Đề thi toán 2 k58 XD có đáp án

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2

Đề số 1 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3 + y 3 − 3x + 3y 2 .
1 + 2xy + y 2 ex dx + (x2 + 2yex )dy với L là cung

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai
L

x2
elip
+ y 2 = 1 nằm phía trên trục Ox nối A(2; 0) với B(−2; 0).
4
√
(x 1 − y 2 + 1 − x2 ) dxdy, trong đó D là hình tròn
Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân hai lớp
D

D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} .
Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau
a) xy + y = ln x.
b) y − 3y + 2y = 2x − 3.

∞

Câu 5 (1,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=0

nxn
.
2n + 1

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2

Đề số 2 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3 + y 3 − 3x2 − 3y.
(y 3 + y 2 ex ) dx + (1 + 3xy 2 + 2yex ) dy, với L là

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai
L

y2
cung elip x2 +
= 1 nằm phía bên phải trục Oy nối A(0; −2) với B(0; 2).

4
√
Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân hai lớp
( 1 − y 2 + y 1 − x2 ) dxdy, trong đó D là hình tròn
D

D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} .
Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau
a) xy − y = x2 ln x.
b) y + y − 2y = 1 − 2x.
∞

Câu 5 (1,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=0

(n + 1)xn
.
3n + 1


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2

Đề số 3 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3 + 4y 3 − 3xy 2 − 24y.
(3x2 y − x2 )dx − (y 2 − x3 )dy với L là cung parabol

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai
L

y = x2 − 3 đi từ A(−3, 0) đến B(0, 3).
9 − x2 − y 2 dxdy, trong đó D là một phần tư hình

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân hai lớp
D

tròn D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0}.
Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) y + 4y = 5ex .
b) xy − (x + y) = 0.
∞

n2 x3n .

Câu 5 (1,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=1

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2

Đề số 4 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 6x3 + y 3 − 3x2 y − 3x.
(x2 − y 3 )dx − (3y 2 x − y 2 )dy, với L là cung tròn

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai
L
2

2

x + y = 9 nằm phía trên trục Ox và đi từ A(−3, 0) đến B(0, 3) hướng chiều kim đồng hồ.
4 − x2 − y 2 dxdy, trong đó D là một phần tư hình

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân hai lớp
D

tròn D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0}.
Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau
a) y + 3y = −2ex .
b) xy − (y − 2x) = 0.
∞

Câu 5 (1,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=0

x3n
.
n2 + 1


ĐÁP ÁN ĐỀ 1


fx = 3x2 − 3 = 0
; M1 (1, 0), M2 (−1, 0), M3 (1, −2), M4 (−1, −2).
Câu 1 (2,0đ) Điểm dừng:

f = 3y 2 + 6y = 0
y


6x
0
.
Ma trận đạo hàm riêng cấp 2: A = 
0 6y + 6
• Tại M1 (1, 0): A xác định dương nên M (1, 0) là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu fCT = −2.
• Tại M2 (−1, 0), M3 (1, −2): A không xác định dấu.
• Tại M4 (−1, −2): A xác định âm nên M (1, 0) là điểm cực đại. Giá trị cực đại fCD = 6.
Câu 2 (2,0đ) Vì

∂Q
∂x

=

∂P
∂y

= 2x + 2yex nên tích phân không phụ thuộc vào đường đi. Do vậy,
2

(1 + 2xy + y 2 ex ) dx + (x2 + 2yex ) dy =

I=

dx = 4.
−2

AB

Câu 3 (2,0đ) Tách thành hai tích phân, một bằng không do tính đối xứng của hình tròn cho
hàm lẻ, một có thể áp dụng Fubini
√

I=

1

1 − x2 dxdy = 2
0

D

Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm y = x1 (C − x + x ln x) =

C
x

8
2(1 − x2 )dx = .
3

− 1 + ln x.

b) Nghiệm y = C1 ex + C2 e2x + x, với C là hằng số.
Câu 5 (1,0đ)Miền hội tụ X = (−2; 2).
ĐÁP ÁN ĐỀ 2


fx = 3x2 − 6x = 0
; M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 (2, 1), M4 (2, −1).
Câu 1(2,0đ) Điểm dừng:

f = 3y 2 − 3
=0
y


6x − 6 0
.
Ma trận đạo hàm riêng cấp 2: 
0
6y

• Tại M1 (0, 1): A không xác định dấu
• Tại M2 = (0, −1): A xác định âm nên M2 = (0, −1) là cực đại; fCĐ = f (0, −1) = 2.
• Tại M3 (2, 1): A xác định dương nên M3 (2, 1) điểm cực tiểu; fCT = f (2, 1) = −6.
• Tại M4 (−1, −2): A không xác định dấu.
Câu 2 (2,0đ) Vì

∂Q
∂x

=

∂P
∂y

= 3y 2 + 2yex nên tích phân không phụ thuộc vào đường đi. Do vậy,
2

(y 3 + y 2 ex ) dx + (1 + 3xy 2 + 2yex ) dy =

I=

(1 + 2y) dy = 4.
−2

AB

Câu 3(2,0đ) Tách thành hai tích phân, một bằng không do tính đối xứng của miền cho hàm
lẻ, một có thể áp dụng Fubini
1

1−

I=
D

y2

dxdy = 2
0

8
2(1 − y 2 )dy = .
3

Câu 4(3,0đ) a) Nghiệm y = x(C − x + x ln x) = Cx − x2 + x2 ln x.
b) Nghiệm y = C1 ex + C2 e−2x + x, với C là hằng số.
Câu 5(1,0đ) Miền hội tụ X = (−3; 3).


ĐÁP ÁN ĐỀ 3


 fx = 18x2 − 6xy − 3 = 0

. Giải hệ ta thu được M1 (2, 2), M2 (−2, −2),

 fy = 3y 2 − 3x2 = 0


6x

−6y
−2
−2 √2

.
√
M3 ( √23 , √
),
M
(
,
).
Ma
trận
A
=
3
3
3
3
−6y 24y − 6x
Câu 1 (2,0đ) Điểm đừng

• M1 (2, 2) là điểm cực tiểu, fCT = −16.
• M2 (−2, −2) là điểm cực đại, fCĐ = 16. Hai điểm còn lại hàm số không đạt cực trị.
Câu 2 (2,0đ) a) Vì Qx = 3x2 = Py nên tích phân không phụ thuộc đường đi. Suy ra I =
¯
AO

+

¯
OB

=

0
(−x2 )dx
−3

−

3
0

y 2 dx = −18. (Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa).

Câu 3 (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, 0 ≤ r ≤ 3, π ≤ ϕ ≤
3π
3√
2 − y 2 dxdy =
2
dϕ
.
9
−
x
9 − r2 rdr = 9π
2
π

0
D

3π
.
2

Suy ra

Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:¯
y = C1 + C2 e−4x , nghiệm
riêng y ∗ = ex . Vậy, nghiệm tổng quát là y = ex + C1 + C2 e−4x .
1
y
b) Ta có y − = 1. Suy ra nghiệm tổng quát là y = ( dx + C)x = (ln x + C)x = x ln x + Cx.
x
x
Câu 5 (1,0đ) Đặt t = x3 , ρ = 1 và R = 1. Suy ra khoảng hội tụ (−1, 1). Tại hai đầu mút: Chuỗi
∞
n=1

n2 phân kì và chuỗi

∞
n 2
n=1 (−1) n

phân kì. Miền hội tụ ứng với t X = (−1, 1) suy ra miềm

hội tụ của chuỗi đã cho là X = (−1, 1).

ĐÁP ÁN ĐỀ 4


 fx = 18x2 − 6xy − 3 = 0
Câu 1 (2,0đ) Điểm đừng
. Giải hệ ta thu được M1 ( 12 , 12 ), M2 ( −1
, −1
),
2
2

 fy = 3y 2 − 3x2 = 0


36x
−
6y
−6x
1
.
√ ), M3 ( −1
√ , √
). Ma trận A = 
M3 ( 2√1 2 , 2−1
2
2 2 2 2
−6x
6y
• M1 ( 21 , 21 ) là điểm cực tiểu, fCT = −1.
• M2 ( −1

, −1
) là điểm cực đại, fCĐ = 1. Hai điểm còn lại hàm số không đạt cực trị.
2
2
Câu 2 (2,0đ) Vì Qx = −3y 2 = Py nên tích phân không phụ thuộc đường đi: I =
0
3
(x2 )dx 0
−3

¯
AO

+

¯
OB

=

y 2 dx = 18. (Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa).

Câu 3 (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, 0 ≤ r ≤ 2, − π2 ≤ ϕ ≤ 0. Suy ra I =
0
2 √
).
dϕ 0 ( 4 − r2 rdr = 4π
3
−π/2
Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y¯ = C1 +C2 e−3x , nghiệm riêng

y ∗ = e−x . Suy ra, nghiệm tổng quát y = e−x + C1 + C2 e−3x .
b) Ta có y −

1
x

= −2. Nghiệm tổng quát là y = −2x ln x + Cx.
1
(−1)n
∞
∞
3
Câu 5 (1,0đ) Đặt t = x , ρ = 1, R = 1. Chuỗi n=0 2
hội tụ. và chuỗi n=0 2
hội tụ.
n +1
n +1
Miền hội tụ ứng với t là [−1, 1] suy ra miền hội tụ của chuỗi đã cho là X = [−1, 1].