On tap toan 8 - Dai so

Ngày 3/ 7/ 2007
Ôn tập hè 2007
(Lớp 8 lên 9)
bài 1: Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng
dụng của nó
A- Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử
I- Kiến thức cần nhớ:
Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
- Tách( hoặc thêm bớt) hạng tử
- Phơng pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ)
- Phơng pháp nhẩm nghiệm của đa thức
II- Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. 36 12x + x
2
b/. xy + xz + 3y + 3z
c/. x
2
16 4xy + 4y
2
d/. x
2
5x 14 (ĐS: 7; 2)
Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Ta tách hạng tử bx thành b
1

x + b
2
x nh sau:
+ Bớc 1: Tìm tích ac
+ Bớc 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.
+ Bớc 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b

Hai thừa số đó chính là b
1
; b
2
.
Ví dụ: ở câu d, trên b
1
= 2; b
2
= -7
x
2
5x 14 = x
2
+ 2x 7x 14 = x(x +2) 7(x + 2) = (x + 2) (x 7)
áp dụng:
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. x
2
+ 2x 15 (ĐS: 3; -5)
b/. 3x
2
- 5x 2 (ĐS: 1/3; 2)

c/. 2x
2
6x + 4 (ĐS: 4; 2)
d/. x
2
- x 2004. 2005 (ĐS: 2004; 2005)
e/. 5x
2
+ 6xy + y
2
(ĐS: 3y; 2y)
* áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x)
không (a là một trong các ớc của hạng tử tự do)
Bớc 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:
F(x) = (x a) P(x)
Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x a .
Bớc 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc, sau đó viết kết
quả cho hợp lý.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x
3
x
2
4
Giải:
Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0
Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x)
M
x 2
Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thơng khi chia F(x) cho x 2

- 1 -1 0 - 4
1 1 2 0
Vậy F(x) = (x 2)(x
2
+ x + 2)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x
3
5x
2
+ 3x + 9
(ĐS: (x + 1)(x 3)
2
)
Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :
a/. (n + 2)
2
(n 2)
2
chia hết cho 8
b/. n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6.
Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích:
a/. x
7
+ x
5
+ 1 = x
7
+ x

6
x
6
+ x
5
+1 = = (x
2
+ x + 1)(x
5
+x
4
x
3
1) = =
= (x + 1)
2
(x 1)(x
3
+ x
2
+ x 1)
b/. x
11
+ x + 1 = x
11
x
2
+ x
2
+ x + 1 = x

2
(x
9
1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
9
x
8
+ x
6
x
5
+ x
3
x
2
+
1)

B- Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong
giải toán
I Chứng minh quan hệ chia hết:
Bài 1: Chứng minh A = n
4
+ 6n
3

+ 11n
2
+ 6n
M
24 với mọi n

N
Giải:
Phân tích thành nhân tử A = n(n
3
+ 6n
2
+11n + 6)
Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n
3
+ 6n
2
+11n + 6 thành nhân tử
A = n(n + 1)( n
2
+5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)
Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;
n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4

A
M
8
Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A
M

3
Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A
M
3.8 hay A
M
24 .
Bài 2: Chứng minh rằng: A = 22
22
+ 55
55

M
7
Giải:
Cách 1: A = (22
22
1
22
) + (55
55
+ 1
55
)
= (22 1)(22
21
+ 22
20
+ + 1 ) (55 + 1)(55
54
55

53
+ + 1)
M N
= 21M + 56 N
Mà 21M
M
7 ; 56N
M
7

A
M
7
Cách 2: Dùng đồng d:
Ta đã biết :
56 0(mod 7)
55 1(mod 7)
1 1(mod 7)






Mặt khác
22 55
22 1(mod 7)
22 55 0(mod 7)
55 1(mod 7)

+



Hay 22
22
+ 55
55

M
7
Bài 3: Chứng minh rằng A = a
3
+ b
3
+ c
3
3abc chia hết cho a + b + c
Giải:
áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)

a
3

+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta đợc :
A = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
3abc
= [ ( a + b)
3
+ c
3
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [ (a + b)
2
(a + b)c + c
2
- 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c

A chia hết cho a + b + c

II Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức:
Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:
A =
3 2
3 2
5 2 24
10 8
x x x
x x x
+

Giải:
*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:
x
3
x
2
10x 8 = (x + 1)(x + 2)(x 4)
Vậy ĐKXĐ: x

- 1; x

2; x

4
*Phân tích thành nhân tử:
x
3
5x
2

2x + 24 = (x + 2)(x - 3)(x 4)
Rút gọn A =
( 2)( 3)( 4) 3
( 2)( 1)( 4) 1
x x x x
x x x x
+
=
+ + +
Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:
A =
3 2
3 2
3 3x x x
x x
+

Giải:
B =
2
2
( 3) ( 3)
( 1)
x x x
x x


2
( 3)( 1)( 1)
( 1)

x x x
x x
+
=

ĐKXĐ: x

1
Rút gọn: B =
2
( 3)( 1)x x
x
+
Bài 6: Chứng minh A = n
3
+ 6n
2
+ 8n
M
24 với mọi n

N chẵn
Giải:
A = n(n + 2)(n + 4)
Thay n=2k
M
A=8k (k+1)(k+2)
Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp

M

3
ƯCLN (8,3) = 1

A
M
24
Bài 7 : cho a+b+c = 0 chứng minh a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Giải:
Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0


a
3
+b
3
+c
3
3abc = 0


a
3
+b
3

+c
3
= 3abc
Bài 8: Rút gọn các phân thức:
a/.
( )
2
2
2
2 3
1
x x
x
+

(ĐS:
( )
3 3
1
x
x
+

)
b/.
( )
2
2
3 2
3 2 ( 2)x x

x x
+ +

(ĐS :
( )
8 1
( 1)
x
x x
+

)
III Giải ph ơng trình, bất ph ơng trình :
Bài 9: (Bài 1 - đề thi cấp 3 năm 2007)
1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1
2/. Giải phơng trình: x
2
3x + 2 = 0
Bài 10: Giải phơng trình: (x
2
1)(x
2
+ 4x + 3) = 192
Giải:
Biến đổi phơng trình đã cho đợc: (x 1)(x + 1)
2
(x + 3) = 192

(x + 1)
2

(x 1)

(x + 3) = 192

(x
2
+ 2x + 1)(x
2
+ 2x - 3) = 192
Đặt x
2
+ 2x 1 = y
Phơng trình đã cho thành: (y + 2) (y 2) = 192



y =

14
Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5
Với y = - 14 giải ra vô nghiệm.
Vậy S =
{ }
3; 5

Bài 11: Giải bất phơng trình sau: x
2
2x 8 < 0
Giải:
Biến đổi bất phơng trình đã cho về bất phơng trình tích:

x
2
2x 8 < 0

x
2
4x + 2x 8 < 0

(x 2)(x + 2) < 0
Lập bảng xét dấu:
x - 2 4
x + 2 - 0 + +
x - 4 - - 0 +
(x+2)(x- 4) + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phơng trình là: - 2 < x < 4 .
Bài tập về nhà: Làm bài 80 88(42, 43) ÔTĐ8.
Ngày tháng năm 2007
Bài 2 : Luyện tập về phép chia đa thức
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Cánh chia các đa thức bằng các phơng pháp khác nhau.
- Nội dung và cách vận dụng định lý Bơdu
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài
tập, máy tính bỏ túi.
- HS: + Ôn tập về phép chia các đa thức.
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

GV kiểm tra việc làm bài 80 88(42,
43) ÔTĐ8 của HS. Chữa bài.
Nêu cách chia hai đa thức đã sắp xếp
theo lũy thừa giảm dần của biến?
HS: Mở vở bài tập của mình để xem lại
Nêu cách chia hai đa thức đã sắp xếp theo
lũy thừa giảm dần của biến?
Hoạt động 2: Luyện tập
I - Định lý Bơdu:
D trong phép chia đa thức F(x) cho nhị
thức x a là một hằng số bằng F(a)
Bài 1: Tìm d trong phép chia đa thức:
F(x) = x
2005
+ x
10
+ x cho x 1
Bài 2: Tìm số a để đa thức
F(x) = x
3
+3x
2
+5x + a chia hết cho
x + 3 .
H? Còn cách nào khác không?
II Tìm đa thức thơng:
1. Chia thông thờng: (SGK)
2. Phơng pháp hệ số bất định:
Dựa vào mệnh đề: Nếu hai đa thức P(x)
= Q(x)

Các hạng tử cùng bậc ở hai
HS: Ghi vào vở của mình .
HS làm bài 1:
Theo định lý Bơdu phần d trong phép chia
F(x) cho x 1 là F(1)
F(1) = 1
2005
+ 1
10
+ 1 = 3
Bài 2:
Theo định lý Bơdu thì F(x)
M
(x + 3) khi
F( -3) = 0 Hay (- 3)
3
+3(- 3)
2
+5(- 3) + a =
0

a = 15
HS: cách 2: thực hiện phép chia thông th-
ờng, d là a 15 = 0

a = 15
HS ghi bài
đa thức phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ: P(x) = ax

2
+ bx + 1
Q(x) = 2x
2
- 4x c
Nếu P(x) = Q(x)

a = 2; b = - 4;
c=- 1
Bài 3: Với giá trị nào của a, b thì đa
thức:
F(x) = 3x
3
+ax
2
+bx + 9 chia hết cho
g(x) = x
2
9. Hãy giải bài toán bằng
2 cách khác nhau.
H? Còn cách làm nào khác không?
Cách 3: (PP xét giá trị riêng)
Gọi thơng của phép chia đa thức F(x)
cho G(x) là P(x).
Ta có: 3x
3
+ax
2
+bx + 9
= P(x).(x + 3)(x 3) (1)

Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên
lần lợt cho x = 3 và x = - 3, ta có:

90 9 3 0 1
72 9 3 0 27
a b a
a b b
+ + = =



+ = =

III Tìm kết quả khi chia đa thức
F(x) cho nhị thức x a bằng sơ đồ
Hoocne .
(Nhà toán học Anh thế kỷ 18)
Nếu đa thức bị chia là F(x) = a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
; đa thức chia là

G(x) = x a ta đợc thơng là
Q(x) = b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
; Đa thức d là r
Ta có sơ đồ Hooc ne để tìm hệ số b
0
; b
1
; b
2
của đa thức thơng nh sau:
a
0
a
1
a
2
a
3
a b
0
=a
0
b

1
= ab
0
+a
1
b
2
= ab
1
+a
2
r=
ab
2
+a
3

HS làm bài 3:
Cách 1: Chia đa thức F(x) cho G(x) bằng
cách chia thông thờng đợc d là
(b + 27)x + (9 + 9a)
Để F(x)
M
G(x) thì (b + 27)x + (9 + 9a) =
0 với mọi x.

9 9 0 1
27 0 27
a a
b b

+ = =



+ = =

Đáp số: a = - 1; b = - 27 .
Cách 2: ta thấy F(x) bậc 3; G(x) bậc hai
nên thơng là một đa thức có dạng mx+ n

(mx + n)(x
2
9) =3x
3
+ax
2
+bx + 9

mx
3
+nx
2
9mx 9n =3x
3
+ax
2
+bx +
9
3 3
1

9 1
9 9 27
m m
n a n
m b a
n b
= =


= =



= =


= =

HS làm bài 4:
Chia các đa thức:
a. (x
3
5x
2
+8x 4) : (x 2)
b. (x
3
9x
2
+6x + 10) : (x + 1)

c. (x
3
7x + 6) : (x + 3)
Đáp số:
a. x
2
- 3x + 2
b. x
2
- 10x +16 d - 6
c. x
2
-3x + 2
Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa.
- Làm bài tập 80, 81, 84 tr 27 NCCĐ .