Một số bài tiếp tuyến đặc sắc tư duy mở 2019

Biên Soạn: Thầy Dũng
3

Tư Duy Mở 2019
2

Câu 1. Cho hàm số y  2 x  3x  1 . Tìm trên ( C ) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
LỜI GIẢI
 Gọi M  xo ; yo  là tiếp điểm của tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Ta có: yo  f ( xo )  2 xo3  3 xo2  1 .
 Hệ số góc của tiếp tuyến là : k  f '( xo )  (6 xo2  6 xo )
 Phương trình tiếp tuyến tại M  xo ; yo  là : y   6 xo2  6 xo   x  xo   2 xo3  3 xo2  1
 Vì tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 nên tiếp tuyến sẽ đi qua điểm
P (0;8)
 Suy Ra: 8   6 xo2  6 xo  (0  xo )  2 xo3  3 xo2  1  xo  1  M  1; 4 
Câu 2. Cho hàm số y  x3  3x 2  1 có đồ thị (C).Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB  4 2 .
LỜI GIẢI
 Để tiếp tuyến tại A, B song song với nhau k A  k B  y '( A)  y '( B)
 3 x A2  6 xA  3 xB2  6 xB  3( x A  xb )( xA  xB )  2( x A  xB )  0

 x A  2  xB .

 x A  xB  loai vi A  B 

 x A  xB  2  0

 Ta có: AB  ( xA  xB ) 2  ( y A  yB ) 2  (2  2 xB ) 2  ( xA3  xB3  6( xA  xB ))2
 4 2  4( xB  1) 2  4( xB  1) 2 ( xB  1) 2  3

2

 xB  3
 Đặt t  ( xB  1) 2  4 2  4t  4t (t  3) 2  t  4  
 xB  1
 Vậy hai điểm cần tìm là A  3;1 , B(1; 3)
Câu 3. Cho hàm số y  f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3 có đồ thị (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k,
đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương
ứng tại A và B sao cho OA  2001.OB .
LỜI GIẢI
 Phương Trình Tiếp Tuyến của (C) có dạng: y  kx  m . Hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm
của phương trình: f '( xo )  k  3 xo2  12 xo  9  k  0 (1)
 Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt thì
  9  3k  0  k  3 (2) . Khi đó tọa độ các tiếp điểm  xo ; yo  của 2 tiếp tuyến là
nghiệm của hệ :
6k
2k  9

3
2
xo 
 yo  xo  6 xo  9 xo  3  yo 
  2

3
3 . (Lấy y0 chia cho k)
2
3xo  12 xo  9  k
3 x  12 x  9  k

 o
o
6k
2k  9
 Phương trình đường thẳng d đi qua các tiếp điểm là: y 
x
3
3
 Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA  2011.OB nên có thể xảy ra:
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

 Nếu A  O thì B  O . Khi đó d đi qua O  k 

9
.
2

OB
6k
 2011 
 2011
OA
3
 k  6039 (thoả (2)) hoặc k  6027 (không thoả (2)).
9

 Vậy: k  hoặc k  6039.
2

 Nếu A  O thì OAB vuông tại O . Ta có: tan OAB

Câu 4. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 (1) (m là tham số). Tìm tham số m để đồ
thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  y  7  0 góc  , biết
1
.
26

cos 

LỜI GIẢI


 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  tiếp tuyến có VTPT n1  (k ; 1)

 Đường thẳng d có VTPT n2  (1;1) .


k 
| n1 n2 |
1
| k  1|
2
 Ta có cos    

 12k  26k  12  0  
| n1 | . | n2 |

26
2 k 2 1
k 

 YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
 
y 
 
 y 


3
 2
3 x  2(1  2m) x  2  m 
2

2
3 x 2  2(1  2m) x  2  m 
3


3
2
2
3

3
   0
2
 1

2
 2  0
3

1
1

m


;
m


8m  2m  3  0
1
4
2  m  1 hoặc
 2

m .
2
4
 m  3 ; m  1
 4m  m  3  0

4
2

1

Câu 5. Cho hàm số y  f ( x)  mx 3  (m  1) x 2  (4  3m) x  1 có đồ thị là (Cm ) . Tìm các giá trị m
3
sao cho trên đồ thị (Cm ) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó

vuông góc với đường thẳng d : x  2 y  3  0
LỜI GIẢI
 Để tiếp tuyến vuông góc với d thì k1.k2  1 .
1
 tiếp tuyến có hệ số góc k  2 .
2
 Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:

 Ta thấy d có kd 

f '( x)  k  2  mx 2  2(m  1) x  4  3m  2  mx 2  2(m  1) x  2  3m  0 (1)
 YCBT  phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.
 Nếu m  0 thì (1)  2 x  2  x  1 (loại)

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

x  1
 Nếu m  0 thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là 
 x  2  3m
m


m  0
2  3m
 Do đó để (1) có một nghiệm âm thì
0
m  2
m
3

2
 Vậy m  0 hoặc m 
3
1
Câu 6. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  (4m  3) x  1 có đồ thị (Cm ) . Tìm các giá trị m sao cho
3
trên (Cm ) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với

đường thẳng d : x  2 y  3  0 .
LỜI GIẢI
 y '  mx 2  2(m  1) x  4  3m
 Ta có: 
.
 d : y  1 x  3

2
2
 YCBT  phương trình y '  2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

 y '  mx 2  2(m  1) x  4  3m có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
m  0
1


0m
 '  0


 1 1 2
2


. Vậy m   0;    ;  .
 2 2 3
1  m  2
S  0
 P  0
3
 2
Câu 7. Cho hàm số y  x 3  mx  m  1 có đồ thị (Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại
điểm M có hoành độ x  1 cắt đường tròn (C ) có phương trình ( x  2) 2  ( y  3)2  4
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
LỜI GIẢI
 y '(1)  3  m
 I (2;3)
 Ta có: y '  3 x 2  m  
; Đường tròn (C ) có tâm 
 y ( 1)  2m  2
R  2
 PTTT d tại M ( 1; 2m  2) là : y  (3  m) x  m  1  (3  m) x  y  m  1  0
 Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B khi đó
  d (I ; d ) 

| 4m|
(3  m) 2  1



2 (3  m) 2  1
(3  m) 2  1

AB
 d 2 ( I ; d )  R 2  ABmin  d ( I ; d ) min
2

 2  R . Dấu "=" xảy ra  m  2 .

 Dó đó d ( I ; d ) đạt lớn nhất m  2 . Khi đó: PTTT d : y  x  3 .
Câu 8. Cho hàm số y  3x  x3 có đồ thị (C) . Tìm trên đường thẳng d : y   x các điểm M mà từ
đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
LỜI GIẢI
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

 Gọi M ( m;  m)  D . PT đường thẳng qua M có dạng: y  y '( xo )( x  m)  m
3 x  x3  k ( x  m)  m
  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm: 
2
3  3 x  k






Suy Ra: 2 x 3  3mx 2  4m  0 (1)
Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Ta Sẽ làm 3 cách:
Cách 1: Cô Lập m
2 x3
 Từ (1)  m  2
(2)
3x  4
 Xét hàm số f ( x) 

2 x3
.
3x 2  4

 2 3 2 3 
 Tập xác định D  R \ 
;

3 
 3

x  0
6 x 4  24 x 2
 Ta có: f '( x) 


0

 x  2
(3x 2  4) 2

 Lập BBT của hàm số f ( x ) :

 Từ BBT Để Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi m  2 .
 Vậy: M ( 2; 2) hoặc M (2; 2)
 Cách 2: Tính chất cực trị hàm bậc 3
 Xét Phương Trình: 2 x 3  3mx 2  4m  0 (1)
 Đặt f ( x)  2 x 3  3mx 2  4m
 Ta có: f '( x)  6 x 2  6mx  6 x  x  m 

 x1  0  y1  4m
m0
 Suy ra f '( x)  0  
3
 x2  m  y2  4m  m
 Để (1) có 2 nghiệm thì hàm số f ( x) có 2 cực trị thỏa mãn
y1 y2  0  4m  4m  m3   0  4  m 2  0  m  2 (Vì m  0 )

 Trong trường hợp tổng quát f ( x) để tìm y1 , y2 ta có thể viết phương trình đường thẳng
qua 2 điểm cực trị Siêu công thức hoặc Casio
 Phương pháp Siêu Công Thức:
 Xét hàm số y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d Khi đó Nếu hàm số có 2 điểm cực trị ( b 2  3ac  0
) thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị:
2
bc

 (d): y    b 2  3ac  x  d 
9a
9a
 Áp dụng vào bài trên: a  2; b  3m; c  0; d  4m  (d ) : y  m 2 x  4m
 Giả Sử hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Với x1 , x2 là nghiệm của
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

x  x  m
f '( x)  0   1 2
 x1.x2  0
 x  x1  y1  m 2 x1  4m
 Với 
2
 x  x2  y2  m x2  4m

 Suy ra: ycbt  y1. y2  0    m 2 x1  4m  .  m 2 x2  4m   0 (*)
 Vì m  0 nên
(*)   mx1  4  .  mx2  4   0  m 2 x1 x2  4m  x1  x2   16  0  4m 2  16  0  m  2
 Phương pháp Casio:
 Xét hàm số y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d Khi đó Nếu hàm số có 2 điểm cực trị ( b 2  3ac  0
) thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị: yd  y 

y '. y "
18a

 Xét f ( x)  2 x3  3mx 2  4m
 Suy ra: f '( x)  6 x 2  6mx; f "( x)  12 x  6m ;
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì f '( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt Suy ra m  0
 Viết Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị yd  y 
3

 Nhập: 2 X  3 AX

2

6 X
 4A 

2

y '. y "
18a

 6 AX  12 X  6 A 
18.2

X  i
2
 Calc 
 KQ  400  10000i  4.100  100  i  4m  m 2 x
 A  m  100
 Suy ra pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị: (d ) : y   m 2 x  4m
 Giả Sử hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Với x1 , x2 là nghiệm của

x  x  m

f '( x)  0   1 2
 x1.x2  0
 x  x1  y1  m 2 x1  4m
 Với 
2
 x  x2  y2  m x2  4m

 Suy ra: ycbt  y1. y2  0    m 2 x1  4m  .  m 2 x2  4m   0 (*)
 Vì m  0 nên
(*)   mx1  4  .  mx2  4   0  m 2 x1 x2  4m  x1  x2   16  0  4m 2  16  0  m  2
Câu 9. Cho hàm số y  x3  3x  2 có đồ thị (C) . Tìm trên đường thẳng d : y  4 các điểm M mà từ
đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
LỜI GIẢI
 Gọi M ( m; 4)  d . PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k ( x  m)  4
 x3  3 x  2  k ( x  m)  4 (1)
  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:  2
(*)
3 x  3  k (2)
 Thay (2) vào (1) ta được:
x 3  3 x  2  (3 x 2  3)( x  m)  4  ( x  1)  2 x 2  (3m  2) x  3m  2   0 (3)

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

 x  1
 2

.
 2 x  (3m  2) x  3m  2  0(4)
 YCBT  (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
 TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1  m  1
2
 TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m 
vm2
3
Vậy các điểm cần tìm là: (1; 4);(

2
; 4);(2; 4)
3

Câu 10. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  (m  1) x  2m có đồ thị (Cm ) . Tìm m để từ điểm M (1; 2) kẻ
được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm ) .
LỜI GIẢI
 Gọi xo là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 2) .
 Ta có pttt tại điểm có hoành độ xo là: y  y '( xo )( x  xo )  y ( xo )
 y  (3 xo2  4 xo  m  1)( x  xo )  xo3  2 xo2  ( m  1) xo  2m

 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 2) nên ta có:

2  (3xo2  4 xo  m  1)(1  xo )  xo3  2 xo2  (m  1) xo  2m
 2 xo3  5 x 2  4 x  3m  3  0
 Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
2
 Ta có f '( x)  6 x 2  10 x  4  f '( x)  0  x  1; x 
3
2 109

  Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1; 4  3m), B ( ;
 3m)
3 27
4

m

 A  Ox
3
 Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt  

.
 B  Ox
 m  109

81
Câu 11. Cho hàm số y   x 3  3x 2  2 có đồ thị hàm số (C ) . Tìm trên đường thẳng d : y  2 các
điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
LỜI GIẢI
 Gọi M ( m; 2)  d . PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : y  k ( x  m)  2
3
2
 x  3 x  2  k ( x  m)  2 (1)
  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm 
(*)
2
3 x  6 x  k (2)
3
2
2

 Thay (2) và (1) ta được: 2 x  3( m  1) x  6mx  4  0  ( x  2)  2 x  (3m  1) x  2   0

x  2

2
 f ( x)  2 x  (3m  1) x  2  0 (3)
 Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

5

  0
 m  1 v m 
  (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2  

3
 f (2)  0
m  2
5

 m  1 v m 
 Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d) với 
3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
m  2

Câu 12. Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2 x 2 .Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần
lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau.
LỜI GIẢI
 Ta có: f '( x)  4 x3  4 x .
 Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là : k A  f '(a )  4a 3  4a, k B  f '(b)  4b3  4b .
 Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y  f '( a )( x  a )  f ( a )  y  f '( a ) x  f ( a )  af '( a )
y  f '(b)( x  b)  f (b)  y  f '(b) x  f (b)  bf '(b)

 Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k A  k B  4a 3  4a  4b3  4b  (a  b)(a 2  ab  b 2  1)  0

(1)

 Vì A và B phân biệt nên a  b , do đó (1)  a 2  ab  b 2  1  0

(2)

 Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:
2
2
a 2  ab  b 2  1  0
 a  ab  b  1  0


4
2
4
2

 f (a )  af '(a )  f (b)  bf '(b)
 3a  2a  3b  2b

 Giải hệ này ta được nghiệm là ( a; b)  ( 1;1) hoặc ( a; b)  (1; 1) , hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( 1;1) và (1; 1)
 Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

a 2  ab  b 2  1  0

a  1, a  b
Câu 13. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m

(1) , m là tham số. Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm

3 
số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B  ;1 đến tiếp tuyến của đồ
4 
thị hàm số (1) tại A là lớn nhất .
LỜI GIẢI

 A   Cm  nên A 1;1  m  , y '  4 x3  4mx  y '(1)  4  4m
 Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A:
y  (1  m)  y '(1)( x  1)   4  4m  x  y  3(1  m)  0

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng
 Khi đó d ( B;  ) 

Tư Duy Mở 2019
| 1|

16(1  m) 2  1

 1 , Dấu ‘=’ xảy ra  m  1

 Do đó d ( B; ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m  1.
2

2

Câu 14. Cho hàm số y  | x | 1 | x | 1 . Cho điểm A(a;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp
tuyến phân biệt với đồ thị (C).
LỜI GIẢI
 Ta có y  x 4  2 x 2  1 . PT đường thẳng d đi qua A(a;0) và có hệ số góc k : y  k ( x  a )
 x 4  2 x 2  1  k ( x  a )
 d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:  3
(I )
4 x  4 x  k
2
k  0
4 x( x  1)  k
( A) hoặc 
 Ta có: ( I )   2
( B)
2
x 1  0
 f ( x)  3 x  4ax  1  0(1)
 Từ hệ (A), chı̉ cho ta mộ t tiep tuyen duy nhat là d1 : y  0 .

 Vậ y đe từ A kẻ được 3 tiep tuyen phâ n biệ t với (C) thı̀ đieu kiệ n can và đủ là hệ (B) phả i
có 2 nghiệ m phân biệt ( x; k ) với x  1 , tức là phương trı̀nh (1) phả i có 2 nghiệ m phâ n
biệt khác 1

  '  4a 2  3  0
 3
3
 1  a 
 Suy ra 
hoặc 1  a 
2
2
 f (1)  0
2x  3
có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
x 1
những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : 3 x  4 y  2  0 bằng 2.

Câu 15. Cho hàm số y 

LỜI GIẢI
 Giả sử M ( xo ; yo )   C   yo 
 Ta có: d ( M ; d )  2 

2 xo  3
.
xo  1

3xo  4 yo  2

32  42

 2  3 xo  4 yo  12  0 hoặc 3xo  4 yo  8  0

 M 1 (0;3)
 2 xo  3 

 Với 3 xo  4 yo  12  0  3 xo  4 
1
1 11
  12  0  x  0  
xo   M 2 ( ; )
 xo  1 
3
3 4



7

xo  5  M 3  5; 

 2x  3 
4

 Với 3xo  4 yo  8  0  3xo  4  o
8  0  

4
 4


 xo  1 
 M 4   ; 1
 xo 
3
 3


 PTTT tại M 1 (0;3) là y   x  3 ;
9
47
 1 11 
PTTT tại M 2  ;   y   x 
16
16
3 4 

7
1
23

 PTTT tại M 3  5;   y 
x
4
16
16


Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận

Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

 4

 PTTT tại M 4  ; 1  y  9 x  13
 3


Câu 16. Cho hà m so y 

2x 1
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm
x 1

I (1; 2) đến tiếp tuyến bằng

2
LỜI GIẢI

M ( xo ; f ( xo ))   C  có phương trình:
 Tiếp tuyến của (C) tại điểm
y  f '( xo )( x  xo )  f ( xo )
  x  ( xo  1) 2 y  2 xo2  2 xo  1  0 (*)
 Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng

2

 xo  0
 2
1  ( xo  1)4
 xo  2
| 2  2 xo |

 Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0
2x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng
x2
cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
LỜI GIẢI

Câu 17. Cho hàm số y 

 Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a  2 thuộc (C) có phương trình:
y

4
2a
( x  a) 
 4 x  (a  2) 2 y  2a 2  0
2
(a  2)
a2

 Tâm đối xứng của (C) là I ( 2; 2) . Ta có:
d (I ; d ) 

8|a2|

16  (a  2)

4



8| a  2|
2.4.( a  2)

2



8| a 2|
2 2
2 2 |a2|

a  0
 d ( I ; d ) lớn nhất khi (a  2) 2  4  
.
 a  4
 Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y  x và y  x  8 .
2x 1
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến
x 1
cách đều hai điểm A(2; 4), B ( 4; 2)

Câu 18. Cho hàm số y 

LỜI GIẢI

 Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ( xo  1)
 PTTT (d) là y 

2x 1
1
( x  xo )  o
 x  ( xo  1)2 y  2 xo2  2 xo  1  0
2
( xo  2)
xo  1

 Ta Có: d ( A; d )  d ( B; d ) | 2  4( xo  1) 2  2 xo2  2 xo  1|| 4  2( xo  1) 2  2 xo2  2 xo  1|
 Suy ra: xo  1 v xo  0 v xo  2
 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 

1
5
x  ; y  x  1; y  x  5
4
4

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

2x 1
.Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao

x 1
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI.
LỜI GIẢI

Câu 19. Cho hàm số y 

 Giao điểm của hai tiệm cận là I (1; 2) . Gọi M (a; b)   C   b 
 PTTT của (C) tại M: y 

1
2a  1
( x  a) 
2
(a  1)
a 1

 PT đường thẳng MI: y 

1
( x  1)  2
(a  1) 2

 Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:

2a  1
( a  1)
a 1

 a  0(b  1)
1

1
.
 1  
2
2
(a  1) (a  1)
 a  2(b  3)

 Vậy có 2 điểm cần tìm M 1 (0;1), M 2 (2;3)
Câu 20. Cho hàm số y 

(2m  1) x  m 2
.Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng
x 1

yx .

LỜI GIẢI
 +TXĐ: D  R \ 1
 (2m  1) x  m 2
 x(1)

x 1

 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y  x thì: 
2
 (m  1)  1(2)
 ( x  1)2

x  m

 Từ (2) ta có (m  1)2  ( x  1) 2  
x  2  m
 Với x  m , thay vào (*) ta được: 0m  0 (thoả với mọi m ). Vì x  1 nên m  1
 Với x  2  m , thay vào (*) ta được: (2m  1)(2  m)  m 2  (2  m)(2  m  1)
 Suy ra:  4(m  1) 2  0  m  1  x  1(l )
 Vậy với m  1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x
x2
(C). Cho điểm A(0; a ) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
x 1
đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
LỜI GIẢI

Câu 21. Cho hàm số: y 

 Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a ) và có hệ số góc k : y  kx  a

x2
 x  1  kx  a
 d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT 
k  3 2
( x  1)


có nghiệm

 Suy ra PT: (1  a) x 2  2(a  2) x  (a  2)  0 (1) có nghiệm x  1 .
 Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận

Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

a  1
a  1
 Suy ra  

 *
'  3a  6  0
a  2
 Khi đó ta có: x1  x2 

2( a  2)
a2
3
3
và y1  1 
; x1 x2 
; y2  1 
a 1
a2
x1  1
x2  1

 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1 y2  0

x1 x2  2  x1  x2   4

3 

3 
2
 1 
 0  3a  2  0  a 
 1 
0
x1 x2  ( x1  x2 )  1
3
 x1  1  x2  1 
2

a 
 Kết hợp với điều kiện (*) ta được: 
3
a  1
x2
. Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận,  là một tiếp tuyến bất
x 1
kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến  . Tìm giá trị lớn nhất của d.
LỜI GIẢI

Câu 22. Cho hàm số y 

 Ta có: y ' 

1
( x  1) 2

 Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( 1;1) .

 x 2
 Giả sử M  xo ; o
  C 
xo  1 

 Phương trình tiếp tuyến  với đồ thi hàm số tại M là:
y

x 2
1
( x  xo )  o
 x  ( xo  1) 2 y  xo  ( xo  1)( xo  2)  0
2
( xo  1)
xo  1

 Khoảng cách từ I đến  là d 

2 | xo  1|
1  ( xo  1)

 Vậy GTLN của d bằng

4



2
1
 ( xo  1) 2

( xo  1)2

 2

2 khi xo  0 hoặc xo  2 .

x 1
.Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d : y  x  m luôn cắt
2x 1
(C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A

Câu 23. Cho hàm số y 

và B. Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất.
LỜI GIẢI
1

x 1
x 
 PT hoành độ giao điểm của d và (C ) :
 xm  
2
2x 1
 g ( x)  2 x 2  2mx  m  1  0(*)


g  m2  2m  2  0m

 Vì   1 
nên (*) luôn có 2 nghiệp phân biệt x1 , x2

g    0
 2

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

m  1
. Giả sử: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) .
2
1
1
 Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: k1 
; k2 
2
(2 x1  1)
(2 x2  1) 2

 Theo định lí Viet ta có: x1  x2   mx1 x2 

 Suy ra: k1  k 2  4(m  1) 2  2  2 . Dấu "=" xảy ra  m  1 .
 Vậy: k1  k2 đạt GTLN bằng 2 khi m  1 .
x2
(1) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
2x  3
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân
tại gốc tọa độ O.

LỜI GIẢI

Câu 24. Cho hàm số y 

 Gọi ( xo ; yo ) là toạ độ của tiếp điểm  y '( xo ) 

1
0
(2 xo  2)2

 OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp tuyến có hệ
số góc âm).
 Nghĩa là: y '( xo ) 

 xo  1  yo  1
1
 1  
2
(2 xo  3)
 xo  2  yo  0

 Với xo  1; yo  1   : y  1  ( x  1)  y   x(l )
 Với xo  2; yo  0   : y  0  ( x  2)  y   x  2 (nhận)
 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2 .
2x 1
.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
x 1
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA  4OB
LỜI GIẢI

Câu 25. Cho hàm số y 

 Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( xo ; yo )   C  cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA  4OB
1

kd 

OB 1
4
 Do OAB vuông tại O nên Tan A 
 
OA 4
k   1
 d
4

3

xo  1( yo  )

1
1
1
2
0


 Hệ số góc của d là y '( xo ) 
2
2

( xo  1)
( xo  1)
4
 x  3 y  5 
 o

 o
2


y 
 Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: 
y 

Câu 26. Cho hàm số y 

1
3

( x  1) 
y
4
2 

1
5
y 
( x  3) 

4

2

1
5
x
4
4
1 13
x
4
4

2x
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các
x2

trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB  OA 2 .
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019
LỜI GIẢI

 Gọi M ( xo ; yo )   C  , xo  2 .
 PTTT tại M: y 

2 xo
4

( x  xo ) 
2
( xo  2)
xo  2

 Tam giác vuông OAB có AB  OA 2 nên OAB vuông cân tại O. Do đó d vuông góc với
một trong hai đường phân giác d1 : y  x, d 2 : y   x và không đi qua O.
 Nếu d  d1 thì

4
 1  xo  4  d : y   x  8 .
( xo  2) 2

 Nếu d  d 2 thì

4
 1  vô nghiệm
( xo  2) 2

 Vậy PTTT cần tìm là: y   x  8 .
x 1
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 
2x 1
(C) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên
đường thẳng d : y  2m  1 .

Câu 27. Cho hàm số y 

LỜI GIẢI
 Gọi M  xo ; yo    C  . PTTT tại M: y 

3
( x  xo )  yo
(2 xo  1) 2

 Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung  yB 
 Từ đó trọng tâm G của OAB có: yG 
 Vì G  d nên
 Mặt khác:

2 xo2  4 xo  1
.
(2 xo  1) 2

2 xo2  4 xo  1
.
3(2 xo  1)2

2 xo2  4 xo  1
 2m  1
3(2 xo  1) 2

2 xo2  4 xo  1 6 xo2  (2 xo  1) 2
6 xo2


 1  1
(2 xo  1) 2
(2 xo  1) 2
(2 xo  1)2

 Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả YCBT thì 2m  1 
 Vậy GTNN của m là

1
1
m .
3
3

1
.
3

2x  3
(C).Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp
x2
ABI
tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc 

Câu 28. Cho hàm số y 

bằng

4
, với I là giao 2 tiệm cận.
17
LỜI GIẢI

 2x  3 

 I (2; 2) . Gọi M  xo ; o
   C  , xo  2
x

2
o



Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y  

Tư Duy Mở 2019
2x  3
1
( x  xo )  o
2
( xo  2)
xo  2

 2x  2 
 Giao điểm của  với các tiệm cận: A  2; o
 , B  2 xo  2; 2  .
 xo  2 
 Do cos 
ABI 

 xo  0
1 IA
4
4
ABI  
 IB 2  16 IA2   xo  2   16  
nên tan 
4 IB
17
 xo  4

1
3
 3
 Kết luận: Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y 
x
4
2
 2
1
7
 5
 Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y 
x
4
2
 3
2x  3
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại
x2

M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
LỜI GIẢI

Câu 29. Cho hàm số y 

1
1 

 Lấy điểm M  m; 2 
   C  . Ta có: y '(m) 
(m  2) 2
m2

1
1
 Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y 
( x  m)  2 
2
(m  2)
m2
2 

 Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: A  2; 2 

m2

 Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B (2m  2; 2)


m  3

1 
 Ta có: AB 2  4  (m  2) 2 
 8 . Dấu “=” xảy ra  
2
(m  2) 

m  1
 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M (3;3) hoặc M (1;1)
2x  3
.Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các
x2
đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ
điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
LỜI GIẢI

Câu 30. Cho hàm số y 

 2x  3 
1
 Giả sử M  xo ; o
   C  , xo  2, y '( xo ) 
xo  2 
( xo  2) 2

2x  3
1
 Phương trình tiếp tuyến () với ( C) tại M: y 
( x  xo )  o
2
( xo  2)

xo  2
 2x  2 
 Toạ độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: A  2; o
 ; B  2 xo  2; 2 
x

2
o


x x
2  2 xo  2
y  yB 2 xo  3
 Ta thấy A B 
 xo  xM , A

 yM  M là trung điểm của AB.
2
2
2
xo  2
 Mặt khác I (2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019


 2x  3

S   IM 2    xo  2 2   o
 2

 xo  2


2




1
2
    xo  2  
 2
2
( xo  2) 



 xo  1
1

2
( xo  2)
 xo  3
 Do đó điểm M cần tìm là M (1;1) hoặc M (3;3)

 Dấu “=” xảy ra khi ( xo  2)2 

2mx  3
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm m để tiếp
xm
tuyến tại một diểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích
S  64 .
LỜI GIẢI

Câu 31. Cho hàm số y 

 (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m . Giao điểm 2 tiệm cận là I ( m; 2m) .

 2mxo  3 
 Gọi M  xo ;
  C 
xo  m 

 PTTT  của (C) tại M: y 

2mxo  3
2m 2  3
( x  xo ) 
.
2
( xo  m)
xo  m

 2mxo  2m 2  6 
  cắt TCĐ tại A  m;

 , cắt TCN tại B  2 xo  m;2m)  .
xo  m


 Ta có: IA 

4m 2  6
1
58
; IB  2 | xo  m | S IAB  IA.IB  4m 2  6  64  m  
xo  m
2
2

Câu 32. Cho hàm số y 

x
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với 2
x 1

đường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi P  2(2  2) .
LỜI GIẢI
 (C) có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  1 . Giao điểm 2 tiệm cận là I (1;1) .


x 
x
1
 Gọi M  xo ; o    C  xo  1 . PTTT  của (C) tại M: y  
( x  xo )  o

2
xo  1 
( xo  1)
xo  1

 x 1 
  cắt TCĐ tại A 1; o  , cắt TCN tại B  2 xo  1;1 .
 xo  1 
 Ta có: PIAB  IA  IB  AB 

2
1
 2 | xo  1| 2 ( xo  1) 2 
 42 2
| xo  1|
( xo  1)2

 xo  0
 Dấu "=" xảy ra | xo  1| 1  
.
 xo  1
 Với xo  0  PTTT : y   x ;
 Với xo  2  PTTT  : y   x  4

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

2x 1
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M
x 1
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB
đạt giá trị nhỏ nhất.
LỜI GIẢI

Câu 33. Cho hàm số y 


3 
 Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1; 2) . Gọi M  xo ; 2 
  C 
xo  1 

3
3
 PTTT tại M có dạng: y 
( x  xo )  2 
2
( xo  1)
xo  1

6 
 Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A 1; 2 
 , B  2 xo  1; 2  A, B
xo  1 

1

1 6
 Ta có: S IAB  IAIB 
.2 | xo  1| 2.3  6 (đvdt)
2
2 | xo  1|
 IAB vuông có diện tích không đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB


 xo  1  3
6
 2 | xo  1| 
| xo  1|
 xo  1  3







 Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1 1  3; 2  3 , M 2 1  3; 2  3



 Khi đó chu vi AIB  4 3  2 6 .
 Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a  b  a2  b2 nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b
 Thật vậy: P = a  b  a2  b2  2 ab  2ab  (2  2) ab  (2  2) S .
 Dấu "=" xảy ra  a = b.
Câu 34. Cho hàm số y 

x3
. Cho điểm M 0  x0 ; y0  thuộc đồ thị  C  . Tiếp tuyến của  C  tại
x 1

M 0 cắt các tiệm cận của  C  tại các điểm A và B. Chứng minh M 0 là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
LỜI GIẢI
 M 0  x0 ; y0    C   y0  1 

4
4
. PTTT  d  tại M 0 : y  y0  
x  x0 
2 
x0  1
 x0  1

 Giao điểm của  d  với các tiệm cận là A  2 x0  1;1 , B 1; 2 y0  1 .
 

x A  xB
y  yB
 x0 ; A
 y0  M 0 là trung điểm của AB.
2
2

x2
 C  . Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị  C  đều lập với

x 1
hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
LỜI GIẢI

Câu 35. Cho hàm số y 

Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng

Tư Duy Mở 2019

 a2
 Giả sử M  a;
  C .
 a 1 

 PTTT  d  của  C  tại M : y  y '  a  .  x  a  

a2
3
a 2  4a  2
 y
x

2
2
a 1
 a  1

 a  1

 a5
 Các giao điểm của  d  với các tiệm cận là A 1;
 , B  2a  1;1 .
 a 1 
 
6 
6 
 IA   0;
 IA 
; IB   2a  2; 0   IB  2 a  1

 a 1 
a 1


1
 Diện tích IAB : S IAB  IA.IB  6 (đvdt)  ĐPCM.
2

Câu 36. Cho hàm số y 

2x 1
. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của  C  . Tìm trên đồ
x 1

thị  C  , điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị  C  cắt hai
đường tiệm cận tại A và B thoả mãn IA2  IB 2  40.
LỜI GIẢI



 C  có TCĐ

 2x 1 
x  1; TCX y  2  I  1; 2  . Giả sử M  x0 ; 0
  C 
x0  1 


 PTTT với  C  tại M : y 

3

 x0  1

2

 x  x0  

 x0  0  .


2 x0  1
2x  4 
 A  1; 0
 , B  2 x0  1; 2 
x0  1
x0  1 


2
 36
 4  x0  1  40
2

 IA2  IB 2  40    x0  1
 x0  2  y0  1  M  2;1 .
x  0
 0

Câu 37. Cho hàm số y 

x 1
 C  . Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp
x 1

tuyến tới  C  .
LỜI GIẢI
 Gọi M  0; y0  là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng y  kx  y0  d 
 x 1
 y0  1 x 2  2  y0  1 x  y0  1  0 1
 x  1  kx  y0


  d  là tiếp tuyến của  C   
(*)

2
2

x

1;

k
2


k
2
 x  1

  x  1

 YCBT  hệ (*) có 1 nghiệm  (1) có 1 nghiệm khác 1.
1
 y0  1  y  1

x  ; y0  1  k  8

 0



2
1 
2

 x  2  '   y0  1   y0  1 y0  1  0
 x  0; y0  1  k  2

 Vậy có 2 điểm cần tìm là M  0;1 và M  0; 1 .
Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận


Biên Soạn: Thầy Dũng
Câu 38. Cho hàm số y 

Tư Duy Mở 2019

x3
 C  . Tìm trên đường thẳng d : y  2 x  1 các điểm từ đó kẻ được
x 1

duy nhất một tiếp tuyến tới  C  .
LỜI GIẢI
 Gọi M  m; 2m  1  d . PT đường thẳng  qua M có dạng y  k  x  m   2m  1


PT hoành độ giao điểm của  và  C  : k  x  m   2m  1 



 kx 2   m  1 k  2m  x   mk   2m  4    0 (*)



 tiếp xúc với  C   (*) có nghiệm kép

x3

x 1

k  0

2
   m  1 k  2m   4k  mk   2m  4    0



k  0

2 2
2
2
 g  k    m  1 k  4  m  m  4  k  4m  0
Qua M  m; 2m  1  d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến  C 



  '  32  m 2  m  2   0; g  0   4m 2  0

 g  k   0 có đúng 1 nghiệm k  0  
1
 m  1  0  16k  4  0  k   4



 m  0  M  0;1

 m  1  M  1; 1


 m  1  M 1;3
 m  2  M  2;5


Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận