1 VEC TO VA CAC DANG BAI TAP

GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Hình học 10

Chơng I - Véc tơ
I. Véc tơ:
1. Định nghĩa:
Véctơ là một đoạn thẳng có:
+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.
+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)
Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là
AB
uuur
; độ dài của
AB
uuur
kí hiệu là
AB
uuur
Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi tên nh:
; ; ; ...a b c
r r r
2. Véctơ không:
Véctơ không:
0
r
là véctơ có:
+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
+ Độ dài bằng 0.
+ Hớng bất kì.
3. Hai véctơ cùng ph ơng:

Hai véctơ
;AB CD
uuur uuur
gọi là cùng phơng: kí hiệu
//
//
A,B,C,D thẳng hàng
AB CD
AB CD




uuur uuur
4. Hai véctơ cùng h ớng:
Hai véctơ
CD;AB
gọi là cùng hớng: kí hiệu




hướng cùng CD AB,tia hai
CD//AB
CDAB
5. Hai véctơ ng ợc h ớng:
Hai véctơ
CD;AB
gọi là ngợcchớng: kí hiệu

hướng ngược CD AB,tia hai
CD//AB
CDAB
6. Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ
CD;AB
bằng nhau: kí hiệu




=
=
CDAB
CDAB
CDAB
7. Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ
CD;AB
đối nhau: kí hiệu




=
=
CDAB
CDAB
CDAB

8. Góc của hai véctơ:
Góc của hai véctơ
CD;AB
là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt cùng hớng với hai tia AB; CD.
+ Khi
CD;AB
không cùng hớng thì
oo
180yO

x0

.
+ Khi
CD;AB
cùng hớng thì
o
0yO

x
=
II. Các phép toán véctơ:
1. Phép cộng véctơ:
Định nghĩa: Tổng của hai véctơ
b;a
là một véctơ đợc xác định nh sau:
+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ
aOA
=
.

+ Từ điểm A dựng véctơ
bAB
=
+ Khi đó véctơ
OB
gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ
b;a
:
baOB
+=
Trang 1
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):
Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có:
ACBCAB
=+
(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)
Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành):
ACADAB
=+
(với ABCD là hình bình hành)
Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có:
( )
MBMA
2
1
MI
+=
Tính chất:
- Giao hoán:

abba
+=+
- Kết hợp:
( ) ( )
cbacba
++=++
- Cộng với không:
a0a
=+
- Cộng với véctơ đối:
0)a(a
=+
2. Phép trừ véctơ:
)b(aba
+=
Với
cbacba
+==
Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có:
OAOBAB
=
3. Phép nhân một véctơ với một số thực:
a. Định nghĩa:
a.k
là một véctơ:
- Với
0k;0a

thì véctơ
a.k

sẽ cùng phơng với
a
và sẽ:
+ Cùng hớng với
a
nếu k>0.
+ Ngợc hớng với
a
nếu k<0.
+ Có độ dài
a.ka.k
=
-
00.ka.0
==
b. Tính chất:
+)
aa).1(;aa.1
==
+)
a)mn()a.n.(m
=
+)
anama)nm(
+=+
+)
bmam)ba(m
+=+
+)
b;a

cùng phơng
)0a(bka
=
4. Tỉ số của hai véctơ cùng ph ơng:










=
<
>
=
b
a
k
ba nếu 0k
ba nếu 0k
k
b
a
b//a
Trang 2
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán

Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức véctơ
*Ph ng phỏp :
+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm.
+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngợc lại; biến đổi hai vế
cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng.
* B i t p minh h a :
Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:
a.
CBADCDAB
+=+
b.
BDACCDAB
=
c.
0CABDDCAB
=+++
d.
0DABCCDAB
=+++
Bài 2. Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CM:
a.
0GCGBGB
=++
b.
MG3MCMBMB
=++
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I.
bBO;aAO
==

a. Chứng minh rằng:
AI2ADAB
=+
b. Tính
DA;CD;BC;AB;BD;AC
theo
b;a
.
Bài 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 5. Cho tam giác ABC. I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. CM:
. . . 0a IA b IB c IC+ + =
uur uur uur r
Bài 6. Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Gọi G là trọng tâm của G và G'. Chứng minh rằng:
' ' ' 3 'AA BB CC GG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
Bài 7. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:
4AD BD AC BC MN+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC. Chứng
minh rằng:
a)
HO2HCHBHA
=++
b)
GO2HG
=
Bài 9. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lợt là hình
chiếu của nó trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

MO
2
3
MFMEMD
=++
Bài 10. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS.
Chứng mình:
0PSIQRF
=++
Bài 11. Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD. CM:
( )
DB3DAFAAIAB2
=+++
Bài 12. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM:
a.
AB
3
1
AC
3
2
AH
=
;
( )
ACAB
3
1
CH
+=

b. M là trung điểm của BC. CM:
AB
6
5
AC
6
1
MH
=
Trang 3
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ
* Ph ng phỏp:
+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:
aOM
=
trong đó O và
a
đã biết.
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ
a
. Khi đó ngọn của
véctơ này chính là điểm M.
* B i t p :
Bài 1. Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết:
0MB3MA2
=
Bài 2. Cho hai điểm A, B và một véc tơ
v

. Xác định điểm M biết:
vMBMA
=+
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a. Xác định điểm K sao cho:
0AK12AC2AB3
=+
b. Xác định điểm D sao cho:
0KD12AC4AB3
=+
Bài 4. Cho tam giác ABC.
a. Xác định điểm I sao cho:
0IB2IA
=+
b. Xác định điểm K sao cho:
CBKB2KA
=+
c. Xác định điểm M sao cho:
0MC2MBMA
=++
Bài 5. Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho:
0)KEKD(3KCKBKA.c
0IDICIBIA.b
0OC3OB2OA.a
=++++
=+++
=++
Bài 6. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M sao cho:
0MC2MBMA
=++

Bài 7. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho:
a.
0MB2MA
=+
b.
CBNB2NA
=+
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn:
ADACABAM3
++=
Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả mãn:
0ODOCOBOA
=+++
Bài 10. Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh
MC5MB4MAa
+=
không phụ thuộc vị trí của điểm
M.
Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh chỉ có một điểm M thoả mãn hệ thức:
0MDMC5MB3MA2
=++
Trang 4
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
* Ph ng phỏp :
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh:
)Rk(ACkAB
=
. Để chứng
minh đợc điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:

+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian.
* B i t p :
Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho:
ECDEBD
==
a. Chứng minh:
AEADACAB
+=+
b. Tính véctơ:
AEACADABAS
+++=
theo
AI
c. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Đặt
vAC;uAB
==
a. Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính
AP
theo
v;u
?
b. Qọi Q và R là hai điểm định bởi:
AB
3
1
AR;AC
2
1

AQ
==
. Tính
RQ;RP
theo
v;u
.
c. Suy ra P, Q, R thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:
0IC3IA2
=+
,
0JC3JB5JA2
=++
a. CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC.
b. CMR: J là trung điểm của BI.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả mãn:
IB2IA
=
;
0JC2JA3
=+
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn:
PC2PB;0AC2AN3;0MBMA
===+
Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J thoả mãn:
0JC2JB2JA;0JD2JC2JA3
=+=+

Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của
tam giác ABC. CMR: O, G, H thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho:
0MC3MB
=
,
NC3AN
=
,
0PBPA
=+
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau
* Ph ng phỏp:
Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hớng:
Cách 1: Chứng minh
0'MM
=
Cách 2: Chứng minh
'OMOM
=
với O là điểm tuỳ ý.
* B i t p:
Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm
ABC;ACB;BCA
111

sao cho:
111

CCBBAA
++
. Chứng
minh rằng hai tam giác ABC và A
1
B
1
C
1
có cùng trọng tâm.
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh
rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Dạng 5. Quỹ tích điểm
* Ph ng phỏp:
Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu
MBMA
=
với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của đoạn AB.
Trang 5
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
- Nếu
AB.kMC
=
với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn tâm C, bán kính bằng
AB.k
.
- Nếu
BCkMA
=

thì
+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu
Rk

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và cùng hớng
BC
nếu
+

Rk
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và ngợc hớng
BC
nếu


Rk
* B i t p:
Bài 1. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a.
MCMB
2
3
MCMBMA
+=++
b.
MCMBMA2MC2MB3MA
=+
Bài 2. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: véctơ
MC2MB5MA3v

+=
không đổi.
b. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
MCMBMC2MB2MA3
=+
Trang 6
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
trục toạ độ và hệ trục toạ độ

Phần 1. Trục toạ độ
Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của

AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2

MA
+ 5

MB
=
0
r
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA
+

MB


MC
=
0
r
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA
3

NB
=

NC
Bài 3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho

NA
+ 3
NB
=
AB
Bài 4. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR:
2
IAID.IC
=
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR:
AJ.ABAD.AC
=
phần 2. Hệ toạ độ đề các vuông góc

I. Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:
Bài 1. Biểu diễn véc tơ
jyixu
+=
biết a)
)5;2(u

b)
)0;4(u

Bài 2. Xác định toạ độ của véc tơ
u
biết: a)
j2i5u
=
b)
i3u
=
c)
j7u
=
Bài 3. Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ
c
biết
a)
b3ac
+=
;
)1;2(a

;
)4;3(b
b)
b5a3c
=
;

)3;2(a

;
)6;3(b


Bài 4. Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)
a) Xác định toạ độ của các véc tơ:
BA;AB
b) Tìm toạ độ điểm M sao cho
)0;3(BM
c) Tìm toạ độ điểm N sao cho
)1;1(NA
II. Biểu diễn Véc tơ:
Bài 1. Biểu diễn véc tơ
c
theo các véc tơ
b;a
biết:
a)
)7;4(c);4;3(b);1;2(a

b)
)3;1(c);3;2(b);1;1(a


Bài 2. Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy biểu diễn véc tơ
AD
theo các véc tơ
AB

;
AC
Bài 3. Biểu diễn véc tơ
c
theo các véc tơ
b;a
biết:
a)
)5;0(c);1;2(b);3;4(a

b)
)0;2(c);3;5(b);2;4(a

Bài 4. Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy biểu diễn véc tơ
AD
theo các véc tơ
AB
;
AC
III. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:
Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho
BC2AE
=
b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5
c. Tìm tập hợp điểm M biết:
MCMBMC3)MBMA(2
=+
Bài 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ:
Trang 7

GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA
1
c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm điểm M sao cho
2
M
2
M
yx
+
nhỏ nhất.
Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;
2
3
)
a. CM: ABC vuông b. Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
c. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
MCMAMC3MB2MA2
=+
Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của:
a. Trọng tâm G của tam giác b. Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC
c. Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. d. Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e. Điểm M biết:
AC3AB2CM
=
f. Điểm N biết:
0CN4BN2AN
=+

Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ của:
a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp c. Điểm M biết
ABCM3AM2
=
Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 8. Cho điểm A(3;1)
a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC.
Bài 9. Cho M(1-2t; 1-3t). Hãy tìm điểm M sao cho
2
M
2
M
yx
+
nhỏ nhất.
IV. Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng hàng:
Bài 1. Cho A(0;4); B(3;2).
a. Chứng minh
C,B,A
biết C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi
ABD.
Bài 2. Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ:
a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.
c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và
52PA
=
.

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a. Tính diện tích tam giác ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.
Bài 4. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)
Bài 5. Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và
B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c.
22
OB
1
OA
1
+
nhỏ nhất.
Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ:
a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.
c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và
53PA
=
.
Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)
a. Tính diện tích tam giác ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.
Bài 8. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)
Bài 9. Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)
Bài 10. Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất,

biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)
Bài 11. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A
và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c.
22
OB
1
OA
1
+
nhỏ nhất.
Trang 8
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Bài 12. Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A
và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c.
22
OB
1
OA
1
+
nhỏ nhất.
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a
r
=
i

r
3
j
r
,
b
r
=
2
1
i
r
+
j
r
;
c
r
=
i
r
+
2
3
j
r
;
d
r
= 3

i
r
;
e
r
=
4
j
r
.
Bài 2. Viết dới dạng
u
r
= x
i
r
+ y
j
r
, biết rằng:
u
r
= (1; 3) ;
u
r
= (4; 1) ;
u
r
= (0; 1) ;
u

r
= (1, 0) ;
u
r
= (0, 0)
Bài 3. Trong mp Oxy cho
a
r
= (1; 3) ,
b
r
= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:
a/
u
r
= 3
a
r
2
b
r
b/
v
r
= 2
a
r
+
b
r

c/
w
r
= 4
a
r

2
1
b
r
Bài 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ

AB
,

AC
,

BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho:

CM
= 2

AB
3

AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho:

AN
+ 2

BN
4

CN
=
0
r
Bài 5. Trong mp Oxy cho ABC có A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
Bài 6. Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D (3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 7. Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó.
Bài 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông
tại M.
Bài 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC.
Chúc các em ôn tập tốt!
SUY NGHI CAM XUC HANH ễNG KấT QUA
Trang 9
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Tích vô hớng
I. Lí thuyết:
1. Định nghĩa:
( )
b,acos.b.ab.a
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
oo
o
o
180b,a900b,acos0b.a
ba90b,a0b,acos0b.a
90b,a00b,acos0b.a
<<<
===
<>>
2. Tính chất:
a. Giao hoán b. Tính chất phân phối c.
a.bb.a
=
( )
cabacb.a
+=+

( ) ( )
b.ambam
=
3. Biểu thức toạ độ của tích vô h ớng:
Nếu
22112211
yxyxb.a)y;x(b);y;x(a
+=
4. Công thức hình chiếu:
a. Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:
CD.ABCD.AB
=
b. Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của
CD
thì:
CD.'B'ACD.AB
=
II. Bài tập áp dụng:
Tính tích vô hớng
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.
a. Tính các tích vô hớng
BC.AB;CD.AB
b. Gọi I là điểm thoả mãn
0IC4IB2IA
=+
. Chứng minh
rằng:
BCIG là hình bình hành từ đó tính
( )
IB.IA;IC.IB;ACABIA

+
Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.
a. Tính
AC.AB
từ đó suy ra:
AB.CACA.BCAC.AB
++
b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và
cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là
điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính:
a.
MD.MCMB.MA
+
b.
NB.NA
c.
BA.NO
Bài 4. Cho ba véc tơ
c;b;a
thoả mãn điều kiện
cc;bb;aa
===
và
0c3ba
=++
. Tính:
accbbaA
++=
Bài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH

a. Tính các tích vô hớng
HC.AB
b.
( ) ( )
BCAB2.ACAB
+
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10
a. Tính
AB.AB
b. Trên AB lấy M sao cho AM=2; trên cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4. Tính
AN.AM
Bài 7. Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2
Tính các tích vô hớng
BD.AC;BC.BD;CD.AB
Trang 10
GV: Nguyn Vn Huy ( 0909 64 65 97 ) Hỡnh hc 10
Bài 8. Cho ba véc tơ
c;b;a
thoả mãn điều kiện
1c;2b;3a
===
và
0c3ba
=++
. Tính:
accbbaA
++=
Chứng minh đẳng thức về tích vô hớng hay về độ dài
Bài 9. Cho hai điểm A và B, O là trung điểm của AB và M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng:
22

OAOMMB.MA
=
Bài 10. Cho MM
1
là đờng kính của đờng tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và OA=d. Giả sử AM
cắt (O) tại N.
a. Chứng minh rằng tích vô hớng
1
AM.AM
có giá trị không phụ thuộc M.
b. CMR:
AN.AM
có giá trị không phụ thuộc M.
Bài 11. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng:
2
ABBD.BEAC.AE
=+
Bài 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a.
2
BC.
4
1
MA.MH
=
b.
2222
BC

2
1
AHMAMH
+=+
Bài 13. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng:
0AB.MCCA.MBBC.AM
=++
Chứng minh tính vuông góc - thiết lập điều kiện vuông góc
Bài 14. Chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.
Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD, ACE.
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: AMDE
Bài 16. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: ABCD
2222
BCADBDAC
+=+
Bài 17. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao
cho:
a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
Bài 18. Cho tứ giác ABCD biết
0DA.DCCD.CBBC.BAAD.AB
=+++
. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì
sao?
Điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hay độ dài
Bài 19. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
4
a
MA.MCMC.MBMB.MA
2
=++

Bài 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
( ) ( )
0MCMA.MBMA
=++
b.
22
aMC.MBMB2
=+
với BC=a.
Bài 21. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
AB.ACAB.AM
=
b. MA
2
-MB
2
+CA
2
-CB
2
=0
Trang 11