Đề thi toán cao cấp SPKT HCM 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15
Môn: Toán cao cấp A1
Mã môn học: MATH130101
Ngày thi: 11/08/2015
Thời gian: 90 phút
Đề thi có 2 trang
Đề: 01
SV được phép sử dụng tài liệu.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
-------------------------

Câu 1 (1,5 điểm): Trên tập hợp số phức C , cho z 

2  2i
. Tìm các căn bậc 5 của z .
3 i

Câu 2 (1,5điểm): Cho hàm số

 x sin  m 2 x 

khi x  0
2
,
f  x     3x  1 e x  1


khi x  0
 x   5m  4 





với m là tham số, m  R* .
a) Tìm m để hàm số f  x  liên tục tại x  0 .
b) Với m  3 , xét sự khả vi của hàm số f  x  tại x  0 .
Câu 3 (1,5điểm): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số r    2  cos 6 trong hệ tọa độ cực.
Câu 4 (2điểm):


a) Tính tích phân suy rộng I 

 x.e

3 x

dx .

0



b) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng J 


1

1
x dx .
5
x x  x 4
x 2 arctan

Câu 5 (3,5 điểm)
3n  n !
 0 , với n  N * .
a) Dùng điều kiện cần để chuỗi hội tụ, chứng minh rằng lim
n   2 n  !
2

 x  2 .
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n
n 1 5 .  n  3 
Khai triển thành chuỗi Fourier hàm g  x  tuần hoàn với chu kì T  2
n



b)
c)

xác định bởi

công thức
0
g  x  

x  3

khi    x  0
khi 0  x  

.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
[CĐR G2.1]: Tính được căn bậc n của một số phức
[CĐR G1.1]: Phát biểu được định nghĩa giới hạn, liên tục.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV

Nội dung kiểm tra
Câu 1
Câu 2a
1/2


Trình bày được các tính chất cơ bản của hàm liên tục.
[CĐR G2.2]: Sử dụng được các giới hạn cơ bản, vô cùng
bé, vô cùng lớn tương đương để khử các dạng vô định
[CĐR G2.2]: Tính được đạo hàm, vi phân của hàm số
[CĐR G2.4]: Khảo sát và vẽ được đường cong trong hệ
tọa độ cực
[CĐR G2.5]: Áp dụng các phương pháp trong lý thuyết để
tính được tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân
suy rộng và khảo sát được sự hội tụ của tích phân suy rộng
[CĐR G2.7] Áp dụng các kết quả trong lí thuyết để khảo

sát được sự hội tụ của chuỗi số, tìm được miền hội tụ của
chuỗi lũy thừa, khai triền được hàm thành chuỗi lũy thừa
và khai triển được hàm thành chuỗi Fourier

Câu 2b
Câu 3
Câu 4 a, b

Câu 5a, b, c

Ngày 07 tháng 08 năm 2015
Thông qua bộ môn

Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV

2/2


ĐÁP ÁN TOÁN CAO CẤP A1
Ngày thi: 11/08/2015
Mã môn học: MATH130101

Câu

Điểm

Nội dung


 


2 2  cos
 i sin

2  2i
4
4 

z




3i
2  cos  i sin 
6
6

1
5
5 


2
cos

i
sin

.

(1,5đ)
12
12 

5
5




k
2


 k 2 

Suy ra 5 z  10 2  cos 12
 i sin 12
 , k  0,1, 2,3, 4.
5
5




2
x sin  m x 
x.m 2 x
m2


lim

lim
 m2 .
a) lim f  x   lim
2
x2
x 0
x 0
x 0  3 x  1 x
x 0  3 x  1
 3x  1 e  1





lim f  x   lim  x   5m  4    5m  4 ;

x 0

2
(1,5đ)

x 0

0,5

0,5

0,5
0,25

f  0   5m  4

;
lim f  x   lim f  x   f  0   m2  5m  4   m  1   m  4  .

x 0

x 0

Vậy hàm số f  x  liên tục tại x  0 khi m  1 hoặc m  4 .

b) Với m  3 , dựa vào kết quả câu a ta thấy hàm số không liên tục tại
x  0 . Do đó, hàm số không khả vi tại x  0 khi m  3 .
TXĐ: D  .
Hàm r   tuần hoàn với chu kì T 

 
  0,  .
 6
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
3
(1,5đ)

0,5

r '    6sin 6  0    k
nghiệm   0 hoặc  





3

0,25

0,5

, chẵn nên ta chọn khảo sát với
0,25



 
, k  . Trên 0,  , phương trình có
6
 6

.
6
r 2  cos 6
tan v  
(v: góc hợp bởi tiếp tuyến và bán kính cực
r'
6sin 6
tại M  , r    ).

0,25


Bảng biến thiên

0,5

Đồ thị

0,5

b

a) I  lim  x.e
b 

0

b

3 x

1
 1

dx  lim   x.e 3 x  e 3 x 
b 
9
 3
0

1
1 1
 1
 lim   be3b  e3b    .
b
9
9 9
 3
1
x 2 arctan
Câu 4 b) Hàm số f x 
x  0, x  1 .


5
(2đ)
x x  x 4
f  x
1
 1  0,   .
Chọn g  x  
, ta có lim
x  g  x 
x


Mà



1

1
dx phân kì nên J phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 2.
x

 n
3  n !
5
a) Xét chuỗi 
, ta có:
(3,5đ)
n 1  2 n  !

0,5
0,5

0,5

0,5

2

0,25


3  n  1
a
3
lim n1  lim

 1.
n  a
n   2n  1 2n  2 
4
n
Theo tiêu chuẩn D’Alambert, chuỗi hội tụ.
Theo điều kiện cần để chuỗi hội tụ, ta suy ra đpcm.

tn
b) Đặt t  x  2 , ta có chuỗi lũy thừa  n
(2).
n 1 5  n  3
2

0,25
0,25

Tìm miền hội tụ của chuỗi (2).
Do R  lim n 5n  n  3  5 nên chuỗi (2) có khoảng hội tụ:  5,5  .

0,5

n



Tại t  5 , chuỗi số 

 1

n

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n3
1
Tại t  5 , chuỗi số 
phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 2.
n 1 n  3
Do đó, chuỗi (2) có miền hội tụ là [  5,5) .
Vậy chuỗi đề cho có MHT là [  3,7) .
c) Trước hết, ta tìm chuỗi Fourier S  x  của hàm g  x  :
n 1


an 

1





  x  3 cos nxdx 
0

0,5






1  x2

a0    x  3 dx    3x    3; .
0
 2
0 2
1

0,5

0,5


1  x3
1
cos n  1

sin nx  2 cos nx  
.

 n
n
n 2
0





1  x3
1

bn    x  3 sin nxdx   
cos nx  2 sin nx 
0
 n
n
0
1

3    3 cos n
.
n
Chuỗi Fourier của g  x  là:


3    3 cos n

  3    cos n  1
S  x      
cos
nx

sin
nx
.
2
n

 4 2  n1  n 

Tại x  k , k  , ta có g  x   S  x  .

0,5

0,25