11 PhuongPhap phan tich da thuc thanh nhan tu

Phần I . Các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
* Các phơng pháp cơ bản
I. Phơng pháp đặt nhân tử chung
1. Phơng pháp
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các
hạng tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một hạng tử.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của
mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. (Dựa và tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng).
2. Ví dụ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5xy - x
2
y
2
+ 2x
2
y
b) 2x(x-y) + 3y(y-x)
c) 20xy(y+z) - 5(2y+2z)z
2
Bài làm
a) 5xy - x
2
y
2
+ 2x
2
y = xy(5-xy+2x)

b) 2x(x-y) + 3y(y-x) = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (x-y)(2x-3y)
c) 20yz(y+z) - 5(2y+2z)z
2
= 20yz(y+z) - 10(y+z)z
2
= 10z(y+z)(2y-z)
3. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 12xy
2
- 3xy + 3y
b) 15x + 10y - 20z
c)
5
2
x(y-2008) - 3y(y-2008)
d) x(y+1) + 3(y
2
+2y+1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau.
a) 85.12,7+5.3.12,7
b) x(x-y) + y(y-x) Với x=53 và y=3
c) 2x
3
(x-y) + 2x
3
(y-x) + 2x
3
(z-x) Với x=2008; y=2009; z=2010
II. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.

1. Phơng pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử
hoặc dới dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
* Môt số hằng đẳng thức
1. (A+B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2. (A-B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
3. A
2
-B
2
= (A-B).(A+B)
4. (A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B

3

5. (A-B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3

6. A
3
+B
3
= (A+B)(A
2
-AB+B
2
)
7. A
3
-B
3
= (A-B)(A
2
+AB+B
2

)
8. (A+B+C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+2AB + 2BC + 2AC
9. A
n
-B
n
= (A-B)(A
n-1
+A
n-2
B+ +AB
n-2
+B
n-1
)
10. A
2k
-B
2k
= (A+B)(A
2k-1
-A

2k-2
B+ -B
2k-1
)
11. A
2k+1
+B
2k+1
= (A+B)(A
2k
-A
2k-1
B+A
2k-2
B
2
- +B
2k
)
12. (A+B)
n
= A
n
+ nA
n-1
B -
( 1)
1.2
n n
A

n-2
B
2
+ +
( 1)
1.2
n n
A
2
B
n-1
+ B
n
13. (A-B)
n
= A
n
-nA
n-1
B +
( 1)
1.2
n n
A
n-2
B
2
- +(-1)
n
B

n

2. Ví dụ
2.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x
6
- y
6
b) 9x
2
+ 6xy + y
2
c) (3x+1)
2
– (x+1)
2
d) x
3
- 3x
2
+ 3x – 1
Bµi lµm
a) x
6
- y
6
= (x
3
)
2

-(y
3
)
2
= (x
3
-y
3
)(x
3
+y
3
)
= [(x-y)(x
2
+xy+y
2
)][(x+y)( x
2
-xy+y
2
)]
b) 9x
2
+ 6xy + y
2
= (3x)
2
+ 2.(3x)y + y
2

= (3x+y)
2
c) (3x+1)
2
– (x+1)
2
= [(3x+1)-(x+1)][(3x+1)+(x+1)]
= 2x(4x+2) = 4x(2x+1)
d) x
3
- 3x
2
+ 3x – 1 = (x-1)
3
2.2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
b) (a+b+c)
3
- a
3
- b
3
- c
3

Bµi lµm
a) a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a+b)
3
– 3ab(a+b) + c
3
– 3abc
= (a+b+c)[(a+b)
2
-(a+b)c+c
2
] – 3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
b) (a+b+c)
3
- a
3
- b
3

- c
3
= (a+b)
3
+ c
3
+ 3c(a+b)(a+b+c) – a
3
– b
3
– c
3
= 3(a+b)(ab+bc+ac+c
2
) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
3. Bµi tËp
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) (x-24)
2
- 25
b) 16 – (3-x)
2
c) (7x-4)
2
– (2x+1)
2
d) 49(y-4)
2
– 9(y+2)
2

Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x-1)
3
+ (x+2)
3
c) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2
y +8x
3
d) 2008
2
16
III. phơng pháP nhóm nhiều hạng tử.
1. Phơng pháp
- Sử dụng cac tích chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp
vào từng nhóm.
- áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
2. Ví dụ
2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- x y

2
y
b) 7x
2
7xy 4x + 4y
c) x
2
2xy z
2
+ y
2
d) xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz
Bài làm
a) x
2
- x y
2
y = (x
2
-y
2
) (x+y) = (x+y)(x-y) (x+y) = (x+y)(x-y-
1)
b) Cách 1: 7x
2
7xy 4x + 4y = (7x
2
7xy) (4x - 4y)
= 7x(x-y) 4(x-y) = (x-y)(7x-4)
Cách 2: 7x

2
7xy 4x + 4y = (7x
2
4x) (7xy - 4y)
= x(7x-4) y(7x-4) = (x-y)(7x-4)
c) x
2
2xy z
2
+ y
2
= (x
2
2xy + y) z
2
= (x-y)
2
z
2

= (x-y-z)(x-y+z)
d) xy(x+y) + yz(y+z) + xz(x+z) + 2xyz
= [xy(x+y)+xyz)] + [yz(y+z)+xyz)]+xz(x+z)
= xy(x+y+z) +yz(x+y+z) + xz(x+z)
= y(x+y+z)(x+z) = xz(x+z)
= (x+z)(xy+y
2
+yz+xz)
= (x+z)(x+y)(y+z)
2.2 - Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bài làm
a) x
2
y + xy

2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ x
2
z + yz
2

= z(x+y)
2
+ xy(x+y) + z
2
(x+y) = (x+y)(xz+yz+xy+z
2
)

= (x+y)[(xz+xy)+(yz+z
2
)]
= (x+y)[x(z+y)+z(y+z)]
= (x+y)(x+z)(y+z)
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x
2
y+ x
2
z+xyz) + (xy
2
+y
2
z+xyz) + (xz
2
+yz
2

+xyz)
= x(xy+xz+yz) + y(xy+yz+xz) + z(xz+yz+xy)
= (x+y+z)( xy+xz+yz)
3. Bài tập
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
4
+ 3x
2
9x 27
b) x
4
+ 3x
3
- 9x 9
c) a
3
a
2
x ay + xy
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) + z(x

2
- y
2
)
b) xy(x - y) xz(x - z) yz(2x + y - z)
c) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
4xyz
d) yz(y + z) + xz(z - x) xy(x + y)
IV. Phơng pháp phối hợp nhiều phơng pháp
1. Phơng pháp
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp đã biết và thơng tiến hành theo trình
tự sau:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2. Ví dụ.
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x
3
27x
b) x
3
x + 3x
2
y + 3xy

2
+ y
3
y
Bài làm
a) 3x
3
27x = 3x(x
2
9) = 3x(x - 3)(x + 3)
b) x
3
x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
y
= (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) (x + y)
= (x + y)
3

(x + y)
= (x + y)[(x + y)
2
1)]
= (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1)
3. Bài tập
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2
c + 2bc
2
4abc
b) 8x
3
(x+z) y
3
z+2x) z
3
(2x-y)
c) [(x
2
+y

2
)(a
2
+b
2
) + 4abxy]
2
4[(a
2
+b
2
) + ab(x
2
+y
2
)]
2
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x+y+z)
3
x
3
y
3
z
3
H ớng dẫn
(x+y+z)
3
x

3
y
3
z
3

= [(x+y+z)
3
x
3
] (y
3
+ z
3
)