Một số cách trong giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp trung học phổ thông

Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

U
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Bất đẳng thức Cô si:
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
3. Tam thức bậc hai:
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
5. Khảo sát hàm số:
II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:
3.Áp dụng tam thức bậc hai:
4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:
5. Dùng phương pháp đạo hàm:
C.
KẾT LUẬN

1
Một số cách giải bài

2
2
2
2
3
4
4

4
4
4
4
4
5
5
8
10
12
13
15
16


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự
luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong
việc dạy và học của giáo viên và họ sinh.
Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy
một số vấn đề sau:
1. Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi
hỏi giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học. Dạy
học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những
phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng,
người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học. Điều này gây

rất nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có
nhiều kinh nghiệm giảng dạy.
2. Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo
phương pháp trắc nghiệm khách quan thì một số giáo viên mãi mở rộng kiến
thức kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc
nghiệm . Vì vậy vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận
có thể bị mờ nhạt. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu
sâu kiến thức về Vật lý của học sinh , đặc biệt là những học sinh khá của
trường.
Trong
vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo
phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu
các đại lượng Vật lý. Mỗi loại
bài toán đều có một số cách giải nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là
điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên , Bởi lẽ: Chưa có tài liệu
nào viết về vấn đề này có tính hệ thống .
Để góp phần cải thiện thực trạng trên , tôi quyết định thực hiện đề tài “Một
số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp
,
-

phương ph

III
2
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IV
-

3
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

NỘI DUNG

B.

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại
lượng Vật lý, ta thường
một số công thức, kiến thức của toán học. Do đó,
để giải được các bài tập đó cần nắm vững một số kiến thức sau đây:
1. Bất đẳng thức Cô si:
a b 2 ab ( a, b dương).
a b c 3 3 abc ( a, b, c dương).
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán
va chạm cơ học.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a1b1 a2b2 ) 2

(a1 a2 ) 2 (b1 b2 ) 2
a
b
Dấu bằng xảy ra khi 1 1
a2 b2

Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ
học.
3. Tam thức bậc hai:
y

f ( x)

ax 2 bx c

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol.
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol.
Tọa độ đỉnh: x

b
; y
2a

4a

(

b2 4ac ).

+ Nếu = 0 thì phương trình : y f ( x) ax 2 bx c 0 có nghiệm kép.
+Nếu
0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và
bài tập phần điện.
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
(cos ) max

1

0

(sin ) max

1

900 .

*Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều.
5. Khảo sát hàm số:
- Dùng đạo hàm.
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.
*Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều.
4
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính
chất của phân thức:
a
b

c
d

a c
b d

a c
b d

II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết:
12V , r = 4 , R là một biến trở.Tìm giá trị
của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại.

r

R

BÀI GIẢI
-Dòng điện trong mạch: I
- Công

suất:

2

R r

P

=

2

I2.R

=

(R r)

2

.R
2

P

R

2

R

2rR r 2

=

2

r2
R

( R

Đặt y ( R

r
)
R

R 2r

r 2
)
R

.
2

P

y2

Nhận xét: Để Pma x ymin
Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số
bằng

nhau
2

Pmax

r 2r r

=>
2

4r

122
4.4

ymin

R

r
R

R

=

r

=

9(W )

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết: uAB 200 2 cos100 t (V ).
L

1

A

R

4

(H ) , C

10
( F ). R thay đổi.
2

a. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0.
5
Một số cách giải bài

L,r

C

B

4 ( ) thì


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50 ( )
BÀI GIẢI
a. + Cảm kháng Z L L
1
C

+ Dung kháng: ZC
+ Tổng trở: Z

100( ) .

200( ).

R2 (Z L

ZC )2 .

U2
+ Công suất : P = I .R = 2 .R

Z
2

U2
(Z L ZC )2
R
R

P

R2
(Z L

Đặt y R

U2
.R
( Z L ZC )2
ZC )2
R

P

+ Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y min
U2
2 Z L ZC

Pmax

U2

2.100

2002
200

U2
y

R

ZL ZC

100( ) , lúc đó

200(W) .

Vậy Pma x = 200(W) khi R = 100 ( )
b. + Tổng trở Z

( R r )2 ( Z L ZC ) 2

U2
.R
Z2

+ Công suất P I 2 .R
P

R2

U2
.R
( R r )2 ( Z L ZC ) 2

U2
.R =
2Rr r 2 (Z L ZC )2

r 2 (Z L ZC )2
Đặt y R 2r
R
ymin .
+Nhận xét: Để Pmax

R 2r
U2
.
y

P

Theo bất đẳng thức Côsi ymin

U2
r 2 (Z L ZC )2
R

R

r 2 (Z L ZC )2

R

r 2 ( Z L ZC ) 2

R

U2

Pmax
r 2 ( Z L ZC )2

r 2 ( Z L ZC )2
r 2 ( ZC

ZC )2

2r

U2

Pmax
r 2 (Z L

ZC )2

r 2 ( Z L ZC ) 2 . r 2 ( Z L

r 2 ( Z L ZC )2 . r 2 ( Z L ZC )2

6

Một số cách giải bài

ZC ) 2

2r


Sáng kiến kinh nghiệm
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pmax

U2
2. r 2 ( Z L

ZC )2

Pmax

2r

2002
2.( 502 (100 200) 2

124(W )
50)

Vậy để Pmax = 124(W) thì R r 2 (Z L ZC )2 100( ) .
*Mở rộng: Khi tính P của mạch:
+ Nếu ZL ZC r thì Pmax khi R ZL ZC r .
+Nếu ZL ZC r thì Pmax khi R = 0.
Bài toán 3: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 tại A và đồng thời va chạm

với vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m1 có vận tốc v1' . Hãy xác
định tỉ số

v1'
của m1 để góc lệch
v1

giữa v1 và v1' là lớn nhất

max

. Cho m1 >

m2, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín.
BÀI GIẢI
p1

* Động lượng của hệ trước va chạm:
PT

P1

m1v1

ps

* Động lượng của hệ sau va chạm :
PS

P1' P'2

m1v1' m2v2'

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :
PS

PT

p2

P1

Gọi
(v1, v1' ) (P1, PS ).
Ta có: P2'2 P1'2 P12 2 P1P2 cos (1).
Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:
m1v12
2

m1v1'2
2

m2v2 '2
2

m12v12
2m1

P2'2
2m2

P12 P1'2
2m1

P12
2m1

P1'2
2m1

P2'2

m2 ( P12 P1'2
(2).
m1

m12v12
2m1
P2'2
.
2m2

m22v2'2
2m2
P12

P1'2

m2 v1'
).

m1 v1

(1

m1 '2
.P2 .
m2

Từ(1)và(2) ta suy ra
(1

m2 P1
)
m1 P1'

(1

m2 P1'
)
m1 P1

2cos

(1

7
Một số cách giải bài

m2 v1
).

m1 v1'

2cos


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đặt x

v1'
v1

Để

thì (cos )min

max

(1

0

m2
m2 1
).x (1
).
m1
m1 x

2 cos

Theo bất đẳng thức Côsi (cos )min

(1

m2
m2 1
).x (1
).
m1
m1 x

min

Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
1

m2
.x
m1

Vậy khi

1

v1'
v1

Khi đó, cos

m2 1
.
m1 x

x

m1 m2
m1 m2

m1 m2
thì góc lệch giữa v1 và v1' cực đại.
m1 m2
max

m12 m2 2
.
m1

2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:
Bài toán 1:
Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với v2

v1
;
3

300 . Khi

khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách từ vật một đến O

là d1' 30 3(cm) . Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O.
BÀI GIẢI
Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0
A
).
Áp dụng định lý hàm sin ta có:
d
sin

Vì v2

d1'
d2'
d
sin
sin
sin
v1
nên ta có:
3

d1 v1t
sin

d
sin 300

d1 v1t
sin

d 2 v2t
.
sin

3d 2 v1t
.
3 sin

d2’

B

Áp dụng tính chất của phân thức ta có:
d1 v1t
sin

3d2 v1t
3 sin

d
sin 300

( 3d 2 v1t ) (d1 v1t )
3 sin
sin

3d2 d1
3 sin
sin
8

Một số cách giải bài

d1’

d

3d 2 d1
3 sin
sin

O


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt khác, tacó:
sin

sin(1800

3 sin(300

3 sin

d
sin 300

) sin(300

) sin(

3
cos
2

)

3(sin 300 cos

3
cos
2
d1 )sin 300

d

( 3d2
3
cos
2

1
sin
2

3 cos

sin )2

3
1

 ymax= 2
Lúc đó:

d1'
sin 300

(( 3)2 12 ).(cos 2

cos
sin
d 2'
sin1200

sin

3d 2 d1
.
y

Khoảng cách giữa hai vật dmin ymax với y = ( 3 cos
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:
( 3 cos

3
sin
2

3d2 d1

cos 30 0 sin )

3d 2 d1
1
1
sin
sin
2
2

3d2 d1
3 cos
sin

Vậy d

)

2

3

300 và

sin1200 '
.d1
sin 300

3d1'

cot g
d2'

sin 2 )

sin )2

1200

90(m)

Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d2’ = 90(m)
F
Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:
m
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.
M
Hệ số ma sát giữa M và m là k1.
Tác dụng một lực F lên M theo phương hợp với phương ngang một góc
Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.tính góc tương ứng?

BÀI GIẢI

y

+ Xét vật m: P1 N1 Fms 21 ma (1).
Chiếu lên Ox: Fms21= ma
Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0

Fms21= k1.N1 = k1.mg

a1

N1

Fmn 21
m

k1mg
m

N2

Fms12

Fms 21

N1 = P1

P1

P2
k1 g . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1mg.
9

Một số cách giải bài

F

O

Fms

a1

.

x


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ Xét vật M: F P2 P1 N2 Fms12 Fms (M m)a2 .
Chiếu lên trục Ox: F cos
Chiếu lên Oy: F sin
Ta có: Fms12 k1mg

Fms12

Fms

( P1 P2 ) N 2

0

(M
N2

m)a2
P1 P2

Fms k2 N 2 k2 ( P1 P2 F sin )
F cos
k1mg k2 ( P1 P2 F sin )
a2
M m
F cos
k1mg k2 ( P1 P2
Khi vật trượt a1 a2 k1 g
M m
k1 g ( M m) F (cos
k2 sin ) k1mg k2 ( P1 P2 )

(k1 k2 ) Mg (2k1 k2 )mg
cos
k2 sin

F

Nhận xét: Fmin
y

ymax

Vậy
Lúc đó:

Fms12

M m

Fms

F sin

F sin )

(k1 k2 ) Mg (2k1 k2 ) mg
y

ymax . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:

k2 sin )2

(cos

F cos

a2

(12 k2 2 )(cos 2

sin 2 )

1 k2 2

1 k2 2 .

Fmin

sin
cos

(k1 k2 )Mg (2k1 k2 )mg
1 k2 2
k2
1

tg

k2

3.Áp dụng tam thức bậc hai:
Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một
A
thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng
cạnh một bức tường thẳng đứng. Vào thời điểm mà đầu
B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc
không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc
theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong
B
quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối
với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng.
BÀI GIẢI
Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi
được một đoạn l = u.t.
Độ cao mà con kiến đạt được:

u
h

B

10
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

h l sin

L2 v 2t 2
L

với sin

ut sin

u 22 2 4 u
L t v .t
y
L
L
Vói y = L2t 2 v 2 .t 4 Đặt X = t2
h

Nhận xét: hmax
Parabol

ymax

L4
4( v 2 )

ymax

4a

L4
tại X
4v 2

v2 X 2

L. X

y là tam thức bậc hai có a = - v2 < 0

ymax .

2

ymax

y

L4
4v 2

L2

2v 2

b
2a

Vây độ cao mà con kiến đạt được là : hmax
Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
u AB

A

200 2 cos100 t (V ).

R 100( ); C

10

ymax tại đỉnh

u
ymax
L

R

L

u.L
2v

C

B

4

(F )

Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm . Hãy xác định L
để hiệu điện thế UL đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó?
BÀI GIẢI
+ Cảm kháng: Z L L , dung kháng ZC
+ Tổng trở: Z

R 2 ( ZC

Ta

(R2

U
1
ZC 2 ). 2
ZL

b'
a

1

ZL

Thay số : L

ZC
2
R ZC 2
1002 1002
100.100

UL

2Z C .

1
1
ZL

I .Z L

U .Z L
Z

U .Z
R 2 ( Z L ZC )2

U
y

ymin, với y là tam thức bậc hai có a = R2+ZC2 > 0

+ Nhận xét: để ULmax
nên
ymin tại đỉnh Parabol
x

100( )

Z L )2

có:

UL

1
C

R 2 ZC 2
ZC

ZL
2

L

(H )

11
Một số cách giải bài

R 2 ZC 2
ZC

L

R 2 ZC 2
ZC


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

U R 2 ZC 2

U L max

200 2(V )

R

Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để UC cực
đại ta làm tương tự như trên và kết quả:
U R2

U C max

ZC 2

R

khi ZC

R2 Z L 2
ZL

4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:
Bài toán 1:
Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc . Biết
AO = 20km; BO = 30km; Góc
600 . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất
giữa chúng trong quá chuyển động?
Xét tại thời điểm t : Vật A ở A
Vật B ở B’
Khoảng cách d = A’B’
Ta có:

’

BÀI GIẢI

d
sin

d
sin
d
sin

AO vt BO vt
sin

sin
BO AO
10
sin
sin
sin
sin
10

O

A’

A

với

2cos

2
10sin 600

d

.sin

2

Nhận xét: dmin

B
sin

2

(sin

2

B’

5 3

d

0

2 cos 60 .sin

1200

2

) 1

dmin

V1

Bài toán 2:

Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết: L

0.9

5 3(cm)

L,r

( H ) , UMN không đổi, B
M

C thay đổi, RA = 0, RV rất lớn, tần số
của dòng điện f = 50Hz ; r = 90( ).
Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C

C

V2
A

để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc
cực đại.
12
Một số cách giải bài

N

2

thì UC đạt giá trị


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI GIÀI
Mạch điện được vẽ lại :
Ta có : Z L L 90( )
đồ véc tơ:
Từ giản đồ véc tơ ta có:
UL ZL
+ tg 1
Ur
r
U
UC
+ MN
sin
sin( 1
)

1

1

4

C

B

.

N
A

U MN .sin(
sin

UC

L,r

M

)

1

V1
V2

Mà
UC

1

2
2

U MN sin( 1

sin

4
)

UL

4

2U MN sin(

U BM

)

1

4

Nhận xét: UC cực đại khi sin(

1

) 1

1

2

=1

Ur

1

o

Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn
kế lệch pha nhau

2

(U BM ,U MN )

2
1

2

2

2

U MN

Điều phải chứng minh
5. Dùng phương pháp đạo hàm:
Bài toán 1:

Cho mạch điện như hình vẽ:
u AB

200 2 cos100 t (V ).

R

A

4

R 100( ); C

UC

10
(F )
2

L

Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được.
Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó.
BÀI GIẢI
Dung kháng:
ZC

Tổng trở : Z

1

C

200( )

R 2 (Z L ZC )2 ; Z AM

R2

ZL2

13
Một số cách giải bài

C

M

B


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ta có : U AM

U
.Z AM
Z

I .Z AM

Nhận xét: UAM cực đại

y

'

ZL

R2

U

Z L 2 2Z C Z L
R2 Z L2

ZC 2

1

Z C 2 2Z C Z L
R2 Z L2

Z C 2 2Z C Z L
R2 Z L 2

Đăt y = 1

y'

U

U AM

y

ymin

2ZC ( Z L 2 ZC Z L R 2
( R 2 Z L 2 )2
0

ZL

2

ZC Z L

R

ZC 2 4 R 2

ZC

.

2

0

ZC 2 4 R 2

ZC

ZL

2

241( ) hoặc

0 (loại).

2

Bảng biến thiên:
ZL
y’
y

0

241
0

-

+
+

ymin

Vậy, khi ZL = 241( )
U AM max

U ( 4R

2

ZC

2

L = 0,767(H) thì ymin
ZC )

UAM cực đại.

482( ).

2R

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:

C

R

A

L

B

M

uAB U 2 cos t

R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi. Tụ C có điện dung thay đổi
. Tìm C để UAM cực đại? Tính giá trị cực đại đó?
BÀI GIẢI
U AM

I .Z AM

U .Z AM
R

2

( Z L ZC )

2

2

1

UAM cực đại khi y = ymin .

14
Một số cách giải bài

U

U AM

Z L 2Z L ZC
R 2 ZC 2

U
y


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi

ZC

UAM cực đại.
U AM max

U ( 4R2 Z L 2
2R

ZL )

2

khi C
( 4R

15
Một số cách giải bài

2

ZL2

ZL

4R2

Z L2
2

ZL

thì ymin và


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C.

KẾT LUẬN

Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy “các cách giải bài toán
Vật lý
” tìm giá trị cực đại, cực tiểu của
các đại lượng vật lý được nêu trên đã phát huy được những ưu điển , đã cũng
cố được cách làm bài tập Vật lý cho học sinh.
Đây là một đề tài được áp dụng để giải các bài toán tương đối khó trong Vật
lý, nên với kiến thức cá nhân còn hạn chế,
đề tài thì
quá rộng nên bài viết còn những sai sót nhất định. Tha thiết kính mong quý
đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài được
, hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người thực hiện

16
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

–
2.Gi

-

-

4.

:Lê Nguyên Long

17
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

……………………………………………………………………………………….
.………………………………………………………………………………………
..……………………………………………………………………………………
…..…………………………………………………………………………………
……..………………………………………………………………………………
………..……………………………………………………………………………
…………..…………………………………………………………………………
……………..………………………………………………………………………
………………..……………………………………………………………………
…………………..…………………………………………………………………
……………………..………………………………………………………………
………………………..……………………………………………………………
…………………………..…………………………………………………………
……………………………..………………………………………………………
………………………………..……………………………………………………
…………………………………..…………………………………………………
……………………………………..………………………………………………
………………………………………..……………………………………………
…………………………………………..…………………………………………
……………………………………………..………………………………………
………………………………………………..……………………………………

…………………………………………………..…………………………………
……………………………………………………..………………………………
………………………………………………………..……………………………
…………………………………………………………..…………………………
……………………………………………………………..………………………
………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………..……………
…………………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………..…
……………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
.………………………………………………………………………………………
18
Một số cách giải bài


Sáng kiến kinh nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

..……………………………………………………………………………………
…..…………………………………………………………………………

19
Một số cách giải bài