TOÁN GIẢI TÍCH- ĐẠO HÀM_VI PHÂN

Chương 1:

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
HÀM NHIỀU BIẾN
Phần 1


Nội dung
1. Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)
2. Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)
3. Sự khả vi và vi phân.


ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1
Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0)

f (x0  x, y0)  f (x0, y0)
f
fx (x0, y0)  (x0, y0)  lim
x0
x
x
(Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính
đạo hàm của hàm này tại x0)
Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0)

f (x0, y0  y)  f (x0, y0)
f
fy (x0, y0)  (x0, y0)  lim
y 0
y

y


Ý nghĩa của đhr cấp 1
Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b)
Xem phần mặt cong S gần
P(a, b, c)
Mphẳng y = b cắt S theo
gt C1 đi qua P.
(C1) : z = g(x) = f(x,b)
g’(a) = f’x(a, b)


f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của
C1 tại x = a.

f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần
giao của Svới mp x = a) tại y = b


Các ví dụ về cách tính.
1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2
Tính

fx (1,2) :

fx (1,2), fy (1,2)

cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến

f ( x , 2)  6 x  4 x
2

2

f
(1,2)
(6
x
 x

 4 x ) |x 1  12 x  4 |x 1  16


f(x,y) = 3x2y + xy2

fy (1,2)

cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến

f (1, y )  3y  y

2

 fy (1,2)  (3y  y ) |y  2  (3  2 y ) |y  2  7
2


2/ f(x,y) = 3x2y + xy2
Tính

fx ( x , y ), fy ( x , y ) với mọi (x, y)  R2

fx ( x , y ) Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x
2

fx ( x , y )  6 xy  y , ( x , y )

Áp dụng tính: f  (1,2)  (6 xy  y 2 ) |
x
x 1, y  2  16
(Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)


f(x,y) = 3x2y + xy2

fy ( x , y ) Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y
2

fy ( x , y )  3x  x 2 y , ( x , y )

Áp dụng tính:

fx (1,2) 

(3x  2 xy ) |x 1, y 2  7
2


2/ Tính

fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy

y 1

fx ( x , y )  yx , x  0
11

 fx (1,1)  1  1

 1;

y

fy ( x , y )  x ln x , x  0
 fy (1,1)  1 ln1  0
1


 xy ,( x , y )  (0,0)
 2
3/ Cho f ( x , y )   x  y 2
0, ( x , y )  (0,0)

a/ Tính f  (0,1)
x
b/ Tính f  (0,0)
x

 xy ,( x , y )  (0,0)
 2
2
f (x, y )   x  y
0, ( x , y )  (0,0)

a/ Tính

fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia
biểu thức.

fx ( x , y ) 

y (x  y )  2x y

 fx (0,1)  1

2

2

2

(x  y )
2

2 2

, ( x , y )  (0,0)

 xy ,( x , y )  (0,0)
 2
2
f (x, y )   x  y
0, ( x , y )  (0,0)

b/ Tính fx (0,0)

(0,0) là điểm phân chia biểu thức
 Tính bằng định nghĩa

f ( x0  x , y 0 )  f ( x0 , y 0 )
fx ( x0 , y 0 )  lim
x 0
x
f (0  x ,0)  f (0,0)
fx (0,0)  lim
 lim 0  0
x  0
x  0
x


4/ Cho f ( x , y )  e

 x2 y 2

tính fx ( x , y )

Hàm f xác định tại, mọi (x,y)

fx ( x , y )  

x
x y
2

2

e

 x2 y 2

, ( x , y )  (0,0)

Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)


f (x, y )  e

 x2 y 2

• Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa

f (0  x ,0)  f (0,0)
x
 lim

x 0

e

 x 2

x

1



e

 x 2

 1

f không có đạo hàm theo x tại (0, 0)
(f’x(0,0) không tồn tại) .

x

1


Ví dụ cho hàm 3 biến
(Tương tự hàm 2 biến)

Cho

f ( x , y , z )  x  ye

xz

Tính fx , fy , fz tại (0, 1,2)

fx  1  yze
fy  e

xz

xz

fz  xye

xz

 fx (0, 1,2)  1  2  1


ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Xét hàm 2 biến f(x,y)

f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến

Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu
có) của f’x, f’y

f

  f 
  f 2 
fxx

2 x  x 
x
x

  f 
 f
 
fxy
  
xy y  x 

  f 
 2f
 
fyx
  
y x x  y 

f
  f 
  f 2 
fyy
  
y
yy y  y 

2

2

2


VÍ DỤ
f ( x , y )  x 2  xy  cos( y  x )
Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f

fx  2 x  y  sin( y  x )

fy  x  sin( y  x )

fxx   fx  x   2 x  y  sin( y  x ) 
x
 2  cos( y  x )

fxy   fx y  1  cos( y  x )


fy  x  sin( y  x )
fyx   fy 
fyy   fy 

x

y

 1  cos( y  x )
  cos( y  x )

 (0,  )  0,
fyx

 (0,  )  1
fyy

 (0,  )  3,
fxx

 (0,  )  0
fxy


Tổng qt thì các đạo hàm hỗn hợp khơng bằng nhau
  fyx

f xy
Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng
 , fyx
 liên tục trong miền mở chứa (x0, y0)
f x , fy , f xy
 ( x 0 , y 0 )  f yx
 ( x 0 , y 0 )
thì f xy

(VD 2.28 trang 53, Tốn 3, Đỗ Cơng Khanh)
•Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, đònh lý Schwartz

luôn đúng tại các điểm đạo hàm tồn tại.
•Đònh lý Schwartz cũng đúng cho đạo hàm cấp 3 trở lên.
  f xyx
  fyxx

f xxy


Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính:
(mn )
f m n
x y

mn

m 


Ý
 f
f
 m n  n m
x y
y  x 
n

Lưu ý: đối với các hàm sơ cấp tính theo
thứ tự nào cũng được.

Ví dụ
1/ Cho f ( x , y )  e xy

fx ( x , y )  ye

xy

tính

 , fxyy
 ,
fxx

2 xy

fxx  y e

xy

fxy ( x , y )  (1  xy )e

 ( x , y )   x  (1  xy ) x  e xy
fxyy

 (2 x  x y )e
2

xy

Cách 2:

f (x, y )  e

xy

2 xy

fyy  x e





2
xy



2
x

x
y
e
fxyy  fyyx

Lấy theo thứ tự này nhanh hơn cách trước.


f
2/ Cho f ( x , y )  ln(2 x  3y ) Tính
(
1,1)

x 7y 3
10

Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y
7 1

 f
2 6!
(1) (7  1)!2
(x, y ) 

7
7
7
x
(2 x  3y )
(2 x  3y )
7

7

7



 f
  f
(x, y )  3  7 (x, y ) 
7
3
x y
y  x

10

3

7


7
3 
7


  f

2 6! 
(x, y )   3 
3
7
7
y  x
y  (2 x  3y ) 


3

 2 6!3 (7)(7  1)(7  2)(2 x  3y )
7

3

 27  9! 33  (2 x  3y ) 10
 f
7
3
(

1,1)


2

9!

3
x 7y 3
10

10