De+Dap An Toan Thi Vao 10 Thanh Hoa 09-10

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Thanh hóa năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30/6/2009
Thời gian làm bài: 120 Phút
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x
2
4x + q (1) với n là tham số.
1. Giải phơng trình (1) khi q = 3
2. Tím n để phơng trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:
2 5
2 7
x y
x y
+ =


+ =


Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x
2
vào diểm B(0;1).
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d)luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
G và H với mọi k.
3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lợt là x

1
và x
2
. Chứng minh rằng: x
1
.x
2
= -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Bài 4 (3,5đ):
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm
K (Khác với điểm B). Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn
(O).Tiếp tuyến kẻ từ G cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt tại C và D.
1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đờng tròn (O). Chứng minh
tứ giác BDNO nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra:
CN DN
CK DK
=
3. Đặt
ã
BOD

=
. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và

. Chứng tỏ
rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc và R, không phụ thuộc và

.
Bài 5 (1đ):

Cho các số thực t, u, v thỏa mãn: u
2
+ uv + v
2
= 1 -
2
3
2
t
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v.
-----------------------------Hết-------------------------------
Đáp án
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x
2
4x + q (1) với n là tham số.
1. Giải phơng trình (1) khi q = 3.
Khi q=3 Pt thành: x
2
4x + 3 = 0
Pt có a+b+c = 1 4 + 3 = 0. Vậy Pt có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= 3.
2. Tìm q để phơng trình (1) có nghiệm.
Pt có nghiệm khi
( )
2

/
2 .1 4 0 4q q q = =
Đề chính thức D
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:

2 5 1 1
2 7 2 7 3
x y y y
x y x y x
+ = = =



+ = + = =

Vậy hệ Pt ó nghiệm (x;y)=(3;1)
Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x
2
và điểm B(0;1).
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k.
Gọi Pt (d) đờng thẳng cần tìm có dạng y = kx+b. Vì (d) đi qua B(0;1)nên ta
có: 1=b. Vậy Pt đờng thẳng (d) là y= kx + 1.
2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và
H với mọi k.
Pt cho hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
kx + 1 = x
2

x
2
kx 1 = 0.(1)
Pt (1) có
( )
2 2
4.1. 1 4k k = = +
> 0 với mọi k .
Vậy Pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k nên đờng thẳng (d) luôn
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H.
3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lợt là x
1
và x
2
. Chứng minh rằng:
x
1
.x
2
= -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Theo Vi et ta có: x
1
.x
2
=
1
1
1
c

a

= =
x
1
=
2
1 4
2
k+ +
; y
1
=
2
2
1 4
2
k

+ +
ữ
ữ

x
2
=
2
1 4
2
k +

; y
2
=
2
2
1 4
2
k

+
ữ
ữ

Vậy: G(x
1
; y
1
) ; H(x
2
; y
2
).
Gọi Pt đờng thẳng OG có dạng y = ax + b. Vì đi qua điểm O(0;0) và điểm G(x
1
;y
1
)
nên b = 0; a =
1
1

y
x
=
2
2
1 4
2
k

+ +
ữ
ữ

:
2
1 4
2
k+ +
=
2
1 4
2
k+ +
Nên Pt đờng thẳng OG là: y =
2
1 4
2
k+ +
.x.
Tơng tự ta có Pt đờng thẳng OH là: y =

2
1 4
2
k +
.x.
Ta có a.a
/
=
2
1 4
2
k+ +
.
2
1 4
2
k +
= -1 nên OG vuông góc với OH. Vậy tam giác
OGH vuông tại O.
Bài 4(3,5đ). Chứng minh:
R
D
B
O
K
A
C
Q
1. Tứ giác BDQO có:
ã

0
90DBO =
;
ã
0
90DQO =
(Tiếp tuyến vuông góc với bán kính).
Suy ra:
ã
ã
0
180DBO DQO+ =
Vậy Tứ giác BDQO nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2. Xét 2 tam giác BDK và ACK có:
à
K
Chung
ã
ã
KBD KAC=
Vậy tâm giác BKD đồng dạng với tam giác AKC (gg)
Suy ra
BD AC
KD KC
=
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có CQ = CA và DQ = DB
Vậy
CQ DQ
CK DK
=

(đpcm)
3. Xét tam giác BDO vuông tại D , có BO = R;
ã
BDO

=
; suy ra BD = R.tg

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có:
Suy ra AC =
tg
R

Bài 5 (1đ):
Cho các số thực t, u, v thỏa mãn: u
2
+ uv + v
2
= 1 -
2
3
2
t
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v.
Theo bài ra ta có: u
2
+ uv + v
2
= 1 -

2
3
2
t
.

u
2
+ v
2
+ t
2
+ 2uv + 2ut + 2vt = 2 t
2
+ 2ut u
2
t
2
+ 2vt v
2


(u+v+t)
2
= 2- (t - u)
2
(t-v)
2

2 Vì (t-v)
2


0; (t - u)
2


0.
Nên (u+v+t)
2


2

2 2 2u v t u v t+ + + +
Vậy D
Min
= -
2
đạt đợc khi u = v = t = -
2
3
D
Max
=
2
đạt đợc khi u=v= t =
2
3

.
ã
ã
ã
ã ã
0
; 90BOD DOQ DOC COA OCA

= = = = =