tich phân đường

Bài giảng 12
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
1.Định nghĩa: Cho hai hàm P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung phẳng
AB . Thực hiện các bước sau:
+ Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A=A
0
, A
1
,...,A
n
=B.
Không dẫm lên nhau.
+ Gọi hình chiếu của véctơ
1i
i
A B
−
uuuuur
xuống hai trục x và y là
i
x∆
,
i
y∆
, trên
mỗi cung
1i i
A A
−
lấy tuỳ ý một điểm M
i

(x
i
, y
i
).
+ Lập tổng
[ ]
1
( , ) ( , )
n
n i i i i i i
i
S P x y x Q x y y
=
= ∆ + ∆
∑
+ Tìm giới hạn
i
ax s 0
lim
n
n
M
S
→∞
∆ →
Với
i
S
∆

là độ dài cung
1i i
A A
−

1
Nếu với mọi cách chia cung AB, mọi cách chọn M
i
luôn tồn tại giới hạn
xác định duy nhất.

i
ax s 0
lim
n
M
S S
∆ →
=
Thì S gọi là tích phân đường của các hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo
cung AB. Kí hiệu:

( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy+
∫
2. Tính chất: Tích phân đường có các tính chất của tích phân xác định kể
cả tính chất đổi chiều đường lấy tích phân nghĩa là:

AB BA

Pdx Qdy Pdx Qdy+ = − +
∫ ∫
(Vì khi đổi chiều đường lấy tích phân thì
i
x∆
và
i
y∆
đổi dấu)
3. Chú ý: Nếu C =
AB
là đường cong kín phẳng.
Ta quy ước chọn chiều dương trên C là chiều sao cho một người đi dọc
theo C theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi C gần mình nhất ở về phía
2
bên trái - chiều ngược lại là chiều âm. Ta ký hiệu tích phân đường dọc
theo đường cong kín C là.

C
Pdx Qdy+
∫
Ñ
4. Ý nghĩa cơ học: Xem P(x, y) và Q(x, y) là hình chiếu của lực
F
ur
.
Tác động lên chất điểm M chuyển động trên cung AB.
Ta có:
( , ) ( , )F P x y i Q x y j= +
ur

Coi cung
1i i
A A
−
như cung
1i i
A A
−
khi đó
i
i i
s x i y j∆ = ∆ + ∆
r
và trên cung đó xem
( ) ( ) ( )
i i i
F F M P M i Q M j
= = +
ur ur


1
( , ) ( , ) ; ( , )
i i i i i i i i i
P x y i Q x y j M x y A A
−
= + ∈
Khi đó công sinh ra trên cung
1i i
A A

−
xấp xỉ
i i i i
F(M ) s ( , ) ( , )
i i i i
P x y x Q x y y∆ = ∆ + ∆
uuur
và công sinh ra trên cả đường cong là:
3

1
( , ) ( , )
n
n i i i i i i
i
T P x y x Q x y y
=
= ∆ + ∆
∑

i
ax s 0
lim ( , ) ( , )
n
M
AB
A T P x y dx Q x y dy
∆ →
= = +
∫

5. Cách tính tích phân đường:
a. Nếu cung AB cho bởi phương trình
( )y y x a x b= ≤ ≤
Thì công thức tính tích phân đường là:
[ ]
( , ( )) ( , ( )) ( )
b
AB a
Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx
′
+ = +
∫ ∫
Ví dụ 1:Tính
1
( )
C
I xydx y x dy= + −
∫
,
với C là đường nối 0(0, 0) đến A(1, 1) có phương trình:
a.
y x=
b.
2
y x=

c.
2
y x=
4

. 0; 1(0 1)d y x x= = ≤ ≤

Giải:
a.Trên đường
1y x y
′
= → =
vậy:
1
2
0
1
( )
3
C
xydx y x dy x dx+ − = =
∫ ∫
.
b.Trên đường
2
2y x y x
′
= → =
Vậy:
1
3 2
0
1
( ) ( )2

12
C
xydx y x dy x x x x dx
 
+ − = + − =
 
∫ ∫
.
c.Trên đường
2
2y x dx ydy= → =
Vậy:
1
2 2
0
17
( ) . .2 ( )
30
C
xydx y x dy y y y y y dy
 
+ − = + − =
 
∫ ∫
.
d.Trên đường
1 2
0, 1 ( )
C C C
y x xydx y x dy= = → + − = +

∫ ∫ ∫
Trên
1
1
: 0, 0 0
C
c y dy= = → =
∫
5