Đề Toán và đáp án vòng 1 Trường chuyên Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1. ( 2.5 điểm) Cho
+ + +
= + − ≥ ≠
+ + − −
2 x 4 x 7 x 1
A ( x 0; x 1)
x 3 x 2 x 3 x 1
a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để
+
=
x 1
A
8

Bài 2. ( 2,0 điểm) Cho parabol (P):
2
y x=
và đường thẳng (d):
2
y (2m 1)x m m= − − +

(m là tham số).
a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là

1 2
x ,x
sao cho:

3 3
1 2
x x 1
− =
.
Bài 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình sau :
2
2 2
x xy 1 y 2x
2x y 9

− + = −


+ =


Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M,N không trùng với A).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
a. Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
b. Chứng minh rằng
AB.AC
R
2AH
=

.
c. Kẻ dây cung AE của đường tròn tâm I đường kính OA song song với MN. Gọi F là giao điểm
của MN và HE. Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 5. ( 1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn:
a b c 3+ + =
.
Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c 3

b 1 c 1 a 1 2
+ + ≥
+ + +
========= Hết =========
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……………………………….…………………..Số báo danh:…………….
®Ò chÝnh thøc
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUNG
Bài Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Bài 1.
(2.5 điểm)
Cho
+ + +
= + − ≥ ≠
+ + − −
2 x 4 x 7 x 1
A ( x 0; x 1)

x 3 x 2 x 3 x 1
c. Rút gọn A.
d. Tìm các giá trị của x để
+
=
x 1
A
8

a.
(1.5đ)

( ) ( )
+ + +
= + −
+ −
+ −
2 x 4 x 7 x 1
A
x 3 x 1
x 3 x 1
0.25
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ − + + − + +
=
+ −
2 x 4 x 1 x 7 x 1 x 3
x 3 x 1
0.25

( )
( ) ( )
+ − + + − + +
+ −
2x 2 x 4 x 7 x 4 x 3
=
x 3 x 1
0.25
( ) ( )
−
=
+ −
x x
x 3 x 1
0.25
=
+
x
x 3
0.25
x
KL : A
x 3
=
+
0.25
b.
(1.0 đ)
x 1 x x 1
A

8 8
x 3
+ +
= ⇔ =
+
0.25
x 4 x 3 0⇔ − + =
0.25
x 1
x 9
=

⇔

=

0.25
Đối chiếu điều kiện suy ra với x = 9 thì
+
=
x 1
A
8
0.25
Bài 2
Cho parabol (P):
2
y x=
và đường thẳng (d):
2

y (2m 1)x m m= − − +
(m là tham số).
(2.0 điểm)
c. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
d. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
x ,x
sao cho:

3 3
1 2
x x 1
− =
.
a.
(1.0đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
( )
2 2
x 2m 1 x m m 0− − + − =
(1) 0.25
( )
2
2 2 2
2m 1 4(m m) 4m 4m 1 4m 4m 1∆ = − − − = − + − + =
> 0 với mọi m.
Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 0.25
b.
(1.0đ)
Giải pt (1) tìm được 2 nghiệm

1 2
x ;x
là m và m-1 0.25
Thay vào đk
3 3
1 2
x x 1
− =
ta có pt :
3 3 2
m (m 1) 1 3m 3m 1 1− − = ⇔ − + =
0.25
Giải pt và tìm được
m 0;m 1= =
0.25
KL : Với m=0 ; m=1 thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
x ,x
sao cho:
3 3
1 2
x x 1
− =
0.25
Câu 3
(1.5 điểm)
Giải hệ phương trình sau :

− + = −



+ =


2
2 2
x xy 1 y 2x (1)
2x y 9 (2)
(1)
2 2
x 2x 1 xy y (x 1) y(x 1) (x 1)(x 1 y) 0⇔ + + = + ⇔ + = + ⇔ + + − =

x 1
y x 1
= −

⇔

= +

TH1 : Với x = - 1 thay vào (2) ta có :
2
y 7 y 7= ⇔ = ±
Suy ra hệ có 2 nghiệm: (x; y)= (-1;
7±
)
0.25
TH2 : Với y = x + 1 thay vào (2) ta có :

2 2 2

2x (x 1) 9 3x 2x 8 0+ + = ⇔ + − =
x 2 y 1
4 7
x y
3 3
= − ⇒ = −


⇔

= ⇒ =

Suy ra hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (-2; -1); (
4
3
;
7
3
)
KL: Hệ phương trình có 4 nghiệm: (x; y) = (-1;
7±
); (-2; -1); (
4
3
;
7
3
) 0.25
Bài 4.
(3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
d. Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
e. Chứng minh rằng
AB.AC
R
2AH
=
.
f. Kẻ dây cung AE của đường tròn tâm I đường kính OA song song với MN.
Gọi F là giao điểm của MN và HE. Chứng minh rằng F là trung điểm của
đoạn thẳng MN.

F
E
H
I
N
M
O
A
B
C
a.
(1.0 đ)
AMO 90∠ =
o
(góc nt chắn nửa đường tròn)
MO AB

⇒ ⊥ ⇒
M là trung điểm của AB.
ANO 90∠ =
o
(góc nt chắn nửa đường tròn)
NO AC⇒ ⊥ ⇒
N là trung điểm của AC.
b.
(1.0 đ)
Chứng minh được
AHB∆
∼
ANO∆

AB AH AC AB.AC
AO.AH AB.AN R.AH AB. R
AO AN 2 2AH
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
c.
(1.0 đ)
Chứng minh được EN = MH ( cùng bằng AM)
0.25
Chứng minh được EN // MH
0.25
Suy ra MHNE là hình bình hành 0.25
Suy ra F là trung điểm của MN. 0.25
Bài 5.
(1.0 điểm)
Cho a, b, c >0,
a b c 3+ + =

. CMR :
2 2 2
a b c 3

b 1 c 1 a 1 2
+ + ≥
+ + +

VT
2 2 2
2 2 2
ab bc ca
a b c
b 1 c 1 a 1
     
= − + − + −
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
0.25
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
ab bc ca ab bc ca
a b c 3
b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1
   
= + + − + + = − + +
 ÷  ÷
+ + + + + +

   
0.25
( )
2
2 2 2
2 2 2
a b c
ab bc ca ab bc ca
3 3 3
2 6
2 b .1 2 c .1 2 a 1
 
+ +
+ +
 
≥ − + + = − ≥ −
 ÷
 ÷
 
 
0.25
9 3
3 VP
6 2
= − = =
(đpcm) 0.25
Hướng dẫn chung
1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải
trình bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không

cho điểm hình vẽ )
3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
4. Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm
tròn).
=============================