12
50)
51)
52)
53)
54)
55)
x4 + 81
x4 + 81
x
x2 + 9
x4 + 81
x x2 + 9
x4 + 81
x
x2 + 9
=
41
.
5
=
51
.
10
Đáp số. x =
=
97
.
26
Đáp số. x = 2 ∨ x =
x4 + 100
x
x2 + 10
x4 + 100
x x2 + 10
Bài tập 1.7.
Đáp số. x = 3.
= 3.
x x2 + 9
4
=
29
.
7
=
89
.
26
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 9).
3
∨x=6 .
2
9
.
2
Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 5).
Đáp số. x =
5
∨x=4 .
2
Giải các phương trình sau:
1) x4 =
11 x + 6
.
6 x + 11
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 .
2) x4 =
61 x + 21
.
21 x + 61
Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x = 1 .
3) x4 =
205 x + 52
.
52 x + 205
Đáp số. x = −4 ∨ x = − ∨ x = 1 .
4) x4 =
11 x − 6
.
6 x − 11
Đáp số. x = −1 ∨ x =
1
∨x=2 .
2
5) x4 =
61 x − 21
.
21 x − 61
Đáp số. x = −1 ∨ x =
1
∨x=3 .
3
6) x4 =
205 x − 52
.
52 x − 205
Đáp số. x = −1 ∨ x =
1
∨x=4 .
4
Bài tập 1.8.
1) x3 =
5
1
2
1
3
1
4
Giải các phương trình sau:
14 x2 + 13 x + 2
.
2 x2 + 13 x + 14
1
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x =
2) x3 =
1
1
− 21 − 5 ∨ x =
2
2
21 − 5 .
17 x2 + 15 x + 2
.
2 x2 + 15 x + 17
1
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = −2 2 − 3 ∨ x = 2 2 − 3 .
4 Trần
5 Trần
Văn Toàn
Văn Toàn
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
3) x3 =
13
20 x2 + 17 x + 2
.
2 x2 + 17 x + 20
1
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x =
4) x3 =
1
1
−3 5 − 7 ∨ x = 3 5 − 7 .
2
2
23 x2 + 19 x + 2
.
2 x2 + 19 x + 23
1
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = − 15 − 4 ∨ x = 15 − 4 .
5) x3 =
25 x2 + 24 x + 4
.
4 x2 + 24 x + 25
1
2
1
1
− 65 − 9 ∨ x =
4
4
65 − 9 .
1
2
1
1
− 77 − 9 ∨ x =
2
2
77 − 9 .
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x =
6) x3 =
26 x2 + 21 x + 2
.
2 x2 + 21 x + 26
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x =
29 x2 + 23 x + 2
.
7) x = 2
2 x + 23 x + 29
3
1
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = −2 6 − 5 ∨ x = 2 6 − 5 .
Bài tập 1.9.
1) x4 =
6
Giải các phương trình sau:
23 x2 − 16 x + 3
.
3 x2 − 16 x + 23
Đáp số. x = −1 ∨ x =
1
∨ x = 1∨ x = 3 .
3
33 x2 − 19 x + 3
2) x = 2
.
3 x − 19 x + 33
4
Đáp số. x = −1 ∨ x =
3) x4 =
1
1
1
∨ x = 1∨ x = 3∨ x = 3− 5 ∨ x =
3
2
2
36 x2 − 29 x + 6
.
6 x2 − 29 x + 36
Đáp số. x = −1 ∨ x =
4) x4 =
1
∨ x = 1∨ x = 3 .
3
43 x2 − 22 x + 3
.
3 x2 − 22 x + 43
Đáp số. x = −1 ∨ x =
6 Trần
5+3 .
Văn Toàn
1
∨ x = 1∨ x = 3∨ x = 2− 3∨ x =
3
3+2 .
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
14
5) x4 =
49 x2 − 42 x + 9
.
9 x2 − 42 x + 49
Đáp số. x = −1 ∨ x =
Bài tập 1.10.
1) x2 =
2) x2 =
3) x2 =
4) x2 =
5) x2 =
7
1
∨ x = 1∨ x = 3 .
3
Giải các phương trình sau:
20 x3 + x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + x + 20
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
21 x3 + 2 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 2 x + 21
22 x3 + 3 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 3 x + 22
23 x3 + 4 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 4 x + 23
24 x3 + 5 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 5 x + 24
25 x3 + 6 x2 + x + 2
6) x = 3 2
.
2 x + x + 6 x + 25
2
7) x2 =
8) x2 =
26 x3 + 7 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 7 x + 26
27 x3 + x2 + 3 x + 2
.
2 x3 + 3 x2 + x + 27
Đáp số. x =
7 Trần
Văn Toàn
1
1
1
∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x =
2
2
2
21 − 5 .
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
9) x2 =
27 x3 + 8 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 8 x + 27
Đáp số. x =
10) x2 =
1
1
1
∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x =
2
2
2
3−2 .
21 − 5 .
29 x3 + 10 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 10 x + 29
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
30 x3 + 4 x2 + 3 x + 2
.
2 x3 + 3 x2 + 4 x + 30
Đáp số. x =
15) x2 =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
1
1
1
∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x =
2
2
2
Đáp số. x =
14) x2 =
21 − 5 .
29 x3 + 3 x2 + 3 x + 2
.
2 x3 + 3 x2 + 3 x + 29
Đáp số. x =
13) x2 =
3−2 .
28 x3 + 9 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 9 x + 28
Đáp số. x =
12) x2 =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
28 x3 + 2 x2 + 3 x + 2
.
2 x3 + 3 x2 + 2 x + 28
Đáp số. x =
11) x2 =
15
1
1
1
∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x =
2
2
2
21 − 5 .
30 x3 + 11 x2 + x + 2
.
2 x3 + x2 + 11 x + 30
Đáp số. x =
1
∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x =
2
3−2 .
Phương trình đẳng cấp bậc hai theo f ( x) và g( x) dạng
A · [ f ( x)]2 + B · f ( x) · g( x) + C · [ g( x)]2 = 0,
A · B · C = 0.
• Nếu g( x) = 0, từ phương trình đã cho ta phải có f ( x) = 0.
• Nếu g( x) = 0, chia hai vế phương trình cho [ g( x)]2 , ta được
A·
rồi đặt t =
f ( x)
g ( x)
2
+B·
f ( x)
+ C = 0.
g ( x)
f ( x)
.
g ( x)
* Cũng có thể xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo f ( x) hoặc g( x).
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
16
Bài tập 1.11. Giải các phương trình sau:
2
1) x2 + 4 x + 18 + 12 x · x2 + 4 x + 18 + 35 x2 = 0;
Đáp số. x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2.
2) ( x2 + 6 x − 12)2 − 7 x · ( x2 + 6 x − 12) + 10 x2 = 0;
Đáp số. x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 3.
3) ( x2 + 6 x − 12)2 − 9 x · ( x2 + 6 x − 12) + 14 x2 = 0;
Đáp số. x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 4.
4) ( x2 + 10 x − 12)2 − 5 x · ( x2 + 10 x − 12) − 6 x2 = 0;
Đáp số. x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = 1 ∨ x = 2.
5) 3
x−2
x+1
2
x+2
x+3
+4
2
+8
x2 − 4
= 0;
x2 + 4 x + 3
Đáp số. x = −
6) 20
x−2
x+1
2
−5
x+2
x−1
2
+ 48
14
1
1
∨ x = 1 ∨ x = −7 − 73 ∨ x =
5
6
6
x2 − 4
= 0;
x2 − 1
73 − 7 .
Đáp số. 3;
2
.
3
1
2
7) 2( x2 + x + 1)2 − 7( x − 1)2 = 13( x3 − 1);
Đáp số. −1; − ; 2; 4 .
8) 2( x2 + 6 x + 1)2 + 5( x2 + 6 x + 1)( x2 + 1) + 2( x2 + 1)2 = 0;
Đáp số. −1; −2 ± 3 .
9) ( x2 + 4 x + 8)2 + 3 x3 + 14 x2 + 24 x = 0;
Đáp số. {−4; −2};
Hướng dẫn. ( x2 + 4 x + 8)2 + 3 x( x2 + 4 x + 8) + 2 x2 = 0.
10) 6 x2 + 7 x · 1 + x = 24 · (1 + x).
Đáp số. 3; −
8
.
9
Bài tập 1.12. Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)
1
x2 − 2 x + 2
1
x2 − 3 x + 3
3
x2 + 2 x − 8
+
+
+
1
x2 − 2 x + 3
2
x2 − 3 x + 4
2
x2 + 2 x − 3
=
=
9
2( x2 − 2 x + 4)
6
x2 − 3 x + 5
;
;
Đáp số. {1}.
Đáp số. {1; 2}.
5
=− ;
6
Đáp số. x = −1 ∨ x = −1 − 7 ∨ x = 7 − 1.
4)
2
3
1
−
=− .
( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 4)
3
Đáp số. x = −5 ∨ x = 2.
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
17
Phương trình dạng
Ax
ax2 + b
1x + c
+
Bx
ax2 + b
2x + c
= C, với ABC = 0,
ac = 0.
Viết phương trình đã cho tương đương với
B
c+
c =C
ax + b 1 +
ax + b 2 +
x
x
A
c
x
rồi đặt t = ax + .
Chú ý. Cũng có thể đặt t = ax2 + c. Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai
theo ẩn t, tham số x.
Bài tập 1.13.
1)
2)
3)
4)
8
2x
2 x2 − 5 x + 3
Giải các phương trình sau:
+
13 x
2 x2 + x + 3
Đáp số. x =
= 6.
4x
5x
10
;
−
=
9
x2 + 2 x + 3 x2 + 4 x + 3
4x
4 x2 − 8 x + 7
2x
4 x2 − 8 x + 7
+
−
3x
4 x2 − 10 x + 7
3x
4 x2 − 10 x + 7
1
2
Đáp số. x = −6 ∨ x = − .
= 1;
=−
3
∨ x = 2.
4
Đáp số.
10
.
7
Đáp số. x =
1 7
; .
2 2
7
∨ x = 2.
8
Phương trình dạng
ax2 + b 1 x + c ax2 + b 3 x + c
±
= A,
ax2 + b 2 x + c ax2 + b 4 x + c
A=0
hay
ax2 + b 1 x + c
A
= 2
,
2
ax + b 2 x + c ax + b 3 x + c
A = 0.
• Kiểm tra x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không?
c
• Chia cả tử và mẫu mỗi số hạng ở vế trái của phương trình cho x, rồi đặt t = ax + .
x
Chú ý. Cũng có thể đặt t = ax2 + c. Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai
theo ẩn t, tham số x.
Bài tập 1.14. Giải các phương trình sau:
1)
x2 + 2 x + 3 x2 + 5 x + 3 3
+
= ;
x2 + 4 x + 3 x2 + 6 x + 3 4
8 Trần
Văn Toàn
3
5
Đáp số. x = −5 ∨ x = − .
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
18
2)
x2 − 13 x + 15 x2 − 15 x + 15 7
+
= ;
x2 − 14 x + 15 x2 − 12 x + 15 4
Đáp số. x = 1 ∨ x = 15 ∨ x = 9 − 66 ∨ x = 9 + 66.
3)
x2 − 13 x + 15 x2 − 15 x + 15 5
−
= ;
x2 − 14 x + 15 x2 − 12 x + 15 4
Đáp số. x = 1 ∨ x = 15 ∨ x =
1
1
33 − 714 ∨ x = 33 + 714 .
5
5
4)
x2 − 10 x + 15
−6 x
=
;
x2 − 6 x + 15
x2 − 2 x + 15
Đáp số. x = 3 ∨ x = 5.
5)
x2 − 2 x + 15
3x
= 2
.
2
x − 4 x + 15 x − 6 x + 15
Đáp số. x = 3 ∨ x = 5.
Phương trình có dạng
a 1 ( bx2 + c 1 x + d )2 + a 2 ( bx2 + c 2 x + d )2 = ex2 .
• Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm phương trình hay không.
• Với x = 0, chia phương trình cho x2 .
Bài tập 1.15.
9
Giải các phương trình sau:
2
2
2
2
5
3
1) 3 x2 + 6 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 4 x2 .
Đáp số. x = − ∨ x = −1 .
5
3
2) 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = x2 .
2
2
2
2
Đáp số. x = − ∨ x = −1 .
5
3
3) 3 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 3 x2 .
Đáp số. x = − ∨ x = −1 .
5
3
4) 5 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 5 x2 .
2
Đáp số. x = − ∨ x = −1 .
2
5) 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 3 x2 .
5
3
1
1
− 34 − 13 ∨ x =
9
9
34 − 13 .
5
3
1
1
− 61 − 14 ∨ x =
9
9
61 − 14 .
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
2
6) 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 .
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
2
7) 3 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 5 x2 .
9 Trần
Văn Toàn
5
3
Đáp số. x = − ∨ x = −1 .
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
2
19
2
8) 3 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 .
5
3
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
1
1
− 109 − 22 ∨ x =
15
15
109 − 22 .
1
1
− 165 − 30 ∨ x =
21
21
165 − 30 .
1
1
− 229 − 38 ∨ x =
27
27
229 − 38 .
1
1
− 301 − 46 ∨ x =
33
33
301 − 46 .
2
9) 5 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 .
5
3
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
2
10) 7 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 .
5
3
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
2
11) 9 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 .
5
3
Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x =
2
2
12) 10 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 3 x2 .
3
2
Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = −
Bài tập 1.16.
1) x2 +
x
x−1
10
2
10
5
∨x=− .
9
6
Giải các phương trình sau:
= 8;
Đáp số. 2; −1 + 3; −1 − 3 .
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
x2 + 2 x
⇔ x+
x
x−1
x
x
+
x−1
x−1
2
−2
2
− 2x
x
= 8.
x−1
x2
x2
=8⇔
x−1
x−1
2
−2
x2
= 8.
x−1
2)
4 x2
+ x2 = 5.
( x + 2)2
Đáp số. x = −1 ∨ x = 2.
3)
x2
5
+ x2 = .
2
4
( x + 1)
Đáp số. x = − ∨ x = 1.
4)
x2
+ x2 = 8.
( x + 1)2
Đáp số. x = −2 ∨ x = 1 − 3 ∨ x = 3 + 1.
5)
36 x2
+ x2 = 13.
( x + 6)2
Đáp số. x = −2 ∨ x = 3.
6)
9 x2
13
2
+
x
=
.
4
( x + 3)2
Đáp số. x = −1 ∨ x = .
7)
4 x2
13
2
+
x
=
.
9
( x + 2)2
Đáp số. x = − ∨ x = 1.
10 Trần
Văn Toàn
1
2
3
2
2
3
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
20
8)
16 x2
+ x2 = 20.
( x + 4)2
Đáp số. x = −2 ∨ x = 4.
9)
25
36 x2
+ x2 =
.
2
4
( x + 6)
Đáp số. x = − ∨ x = 2.
10)
25
16 x2
+ x2 =
.
2
9
( x + 4)
Đáp số. x = −1 ∨ x = .
11)
9 x2
25
.
+ x2 =
2
16
( x + 3)
Đáp số. x = − ∨ x = 1.
12)
4 x2
+ x2 = 32.
( x + 2)2
Đáp số. x = −4 ∨ x = 2 − 2 3 ∨ x = 2 3 + 2.
13)
9 x2
+ x2 = 40.
2
( x + 3)
Đáp số. x = −2 ∨ x = 6.
14)
x2
40
2
=
.
+
x
9
( x + 1)2
Đáp số. x = − ∨ x = 2.
15)
100 x2
41
+ x2 =
.
2
4
( x + 10)
Đáp số. x = −2 ∨ x = .
16)
25 x2
41
+ x2 =
.
2
16
( x + 5)
Đáp số. x = −1 ∨ x = .
17)
16 x2
41
+ x2 =
.
2
25
( x + 4)
Đáp số. x = − ∨ x = 1.
18)
4 x2
+ x2 = 45.
( x + 2)2
3
2
4
3
3
4
2
3
5
2
5
4
4
5
Đáp số. x = −6 ∨ x = −3 ∨ x =
36 x2
19)
+ x2 = 45.
( x + 6)2
20)
x2
45
2
+
x
=
.
4
( x + 1)2
21)
9 x2
45
2
+
x
=
.
4
( x + 3)2
Bài tập 1.17.
11
x2
5
2
+
x
=
.
4
( x − 1)2
2)
x2
+ x2 = 8.
( x − 1)2
3)
x2
40
+ x2 =
.
2
9
( x − 1)
Văn Toàn
65 + 5 .
Đáp số. x = −3 ∨ x = 6.
3
2
Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x =
1
1
5 − 65 ∨ x =
4
4
65 + 5 .
3
2
Đáp số. x = − ∨ x = 3 .
Giải các phương trình sau:
1)
11 Trần
1
1
5 − 65 ∨ x =
2
2
Đáp số. x = −1 ∨ x =
1
.
2
Đáp số. x = 2 ∨ x = − 3 − 1 ∨ x = 3 − 1 .
Đáp số. x = −2 ∨ x =
2
.
3
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
4)
x2
45
.
+ x2 =
2
4
( x − 1)
5)
4 x2
+ x2 = 5.
( x − 2)2
6)
13
4 x2
2
+
x
=
.
9
( x − 2)2
4 x2
+ x2 = 32.
7)
2
( x − 2)
4 x2
8)
+ x2 = 45.
2
( x − 2)
Đáp số. x =
21
3
1
1
∨ x = 3 ∨ x = − 65 − 5 ∨ x =
2
4
4
65 − 5 .
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = 1).
Đáp số. x = −1 ∨ x =
2
.
3
Đáp số. x = 4 ∨ x = −2 3 − 2 ∨ x = 2 3 − 2 .
Đáp số. x = 3 ∨ x = 6 ∨ x =
1
1
− 65 − 5 ∨ x =
2
2
65 − 5 .
9)
13
9 x2
.
+ x2 =
2
4
( x − 3)
Đáp số. x = − ∨ x = 1 .
10)
9 x2
25
.
+ x2 =
2
16
( x − 3)
Đáp số. x = −1 ∨ x =
11)
9 x2
+ x2 = 40.
( x − 3)2
12)
45
9 x2
+ x2 =
.
2
4
( x − 3)
13)
9 x2
+ x2 = 72.
( x − 3)2
Đáp số. x = 6 ∨ x = −3 3 − 3 ∨ x = 3 3 − 3 .
14)
16 x2
+ x2 = 20.
( x − 4)2
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = 2).
15)
16 x2
25
.
+ x2 =
2
9
( x − 4)
Đáp số. x = − ∨ x = 1 .
16)
16 x2
41
2
+
x
=
.
25
( x − 4)2
Đáp số. x = −1 ∨ x =
4
.
5
17)
16 x2
52
2
+
x
=
.
9
( x − 4)2
Đáp số. x = −2 ∨ x =
4
.
3
18)
25 x2
41
+ x2 =
.
2
16
( x − 5)
Đáp số. x = − ∨ x = 1 .
19)
25 x2
61
+ x2 =
.
2
36
( x − 5)
Đáp số. x = −1 ∨ x =
20)
36 x2
+ x2 = 13.
( x − 6)2
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = 2).
21)
36 x2
+ x2 = 45.
( x − 6)2
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = 3).
3
2
3
.
4
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = 2).
Đáp số. x = −3 ∨ x =
3
.
2
4
3
5
4
5
.
6
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
22
22)
36 x2
61
.
+ x2 =
2
25
( x − 6)
Đáp số. x = − ∨ x = 1 .
23)
36 x2
85
.
+ x2 =
2
49
( x − 6)
Đáp số. x = −1 ∨ x =
6
5
6
.
7
49 x2
85
24)
.
+ x2 =
2
36
( x − 7)
Đáp số. x = − ∨ x = 1 .
25)
64 x2
+ x2 = 80.
( x − 8)2
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = 4).
26)
64 x2
100
+ x2 =
.
2
9
( x − 8)
Đáp số. x = − ∨ x = 2 .
41
100 x2
2
+
x
=
.
27)
4
( x − 10)2
Đáp số. x = − ∨ x = 2 .
28)
7
6
8
3
5
2
100 x2
61
.
+ x2 =
2
9
( x − 10)
Đáp số. x = −2 ∨ x =
5
.
3
Bài tập 1.18. Giải các phương trình sau:
1)
( x2 + 1) x
10
;
=
2
2
9
( x − x + 1)
Đáp số.
1
;2 .
2
Hướng dẫn. Chia cả tử và mẫu vế trái của phương trình cho x2 .
2)
( x − 1)2 · x
2
= ;
2
2
9
( x − x + 1)
3) x
Đáp số.
1
; 2; 2 − 3; 2 + 3 .
2
5− x
5− x
· x+
= 6;
x+1
x+1
Đáp số. {1; 2}.
1 1
+ 4 = 10;
x x
Đáp số. 1; −3 ± 2 2 .
4) x( x + 4) +
5) 343( x2 + 3) − 26( x + 3)3 = 0;
6)
x2 48
x 4
+ 2 = 10 − ;
3
3 x
x
7) x3 +
8)
1
1
=6 x+ ;
3
x
x
x
x+1
2
+
x
x−1
2
=
Đáp số.
Đáp số. −2; 6; 3 ± 21 .
Đáp số.
−3 ± 5 3 ± 5
;
.
2
2
40
;
9
Đáp số. x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = −
9)
10)
1
.
2
x+4 x−4 x+8 x−8 8
+
=
+
− ;
x−1 x+1 x−2 x+2 3
x−1 x−2 x−4 x−5
−
=
−
;
x+2 x+3 x+5 x+6
5
∨x=
11
5
.
11
1 1
2 2
Đáp số. −4; − ; ; 4 .
Đáp số. −4; −
1
.
2
1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
11)
23
x2 + 4 x + 4 2 x + 6 x2 + x + 1 2 x + 9
−
=
−
;
x+4
x+2
x+1
x+3
Đáp số. 0;
12)
−5 + 3 −5 − 3
;
.
2
2
x2 + 2 x + 2 x2 + 8 x + 20 x2 + 4 x + 6 x2 + 6 x + 12
+
=
+
;
x+1
x+4
x+2
x+3
5
2
Đáp số. − ; 0 .
13)
x+6
x+2
x+5
x+1
+ 2
= 2
+ 2
.
2
x + 2 x x + 12 x + 35 x + 4 x + 3 x + 10 x + 24
14)
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
;
x x+2 x+5 x+7 x+1 x+3 x+4 x+6
15)
1
1
1
1
1
+
+
+
+
= 0.
x x+1 x+2 x+3 x+4
7
2
Đáp số. x = − .
Đáp số. −
2
1
1
−4 −
15 + 145 ∨ x =
−4 −
2
5
2
2
1
2
15 − 145 − 4 ∨ x =
15 + 145 − 4 .
5
2
5
Đáp số. x =
1
2
16)
x+6
x−6
x+4
x−4
2
+
x−6
x+6
x+9
x−9
2
=2
2
15 − 145 ∨ x =
5
x2 + 36
;
x2 − 36
Đáp số. 0;
Hướng dẫn. 2
7
.
2
6(1 + 26) 6(1 − 26)
;
;
5
5
x2 + 36
x+6 x−6
+
.
=
2
x−6 x+6
x − 36
Bài tập 1.19. Giải các phương trình sau:
1) ( x2 + x − 2) · ( x2 + x − 3) = 12;
Đáp số. {2; −3}.
2) ( x2 + x + 1) · ( x2 + x + 2) = 12;
Đáp số. {−2; 1}.
3) (6 x + 5)2 · (3 x + 2) · ( x + 1) = 35;
Đáp số.
9
2
5
4
4) (8 x + 7)2 · (4 x + 3) · ( x + 1) = ;
2
5) x2 + x + 1 = x2 7 x2 + x + 1 ;
−5 ± 21
.
6
Đáp số. − ; −
1
.
2
1
2
Đáp số. x = − ∨ x = 1.
6) ( x2 − 3 x + 1) · ( x2 + 3 x + 2) · ( x2 − 9 x + 20) = −72.
Đáp số. 1; 2;
3 ± 41 3 ± 37
;
.
2
2
Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai
24
Hướng dẫn.
( x2 + 3 x + 2) · ( x2 − 9 x + 20) = ( x + 1)( x + 2)( x − 4)( x − 5)
= [( x + 1)( x − 4)] · [( x + 2)( x − 5)]
= ( x2 − 3 x − 4)( x2 − 3 x − 10).
1.2
Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập 1.20. Giải các phương trình sau:
1) x2 + 32 x + 240 = − x − 2.
Đáp số. ( x = −22 ∨ x = −17 ∨ x = −14 ∨ x = −11).
2) x2 + 30 x + 209 = − x − 1.
Đáp số. ( x = −21 ∨ x = −16 ∨ x = −13 ∨ x = −10).
3) x2 + 26 x + 153 = 1 − x.
Đáp số. ( x = −19 ∨ x = −14 ∨ x = −11 ∨ x = −8).
4) x2 + 28 x + 160 = 22 − x.
Đáp số. ( x = −23 ∨ x = −14 ∨ x = −13 ∨ x = −6).
5) x2 + 24 x + 128 = 2 − x.
Đáp số. ( x = −18 ∨ x = −13 ∨ x = −10 ∨ x = −7).
6) x2 + 27 x + 140 = 25 − x.
Đáp số. ( x = −23 ∨ x = −15 ∨ x = −11 ∨ x = −5).
7) x2 + 26 x + 133 = 23 − x.
Đáp số. ( x = −22 ∨ x = −13 ∨ x = −12 ∨ x = −5).
8) x2 + 22 x + 105 = 3 − x.
Đáp số. ( x = −17 ∨ x = −12 ∨ x = −9 ∨ x = −6).
9) x2 + 22 x + 105 = x + 25.
Đáp số. ( x = −16 ∨ x = −13 ∨ x = −10 ∨ x = −5).
10) x2 + 24 x + 108 = 24 − x.
Đáp số. ( x = −21 ∨ x = −12 ∨ x = −11 ∨ x = −4).
11) x2 + 20 x + 84 = 4 − x.
Đáp số. ( x = −16 ∨ x = −11 ∨ x = −8 ∨ x = −5).
12) x2 + 20 x + 84 = x + 24.
Đáp số. ( x = −15 ∨ x = −12 ∨ x = −9 ∨ x = −4).
13) x2 + 25 x + 100 = −5 x − 4.
Đáp số. ( x = −26 ∨ x = −12 ∨ x = −8 ∨ x = −4).
14) x2 + 22 x + 85 = 25 − x.
Đáp số. ( x = −20 ∨ x = −11 ∨ x = −10 ∨ x = −3).
15) x2 + 18 x + 65 = 5 − x.
Đáp số. ( x = −15 ∨ x = −10 ∨ x = −7 ∨ x = −4).
16) x2 + 18 x + 65 = x + 23.
Đáp số. ( x = −14 ∨ x = −11 ∨ x = −8 ∨ x = −3).
17) x2 + 23 x + 76 = 1 − 5 x.
Đáp số. ( x = −25 ∨ x = −11 ∨ x = −7 ∨ x = −3).
18) x2 + 16 x + 48 = 6 − x.
Đáp số. ( x = −14 ∨ x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3).
19) x2 + 16 x + 48 = x + 22.
Đáp số. ( x = −13 ∨ x = −10 ∨ x = −7 ∨ x = −2).
1.2. Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
25
20) x2 + 21 x + 54 = 6 − 5 x.
Đáp số. ( x = −24 ∨ x = −10 ∨ x = −6 ∨ x = −2).
21) x2 + 14 x + 33 = 7 − x.
Đáp số. ( x = −13 ∨ x = −8 ∨ x = −5 ∨ x = −2).
22) x2 + 14 x + 33 = x + 21.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −1).
23) x2 + 19 x + 34 = 11 − 5 x.
Đáp số. ( x = −23 ∨ x = −9 ∨ x = −5 ∨ x = −1).
24) x2 + 12 x + 20 = 8 − x.
Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −7 ∨ x = −4 ∨ x = −1).
25) x2 + 10 x + 9 = x + 19.
Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −7 ∨ x = −4 ∨ x = 1).
26) x2 + 6 x − 7 = 11 − x.
Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 2).
27) x2 + 6 x − 7 = x + 17.
Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 3).
28) x2 + 4 x − 12 = x + 16.
Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 4).
29) x2 + 2 x − 15 = 13 − x.
Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4).
30) x2 − 16 = 14 − x.
Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 5).
31) x2 − 16 = x + 14.
Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 6).
32) x2 − 2 x − 15 = x + 13.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 7).
33) x2 − 4 x − 12 = 16 − x.
Đáp số. ( x = −4 ∨ x = 1 ∨ x = 4 ∨ x = 7).
34) x2 − 6 x − 7 = 17 − x.
Đáp số. ( x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 5 ∨ x = 8).
35) x2 − 6 x − 7 = x + 11.
Đáp số. ( x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4 ∨ x = 9).
36) x2 − 10 x + 9 = 19 − x.
Đáp số. ( x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 7 ∨ x = 10).
37) x2 − 12 x + 20 = x + 8.
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 4 ∨ x = 7 ∨ x = 12).
38) x2 − 14 x + 33 = 21 − x.
Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 6 ∨ x = 9 ∨ x = 12).
39) x2 − 14 x + 33 = x + 7.
Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 5 ∨ x = 8 ∨ x = 13).
40) x2 − 16 x + 48 = 22 − x.
Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 7 ∨ x = 10 ∨ x = 13).
41) x2 − 16 x + 48 = x + 6.
Đáp số. ( x = 3 ∨ x = 6 ∨ x = 9 ∨ x = 14).
42) x2 − 18 x + 65 = 23 − x.
Đáp số. ( x = 3 ∨ x = 8 ∨ x = 11 ∨ x = 14).
43) x2 − 18 x + 65 = x + 5.
Đáp số. ( x = 4 ∨ x = 7 ∨ x = 10 ∨ x = 15).
44) x2 − 20 x + 84 = 24 − x.
Đáp số. ( x = 4 ∨ x = 9 ∨ x = 12 ∨ x = 15).
