chuyen de 1 rut gon phan thuc dai so 8781

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Chuyên đề 1:
RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I – Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II – Các dạng bài toán thường gặp:
1- Rút gọn phân thức.
( x + a)2 − x 2
a 2 + 4 x 2 + 4ax
( x + a − x)( x + a + x)
=
( a + 2 x) 2
a (2 x + a)
=
(2 x + a) 2
a
=
2x + a

Câu1: a)

c)

a 4 − 3a 2 + 1
a 4 − a 2 − 2a − 1
a 4 − 3a 2 + 1
= 4
a − ( a 2 + 2a + 1)

Câu : b)

=

a 4 − 2a 2 + 1 − a 2
a 4 − (a + 1) 2

=

(a 2 − 1) 2 − a 2
a 4 − (a + 1) 2

=

(a 2 − 1 + a )(a 2 − 1 − a )
(a 2 + a + 1)( a 2 − a − 1)

=

(a 2 + a − 1)
(a 2 + a + 1)

2 y2 + 5 y + 2
2 y 3 + 9 y 2 + 12 y + 4
(2 y 2 + 4 y ) + ( y + 2)
=
(2 y 3 + 4 y 2 ) + (5 y 2 + 10 y ) + (2 y + 4)
2 y ( y + 2) + ( y + 2)
= 2
2 y ( y + 2) + 5 y ( y + 2) + 2( y + 2)

( y + 2)(2 y + 1)
=
( y + 2)(2 y 2 + 5 y + 2)
(2 y + 1)
=
(2 y + 1)( y + 2)
1
=
y+2
1
Với: y ≠ -2 và y ≠ 2

2- Chứng minh.
1


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Câu2 : a) Hãy chứng minh:
Giải:

a 3 − 4a 2 − a + 4
a +1
=
3
2
a − 7a + 14a − 8 a − 2

a 3 − 4a 2 − a + 4
a 3 − 7 a 2 + 14a − 8

(a 3 − a ) − (4a 2 − 4)
= 3
(a − 8) − (7 a 2 − 14a )
=

a (a 2 − 1) − 4(a 2 − 1)
(a − 2)(a 2 + 2a + 4) − 7a (a − 2)

(a − 4)(a 2 − 1)
(a − 2)(a 2 − 5a + 4)
( a − 4)(a + 1)(a − 1)
=
(a − 2)(a − 4)(a − 1)
a +1
=
a−2
=

Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x:
( x 2 + a)(1 + a ) + a 2 x 2 + 1
( x 2 − a)(1 − a ) + a 2 x 2 + 1

Giải:

( x 2 + a)(1 + a) + a 2 x 2 + 1
( x 2 − a )(1 − a ) + a 2 x 2 + 1
x2 + x2 a + a + a 2 + a 2 x 2 + 1
= 2
x − x2 a − a + a 2 + a2 x2 + 1
x2 + x2 a + a 2 x2 + a 2 + a + 1

= 2
x − x2 a + a2 x2 + a 2 + a + 1
x 2 (1 + a + a 2 ) + (1 + a + a 2 )
= 2
x (1 − a + a 2 ) + (1 − a + a 2 )
( x 2 + 1)(1 + a + a 2 )
= 2
( x + 1)(1 − a + a 2 )
=

1 + a + a2
1 − a + a2

Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.
1

1

1

1

Câu2: c) Chứng minh rằng nếu x + y + z = x + y + z thì trong ba số x, y, z ít nhất
cũng có một cặp số đối nhau .
Giải:
2


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1 1 1
1
+ + =
x y z x+ y+z
yz + xz + xy
1
=
Ta có:
xyz
x+ y+z
Từ đó ta có: ( x + y + z )( yz + xz + xy ) = xyz
Hay ( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz = 0

Từ:

Biến đổi vế trái:

( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz
= xyz + x 2 z + x 2 y + y 2 z + xyz + xy 2 + yz 2 + xz 2 + xyz − xyz
= ( xyz + xz 2 + y 2 z + yz 2 ) + ( x 2 y + x 2 z + xy 2 + xyz )
= z ( xy + xz + y 2 + yz ) + x( xy + xz + y 2 + yz )

= ( xy + xz + y 2 + yz )( x + z )
= ( x + y )( y + z )( x + z )
Vậy: ( x + y )( y + z )( x + z ) = 0

Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử
bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.
3- Tính giá trị.
x3 + x 2 − 6 x

Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C =
với x = 2008
x3 − 4 x
Giải: C = x3 + x 2 − 6 x
x3 − 4 x
x( x 2 + x − 6)
=
x( x 2 − 4)
x2 − 2 x + 3x − 6
( x + 2)( x − 2)
x( x − 2) + 3( x − 2)
=
( x + 2)( x − 2)
x+3
=
x+2
2011
Với x = 2008 thì C =
2010
=

Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức
a 3 + b3 + c 3 − 3abc
a 2 3+ b 2 3+ c 2 3− ab − bc − ac
a + b + c − 3abc

Ta có:

= a 3 + b3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 − 3a 2 b − 3ab 2 − 3abc
= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 + c3 − 3a 2 b − 3ab 2 − 3abc

= (a + b)3 + c 3 − 3ab(a + b + c )
= (a + b + c )[(a + b ) 2 − (a + b)c + c 2 ] − 3ab(a + b + c )
= (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )

3


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Vậy:

a 3 + b3 + c 3 − 3abc
(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac )
=
= a+b+c =5
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac
(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac )

Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn
Tính:

a b c
x y z
+ + =0
+ + = 1 và
x y z
a b c

x2 y2 z 2
+

+
a2 b2 c2

Giải:
x y z
+ + =1
a b c
x y z
⇔ ( + + )2 = 1
a b c
x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz
⇔ 2 + 2 + 2 +
+
+
=1
ab
ac
bc
a
b
c
x 2 y 2 z 2 2 xyz c b a
⇔ 2 + 2 + 2 +
( + + ) =1
abc z y x
a
b
c
x 2 y 2 z 2 2 xyz a b c
+

+ +
( + + ) =1
a 2 b 2 c 2 abc x y z
a b c
Mà: x + y + z = 0
x2 y 2 z 2
Vậy: 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
⇔

4- Tổng hợp
mn 2 + n 2 (n 2 − m) + 1
Câu4 : a) Cho biểu thức A = 2 4
m n + 2n 4 + m2 + 2

a1) Rút gọn A.
a2) Chứng minh rằng A dương.
a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
2
2
2
a1) A = mn2 4+ n (n4 − m2) + 1

m n + 2n + m + 2
mn 2 + n 4 − mn 2 + 1
= 2 4
m n + m 2 + 2n 4 + 2

n4 + 1
= 4
( n + 1)(m 2 + 2)
1
= 2
m +2

4


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

a2) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m.
Nên: m2 + 2 > 0, ∀ m.
1
> 0, ∀ m.
m +2
Vậy: A > 0, ∀ m.

Do đó:

2

a3) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m.
Nên: m2 + 2 ≥ 2, ∀ m.
1
1
≤ , ∀ m.
m +2 2
1

Hay: A ≤ , ∀ m.
2

Do đó:

2

Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A =

1
2

Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0
2
2
x+2
 2 − 4 x 3x − x + 1
+
− 3 ÷:
−
Câu4: b) Cho M = 
.
x +1  x +1
3x
 3x

b1) Rút gọn biểu thức M.
b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.
b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?
b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?

Giải:
b1) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠

1
2

2
2
x+2
 2 − 4 x 3x − x + 1
+
−
3
:
−
M =  3x x + 1 ÷ x + 1
3x
 ( x + 2)( x + 1) + 2.3 x − 3.3 x.( x + 1)  x + 1 3 x − x 2 + 1
=
 . 2 − 4x −
3x.( x + 1)
3x



 x 2 + 3x + 2 + 6 x − 9 x2 − 9 x  x + 1 3x − x 2 + 1
=
 . 2 − 4x −
3 x.( x + 1)
3x



(−8 x 2 + 2)( x + 1) 3 x − x 2 + 1
=
−
3 x.( x + 1)(2 − 4 x)
3x
=

2(1 − 2 x)(1 + 2 x) 3x − x 2 + 1
−
2.3x.(1 − 2 x)
3x

1 + 2 x − 3x + x 2 − 1
3x
x ( x − 1)
=
3x
x −1
=
3
=

5


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

b2) Với x = 2008.

M=

2008 − 1
= 669
3

b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện.
Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1,
b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) M3 hay x -1 = 3k
Vậy: x = 3k +1 (k ∈ Z)

1
.
2

(k ∈ Z)

Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:
2
2
ab   ab

 a +b
a
+
−
a
:
M= 
÷

÷ 2
2
a − b  a + b

 a −b
2
2
Giải:
ab  ab

 a +b
a
+
−
a
:
÷ 2
2
M =  a − b ÷
 a + b
 a −b

 a 2 − ab + ab  ab − a 2 − ab  a 2 − b 2
=
÷
÷. 2
2
a−b
a+b



 a +b
−a 4 a 2 − b2
= 2
.
a − b2 a 2 + b2
−a 4
= 2
a + b2

Câu5: b) Chứng tỏ:
a2 + a + 1 3
≤ ,
2
a2 + 1

∀a ∈ R

Giải:

Ta có: ( a − 1) ≥ 0 ⇔ a 2 + 1 ≥ 2a
(1)
Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:
2

1
a
≥ 2
2 a +1
1

a
Do đó: + 1 ≥ 2 + 1
2
a +1
2
3 a + a +1
⇔ ≥
2
a2 + 1
a2 + a + 1 3
≤ ,
Vậy:
2
a2 + 1

∀a ∈ R

6


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
3

a+b
 x − a  x − 2a + b
Q=
với x =
÷ −

2
 x − b  x + a − 2b

Giải:

a+b
, ta có:
2
a+b
b−a
x−a =
−a =
2
2
a+b
a−b
x−b =
−b =
2
2
x−a b−a 2
⇒
=
.
= −1
x −b
2 a −b

Với x =

Ta lại có:

a+b
3b − 3a 3(b − a )
− 2a + b =
=
2
2
2
a+b
3a − 3b 3( a − b)
x + a − 2b =
+ a − 2b =
=
2
2
2
x − 2a + b 3(b − a)
2
⇒
=
.
= −1
x + a − 2b
2
3(a − b)
x − 2a + b =

Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0
Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:

1

1

1

A = (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b)
Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
A=

1
1
1
+
+
(a − b)(a − c ) (b − c )(b − a ) (c − a )(c − b)
−1
−1
−1
=
+
+
(a − b)(c − a ) (b − c)( a − b) (c − a )(b − c)
− (b − c ) − ( c − a ) − ( a − b )
=
(a − b)(b − c)(c − a )
−b + c − c + a − a + b
=
(a − b)(b − c)(c − a )

(a, b, c đôi một khác nhau)
=0

Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.
7


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

B=

4a 2 − 1
4b2 − 1
4c 2 − 1
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)

Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
B=

4a 2 − 1
4b 2 − 1
4c 2 − 1
+
+
(a − b)( a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b)




a2
b2
c2
= 4. 
+
+

 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a)(c − b) 


1
1
1
−
+
+

 (a − b)(a − c ) (b − c )(b − a ) (c − a )(c − b) 


−a 2
−b 2
−c 2
= 4. 
+
+
−0
 (a − b)(c − a) (b − c)(a − b) (c − a)(b − c ) 
 − a 2 (b − c ) − b 2 ( c − a ) − c 2 ( a − b ) 

= 4. 

(a − b)(b − c )(c − a )


 −a 2 b + a 2 c − b 2 c + ab 2 − ac 2 + bc 2 
= 4. 

(a − b)(b − c)(c − a )


2
2
2
2
2
2
 a c − b c + ab − a b − ac + bc 
= 4. 

( a − b)(b − c )(c − a )


 c(a 2 − b 2 ) − ab(a − b) − c 2 (a − b) 
= 4. 

(a − b)(b − c )(c − a )


2

 (a − b)[c(a + b) − ab − c ] 
= 4. 

 (a − b)(b − c )(c − a ) 
 (a − b)(cb − c 2 − ab + ca ) 
= 4. 

 (a − b)(b − c )(c − a ) 
 (a − b)(b − c)(c − a ) 
= 4. 
=4
 (a − b)(b − c)(c − a ) 

( a, b, c đôi một khác nhau )

Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
P=

x + 2a x + 2b
4ab
+
với x =
x − 2a x − 2b
a+b

Giải:

8

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
x + 2a x + 2b
+
x − 2a x − 2b
( x + 2a )( x − 2b) + ( x − 2a)( x + 2b)
=
( x − 2a )( x − 2b)
P=

=

x 2 − 2bx + 2ax − 4ab + x 2 + 2bx − 2ax − 4ab
x 2 − 2(a + b) x + 4ab

=

2( x 2 − 4ab)
x 2 − 2(a + b) x + 4ab

Thay x =

4ab
vào P ta có:
a+b

 16a 2 b 2

2
− 4ab 
2

(a + b)

P= 2 2
16a b
− 8ab + 4ab
( a + b) 2
 16a 2 b 2

2
− 4ab 
2
( a + b)

=  2 2
 16a b

− 4ab 

2
 (a + b)

=2

9


CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

10