200 câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (340.76 KB, 25 trang )
www.thuvienhoclieu.Com
Loại . HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) nếu F '( x) = f ( x)
với mọi x Î K .
Nhận xét. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì F ( x) +C, ( C Î ¡ ) cũng là nguyên hàm của f ( x) .
Ký hiệu:
ò f ( x) dx = F ( x) +C .
2. Tính chất
( ò f ( x) dx)
/
= f ( x) .
ò a. f ( x) dx = a.ò f ( x) dx ( a Î ¡ , a ¹ 0) .
ù
òé
ëf ( x) ± g( x) ûdx = ò f ( x) dx ± ò g( x) dx .
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm
ò kdx = kx +C , k là hằng số
a
ò x dx =
xa +1
+C ( a ¹ - 1)
a +1
1
a +1
a
1 ( ax + b)
ò( ax + b) dx = a. a +1
1
1
ò x dx = ln x +C
ò ax + b dx = a ln ax + b +C
ò e dx = e +C
òe
x
x
x
ò a dx =
+C
1
dx = eax+b +C
a
ax+b
ax
+C
ln a
mx+n
ò a dx =
amx+n
+C
m.ln a
1
ò cosxdx = sin x +C
ò cos( ax + b) dx = a sin( ax + b) +C
ò sin xdx = -
ò sin( ax + b) dx = -
1
ò cos
2
2
x
1
1
cos( ax + b) +C
a
1
dx = tan x +C
ò cos ( ax + b) dx = a tan( ax + b) +C
dx = - cot x +C
ò sin
x
1
ò sin
cos x +C
2
2
1
( ax + b)
dx = -
1
cot( ax + b) +C
a
Câu 1. Hàm số f ( x) có nguyên hàm trên K nếu:
A. f ( x) xác định trên K .
C. f ( x) có giá trị nhỏ nhất trên K .
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
B. f ( x) có giá trị lớn nhất trên K .
D. f ( x) liên tục trên K .
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên ( a;b) và C là hằng số thì
ò f ( x) dx = F ( x) +C .
B. Mọi hàm số liên tục trên ( a;b) đều có nguyên hàm trên ( a;b) .
/
C. F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên ( a;b) Û F ( x) = f ( x) , " x Î ( a;b) .
D.
( ò f ( x) dx)
/
= f ( x) .
Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 1/25
www.thuvienhoclieu.Com
(II) Mọi hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Câu 4. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên đoạn [ a;b] nếu:
/
A. Với mọi x Î ( a;b) , ta có F ( x) = f ( x) .
/
B. Với mọi x Î ( a;b) , ta có f ( x) = F ( x) .
/
C. Với mọi x Î [ a;b] , ta có F ( x) = f ( x) .
/
/
+
/
D. Với mọi x Î ( a;b) , ta có F ( x) = f ( x) , ngoài ra F ( a ) = f ( a) và F ( b ) = f ( b) .
Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D , câu nào là sai?
(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " x Î D : F '( x) = f ( x) .
(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .
(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai.
B. Câu (I) sai.
C. Câu (II) sai.
D. Câu (III) sai.
Câu 6. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng ( a;b) . Giả sử G ( x) cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên
khoảng ( a;b) . Khi đó:
A. F ( x) = G ( x) trên khoảng ( a;b) .
B. G ( x) = F ( x) - C trên khoảng ( a;b) , với C là hằng số.
C. F ( x) = G ( x) +C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 7. Xét hai câu sau:
(I)
ò( f ( x) + g( x) ) dx = ò f ( x) dx + ò g( x) dx = F ( x) +G ( x) +C ,
trong đó F ( x) và G ( x) tương ứng là nguyên hàm của f ( x) , g( x) .
(II) Mỗi nguyên hàm của a. f ( x) là tích của a với một nguyên hàm của f ( x) .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng.
D. Cả hai câu đều sai.
Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?
/
A. ò f ( x) dx = F ( x) +C Þ ò f ( t) dt = F ( t) +C .
B. é
f ( x) dxù
= f ( x) .
ê
ú
ò
ë
û
C.
ò f ( x) dx = F ( x) +C Þ ò f ( u) dx = F ( u) +C .
D.
ò kf ( x) dx = kò f ( x) dx ( k là hằng số).
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
2
A. F ( x) = x là một nguyên hàm của f ( x) = 2x .
B. F ( x) = x là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
C. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) - G ( x) = C (hằng số).
ù
D. ò é
ëf1 ( x) + f2 ( x) ûdx = ò f1 ( x) dx + ò f2 ( x) dx .
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thì mọi nguyên hàm của f ( x) đều có dạng F ( x) + C (C là hằng số).
B.
u/ ( x)
ò u( x)
dx = log u( x) +C .
2
C. F ( x) = 1+ tan x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ tan x .
D. F ( x) = 5- cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x .
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
A. ò 0dx = C ( C là hằng số).
B. ò dx = ln x +C ( C là hằng số).
x
a +1
x
+C ( C là hằng số).
C. ò xa dx =
D. ò dx = x +C ( C là hằng số).
a +1
Câu 12. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 2/25
www.thuvienhoclieu.Com
sin 3 x
sin 3 x
+ C .C. ∫ cos 3 xdx = −
+ C .D.
A. ∫ cos 3 xdx = 3sin 3 x + C .B. ∫ cos 3 xdx =
3
3
∫ cos 3xdx = sin 3x + C .
1
có nguyên hàm trên:
cos x
æ p pö
- ; ÷
÷
B. ç
C. ( p;2p) .
ç
÷.
ç
è 2 2ø
Câu 13. Hàm số f ( x) =
A. ( 0;p) .
é p pù
D. ê- ; ú.
ê
ë 2 2ú
û
Câu 14. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
∫ 2sin xdx = 2 cos x + C .
C. ∫ 2sin xdx = sin 2 x + C
A.
B.
∫ 2sin xdx = sin x + C
D. ∫ 2sin xdx = −2 cos x + C
2
Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y = f ( x) =
( x - 1)
3
là kết quả nào sau đây?
2x2
3( x - 1)
4
A. F ( x) =
x2 3x
1
+ ln x +
.
4
2
2x
B. F ( x) =
C. F ( x) =
x2 3x 1
1
.
4
2 x2 2x3
D. Một kết quả khác.
ò e .e
x
Câu 16. Tính
f ( x ) = 2sin x
.
4x3
x+1
dx ta được kết quả nào sau đây?
A. ex .ex+1 + C .
B.
1 2x+1
e +C .
2
C. 2e2x+1 + C .
D. Một kết quả khác.
4
Câu 17. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x - 3) ?
A. F ( x) =
C. F ( x) =
( x - 3)
5
5
( x - 3)
+x .
B. F ( x) =
+ 2017 .
D. F ( x) =
5
5
Câu 18. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
Tìm
( x - 3)
5
.
5
( x - 3)
5
5
- 1.
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) =
3
.
2
F ( x) .
3
1
x
2
B. F ( x) = 2e + x −
2
2
5
1
x
2
x
2
C. F ( x) = e + x +
D. F ( x) = e + x +
2
2
Câu 19. Hàm số F ( x) = ex là một nguyên hàm của hàm số:
A.
F ( x) = e x + x 2 +
3
3
3
3
A. f ( x) = ex .
B. f ( x) = 3x2.ex .
Câu 20. Cho I = ò 2
ln2
x
A. I = 2 x +C .
x
Câu 21. Cho I = ò 2 .
ex
.
3x2
3
D. f ( x) = x3.ex - 1 .
dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai?
B. I = 2
1
2x
C. f ( x) =
x +1
+C .
(
)
(
)
x
x
C. I = 2 2 +1 +C . D. I = 2 2 - 1 +C .
ln2
dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai?
x2
æ1
ö
÷+C
2x
÷
2
+
2
ç
A. I = 2ç
.
÷
ç
÷
ç
è
ø
1
C. I = 22x +C .
1
B. I = 22x +1 +C .
æ1
ö
÷
22x - 2÷
+C .
ç
D. I = 2ç
÷
ç
÷
ç
è
ø
Câu 22. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x ) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng ?
A. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 5 B. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 2
C. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 2 D. f ( x) = 3 x − 5cos x + 15
Câu 23. Nếu
ò f ( x) dx =
x3
+ ex +C thì f ( x) bằng:
3
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 3/25
www.thuvienhoclieu.Com
A. f ( x) =
Câu 24. Nếu
4
x
2
x
+ ex . B. f ( x) = 3x + e .
3
ò f ( x) dx = sin2x cosx thì
C. f ( x) =
x4
+ ex .
12
2
x
D. f ( x) = x + e .
f ( x) là:
1
1
A. f ( x) = ( 3cos3x + cos x) .
B. f ( x) = ( cos3x + cos x) .
2
2
1
1
C. f ( x) = ( 3cos3x - cos x) .
D. f ( x) = ( cos3x - cos x) .
2
2
1
Câu 25. Nếu ò f ( x) dx = + ln x +C thì f ( x) là:
x
1
A. f ( x) = x + ln x +C .
B. f ( x) = - x + +C .
x
1
x- 1
C. f ( x) = - 2 + ln x +C .
D. f ( x) = 2 .
x
x
Câu 26. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
C.
dx
1
∫ 5 x − 2 = 5 ln 5 x − 2 + C .
dx
∫ 5 x − 2 = 5ln 5 x − 2 + C .
f ( x) =
dx
1
5x − 2
1
B.
∫ 5x − 2 = − 2 ln(5 x − 2) + C .
D.
∫ 5 x − 2 = ln 5x − 2 + C .
dx
Câu 27. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
2
2
A. f ( x) = sin2x và g( x) = cos x .
B. f ( x) = tan x và g( x) =
.
cos2 x2
x
- x
2
C. f ( x) = e và g( x) = e .
D. f ( x) = sin2x và g( x) = sin x .
3
2
2
Câu 28. Tìm số thực m để hàm số F ( x) = mx + ( 3m+ 2) x - 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x + 10x - 4 .
A. m= - 1.
B. m= 0 .
C. m= 1.
D. m= 2 .
2 x
2
x
Câu 29. (Sai)Cho hàm số f ( x) = x .e . Tìm a, b, c để F ( x) = ( ax + bx + c) .e là một nguyên hàm của hàm số f ( x) .
A. ( a;b;c) = ( 1;2;0) .
B. ( a;b;c) = ( 1;- 2;0) .
C. ( a;b;c) = ( - 1;2;0) .
D. ( a;b;c) = ( 2;1;0) .
Câu 30. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
x
x
∫ 7 dx = 7 ln 7 + C
C.
x
x +1
∫ 7 dx = 7 + C
B.
f ( x) = 7 x .
x
∫ 7 dx =
7x
+C
ln 7
D.
x
∫ 7 dx =
7 x +1
+C
x +1
x
x
Câu 31. Để F ( x) = ( a cos x + bsin x) e là một nguyên hàm của f ( x) = e cos x thì giá trị của a, b là:
1
A. a = 1, b = 0 .
B. a = 0, b = 1 .
C. a = b = 1.
D. a = b = .
2
2
- x
- x
Câu 32. Giả sử hàm số f ( x) = ( ax + bx + c) .e là một nguyên hàm của hàm số g( x) = x( 1- x) e . Tính tổng A = a + b+ c
, ta được:
A. A = - 2 .
C. A = 1 .
D. A = 3 .
20x2 - 30x + 7
3
; F ( x) = ( ax2 + bx + c) 2x - 3 với x > . Để hàm số F ( x) là một nguyên
Câu 33. Cho các hàm số f ( x) =
2
2x - 3
hàm của hàm số f ( x) thì giá trị của a, b, c là:
B. A = 4 .
A. a = 4, b = 2, c = 1 .
C. a = 4, b = - 2, c = 1 .
B. a = 4, b = - 2, c = - 1.
D. a = 4, b = 2, c = - 1 .
Câu 34. Với giá trị nào của a, b, c, d thì F ( x) = ( ax + b) .cos x +( cx + d) .sin x là một nguyên hàm của f ( x) = x cos x ?
A. a = b = 1, c = d = 0.
C. a = 1, b = 2, c = - 1, d = - 2.
B. a = d = 0, b = c = 1.
D. Kết quả khác.
2
Câu 35. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng
A. F ( x) =
sin3 x
.
3
B. F ( x) =
x sin2x
.
2
4
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 4/25
p
p
khi x = ?
8
4
www.thuvienhoclieu.Com
C. F ( x) =
x sin2x 1
+ .
2
4
4
D. F ( x) =
sin3 x
2
.
3
12
1
v f ( 1) = 1 thỡ f ( 5) cú giỏ tr bng:
2x - 1
C. ln2 +1.
D. ln3+1.
Cõu 36. Cho hm s y = f ( x) cú o hm l f '( x) =
A. ln2.
B. ln3.
Cõu 37. (TRCH THPT QG 2017) Tỡm nguyờn hm
F ( x ) = cos x sin x + 3
C. F ( x ) = cos x + sin x 1
A.
F ( x) ca hm s f ( x) = sin x + cos x tha món F ữ = 2 .
2
B. F ( x ) = cos x + sin x + 3
D. F ( x ) = cos x + sin x + 1
ổ
pử
p
4m
ữ
ữ= .
+ sin2 x . Tỡm m nguyờn hm F ( x) ca f ( x) tha món F ( 0) = 1 v F ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
4
8
p
4
4
3
3
A. m= - .
B. m= .
C. m= - .
D. m= .
3
3
4
4
1
Cõu 39. Cho hm s y = f ( x) =
. Nu F ( x) l nguyờn hm ca hm s f ( x) v th y = F ( x) i qua im
sin2 x
ổ
ử
p ữ
Mỗ
;0ữthỡ F ( x) l:
ỗ
ỗ
ố6 ữ
ứ
Cõu 38. Cho hm s f ( x) =
3
- cot x .
3
A. F ( x) =
C. F ( x) = -
B. F ( x) = -
3
+ cot x.
3
D. F ( x) = 3 - cot x.
3 + cot x.
Cõu 40. Gi s F ( x) l nguyờn hm ca hm s f ( x) = 4x - 1. th ca hm s F ( x) v f ( x) ct nhau ti mt im trờn
trc tung. Ta cỏc im chung ca hai th hm s trờn l:
ổ
ổ
ổ
5 ử
5 ử
5 ử
ữ
ữ
ữ
A. ( 0;- 1) .
B. ỗ
.
C. ( 0;- 1) v ỗ
. D. ỗ
ỗ ;9ữ
ỗ ;9ữ
ỗ ;8ữ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ
ố2 ứ
ố2 ứ
ố2 ứ
Loi . TèM H NGUYấN HM = PHNG PHP I BIN S
1. Phng phỏp i bin s
ũ f ộởu( x) ựỷ.u'( x) dx = F ộởu( x) ựỷ+C .
Gi s ta cn tỡm h nguyờn hm I = ũ f ( x) dx , trong ú ta cú th phõn tớch
Nu
ũ f ( x) dx = F ( x) +C
thỡ
f ( x) = g( u( x) ) u'( x) thỡ ta thc hin phộp i
bin s t = u( x) , suy ra dt = u'( x) dx .
Khi ú ta c nguyờn hm:
ũ g( t) dt = G ( t) +C = G ộởu( x) ựỷ+C.
Chỳ ý: Sau khi tỡm c h nguyờn hm theo t thỡ ta phi thay t = u( x) .
Cõu 34. Cõu no sau õy sai?
/
A. Nu F '( t) = f ( t) thỡ F ( u( x) ) = f ( u( x) ) .
B.
ũ f ( t) dt = F ( t) +C ị ũ f ( u( x) ) u'( x) dx = F ( u( x) ) +C .
/
C. Nu G ( t) l mt nguyờn hm ca hm s g( t) thỡ G ( u( x) ) l mt nguyờn hm ca hm s g( u( x) ) .u ( x) .
D.
ũ f ( t) dt = F ( t) +C ị ũ f ( u) du = F ( u) +C
vi u = u( x) .
Cõu 35. Trong cỏc khng nh sau, khng nh no sai?
A. Nu
ũ f ( u( x) ) .u ( x) dx = F ( u( x) ) +C .
u l nguyờn hm ca hm s f ( x) thỡ ũ ộ
ởF ( x) -
ũ f ( t) dt = F ( t) +C
B. Nu F ( x) v G ( x)
thỡ
/
G ( x) ự
ỷdx cú dng h( x) = Cx + D ( C, D l cỏc
hng s v C ạ 0 ).
2
C. F ( x) = 7 + sin x l mt nguyờn hm ca f ( x) = sin2x .
D.
u/ ( x)
ũ u( x)
dx = u( x) +C .
Cõu 41. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Tỡm nguyờn hm ca hm s f ( x) = 2x - 1.
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 5/25
www.thuvienhoclieu.Com
2
A.
ò f ( x) dx = 3( 2x - 1)
C.
ò f ( x) dx = -
Câu 42. Để tính
ò
2x - 1+C.
1
2x - 1+C.
3
1
B.
ò f ( x) dx = 3( 2x - 1)
D.
ò f ( x) dx = 2
1
2x - 1+C.
2x - 1+C.
eln x
dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
x
A. t = eln x .
1
D. t = .
x
C. t = x.
B. t = ln x.
Câu 43. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = xex .
2
Hàm số nào sau đây không phải là F ( x) :
1 2
A. F ( x) = ex + 2 .
2
1 2
C. F ( x) = - ex +C .
2
1 x2
e +5 .
2
2
1
2- ex .
D. F ( x) = 2
B. F ( x) =
I =e.
B.
)
F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) =
1
I= .
e
C.
Câu 45. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =
2
Nếu F ( e ) = 4 thì
)
(
Câu 44. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
A.
(
I=
1
.
2
ln x
. Tính F (e) − F (1)
x
D.
I = 1.
ln x
.
x
ln x
dx bằng:
x
ò
ln2 x
ln2 x
B. F ( x) =
+C .
+2 .
2
2
ln2 x
ln2 x
C. F ( x) =
D. F ( x) =
- 2.
+ x +C .
2
2
sin x
Câu 46. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = e cosx .
A. F ( x) =
Nếu F ( p) = 5 thì
A. F ( x) = e
sin x
òe
sin x
cos xdx bằng:
+ 4 . B. F ( x) = esin x +C .
cos x
C. F ( x) = e + 4 .
cosx
D. F ( x) = e +C .
4
Câu 47. F ( x) là nguyên hàm của hàm số y = sin x cos x .
F ( x) là hàm số nào sau đây?
A. F ( x) =
cos5 x
+C .
5
sin4 x
+C .
4
Câu 48. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:
C. F ( x) =
(I)
(II)
ò tan x dx = òe
(III) ò
3cos x
cos4 x
+C .
4
sin5 x
+C .
D. F ( x) =
5
B. F ( x) =
ln( cos x) +C .
sin x dx = -
1 3cos x
e
+C .
3
cos x + sin x
dx = 2 sin x - cos x +C .
sin x - cos x
Số mệnh đề đúng là:
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a;b] .
Khi đó:
òudv = uv- òvdu.
( *)
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 6/25
www.thuvienhoclieu.Com
Để tính nguyên hàm
ò f ( x) dx bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x) dx = udv (chú ý dv = v'( x) dx ).
Sau đó tính v = ò dv và du = u'.dx .
Bước 2. Thay vào công thức ( *) và tính
òvdu .
Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
òvdu dễ tính hơn òudv . Ta thường
gặp các dạng sau
ésin x ù
údx
P ( x) là đa thức.
● Dạng 1. I = ò P ( x) ê
êcos xú , trong đó
ë
û
ìï u = P ( x)
ïï
ésin x ù .
Với dạng này, ta đặt ïí
ïï dv = ê
údx
ê
ïîï
ëcos xú
û
ax+b
● Dạng 2. I = ò P ( x) e dx , trong đó P ( x) là đa thức.
ìï u = P ( x)
Với dạng này, ta đặt ïí
.
ïï dv = eax+bdx
î
● Dạng 3. I = ò P ( x) ln( mx + n) dx , trong đó P ( x) là đa thức.
ìï u = ln( mx + n)
ï
Với dạng này, ta đặt í
.
ïï dv = P ( x) dx
î
ésin x ù x
úe dx .
● Dạng 4. I = ò ê
êcos xú
ë
û
ìï
é
ù
ïï u = êsin x ú
ï
ê
ú
Với dạng này, ta đặt í
ëcos xû.
ïï
ïïî dv = exdx
Câu 49. Để tính
ò x ln( 2+ x) dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:
ïì u = x
.
A. ïí
ïï dv = ln( 2+ x) dx
î
ìï u = x ln( 2 + x)
.
C. ïí
ïï dv = dx
î
Câu 50. Để tính
òx
2
ìï u = ln( 2+ x)
.
B. ïí
ïï dv = xdx
î
ìï u = ln( 2+ x)
.
D. ïí
ïï dv = dx
î
cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:
ïì u = x
. B.
A. ïí
ïïî dv = x cos xdx
ìï u = x2
ïí
.
ïïî dv = cos xdx
ïì u = cos x
.
C. ïí
ïïî dv = x2dx
ìï u = x2 cos x
.
D. ïí
ïïî dv = dx
x
Câu 51. Kết quả của I = ò xe dx là:
x2 x
e +C .
2
x2
C. I = xex - ex +C .
D. I = ex + ex +C .
2
Câu 52. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F ( x ) = ( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số
A. I = ex + xex +C .
của hàm số
f ( x)e 2 x . Tìm nguyên hàm
f ′( x)e2 x .
∫ f ′( x)e
C. ∫ f ′( x )e
A.
B. I =
2x
dx = (4 − 2 x)e x + C
2x
dx = (2 − x)e x + C
2−x x
e +C
2
f ′( x )e 2 x dx = ( x − 2)e x + C
B.
D.
∫
∫ f ′( x)e
2x
dx =
Câu 53. Hàm số f ( x) = ( x - 1) e có một nguyên hàm F ( x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0 ?
x
x
A. F ( x) = ( x - 1) e .
x
B. F ( x) = ( x - 2) e .
x
C. F ( x) = ( x +1) e +1 .
x
D. F ( x) = ( x - 2) e + 3 .
Câu 54. Một nguyên hàm của f ( x) = x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1?
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 7/25
www.thuvienhoclieu.Com
1 2
1
x ln x - ( x2 +1) .
2
4
1
1 2
C. F ( x) = x ln x + ( x +1) .
2
2
A. F ( x) =
B. F ( x) =
D. Một kết quả khác.
Câu 55. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
số
1 2
1
x ln x + x +1 .
2
4
F ( x) =
f ′( x) ln x
1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm
2
x
2x
1
ln x 1
ln x
+ 2 ÷ + C B. ∫ f ′( x) ln xdx = 2 + 2 + C
2
x
2x
x
x
ln x
1
ln x 1
f ′( x ) ln xdx = − 2 + 2 ÷ + C D. ∫ f ′( x) ln xdx = 2 + 2 + C
x
x
2x
x
ln( ln x)
A.
∫ f ′( x) ln xdx = −
C.
∫
Câu 56. Tính nguyên hàm I = ò
x
dx được kết quả nào sau đây?
A. I = ln x.ln( ln x) +C.
B. I = ln x.ln( ln x) + ln x +C.
C. I = ln x.ln( ln x) - ln x +C.
D. I = ln( ln x) + ln x +C.
Câu 57. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm
số f ′( x)e 2 x .
∫ f ′( x)e
C. ∫ f ′( x )e
A.
2x
dx = − x 2 + 2 x + C
2x
dx = 2 x 2 − 2 x + C
∫ f ′( x)e
D. ∫ f ′( x)e
B.
2x
dx = − x 2 + x + C
2x
dx = −2 x 2 + 2 x + C
x
Câu 58. Tính nguyên hàm I = ò sin x.e dx , ta được:
1 x
( e sin x - ex cos x) +C .
2
C. I = ex sin x +C .
1 x
( e sin x + ex cosx) +C .
2
D. I = ex cos x +C .
A. I =
B. I =
Câu 59. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
số
F ( x) = −
f ′( x) ln x .
1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm
2
x
3x
ln x
1
ln x
1
+ 5 +C
B. ∫ f ′( x ) ln xdx = 3 −
+C
3
x
5x
x
5x5
ln x
1
ln x
1
C. ∫ f ′( x ) ln xdx = 3 +
+C
D. ∫ f ′( x) ln xdx = − 3 +
+C
3
x
3x
x
3x3
4
4
Câu 60. Để tìm nguyên hàm của f ( x) = sin x cos x thì nên:
A.
∫ f ′( x) ln xdx =
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t = sin x .
B. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t = cos x .
sin2 2x 1- cos4x
C. Biến đổi lượng giác sin2 x cos2 x =
rồi tính.
=
4
8
4
4
D. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u = sin x, dv = cos xdx .
Loại . ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho f ( x) là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K
thì hiệu số
F ( b) - F ( a)
được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b và kí hiệu là
b
ò f ( x) dx = F ( x)
b
a
= F ( b) - F ( a) .
a
2. Tính chất
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 8/25
www.thuvienhoclieu.Com
a
ò f ( x) dx = 0 .
Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là
a
b
a
ò f ( x) dx = - ò f ( x) dx .
Đổi cận thì đổi dấu, tức là
a
b
Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
b
b
ò kf ( x) dx = kò f ( x) dx ( k là hằng số).
a
a
Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
b
b
b
ò éëf ( x) ± g( x) ùûdx = ò f ( x) dx ± ò g( x) dx .
a
a
a
b
c
b
Tách đôi tích phân, tức là ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .
a
a
c
b
ò f ( x) dx
Chú ý: Tích phân
chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x , tức là
a
b
b
ò f ( x) dx = ò f ( t) dt .
a
a
Câu 61. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:
b
A.
a
ò f ( x) dx = a
b
b
ò f ( x) dx .
B.
b
c
ò k.dx = k( b-
a) , " k Î ¡ .
a
b
C. ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx với c Î [ a;b] .
D.
a
a
b
a
c
ò f ( x) dx = ò f ( x) dx .
a
b
Câu 62. Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó:
a
(I)
a
ò f ( x) dx = 0 .
(II)
a
b
b
ò f ( x) dx = ò f ( x) dx .
b
(II)
a
b
ò k. f ( x) dx = kò f ( x) dx .
a
a
Trong ba công thức trên:
A. Chỉ có (I) sai.
B. Chỉ có (II) sai.
C. Chỉ có (I) và (II) sai.
D. Cả ba đều đúng.
Câu 63. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1
A.
b
ò dx = 1.
B.
- 1
b
b
ò f1 ( x) . f2 ( x) dx = ò f1 ( x) dx.ò f2 ( x) dx .
a
a
a
b
C. Nếu f ( x) liên tục và không âm trên đoạn [ a;b] thì
ò f ( x) dx ³
0.
a
a
D. Nếu
ò f ( x) dx = 0 thì
f ( x) là hàm số lẻ.
0
Câu 64. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
b
c
b
A. ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx với mọi a, b, c thuộc tập xác định của f ( x) .
a
a
c
b
B. Nếu
ò f ( x) dx ³
0 thì f ( x) ³ 0, " x Î [ a;b] .
a
C.
ò
dx
2
1+ x
= 2 1+ x2 +C .
D. Nếu F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì
F ( x) là nguyên hàm của hàm số
x
2
/
Câu 65. Đặt F ( x) = ò 1+ t dt . Đạo hàm F ( x) là hàm số nào dưới đây?
1
A. F ( x) =
/
x
1+ x2
.
B. F / ( x) = 1+ x2 .
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 9/25
f ( x) .
www.thuvienhoclieu.Com
/
C. F ( x) =
1
D. F / ( x) = ( x2 +1) 1+ x2 .
.
1+ x2
x
2
Câu 66. Cho F ( x) = ò( t + t) dt . Giá trị nhỏ nhất của F ( x) trên đoạn [- 1;1] là:
1
1
A. .
6
C. -
B. 2.
x
5
.
6
D.
5
.
6
t- 3
dt . Xét các mệnh đề:
t2 +1
Câu 67. Cho F ( x) = ò
0
x- 3
I. F '( x) = 2
.
x +1
II. Hàm số F ( x) đạt cực tiểu tại x = 3.
III. Hàm số F ( x) đạt cực đại tại x = 3.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I và II.
Câu 68. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:
1
A.
D. I và III.
1
2
ò x dx ³
0
ò x dx .
3
0
x
B. Đạo hàm của F ( x) = ò
1
dt
1
/
( x > 0) .
là F ( x) =
1+ t
1+ x
a
C. Hàm số f ( x) liên tục trên [- a; a] thì
a
ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
- a
0
b
D. Nếu f ( x) liên tục trên ¡ thì
c
c
ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = ò f ( x) dx .
a
b
a
0
Câu 69. Cho f ( x) là hàm số chẵn và
ò f ( x) dx = a . Chọn mệnh đề đúng:
- 3
3
A.
3
ò f ( x) dx = - a .
B.
0
ò f ( x) dx = 2a .
- 3
3
0
C. ò f ( x) dx = a .
D.
- 3
ò f ( x) dx = a .
3
4
Câu 70. Nếu ff( 1) = 12,
'( x) liên tục và
ò f '( x) dx = 17 . Giá trị của
f ( 4) bằng:
1
A. 29.
B. 5.
C. 19.
D. 9.
5
Câu 71. Cho
2
ò f ( x) dx = 10 . Khi đó ò éë22
A. 32.
5
B. 34.
C. 36.
2
Câu 72. Cho
4 f ( x) ù
ûdx bằng:
D. 40.
4
ò f ( x) dx = 1 và
1
A. - 2 .
4
ò f ( t) dt = - 3 . Giá trị của
1
B. - 4 .
ò f ( u) du là:
2
C. 4.
d
Câu 73. Cho hàm f liên tục trên ¡ thỏa mãn
D. 2.
d
c
ò f ( x) dx = 10, ò f ( x) dx = 8, ò f ( x) dx = 7 .
a
b
a
c
Tính I = ò f ( x) dx , ta được.
b
A. I = - 5 .
B. I = 7.
3
Câu 74. Cho biết
C. I = 5.
4
D. I = - 7 .
4
ò f ( x) dx = - 2, ò f ( x) dx = 3, ò g( x) dx = 7 .
1
1
1
Khẳng định nào sau đây là sai?
4
A.
ò éëf ( x) + g( x) ùûdx = 10.
1
4
B.
ò f ( x) dx = 1.
3
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 10/25
www.thuvienhoclieu.Com
3
C.
4
ũ f ( x) dx = - 5.
D.
4
ũ ộở4 f ( x) 1
2
2
1
1
2g( x) ự
ỷdx = - 2.
ự
ộ
ự
Cõu 75. Cho bit A = ũ ộ
ở3 f ( x) + 2g( x) ỷdx = 1 v B = ũ ở2 f ( x) - g( x) ỷdx = - 3 .
2
ũ f ( x) dx bng:
Giỏ tr ca
1
A. 1.
C. -
B. 2.
5
.
7
D.
Cõu 76. (TRCH THPT QG 2017) Cho
A.
I =7
B.
I = 5+
1
.
2
2
2
0
0
f ( x)dx = 5 . Tớnh I = [ f ( x) + 2sin x ] dx .
2
C.
I =3
D.
I = 5+
2
Cõu 77. Gi s A, B l cỏc hng s ca hm s f ( x) = A sin( px) + Bx .
2
Bit
ũ f ( x) dx = 4 . Giỏ tr ca B
l:
0
A. 1.
B. Mt ỏp s khỏc.
C. 2.
D.
2
Cõu 78. (TRCH THPT QG 2017) Cho
2
f ( x) dx = 2 v
1
A.
I=
5
2
B.
I=
3
.
2
g ( x)dx = 1 . Tớnh I =
1
7
2
C.
I=
17
2
D.
2
[ x + 2 f ( x) 3g ( x)] dx
1
I=
11
2
Cõu 79. Tớnh cỏc hng s A v B hm s f ( x) = A sin( px) + B tha món ng thi cỏc iu kin f '( 1) = 2 v
2
ũ f ( x) dx = 4 .
0
2
, B = 2.
p
2
C. A = - , B = - 2 .
p
2
B. A = , B = 2 .
p
2
D. A = , B = - 2 .
p
A. A = -
b
Cõu 80. Giỏ tr no ca b
ũ( 2x -
6) dx = 0 ?
1
A. b= 0 hoc b= 3 .
C. b= 5 hoc b= 0 .
a
Cõu 81. Cho
x +1
dx = e vi a> 1 . Khi ú, giỏ tr ca a tha món l:
x
ũ
1
1
A. .
e
B. b= 0 hoc b= 1
D. b= 1 hoc b= 5 .
B. e.
C.
e
.
2
D. e2 .
k
Cõu 82.
ũ( k -
4x) dx = 6- 5k thỡ giỏ tr ca k l:
1
A. k = 1 .
B. k = 2 .
C. k = 3 .
ổ 2
1ử
sin t - ữ
dt = 0 , vi k ẻ Â thỡ x tha:
ữ
Cõu 83. ũỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố
2ứ
0
D. k = 4 .
x
A. x = k2p .
B. x = kp .
C. x = k
p
.
2
D. x = ( 2k + 1) p .
a
Cõu 84. Nu
ũ( cosx + sin x) dx = 0( 0 < a < 2p)
thỡ giỏ tr a bng:
0
A.
p
.
4
B.
Cõu 85. Nu
p
.
2
ũ
5
1
C.
3p
.
2
D. p .
dx
= ln c vi cẻ Ô thỡ giỏ tr ca c bng:
2x - 1
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 11/25
www.thuvienhoclieu.Com
A. 9 .
B. 6.
C. 3.
2
Câu 86. Nếu kết quả của
D. 81.
dx
ò x+ 3
được viết ở dạng ln
1
a
với a, b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a, b bằng 1.
b
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. 3a- b < 12 .
B. a + 2b = 13 .
C. a- b> 2 .
2
Câu 87. Tính tích phân
æ1
òçççèx -
3
1
-
2 1ö
÷
÷
÷dx , ta thu được kết quả ở dạng a + bln2 với a, bÎ ¤ . Chọn khẳng định đúng trong
x x2 ø
các khẳng định sau?
A. a2 + b2 > 10 .
B. a> 0 .
0
D. a2 + b2 = 41 .
C. a- b> 1 .
æ
D. b- 2a > 0 .
2 ö
÷dx được viết dưới dạng a + bln2 với a, bÎ
òçççèx +1+ x - 1ø÷
÷
Câu 88. Kết quả của tích phân
¤ . Khi đó a + b bằng:
- 1
5
5
.
D. - .
2
2
1
2x + 3
dx = aln2+ b với a, bÎ ¤ .
Câu 89. Biết rằng ò
2- x
0
A.
3
.
2
B. -
3
.
2
C.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. a< 5 .
B. b> 4 .
C. a2 + b2 > 50 .
(x
2
2
Câu 90. Cho tích phân I = ò
x +1
1
định sau:
A. b> 0 .
B. c< 0 .
2
Câu 91. Cho tích phân I = ò
dx = a+ bln2 + c ln3 với a, b, cÎ ¤ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng
C. a< 0 .
( x - 2) ( x - x + 2)
1
khẳng định sau:
A. b> 0 .
- 2x) ( x - 1)
B. c> 0 .
D. a + b < 1.
D. a + b+ c > 0 .
2
x+2
dx = a+ bln2 + c ln3 với a, b, cÎ ¤ . Chọn khẳng định đúng trong các
C. a< 0 .
D. a + b+ c > 0 .
t2 + 4
( m/ s) . Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao
Câu 92. Một vật chuyển động với vận tốc v( t) = 1,2 +
t +3
nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 18,82 m.
B. 11,81m.
C. 4,06 m.
D. 7,28 m.
Câu 93. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật
1
s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian
2
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng
thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?
A. 24 (m/s)
B. 108 (m/s) .
C. 18 (m/s)
D. 64 (m/s)
2
Câu 94. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v( t) = 3t + 5( m/ s) . Quãng đường
máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
A. 36m. B. 252m. C. 1134m.
D. 966m.
Câu 95. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v( t) = - 5t +10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?
A. 0,2 m.
B. 2 m.
C. 10 m.
D. 20 m.
Câu 96. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật
1
s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian
3
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng
thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?
A. 144 (m/s)
B. 36 (m/s)
C. 243 (m/s)
D. 27 (m/s)
v
2
Câu 97. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a( t) = 3t + t (m/s2). Quãng đường vật đi được trong khoảng
thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ?
4000
4300
1900
2200
m.
m.
m.
m.
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
3
Câu 98. Một vật chuyển động với vận tốc v( t) ( m/ s) , có gia tốc v'( t) =
( m/ s2 ) . Vận tốc ban đầu của vật là 6m/ s . Vận
t +1
tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
A. 14m/ s .
B. 13m/ s .
C. 11m/ s .
D. 12m/ s .
8
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 12/25
O
1
2
1t
v9
www.thuvienhoclieu.Com
Câu 99. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ
thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song
với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó
A.
26,5 (km)
B.
28,5 (km)
C.
27 (km)
D.
O
234 t
24 (km)
4000
Câu 100. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N ( t) . Biết rằng N '( t) =
và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 con.
1+ 0,5t
Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị):
A. 264.334 con.
B. 257.167 con.
C. 258.959 con.
D. 253.584 con.
1
Câu 101. Gọi h( t) ( cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h'( t) = 3 t + 8 và lúc đầu bồn
5
không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):
A. 2,33 cm.
B. 5,06 cm.
C. 2,66 cm.
D. 3,33 cm.
Câu 102. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h)
1
I ;8 ÷ và trục đối
2
phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh
xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng
thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
A. s = 4, 0 (km)
s = 2,3 (km)
C. s = 4,5 (km)
D. s = 5,3 (km)
B.
Câu 103. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất
bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất
không đổi và người đó không rút tiền ra.
A. 13 năm
B. 14 năm
C. 12 năm
D. 11 năm
Câu 104. Khẳng định nào sau đây đúng ?
10
A. Nếu w'( t) là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì
òw'( t) dt
là sự cân nặng của đứa trẻ giữa 5 và 10
5
tuổi.
120
B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ r ( t) tính bằng galông/phút tại thời gian t , thì
ò r ( t) dt
biểu thị lượng galông
0
dầu rò rỉ trong 2 giờ đầu tiên.
C. Nếu r ( t) là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t = 0 vào ngày 1 tháng 1 năm 2000
17
và r ( t) được tính bằng thùng/năm,
ò r ( t) dt biểu thị số lượng thùng dầu tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày
0
1 tháng 1 năm 2017.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 105. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ
thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường
s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 23, 25 (km)
B. s = 21,58 (km)
C. s = 15,50 (km)
D. s = 13,83 (km)
Câu 106. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông1 A dùng để trả lương cho
nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng
thêm 15 % so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong
cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng ?
A. Năm 2023
B. Năm 2022.
C. Năm 2021
D. Năm 2020
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 13/25
www.thuvienhoclieu.Com
Cõu 107. (TRCH THPT QG 2017) Mt vt chuyn ng
trong 3 gi vi vn tc v (km/h) ph thuc vo thi gian
t (h) cú th l mt phn ca ng parabol cú nh
I (2;9) v trc i xng song song vi trc tung nh
hỡnh bờn. Tớnh quóng ng s m vt di chuyn c
trong 3 gi ú.
A. s = 24, 25 (km)
s = 26, 75 (km)
C. s = 24, 75 (km)
D. s = 25, 25 (km)
B.
Loi . TNH TCH PHN = PHNG PHP I BIN S LOI 1
1. Phng phỏp i bin s
a) Phng phỏp i bin s loi 1
b
Gi s cn tớnh I = ũ f ( x) dx ta thc hin cỏc bc sau
a
ự
Bc 1. t x = u( t) (vi u( t) l hm cú o hm liờn tc trờn [ a;b] , f ộ
ởu( t) ỷ xỏc nh trờn [ a;b] v u( a ) = a, u( b) = b )
v xỏc nh a, b .
b
b
ự
Bc 2. Thay vo, ta cú: I = ũ f ộ
ởu( t) ỷ.u'( t) dt = ũ g( t) dt = G ( t)
a
b
a
= G ( b) - G ( a ) .
a
Mt s dng thng dựng phng phỏp i bin s loi 1
Du hiu
Cỏch chn
a - x
ộ
ờx = a sin t t ẻ
ờ
ờ
ờx = a cost t ẻ
ờ
ở
x2 - a2
ộ
a
ờx =
ờ sin t
ờ
ờ
ờx = a
ờ
ờ
ở cost
ộ p pự
t ẻ ờ- , ỳ\ { 0}
ờ
ở 2 2ỳ
ỷ
ỡù p ỹ
t ẻ [ 0, p] \ ớ ùý
ùùợ 2ùùỵ
x2 + a2
x = a tan t
ổ p pử
ữ
tẻ ỗ
- ; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 2ứ
2
2
ộ p pự
ờ- ; ỳ
ờ
ở 2 2ỳ
ỷ
[ 0;p]
8
Cõu 108. i bin s x = 4sin t ca tớch phõn I = ũ 16- x2 dx , ta c:
0
p
4
p
4
A. I = - 16 cos tdt .
ũ
B. I = 8 ( 1+ cos2t)dt .
ũ
2
0
0
p
4
p
4
C. I = 16 sin2 tdt .
ũ
D. I = 8 ( 1- cos2t)dt .
ũ
0
0
1
Cõu 109. Cho tớch phõn I = ũ
0
dx
4- x2
. Nu i bin s x = 2sin t thỡ:
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 14/25
www.thuvienhoclieu.Com
p
6
p
6
A. I = dt .
ò
p
6
B. I = tdt .
ò
0
p
3
C. I = dt .
òt
0
0
D. I = dt .
ò
0
3
1
dx , ta được:
2
x
+3
3
Câu 110. Đổi biến số x = 3tan t của tích phân I = ò
p
3
p
3
p
3
3 dt
.
B. I =
3 ò
t
p
A. I = 3ò dt.
p
4
4
2
Câu 111. Cho tích phân I = ò
1
p
4
3
dt.
D. I =
3 ò
p
4
4
2
x - 1
1
dx . Nếu đổi biến số x =
thì:
x3
sin t
p
2
p
2
2
2
A. I = ò cos tdt. B. I = ò sin tdt.
p
2
p
3
3
tdt.
C. I =
3 ò
p
p
2
2
C. I = ò cos tdt.
p
4
D. I =
p
4
1
( 1- cos2t) dt .
2ò
p
4
Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2
b) Phương pháp đổi biến số loại 2
Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau:
b
ù
Để tính tích phân I = ò f ( x) dx nếu f ( x) = gé
ëu( x) û.u'( x) , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau
a
ìï x = a Þ t = u( a)
ï
.
Bước 1. Đặt t = u( x) Þ dt = u'( x) dx . Đổi cận í
ïï x = b Þ t = u( b)
î
u(b)
Bước 2. Thay vào ta có I = ò g( t) dt = G ( t)
u(a)
u( b)
.
u( a)
Câu 112. Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm trên ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
1
1
a
A. ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx .
0
0
p
- a
p
0
D.
0
Câu 113. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
∫
0
I =6
B.
1
f ( x) dx .
2ò
0
2
f ( x )dx = 12 . Tính I = ∫ f (3 x) dx .
0
I = 36
C.
4
Câu 114. Nếu f ( x) liên tục và
2
ò f ( x) dx =
0
6
A.
0
1
ò f ( sin x) dx = pò f ( sin x) dx .
C.
a
B. ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
I =2
D.
I =4
2
ò f ( x) dx = 10 , thì ò f ( 2x) dx bằng:
0
0
A. 5.
B. 29.
C. 19.
D. 9.
Câu 115. Hàm số y = f ( x) có nguyên hàm trên ( a;b) đồng thời thỏa mãn f ( a) = f ( b) . Lựa chọn phương án đúng:
b
b
f ( x)
ò f '( x) e dx = 0 .
A.
B.
a
dx = 1.
f ( x)
dx = 2 .
a
b
b
f ( x)
ò f '( x) e dx = - 1.
C.
f ( x)
ò f '( x) e
D.
a
ò f '( x) e
a
Câu 116. Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm trên ¡ . Xét các mệnh đề:
I.
p
2
1
ò sin2x. f ( sin x) dx = ò f ( x) dx.
0
0
ò
0
f ( ex )
x
e
e
dx = ò
1
f ( x)
x2
dx .
a2
a
III.
1
II.
1
ò x f ( x ) dx = 2 ò xf ( x) dx .
3
2
0
0
Các mệnh đề đúng là:
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 15/25
www.thuvienhoclieu.Com
A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ III.
D. Cả I, II và III.
Câu 117. Cho f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên [- a; a] . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
a
A.
a
a
ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
- a
0
a
0
B.
- a
a
C. ò f ( x) dx = 2ò f ( x) dx .
- a
ò f ( x) dx = 0 .
a
D. ò f ( x) dx = - 2ò f ( x) dx .
- a
- a
0
0
Câu 118. Cho f ( x) là hàm số lẻ và
2
ò f ( x) dx = 2 . Giá trị của ò f ( x) dx là:
- 2
A. 2.
B. - 2 .
0
C. 1.
D. - 1 .
0
Câu 119. Cho f ( x) là hàm số chẵn và
1
ò f ( x) dx = 3. Giá trị của
- 1
A.3.
B. 2.
ò f ( x) dx là:
- 1
D. - 3 .
C. 6.
2
2
3
Câu 120. Tính tích phân I = ò x x +1dx .
0
16
A.
.
9
16
B. .
9
C.
52
.
9
D. -
52
.
9
2
2
Câu 121. Cho I = ò 2x x - 1dx và u = x2 - 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
1
3
3
2
A. I = ò udu .
B. I = ò udu .
0
1
3
Câu 122. Biến đổi
2 3
C. I = u2 .
3 0
ò 1+
2
x
dx thành
1+ x
0
D. I = 2 3 .
ò f ( t) dt , với t =
1+ x . Khi đó f ( t) là hàm nào trong các hàm số sau?
1
2
2
A. f ( t) = 2t - 2t . B. f ( t) = t + t .
3
2
C. f ( t) = t - t .
2
D. f ( t) = 2t + 2t .
2
1+ x2
dx . Nếu đổi biến số t = x +1 thì:
2
x
x
Câu 123. Cho tích phân I = ò
1
2
2
3
t2dt
t2dt . B. I =
A. I = ò t2 +1 .
ò t2 - 1
2
2
3
2
Câu 124. Kết quả của tích phân I = ò
1
3
2
C. I = t dt .
ò t2 - 1
2
dx
x 1+ x3
3
D. I = ò
2
có dạng I = aln2 + bln
(
tdt
.
t +1
2
)
2 - 1 + c với a, b, cÎ ¤ . Khi đó giá trị của a
bằng:
1
A. a= .
3
1
Câu 125. Biết rằng I = ò
0
A. a= 2
1
.
3
B. a= -
C. a= -
2
.
3
D. a=
2
.
3
x
dx = ln a với aÎ ¤ . Khi đó giá trị của a bằng:
x2 +1
B. a=
1
.
2
D. a= 4 .
C. a= 2 .
1
Câu 126. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho
1
1
∫ x + 1 − x + 2 ÷ dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mđ nào dưới
0
đây đúng ?
A. a + b
= 2.
Câu 127. Cho 2 3.m-
ò
0
A. -
2
.
3
C.
a + b = −2 .
D.
3
4x
(x
4
+ 2)
2
dx = 0 . Khi đó 144m2 - 1 bằng:
B. 4 3 - 1.
2
Câu 128. Tính tích phân I = ò
1
A. I = 2.
a − 2b = 0 .
B.
1
B. I =
C.
2 3
.
3
D. Kết quả khác.
ln x
dx .
x
ln2 2
.
2
C. I = ln2.
C. I = -
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 16/25
ln2 2
.
2
a + 2b = 0 .
www.thuvienhoclieu.Com
e
Câu 129. Đổi biến u = ln x thì tích phân I = ò
1
1- ln x
dx thành:
x2
0
1
A. I = ò( 1- u)du .
- u
B. I = ò( 1- u) e du .
1
0
0
0
u
C. I = ò( 1- u) e du .
2u
D. I = ò( 1- u) e du .
1
e
1
1+ 3ln x
dx và t = 1+ 3ln x .
x
Câu 130. Cho I = ò
1
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
2
2
2
2
2 2
2
A. I = ò tdt.
B. I = ò t dt.
C. I = t3 .
31
31
9 1
e
Câu 131. Biến đổi
ln x
ò x( ln x+ 2)
2 1
- .
t2 t
ò f ( t) dt , với t = ln x + 2 . Khi đó
f ( t) là hàm nào trong các hàm số sau?
2
1 2
+ .
t2 t
B. f ( t) = -
e
Câu 132. Kết quả của tích phân I = ò
1
1
C. f ( t) =
ln x
x( ln2 x +1)
B. a2 + b2 = 4 .
A. 2a + b = 1.
14
.
9
3
dx thành
2
1
A. f ( t) =
D. I =
2 1
+ .
t2 t
2 1
+ .
t2 t
D. f ( t) = -
dx có dạng I = aln2 + b với a, bÎ ¤ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
C. a- b = 1.
D. ab= 2 .
2
x
Câu 133. Tính tích phân I = ò xe dx.
0
e
A. I = .
2
B. I =
e+1
.
2
C. I =
e- 1
.
2
D. I = e.
ln2
x
x
Câu 134. Cho I = ò e e - 1dx và t = ex - 1 .
0
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
1
1
2
A. I = 2ò t dt .
2
B. I = ò t dt .
0
0
ln3
Câu 135. Biến đổi
2t3
3
1
0
D. I =
.
2
.
3
3
dx
ò e +1 thành ò f ( t) dt , với t = e . Khi đó
f ( t) là hàm nào trong các hàm số sau?
x
x
0
A. f ( t) =
C. I =
1
1
.
t - t
1
1
B. f ( t) = +
.
t t +1
2
C. f ( t) =
1
1
- .
t +1 t
D. f ( t) =
1
.
t +t
2
2
exdx
ae+ e3
= ln
với a, b là các số nguyên dương.
x
2+ e
ae+ b
- 1
Câu 136. Tìm a biết I = ò
1
A. a= .
3
1
.
3
B. a= -
C. a= 2 .
D. a= - 2 .
p
2
Câu 137. Để tính tích phân I = esin x cos xdx ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp?
ò
0
A. Đặt t = esin x .
C. Đặt t = cos x .
B. Đặt t = sin x .
D. Đặt t = ex .
p
2
Câu 138. Cho tích phân I = esin2 x sin x cos3 xdx .
ò
0
2
Nếu đổi biến số t = sin x thì:
1
é1
ù
t
ê
I
=
2
e
d
t
+
tet dtú
B.
ò
êò
ú.
ê0
ú
0
ë
û
1
1
ù
1é t
e dt + ò tet dtú
D. I = ê
ò
ê
ú.
2ë
ê0
ú
0
û
1
A. I =
1
et ( 1- t) dt .
2ò
0
1
t
C. I = 2ò e ( 1- t) dt .
0
p
2
Câu 139. Biến đổi
1
sin2 x
òe
p
4
sin2x dx thành ò f ( t) dt , với t = sin
2
1
2
x . Khi đó f ( t) là hàm nào trong các hàm số sau?
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 17/25
www.thuvienhoclieu.Com
t
t
A. f ( t) = e sin2t . B. f ( t) = e .
t
C. f ( t) = e sin t .
1
D. f ( t) = et .
2
p
3
Câu 140. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân I = ò cos x sin xdx.
0
1
A. I = - p4.
4
4
B. I = - p .
C. I = 0 .
D. I = -
1
.
4
p
2
Câu 141. Tính tích phân I = sin2x( 1+ sin2 x) 3 dx .
ò
0
p4
A. I =
.
64
B. I =
15
.
4
p
4
Câu 142. Cho tích phân I =
ò
0
C. I =
6tan x
cos2 x 3tan x +1
4
( 2u2 +1) du .
3ò
1
C. I =
4
u2 - 1) du .
(
ò
31
D. I =
7
.
4
dx . Giả sử đặt u = 3tan x +1 thì ta được:
2
A. I =
31
.
4
2
B. I =
4
( u2 +1) du .
3ò
1
D. I =
4
2u2 - 1) du .
(
ò
31
2
2
p
2
Câu 143. Tính tích phân I = ( 1- cos x) n sin xdx bằng:
ò
0
1
.
A. I =
n +1
B. I =
1
.
n- 1
C. I =
1
.
2n
1
D. I = .
n
p
6
Câu 144. Nếu I = sinn x cos xdx = 1 thì n bằng:
ò
64
0
A. n = 3.
B. n = 4 .
D. n = 5.
C. n = 6.
Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2. Phương pháp tích phân từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ a;b] và có đạo hàm liên tục trên [ a;b] .
b
Khi đó:
b
òudv = uv a
a
b
òvdu.
a
Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
b
Dạng 1
ò f ( x) ln éëg( x) ùûdx
a
Dạng 2
Dạng 3
ésin ax ù
ê
ú
êcosaxúdx
f
x
(
)
ò
ê
ú
ê ax ú
a
e
ê
ú
ë
û
b
b
òe
ax
a
ésin ax ù
ê
údx
êcosaxú
ë
û
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 18/25
ïì u = ln ég( x) ù
ë
û
Đặt ïí
ïï dv = f ( x) dx
ïî
ìï u = f ( x)
ïï
ïï
ésin ax ù
ê
ú
Đặt ïí
ïï dv = êcosaxúdx
ê
ú
ïï
ê ax ú
ïï
e
ê
ú
ë
û
î
ìï
é
ù
ïï u = êsin ax ú
êcosaxú
Đặt ïí
ë
û
ïï
ïïî dv = eaxdx
www.thuvienhoclieu.Com
2
Câu 145. Tính tích phân I = ò ln tdt. Chọn khẳng định sai?
1
4
B. ln .
e
A. I = 2ln2- 1.
a
Câu 146. Biết I = ò
1
C. ln4- log10 .
D. ln4e.
ln x
1 1
dx = - ln2 . Giá trị của a bằng:
x2
2 2
A. 2 .
B. ln2 .
D. 8 .
C. 4.
3
2
Câu 147. Kết quả của tích phân I = ò ln( x - x) dx được viết ở dạng I = aln3- b với a, b là các số nguyên. Khi đó a- b
2
nhận giá trị nào sau đây?
A. - 1 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .
e
Câu 148. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân I = ò x ln xdx.
1
e2 - 2
B. I =
.
2
1
A. I = .
2
e2 +1
C. I =
.
4
e
Câu 149. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả
òx
3
ln xdx =
1
A. ab= 64 .
B. ab= 46 .
D. I =
e2 - 1
.
4
3ea +1
?
b
C. a- b = 12 .
D. a- b = 4 .
1
2
Câu 150. Kết quả của tích phân I = ò x ln( 2+ x ) dx được viết ở dạng I = aln3+ bln2+ c với a, b, c là các số hữu tỉ. Hỏi
0
tổng a + b+ c bằng bao nhiêu?
3
A. 0. B. 1.
C. .
D. 2.
2
e
k
Câu 151. Cho I = ò ln dx . Xác định k để I < e- 2 .
x
1
A. k < e+ 2 .
B. k < e .
C. k > e+1.
D. k < e- 1.
1
x
Câu 152. Tính tích phân I = ò x2 dx .
0
A. I =
2ln2- 1
.
ln2 2
B. I =
2ln2- 1
.
ln2
C. I =
2ln2+1
.
ln2 2
D. I =
2ln2+1
.
ln2
1
x
Câu 153. Kết quả tích phân I = ò( 2x + 3) e dx được viết dưới dạng I = ae+ b với a, bÎ ¤ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
0
3
B. a + b3 = 28 .
A. a- b = 2 .
a
Câu 154. Tích phân
ò( x -
1) e2xdx =
0
A. 1.
B. 2.
C. ab= 3.
D. a + 2b = 1 .
2
3- e
. Giá trị của a> 0 bằng:
4
C. 3.
D. 4.
p
4
Câu 155. Tính tích phân I = x sin2xdx .
ò
0
B. I =
A. I = 1 .
p
.
2
C. I =
1
.
4
D. I =
3
.
4
p
2
Câu 156. Cho tích phân I = x( sin x + 2m) dx = 1+ p2 . Giá trị của tham số m là:
ò
0
A. 5 .
B. 3.
Câu 157. Cho p m
A. 3 .
C. 4.
D. 6.
p
2
2
ò x cosxdx = 1 . Khi đó 9m -
6 bằng:
0
B. 30 .
Câu 158. Kết quả của tích phân
C. - 3 .
D. - 30 .
p
2
æ
p 1ö
- ÷
÷
được viết ở dạng pç
ç
2
x
1
sin
x
d
x
÷- 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
(
)
ç
è
ò
a bø
0
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 5 .
C. 2a- 3b = 2 .
D. a- b = 2 .
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 19/25
www.thuvienhoclieu.Com
t
Câu 159. Với t Î ( - 1;1) ta có
òx
0
1
A. .
3
1
B. - .
3
dx
1
= - ln3 . Khi đó giá trị t là:
- 1
2
2
D. 0 .
D.
1
.
2
p
2
Câu 160. Cho tích phân I = sin2x.esin xdx . Một học sinh giải như sau:
ò
0
ïìï x = 0 Þ t = 0
1
ï
Þ I = 2ò tet dt.
Bước 1: Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx . Đổi cận í
p
ïï x = Þ t = 1
0
ïî
2
1
1
1
1
ïì u = t
ïìï du = dt
t
t
t
t
Þ
te
d
t
=
te
e
d
t
=
e
e
= 1.
Bước 2: Chọn ïí
.
Suy
ra
í
ò
ò
ïîï dv = et dt ïîï v = et
0
0
0
0
1
t
Bước 3: I = 2ò te dt = 2 .
0
Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Bài giải trên sai từ Bước 1.
B. Bài giải trên sai từ Bước 2.
C. Bài giải trên hoàn toàn đúng.
D. Bài giải trên sai từ Bước 3.
p
p
p
x
2
x
2
x
Câu 161. Cho I = ò e cos xdx, J = ò e sin xdx và K = ò e cos2xdx . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
0
0
0
(II). I - J = K .
(I). I + J = ep .
ep - 1
.
5
D. Cả (II) và (III).
(III). K =
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III).
nx
e
dx với nÎ ¥ . Giá trị của I 0 + I 1 là:
Câu 162. Cho I n = ò
1+ ex
0
1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Loại . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Tính diện tích hình phẳng
Định lí.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không âm trên đoạn [ a;b] . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là :
y
y = f ( x)
b
S = ò f ( x) dx.
Oa
a
b
x
Bài toán 1. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] . Khi đó diện tích S của hình phẳng ( D )
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) ; trục hoành Ox ( y = 0 ) và hai đường thẳng x = a; x = b là
b
S = ò f ( x) dx .
y
a
y = f ( x)
Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
y = f ( x) ; y = g( x) và hai đường đường thẳng
y = g( x)
x = a; x = b là
b
S = ò f ( x) - g( x) dx.
Oa
a
b
x
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 20/25
www.thuvienhoclieu.Com
Câu 163. Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b ( a < b) là:
b
b
b
A. S = ò f ( x) dx. B. S = ò f ( x) dx.
a
a
b
C. S = ò f ( x) dx.
D. S = pò f ( x) dx.
2
a
a
Câu 164. Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là:
3
A. S = ò f ( x) dx .
- 2
0
3
B. S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .
- 2
0
- 2
3
C. S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .
0
0
0
0
D. S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx .
- 2
3
Câu 165. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x3 + 2x và y = 3x2 được tính theo công thức:
2
A. S = ò( x - 3x + 2x) dx .
3
2
0
2
C.
3
2
ò( - x + 3x -
2x) dx .
0
1
B. S = ò( x - 3x + 2x) dx 3
2
0
2
ò( x
3
- 3x2 + 2x) dx .
1
1
2
0
1
3
2
3
2
D. S = ò( x - 3x + 2x) dx + ò( x - 3x + 2x) dx .
Câu 166. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 + 2 và y = 3x là:
1
1
.
D. S = .
6
2
Câu 167. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - x và đồ thị
A. S = 2 .
B. S = 3 .
C. S =
hàm số y = x - x2.
37
9
81
.
B. S = .
C. S = .
D. S = 13.
12
4
12
Câu 168. Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 - 2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng
A. S =
a
a
(với
là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:
b
b
A. a- b = 2.
B. a- b = 3 .
C. a- b = - 2.
D. a- b =- 3.
4
2
Câu 169. Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) : y = x - 2x +1 và trục Ox gần nhất với giá trị nào sau
đây?
1
3
A. S = .
B. S = 1.
C. S = .
D. S = 2.
2
2
Câu 170. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 1+ x2 , trục hoành và đường thẳng x = 1 là:
x = 2 có dạng
1
A. S = .
3
2 2- 1
2 2 +1
C. S =
D. S = 2 2 - 1 .
.
.
3
3
Câu 171. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và x - 2y = 0 bằng với diện tích hình nào sau đây:
A. Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2 .
B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3 .
C. Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3 .
(
B. S =
D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng
24 3
.
3
Câu 172. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
2
( x +1)
2
, trục hoành, đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 4
là:
A. S = -
8
.
5
8
B. S = .
5
C. S =
)
2
.
25
D. S =
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 21/25
4
.
25
www.thuvienhoclieu.Com
Câu 173. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e .
e2 +1
e2 +1
e2 +1
e2 +1
.
B. S =
.
C. S =
.
D. S =
.
6
8
4
2
x
Câu 174. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e + x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 là:
1
1
A. S = e+ .
B. S = e- .
C. S = e+1.
D. S = e- 1.
2
2
x
Câu 175. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e + x , x - y +1= 0 và x = ln5 là:
A. S = 5+ ln4 .
B. S = 5- ln4 .
C. S = 4 + ln5 .
D. S = 4- ln5 .
x
Câu 176. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ( e+1) x và y = ( 1+ e ) x . Giá trị S cần tìm là:
A. S =
A. S =
e+ 2
.
2
B. S =
e
.
2
C. S =
e- 2
.
2
D. S =
e- 2
.
4
Câu 177. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex +1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3 , x = ln8 nhận giá
trị nào sau đây:
2
3
3
3
A. S = 2+ ln .
B. S = 2+ ln .
C. S = 3+ ln .
D. S = 2- ln .
3
2
2
2
2
Câu 178. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x - 2x + 2 , tiếp tuyến với nó tại điểm M ( 3;5) và trục Oy là giá
trị nào sau đây?
A. S = 4 .
B. S = 27 .
C. S = 9 .
D. S = 12 .
2
C
y
=
x
2
x
+
2
(
)
Câu 179. Cho hàm số
có đồ thị
. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 3 có đồ thị
D . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , đường thẳng V và trục tung. Giá trị của S là:
A. S = 9 .
B. S =
9
.
2
C. S =
9
.
4
D. S =
Câu 180. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 được tính như sau:
1
æ 1ö
÷dx .
4÷
A. S = òç
ç
÷
ç
è x2 ø
- 1
1
C. S = ò
- 1
1
4- y
1
B. S = ò 4- 1
1
D. S = ò
.
- 1
9
.
10
1
đường thẳng y = - 1, đường thẳng y = 1 và trục tung
x2
1
dx.
x2
- 1
4- y
dy.
Câu 181. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x - y2 = 0 và x + 2y2 - 12 = 0 bằng:
A. S = 15.
B. S = 32 .
C. S = 25.
D. S = 30.
x2 - 2x
Câu 182. Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y =
, đường tiệm cận xiên của ( C ) và hai
x- 1
đường thẳng x = a, x = 2a ( a > 1) bằng ln3 ?
A. a= 1.
B. a= 2 .
C. a= 3.
D. a= 4 .
Loại . TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY
2. Tính thể tích khối tròn xoay
a) Tính thể tích của vật thể
Định lí.
Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b ( a < b) . Một mặt phẳng
bất kì vuông góc với Ox tại điểm x ( a £ x £ b) cắt C theo một thiết diện có diện tích S ( x) . Giả sử S ( x) là hàm liên tục trên
b
đoạn [ a;b] . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q) được tính theo công thức V
= òS ( x) dx .
a
b) Tính thể tích vậy tròn xoay
y
Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi
quay miền D được giới hạn bởi các đường
y = f ( x) ; y = 0 ; x = a; x = b quanh trục Ox
được tính theo công thức
O
y = f ( x)
a
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 22/25
x
b
www.thuvienhoclieu.Com
b
V = pò f 2 ( x) dx .
a
Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f ( x) ; y = g( x) và hai đường x = a; x = b (với
f ( x) . g( x) ³ 0, " x Î [ a;b] ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức
b
V = pò f 2 ( x) - g2 ( x) dx .
a
Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các
đường x = g( y) , trục tung và hai đường y = a, y = b quanh trục Oy được tính theo công
thức
b
V = pò g2 ( y) dy .
a
Câu 183. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay
hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b) , xung quanh trục
Ox.
b
b
2
A. V = pò f ( x) dx.
2
B. V = ò f ( x) dx.
a
a
b
b
C. V = pò f ( x) dx.
D. V = ò f ( x) dx.
a
a
Câu 184. Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công
thức nào?
b
2
ù
A. V = ò é
ëf ( x) - g( x) û dx .
a
b
2
2
ùdx .
B. V = pò é
ê
ëf ( x) - g ( x) ú
û
a
b
2
ù
C. V = pò é
ëf ( x) - g( x) û dx .
a
b
ù
D. V = pò é
ëf ( x) - g( x) ûdx .
a
Câu 185. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
x = a, x = b ( a < b) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( a £ x £ b) là S ( x) .
b
A. V = pò S ( x) dx.
a
b
C. V = ò S ( x) dx.
a
b
B. V = pò S ( x) dx.
a
b
2
D. V = p òS ( x) dx.
a
Câu 186. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 2( x - 1) ex , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục
Ox.
2
A. V = 4- 2e.
B. V = ( 4- 2e) p.
C. V = e2 - 5.
D. V = ( e - 5) p.
Câu 187. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 £ x £ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9- x2 , bằng:
A. V = 3 .
B. V = 18.
C. V = 20.
D. V = 22.
Câu 188. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x Î [ 0;2] là một phần tư đường tròn bán kính 2x2 , ta được kết quả nào sau
đây?
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 23/25
www.thuvienhoclieu.Com
A. V = 32p.
B. V = 64p.
C. V =
16
p.
5
D. V = 8p.
Câu 189. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
đường thẳng
A.
x = 0, x =
V = π −1
2 + cos x , trục hoành và các
π
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
2
B. V = (π − 1)π
C. V = (π + 1)π
D. V = π + 1
2
2
Câu 190. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y = x +1 , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x +1 tại điểm ( 1;2)
, khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:
4
28
8
A. V = p.
B. V = p.
C. V = p.
D. V = p.
5
15
15
2
Câu 191. Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị ( P ) : y = 2x - x và trục Ox sẽ
có thể tích là:
16p
11p
12p
4p
.
.
.
.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
15
15
15
15
Câu 192. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
y = 2 + sin x , trục hoành và các
x = 0, x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V = 2(π + 1)
B. V = 2π (π + 1)
C. V = 2π 2
D. V = 2π
đường thẳng
Câu 193. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
y = e x , trục hoành và các đường thẳng
x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A.
V=
π e2
2
B.
V=
π (e 2 + 1)
2
C.
V=
e2 − 1
2
D.
Câu 194. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
V=
π (e2 − 1)
2
x 2 + 1 , trục hoành và các đường
x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
4π
4
A. V =
B. V = 2π
C. V =
D. V = 2
3
3
thẳng
Câu 195. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x2 và y = x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có
thể tích bằng:
p
p
p
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = p.
3
5
4
2
2
Câu 196. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y = 4 - x và y = 2 + x quay quanh trục
Ox là kết quả nào sau đây?
A. V = 10p.
B. V = 12p.
C. V = 14p.
D. V = 16p.
2
Câu 197. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4y = x , y = x qua quanh trục hoành bằng
bao nhiêu?
124p
126p
128p
131p
.
.
.
.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
15
15
15
15
Câu 198. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , y = - x và x = 4 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình ( H ) quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây:
41p
.
3
40p
.
3
38p
.
3
41p
.
2
Câu 199. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = ln x , trục Ox và đường
thẳng x = e là:
A. V = p( e- 2) . B. V = p( e- 1) .
C. V = pe.
D. V = p( e+1) .
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
Câu 200. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = - x + 2 , y = 0 quay quanh trục
Oy , có giá trị là kêt quả nào sau đây?
1
A. V = p.
3
3
B. V = p.
2
C. V =
32
p.
15
D. V =
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 24/25
11
p.
6
www.thuvienhoclieu.Com
MỤC LỤC
Loại . HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ..............................................................................................1
Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ...........................................................5
Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN.....................................6
Loại . ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN..........................................................................................................8
Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1......................................................14
Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2......................................................15
Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN................................................18
Loại . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG...............................................................................................20
Loại . TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY...........................................................................................22
www.thuvienhoclieu.Com
Trang 25/25
