Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.27 MB, 33 trang )
TÓM LƯỢC NỘI DUNG
ÔN THI ĐẦU VÀO
(HỆ LIÊN THÔNG)
ThS. Đinh Quang Đức
01-10-2015
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
A. CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG
I.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
Cho tam giác ABC với a = BC, b = CA, c = AB
Định lý hàm cosin:
1/ AB2 CA2 CB2 2CACB
. .cos C
2/ c2 b2 a2 2.b.a.cos C
2
2
2
3/ AC BA BC 2BA.BC.cos B
4/ b2 c2 a2 2.c.a.cos B
2
2
2
5/ BC AB AC 2 AB.AC.cos A
6/ a2 c2 b2 2.c.b.cos A
Hệ quả:
1/ cos A
AB 2 AC 2 BC 2
2. AB. AC
2 / cos A
b2 c 2 a 2
2.b.c
BA2 BC 2 AC 2
3 / cos B
2.BA.BC
a 2 c 2 b2
4 / cos B
2.a.c
CA2 CB 2 AB 2
5 / cos C
2.CA.CB
a 2 b2 c2
6 / cos C
2.a.b
Định lý hàm sin:
BC
R
2sin A
1/ BC 2 R.sin A
sin A BC
2R
a
R
2sin A
2/ a 2 R.sin A
sin A a
2R
AB
R 2sin C
3/ AB 2 R.sin C
sin C AB
2R
c
R 2sin C
4/ c 2 R.sin C
sin C c
2R
AC
R 2sin B
5/ AC 2 R.sin B
sin B AC
2R
b
R 2sin B
6/ b 2 R.sin B
sin B b
2R
Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Công thức tính độ dài trung tuyến:
1/ ma 2
1
1
2 AB 2 2 AC 2 BC 2 2b 2 2c 2 a 2
4
4
2/ mb 2
1
1
2 BA2 2 BC 2 AC 2 2c 2 2a 2 b 2
4
4
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 1
TÀI LIỆU ÔN TẬP
3/ mc 2
Năm 2015
1
1
2CA2 2CB 2 AB 2 2b2 2a 2 c 2
4
4
Trong đó ma là trung tuyến xuất phát từ A.
Diện tích tam giác ABC:
1
2S
S 2 a.ha ha a
1
2S
1
2S
S b.hb hb
1/ S day.cao cao
2
day
2
b
S 1 c.hc hc 2S
2
c
1
1
S 2 CA.CB.sin C 2 b.a.sin C
1
1
2/ S AB. AC.sin A c.b.sin A
2
2
S 1 .BC.BA.sin B 1 .a.c.sin B
2
2
S
S
pr
r
p
4/
p 1 a b c
2
1
2S
S 2 BC.ha ha BC
S 1 AC.h h 2S
b
b
2
AC
S 1 AB.hc hc 2 S
2
AB
AB.BC.CA
AB. BC.CA
R
S
4R
4S
3/
a.b.c
a.b.c
S 4 R R 4S
S p p AB p BC p CA
5/
1
1
p AB BC AC a b c
2
2
p p a p b p c
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Muốn viết phương trình đường thẳng d cần tìm:
+1 điểm thuộc d và 1 vecto pháp tuyến của d
+1 điểm thuộc d và 1 vecto chỉ phương của d
Các dạng phương trình đường thẳng thường gặp:
PTTQ đường thẳng d : qua M x0 ; y0 và có vecto pháp tuyến n a; b
Suy ra đường thẳng (d) có dạng a(x – x0) + b(y – y0) = 0. Suy ra PTTQ (d): ax + by + c = 0
x x0 u1t
t R
y y0 u2t
PTTS đường thẳng d : qua M x0 ; y0 và có VTCP u u1; u2 có dạng
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 2
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
PTCT của d : qua M x0 ; y0 và có VTCP u u1; u2 có dạng
x x0 y y0
; u1 0; u2 0
u1
u2
PT đường thẳng d theo đoạn chắn: d qua A a;0 ; B 0; b có dạng
x y
1 ; a 0; b 0
a b
d / / d : ax by k 0
Cho phương trình (∆): ax + by + c = 0 viết pt (d):
d d : bx ay k 0
Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k : y = kx + a. Cần tìm a.
2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng (∆1): a1x + b1y + c1 = 0 và (∆2): a2x + b2y + c2 = 0
a/Nếu
a1 b1
thì (∆1) cắt (∆2) tại 1 điểm.
a2 b2
Tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải hpt gồm (∆2) và (∆1)
b/Nếu
a1 b1 c1
thì (∆1) // (∆2)
a2 b2 c2
c/Nếu
a1 b1 c1
thì (∆1) trùng (∆2).
a2 b2 c2
d/ Nếu a1a2 b1b2 0 thì (∆1) vuông góc (∆2)
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng (∆):ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng (∆) được ký hiệu là d M ; và được tính theo công thức d M ;
ax0 by0 c
a 2 b2
.
4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng (∆1): a1x + b1y + c1 = 0 có vecto pháp tuyến n a1; b1
1
Cho đường thẳng (∆2): a2x + b2y + c2 = 0 có vecto pháp tuyến n a2 ; b2
2
Cosin của góc giữa (∆2) và (∆2) được tính theo công thức:
cos 1; 2
n1.n2
n1 n2
a1.a2 b1.b2
a12 b12 . a2 2 b2 2
5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có phương trình dạng ngắn (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Đường tròn (C) có phương trình dạng dài x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với tâm I(a;b) và bán kinh
R được tính theo công thức R a 2 b2 c
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 3
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
Các dạng bài toán viết phương trình đường tròn thường gặp
Đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R→viết phương trình (C) dạng ngắn
(C) có tâm I(a;b) và qua điểm M → (C) có bán kính R = IM → viết pt (C) dạng ngắn.
(C) có đường kính AB→(C) có tâm là trung điểm của đoạn AB và bán kính R = AB/2.
(C) có tâm I(x0;y0) và (C) tiếp xúc với đường thẳng (∆):ax + by + c = 0→ (C) có bán
kính R được tính theo công thức R d I ;
a.x0 b. y0 c
a 2 b2
(C) đi qua 3 điểm ↔ (C) ngoại tiếp tam giác → dùng phương trình đường tròn (C) dạng dài.
6. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm M(x0;y0) (C).
qua M x0 ; y0
Đường thẳng (∆)
IM vtpt n IM
PTTQ
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn dùng điều kiện tiếp xúc.
a.x0 b. y0 k
(∆) tiếp xúc với đường tròn (C) ↔ d[I;∆] = R ↔
a 2 b2
R
+ (∆) // ax + by + c = 0 → (∆): ax + by + k = 0. Tìm k dùng điều kiện tiếp xúc.
+ (∆) ax + by + c = 0 → (∆): bx - ay + k = 0. Tìm k dùng điều kiện tiếp xúc.
+ (∆) có hệ số góc k →(∆):y = kx + c ↔ kx – y + c = 0. Tìm c dùng điều kiện tiếp xúc.
7. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
x2 y 2
1 ; (a>b>0);
a 2 b2
+Các yếu của elip : a2 = b2 + c2 →c2 = a2 – b2
+Tọa độ đỉnh A1(- a;0); A2(a;0); B1(0;- b);B2(0;b)
+Độ dài trục lớn A1A2 = 2a; độ dài trục bé B1B2 = 2b
+Hai tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0)
+Tiêu cự F1F2 = 2c.
+Tâm sai e = c/a
+Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở x a ; y b
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 4
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
c
MF1 a e.xM a a xM
+Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (E):
MF a e.x a c x
M
M
2
a
Các bài toán viết phương trình chính tắc của elip thường gặp:
+ Cho độ dài trục lớn 2a→ tìm được a.
+ Cho độ dài trục nhỏ 2b→tìm được b.
+ Cho đỉnh nằm trên Ox→ tìm được a.
+ Cho đỉnh nằm trên Oy→ tìm được b
+ Cho phương trình 2 cạnh của hình chữ nhật cơ sở x a → tìm được a
+ Cho phương trình 2 cạnh của hình chữ nhật cơ sở y b → tìm được b
+ Cho tiêu điểm F1(-c;0) hay F2(c;0) →tìm được c→dùng công thức c2 = a2 – b2.
+ Cho tiêu cự 2c →tìm được c→dùng công thức c2 = a2 – b2.
+Cho M xM ; yM E
xM 2 yM 2
2 1
a2
b
Tìm điểm M thuộc (E) thỏa yêu cầu bài toán.
+ Tìm điểm M thuộc (E) sao cho MF1 = kMF2 (1)
c
MF1 a e.xM a a xM
Thế
vào (1) tìm được xM.
MF a e.x a c x
M
M
2
a
Thế xM vào phương trình elip tìm được yM.
+Tìm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn 2 tiêu điểm dưới góc α:
F1F2 2 M 1F12 MF2 2 2MF1.MF2 .cos
Điểm M thỏa x 2 y 2
M
M
2 2 1
b
a
8. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
B 0
1/ A B
2
A B
A 0 hayB 0
2/ A B
A B
A B
3/ A B
A B
B 0
4 / A B A B
A B
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 5
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
A 0
5 / A B B 0
A B2
A 0
6 / A B B 0
A B2
B 0 B 0
7/ A B
2
A 0 A B
B 0 B 0
8/ A B
2
A 0 A B
A B
9/ A B
A B
A B
10 / A B
A B
A B
11/ A B
A B
A B
12 / A B
A B
9.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC 2
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c trong đó ∆ = b2 – 4ac, S = - b/a; P = c/a .
Phương trình f(x) = 0 :
a 0
1/ có nghiệm a 0
0
a 0
0
a 0
2/ vô nghiệm a 0
0
a 0
0
3/ có 2 nghiệm pb
4/ có 2 nghiệm x1 ; x2
5/có 2 nghiệm trái dấu a.c 0
6/ có 2 nghiệm pb cùng dấu
0
7/ có 2 nghiệm x1>x2>0 S 0
P 0
0
8/có 2 nghiệm pb x1
a 0
9/ f x 0; x R
0
a 0
11/ f x 0; x R
0
0
P 0
a 0
10/ f x 0; x R
0
a 0
12/ f x 0; x R
0
10. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
sin 2 a 1 cos 2 a
1/ sin a cos a 1 2
2
cos a 1 sin a
2
2
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
sin a tan a.cos a
sin a
2 / tan a
cos a sin a
cos a
tan a
Trang 6
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
1
tan a cot a
4 / tan a.cot a 1
cot a 1
tan a
cos a cot a.sin a
cos a
3 / cot a
sin a cos a
sin a
cot a
1
2
cot a
1
1
sin 2 a
2
6 /1 cot a
1
sin 2 a
sin 2 a
1 cot 2 a
1
2
tan a
1
1
cos 2 a
2
5 /1 tan a
1
cos 2 a
cos 2 a
1 tan 2 a
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI- NHÂN BA
1/ sin2a = 2sina.cosa sina.cosa =
sin2a
2
2 / cos 2a cos 2 a sin 2 a 2cos 2 a 1 1 2sin 2 a
3 / sin3a = 3sina - 4sin 3a
4 / cos3a = 4cos3a - 3cosa
CÔNG THỨC HẠ BẬC
1/ cos 2 a
1 1
cos 2a
2 2
2 / sin 2 a
1 1
cos 2a
2 2
CÔNG THỨC CỘNG
1/ sin a b sin a.cos b cos a.sin b
2 / sin a b sin a.cos b cos a.sin b
3 / cos a b cos a.cos b sin a.sin b
4 / cos a b cos a.cos b sin a.sin b
4 / tan a b
tan a tan b
1 tan a.tan b
6 / tan a b
tan a tan b
1 tan a.tan b
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
ab
a b
1/ cos a cos b 2cos
.cos
2
2
ab
a b
2 / cos a cos b 2sin
.sin
2
2
ab
a b
3 / sin a sin b 2sin
.cos
2
2
ab
a b
4 / sin a sin b 2cos
.sin
2
2
5 / sin a cos a 2 sin a 2 cos a 6 / sin a cos a 2 sin a 2 cos a
4
4
4
4
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1/ cos a.cos b
1
cos a b cos a b
2
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
2 / sin a.sin b
1
cos a b cos a b
2
Trang 7
TÀI LIỆU ÔN TẬP
3 / sin a.cos b
1
sin a b sin a b
2
Năm 2015
4 / cos a.sin b
1
sin b a sin a b
2
CUNG LIÊN KẾT: COS ĐỐI, SIN BÙ, PHỤ CHÉO, HƠN KÉM
TAN – COT
cos ;k 2n; n Z
1/ cos k
cos ;k 2n 1; n Z
sin ;k 2n; n Z
2 / sin k
sin ;k 2n 1; n Z
3 / cot k cot a; k Z
4 / tan k tan a; k Z
1/ cos a cos a
2 / sin a sin a
COS ĐỐI:
3 / tan a tan a
4 / cot a cot a
1/ cos a cos a
2 / sin a sin a
SIN BÙ:
3 / tan a tan a
4 / cot a cot a
1/ cos 2 a sin a
2 / sin a cos a
2
PHỤ CHÉO:
3 / tan a cot a
2
4 / cot a tan a
2
1/ cos a sin a
2
HƠN KÉM :
2
3 / tan a cot a
2
HƠN KÉM
1/ cos a cos a
2 / sin a sin a
:
3 / tan a tan a
4 / cot a cot a
2 / sin a cos a
2
4 / cot a tan a
2
B. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d:
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
Tính y’’ tìm 1 điểm uốn
Bảng biến thiên
Điểm đặc biệt (5 điểm)
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 8
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
ax b
cx d
2. Hàm nhất biến y
Miền xác định D=R\ d c
Tính y '
ad bc
cx d 2
(>0, <0)
TCĐ x d c - TCN y a c
Bảng biến thiên
Điểm đặc biệt (4điểm)
Đồ thị
- Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
3.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
Phương trình tiếp tuyến: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y
ktt x
x0
y0 với
ktt
f ' x0
y ' x0
y0
f x0
y x0
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C1) biết tiếp tuyến song song hay vuông góc với
đường thẳng
cho trước hoặc tiếp tuyến có hệ số góc.
Tính y’ = f’(x)
Gọi (x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến : ktt
Có ktt = f’(x0), giải phương trình tìm x0
y0 = f(x0)
pttt: y
ktt x
x0
y0
CHÚ Ý:
Nếu ( ): ax + by + c = 0 thì hệ số góc k
Nếu ( ): y = kx + m thì hệ số góc k
Nếu tiếp tuyến //
thì ktt
Nếu tiếp tuyến
thì ktt .k
a
b
k
k
1
4. MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 9
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Bài 1 Cho hàm số y
Năm 2015
2x 3
x 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết rằng d vuông góc đường thẳng y x 2
Tập xác định: D R \ 1
Sự biến thiên:
1
; y ' 0; x 1
-
Đạo hàm: y '
-
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;
-
Giới hạn và tiệm cận: lim y lim y 2 tiệm cận ngang y 2
x 1
2
x
x
lim y ; lim y tiệm cận đứng x 1
x 1
-
x 1
Hàm số không có cực trị
ￚ Bảng biến thiên:
Đồ thị:
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 10
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
2/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết rằng d vuông góc với y x 2
d vuông góc với đường thẳng y x 2 d có hệ số góc bằng – 1
Hoành độ tiếp điểm x0 : y ' x0 1
1
x0 1
2
x0 0
1
x0 2
x0 0 : phương trình tiếp tuyến d là y x 3
x0 2 : phương trình tiếp tuyến d là y x 1
Câu 2 Cho hàm số y
x 1
có đồ thị (C).
x 1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (d): y
Câu 3 Cho hàm số y
1
x 1
2
2x 5
có đồ thị (C).
2 2x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y
Câu 4 Cho hàm số y
x3
5x2
1
x
6
2000
2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 3x + y – 1 = 0.
Câu 5 Cho hàm số y
x3
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
3x
2 có đồ thị (C).
Trang 11
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với (d): y = 9x + 1.
C. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình lượng giác
Dạng 1 Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác (sin, cos)
Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos2 2 x 2 3 cos2 x 3 0 (*)
Đặt t cos2 x điều kiện 1 t 1 , phương trình (*) trở thành
t 1 n
2t 2 3 t 3 0
3
t
n
2
2
x k
2 x k 2
2
t 1 cos 2 x 1 cos
k Z
2 x k 2
x k
2
2 x k 2
x k
3
3
6
12
t
cos 2 x
cos
k Z
2
2
6
2 x k 2
x k
6
12
Bài tập: Giải các phương trình sau
a/ 2sin 2 x 2 3 sin x 3 0
b/
c/ 4sin 2 x 4sin x 3 0
d/ cos2x 9cos x 5 0
3
4
e/ sin 2 2x 2cos 2 x 0
2 cos 2 2 x 1 2 cos2 x 1 0
f/ 3 2sin 2 3x 5cos3x
0
Dạng 2: Phương trình dạng a sin X b.cos X c 1
a 2 b2
a
b
c
1 2 2 .sin X 2 2 .cos X 2 2
a b
a b
a b
Cách giải: Chia hai vế của phương trình (*) cho
cos d
sin d
cos d .sin X sin d .cos X
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
c
a 2 b2
Trang 12
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
c
sin X d
a 2 b2
Ví dụ: Giải phương trình sau:
3s in3x cos3x 3 0
3
1
3
sin 3 x cos3 x
2
2
2
3
3
cos .sin 3 x sin .cos3 x
sin 3 x
sin
6
6
2
6
2
3
3 sin 3 x cos3 x 3
2
3
x
k
2
x
k
6
3
18
3
k Z
k Z
2
3x k 2
x k
6
3
2
3
Bài tập: Giải các phương trình sau
a/ 3 cos x sin x 2 0
b/ 3sin3x 4cos3x 5 0
c/ 2sin3x 3sin x cos x 0
d/ 3
e/ 3cos
2
- 3x
cos
3x
2
3 sin3x
cos3x
f/ 2cos2 x 2 3 sin x.cos x
0
1
Dạng 3: phương trình chứa tổng, tích của sinx và cosx dạng:
Ví dụ: Giải phương trình sau: sin x.cos x 1 sin x cos x 0 (1).
Đặt t = sinx + cosx; 2 t 2 .
Khi đó phương trình (1) trở thành :
t 2 1
1 t 0 t 2 2t 1 0 t 1 (nhận so với điều kiện)
2
x k 2
1
sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x
sin
k Z .
x k 2
4
4
4
2
2
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 13
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
x k 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm
k Z
x k 2
2
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1/ sin x cos x 2 2 sin x.cos x.
2/ sin x cos x 4sin 2 x 1
3/ 3 sin x cos x 2sin 2 x 3
4/ sin x cos x 3sin x.cos x 1
2. Phương trình mũ - Logarit
a. Phương trình mũ
Ví dụ: Giải phương trình sau 4x
2x
6
0
Đặt t 2 x điều kiện t 0 . Phương trình trở thành
t 2 n
t2 t 6 0
2x 2 x 1
t 3 l
Bài tập: Giải các phương trình sau
a/ 9x 5.3x 7 0
c/ 9x 25.3x 54 0
e/ 25x 23.5x 5 0
b/ 25x 6.5x1 53 0
d/ 4x 3.2x 10 0
f/ 32 x 1 82.3x 9 0
b. Phương trình logarit (Đưa về cùng cơ số)
loga f (x )
loga g(x )
f (x )
g(x ) ( điều kiện 0
Ví dụ: Giải phương trình sau: log2 x
Điều kiện
1
x
x
0
1
log2 x . x
x2
x
0
1
2
x
x
0
1
x
x
x
x x
log2 2
0
log2 x
a
1
0 hoặc g(x )
1 và f (x )
0 ).
1 (1).
0
1
1n
2
.
2l
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 1
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1/ log2 3
x
log2 1
x
3
2/ log x
1
3/ log4 x
2
log4 x
2
2 log4 6
4/ log 3 x
2
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
log 1
log 3 x
x
log 2x
2
3
log 3 5
Trang 14
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
3. Phương trình – bất phương trình đại số
a. Bất phương trình
3x 2 2 x 4
Ví dụ: Giải bất phương trình sau: 2
1
x 5x 6
3x 2 2 x 4
3x 2 2 x 4
2 x 2 3x 2
1
1
0
0
x2 5x 6
x2 5x 6
x2 5x 6
x 2
x 2
2
2
Cho x 5 x 6 0
; 2 x 3x 2 0
x 1
x
3
2
1
Suy ra x ; 3 2; 2;
2
Bài tập: Giải các bất phương trình sau:
1 x
1
a/
2
3
15 2 x x
2 x 2 16 x 27
b/ 2
2
x 7 x 10
2 x 2 3x 2
c/ 2
0
x 5x 6
2 x 2 7 x 7
d/ 2
1
x 3x 10
1
1
e/ 2
2
x 5x 4 x 7 x 10
x 2 5x 4
f/ 2
0
2 x 3x 1
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x 2 2(m 1) x m 3
0
x 1
Bài tập: Giải các phương trình sau
a/
3 2x
2x 3 0
5 9x
b/ x 2 3x 2
c/
x-2 1
2
- =
x+2 x x x-2
d/
1
1
2
2 x 2x 1
f/
3x x 1 2 x x 1 x3 10 x 2 x
x 1
x 1
x2 1
e/ x 2
1 9
1
x 7 0
2
x 2
x
1
1
x2 x2
D. TÍCH PHÂN
1 Nguyên hàm:
a/ Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F ' x
b/ Tích phân bất định:
f (x )dx
F (x )
f x ; x
K
C
c/ Tính chất :
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 15
TÀI LIỆU ÔN TẬP
i/
f ' (x )dx
f (x )
ii/
kf (x )dx
k
iii/
f (x )
f (x ) dx
Năm 2015
C
C (k: hằng số khác 0)
f (x )dx
f (x )dx
g(x )dx
d/ Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng.
0dx
C
dx
x
kdx
1
1 ax b
ax b dx
.
C
a
1
1
1
dx
.ln ax b C
a
ax b
1 ax b
eax b .dx
e
C
a
1 a kx b
kx b
a dx
.
C
k ln a
1
cos ax b dx
sin ax b C
a
1
sin ax b dx
cos ax b C
a
1
1
dx
tan ax b C
a
cos2 ax b
C
kx
1
x
x dx
1
dx
x
e xdx
C
C
1
ln x
ex
1
C x
0
C
x
a
C 0 a
ln a
cos xdx sin x C
a xdx
sin xdx
1
dx
cos2 x
1
dx
sin2 x
cos x
C
tan x
C
cot x
1
1
sin ax
C
2
b
dx
1
cot ax
a
b
C
2 Tích phân xác định:
b
a/ Định nghĩa :
f (x )dx
F (x )
a
b
F (b )
a
F (a )
b/ Tính chất :
b
b
kf (x )dx
i)
a
k
f (x) dx
a
b
b
f (x )
ii)
g(x ) dx
a
b
f (x )dx
a
b
c
f (x )dx
iii)
a
g (x )dx
a
b
f (x )dx
a
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
f (x )dx (a
Trang 16
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
Dạng 1 Tìm nguyên hàm F(x) biết F x0 y0
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm
nguyên
hàm cần tìm.
x2
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x
Ta có F x
x2
f x dx
Theo đề bài F 0
x
x
C
2
1
3
dx
x
x
x
1
5
2
x
3
1
biết F(0) = - 2.
x2
2
dx
2x
5 ln x
1
C
2.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F x
x2
2
2x
5 ln x
1
2
Bài tập: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa yêu cầu bài toán.
1/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x
4x 3
5x 2
x2
1
biết F 1
2/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1+ sin3x biết F ( )
6
KQ: F (x )
1
cos 3x
3
x
x2
2
x
2
x
1
x3
3x 2 3x 1
biết F( 1)
x 2 2x 1
1
2
1 1
e
2
2x
1
3
13
6
4/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1–2x, biết F( )
KQ: F (x )
0.
6
3/ Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
KQ: F (x )
1
0.
1
2
b
Dạng 2 Tính tích phân
f(x)dx bằng phương pháp đổi biến.
a
Phương pháp giải:
B1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
dx = u (t). dt
Trang 17
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
B2: Đổi cận:
x=a
u(t) = a
t=
x=b
u(t) = b
t=
( chọn
,
thoả đk đặt ở trên)
b
B3: Viết
f(x)dx về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
a
Chú ý:
+ Đổi biến thì phải đổi cận
+ Chỉ áp dụng khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :
a
2
x
2
1
;
a
a
2
x
2
2
x
1
;
a
2
x
2
thì đặt x = asint , t
2
thì đặt x = atant., t
;
2
;
2
2
2
Ví dụ: Tính các tích phân sau
1
10
x 1
1)
2
x .dx
2)
0
x
5
3
1
2x
1
dx
x (x
3)
2
1) x
2
3.dx
4)
2
0
x 3 2x
dx
x2 1
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
b
u.dv
Công thức :
u.v
a
b
b
v.du
a
a
Chú ý:
+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý.
2
x .cos 2 xdx
Ví dụ : Tính tích phân sau : I
0
2
2
x .cos2 x .dx
I
0
I
1 1 22
. .x
0
2 2
x.
1
0
1
.J
2
2
16
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
cos 2x
.dx
2
1
2
2
x
0
x .cos 2x .dx
1
2
2
xdx
0
1
2
2
x .cos 2x .dx
0
1
.J 1 .
2
Trang 18
TÀI LIỆU ÔN TẬP
u
2
Trong đó J
x .cos 2x .dx . Đặt
0
2
Khi đó J
dv
du
cos 2x .dx
0
2
1
.
2
16
v
2
1
cos 2x
4
0
s in2x .dx
0
2
1
2
dx
.
1
s in2x
2
2
2
x
.s in2x
2
0
x .cos 2x .dx
Từ (1) và (2) suy ra I
x
Năm 2015
1
cos
4
1
2 .
2
cos 0
1
.
4
16
Bài tập Tính các tích phân sau :
1
2
(2x
1)
1)cos xdx
0
2
1)e 2xdx
6) I
0
0
5
8)
3
1
x2 2
dx
x 1 x 2
9)
11)
x 3 2x 2
12)
2
1dx
0
0
3
13)
0
x
1
3
x
4)
1 sin x dx
0
.s inx.dx
x sin x dx
7)
0
1
x 2 7x
dx
(x 3) x 4
0
1
cos x )dx
0
2
(2x
x (1
3)
0
1
5)
e x )xdx
(1
2)
x3 x2
10)
1dx
0
(2 s inx 1)
s inx 1 s inx
2
cos xdx
(cosx+1)
sin xdx
cos x cos x 2
E. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
1. Phương pháp tọa độ trong hệ trục Oxy:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x
d1 : 2 m 2
1x
y
5
a. Tìm tham số m để d1
2y
3
0 và đường thẳng
0 với m là tham số
d2
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng : 2x
y
1
0 sao cho khoảng cách từ điểm M
đến đường thẳng d1 bằng 5
Bài giải:
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 19
TÀI LIỆU ÔN TẬP
a. Tìm tham số m để d1
d2
Đường thẳng d1 : x
3
2y
0 có VTPT là n1
Đường thẳng d1 : 2 m 2
1x
d1
1; 2 . 2m 2
d2
n .n2
0
2m 2
2m 2
y
5
2
m
1; 2
2m 2
0 có VTPT là n2
2;1
2
4
Năm 2015
2;1
0
0
0
2
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng : 2x
y
0 sao cho khoảng cách từ điểm
1
M đến đường thẳng d1 bằng 5
M
: 2x
y
1
M m, 2m
0
1 ,m
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1 bằng 5
d M ;d1
5
m
2m
2
2
1
5m
5
5m
5m
5
5
5
1
2
5
3
m
5
5
2
m
M 0; 1
0
2
M
2; 3
Bài tập
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1;d2 lần lượt có phương trình
mx
y
1
0 và x
y
2
0
a. Tìm m để d1 / /d2
b. Tìm m để d1
d2
c. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x
y
0 sao cho khoảng cách từ điểm M đến
đường thẳng d2 bằng 2
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1;d2 lần lượt có phương trình
m2
m
1x
y
1
0 và x
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
y
2015
0
Trang 20
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
a. Tìm m để d1 / /d2
c. Tìm tọa độ điểm A thuộc đường thẳng
:x
4y
0 sao cho khoảng cách từ điểm M
5
đến đường thẳng d2 bằng 2 2
Ví dụ 2
1/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;1 và đường thẳng
điểm N thuộc đường thẳng
:x
y
0 . Tìm tọa độ
1
sao cho khoảng cách từ điểm N đến điểm A bằng 1
2/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2;1 và đường thẳng
điểm N thuộc đường thẳng
sao cho NA
y
0 . Tìm tọa độ
2
2.d A,
3/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;2 ; B
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng
:x
2; 3 và đường thẳng
sao cho NA
: 3x
4y
1
2
5
NB
Bài giải
1/ N
AN
:x
n
y
1; n
1
1
Theo giả thiết NA
N n, n
0
n
1
1
1
1; n
n
1
2
n2
2n 2
1
2n
n
n
0
0
1
Vậy điểm N 1;2 hay N 0;1 thỏa ycbt
2/ N
:x
NA
2.d A,
y
2
N n, n
0
n
2
2
2 ; AN
n
3
Vậy điểm N 2; 4 ; N
3;1 thỏa ycbt
3/ N
0
: 3x
4y
Theo giả thiết NA
1
NB
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
N n;
n
3n
1
2
1
4
2
n
2.
; AN
3
7
4
2; n
5
n2
2
n
1;
n
3n
n
2
6
7
4
2
2
3 ; d A,
2
2
2
1
n
n
0
; BN
3n
1
n
11
2
1
2
3
2;
3n
11
4
2
4
Trang 21
0.
TÀI LIỆU ÔN TẬP
16 n
1
Vậy điểm N
2
3n
7
2
16 n
2
2
3n
11
Năm 2015
2
72n
5
3
n
120
5
; 1 thỏa ycbt
3
Bài tập
4/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A
tọa độ điểm N thuộc đường thẳng
1;1 , B 2; 0 và đường thẳng
sao cho NA
sao cho NA
sao cho NA
sao cho NA
sao cho NA
9/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A
điểm N thuộc đường thẳng
:x
2y
:x
1
0 . Tìm tọa độ
0 . Tìm tọa độ điểm N
3y
2; 4 và đường thẳng
: 3x
y
1
0 . Tìm
NB
8/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 3; 0 và đường thẳng
điểm N thuộc đường thẳng
0 . Tìm
130
.d A,
3
7/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0;1 , B
tọa độ điểm N thuộc đường thẳng
3
5
6/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 3;2 và đường thẳng
thuộc đường thẳng
y
NB
5/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2; 3 và đường thẳng
điểm N thuộc đường thẳng
:x
: 4x
y
1
0 . Tìm tọa độ
: 4x
y
0 . Tìm tọa độ
2
1; 2 và đường thẳng
85
.d A,
2
sao cho NA
2. Phương pháp tọa độ trong hệ trục Oxyz:
a) Phương trình mặt phẳng
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu
giá của n vuông góc với mặt phẳng ( )
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax
By
Cz
D
0 (A2
B2
C2
0)
- Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và có vectơ pháp tuyến n = (A; B;C)
( ):A x
x0
B y
y0
C z
z0
0
- Phương pháp chung để viết phương trình mặt phẳng
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 22
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
+ Tìm 1 điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) mà mặt phẳng đi qua và 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B;C)
của mặt phẳng
+ Phương trình mặt phẳng có dạng: A x
x0
B y
y0
C z
z0
0
b) Phương trình tham số của đường thẳng
Trong (Oxyz) cho (d) đi qua M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có vectơ chỉ phương: u = (a;b;c) . Khi đó
x
- Phương trình tham số của đường thẳng d : y
z
- Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
x0
yo
zo
x
xo
at
bt (t R)
ct
y
a
yo
z
b
zo
c
- Phương trình đường thẳng viết dưới dạng giao tuyến của 2 mặt phẳng
d:
a1x
a2x
b1y
b2y
c1z
c2z
d1
d2
0
0
- Phương pháp chung để viết phương trình đường thẳng
+ Tìm 1 điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) mà đường thẳng đi qua và 1 VTCP u = (a;b;c) của đường thẳng
x
+ Phương trình đường thẳng : y
z
x0
yo
zo
at
x xo
bt hoặc
a
ct
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
phương trình
x 1
2
y
1
z
: 2x
y
yo
z
b
y
zo
c
z 1
(a, b, c 0)
0 và đường thẳng d có
2
3
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
b. Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng d và
vuông góc với mp
c. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mp
bằng 6
Bài giải:
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 23
TÀI LIỆU ÔN TẬP
Năm 2015
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
x 1
d:
2
y
1
z
x
y
z
2
3
1 2t
t
2 3t
t
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
1
2
x 2
1
y
2
t
x 1 2t
y t
z
2 3t
2x y z 1
Tọa độ điểm I thỏa hệ
0
chứa đường thẳng d và
Đường thẳng d qua điểm A 1;0; 2 có VTCP là ud
Mp
có VTPT là n
Mp
chứa đường thẳng d và
vuông góc với mp
2;1; 3
2;1;1
vuông góc với mp
qua điểm A 1;0; 2 và có VTPT n
Suy ra mp
7
2
7
2
z
b. Viết phương trình mặt phẳng
1
2
Vậy I 2; ;
ud , n
4; 8;0
có phương trình x 2 y 1 0
Mp
c. Tìm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mp
M
d
d M;
bằng 6
M 1 2t; t; 2 3t
6
2 1 2t
t
2 3t 1
6
t
t
7
2
6
2t 1
6
2t 1
2t 1
6
6
7 25
M 8; ;
2
2
5
2
M
4;
5 11
;
2 2
Bài tập
ThS. ĐINH QUANG ĐỨC
Trang 24
