CHUYÊN ĐỀ 1 - BÀI TOÁN RÚT GỌN & CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN

20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

CHỦ ĐỀ 1
SO SÁNH SỐ (BIỂU THỨC SỐ) CHỨA CĂN BẬC HAI.
ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA
CĂN
A/ CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: So sánh số (biểu thức số) chứa căn bậc hai.
* Cần so sánh hai số A và B ta vận dụng các cách sau:
Cách 1: Vận dụng đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để đưa hai số A và
B về một trong ba trường hợp sau:

A = a và B = b , khi đó: a < b ⇒ a < b ⇒ A < B
A = m a và B = n a , khi đó: m < n ⇒ A < B (m, n là các thừa số dương)
A = m + k a và B = n + k a , khi đó: m < n ⇒ A < B
Cách 2: Nếu A, B cùng dương và A 2 > B2 thì A > B.
Cách 3: So sánh mỗi A và B với một số trung gian:
Nếu A < C và C < B thì A < B
Số trung gian C có thể là số chứa căn bậc hai hoặc không chứa căn bậc hai.
* Công thức nâng cao:
n + a + n − a < 2. n với 0 < a < n .
1
< 2 k + 1 − 2 k với k ≥ 0 .
k +1
Ví dụ 1: So sánh các số sau.
a) 2 28 và 148 .
b) −3 7 và −7 3 .
c) 21; 2 7; 15 3; − 127 (sắp xếp theo thứ tự tăng dần).

Hướng dẫn giải
a) 2 28 và 148
Cách 1: Đưa thừa số vào trong căn để so sánh

1

a với

b.


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2 28 = 22.28 = 112 < 148
Cách 2: So sánh bình phương của hai số.

(

Ta có: 2 28

)

2

= 4.28 = 112 ;

(

148

)

2

= 148

2 28 > 0
Do 148 > 112 và 
nên 148 > 2 28
 148 > 0
b) −3 7 và −7 3
−3 7 < 0
⇒ so sánh −3 7 = 3 7 và −7 3 = 7 3
Có 
−7 3 < 0
Cách 1: Đưa thừa số vào trong căn để so sánh

a với

b.

3 7 = 32.7 = 63 ; 7 3 = 7 2.3 = 147
Do 63 < 147 ⇒ 3 7 < 7 3 ⇒ −3 7 > −7 3
Cách 2: So sánh bình phương của hai số.

(3 7)

2

= 9.7 = 63

(

Do 63 < 147 ⇒ 3 7

( 7 3)

) < ( 7 3)
2

2

2

= 49.3 = 147

⇒ 3 7 < 7 3 ⇒ −3 7 > −7 3

⇒ 3 7 < 7 3 ⇒ −3 7 > −7 3
c) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 21; 2 7; 15 3; − 127
Ta có: − 127 < 0 còn 21; 2 7; 15 3 đều dương, nên − 127 là nhỏ nhất.
Ta so sánh các số dương 21; 2 7; 15 3 , ta có:
21 = 144 ; 2 7 = 28 ; 15 3 = 675
Do 28 < 441 < 675 ⇒ 28 < 441 < 675 ⇒ 2 7 < 21 < 15 3
Vậy các số được xếp theo thứ tự tăng dần là: − 127 < 2 7 < 21 < 15 3
Ví dụ 2: Hãy so sánh các số sau:
a) 15 + 24 với 101 − 1

b)

13 − 2 3
với
7

2

2


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Hướng dẫn giải
a) Trong trường hợp này thì Cách 1 & Cách 3 không phát huy tác dụng, do đó việc
tìm ra số trung gian để so sánh là cần thiết.

15 + 24 < 16 + 25 = 4 + 5 = 9 ; 101 − 1 > 100 − 1 = 10 − 1 = 9
⇒ 101 − 1 > 15 + 24
2

2
17 − 2 15 17 − 2 16 17 − 8 3  13 − 2 3   3 
>
=
= ⇒
b)

÷ >  ÷ = 2,25
6
6
6
2 
7
 2

( 2)

2

=2
2

 17 − 2 15 
⇒
÷ >
6



( )
2

2

⇒

17 − 2 15

> 2
6

Ví dụ 3: So sánh các số sau:
a)
b)

21 − 5 và

20 − 6

6 + 20 và 1 + 5
Hướng dẫn giải

a)
b)

20 − 6 < 21 − 6 < 21 − 5
6 + 20 =

(

)

6+ 5 + 5

6 + 5 >1

Vì

⇒

6+2 5 =

(

)

6 + 5 + 5 >1+ 5 ⇒

6 + 20 > 1 + 5

DẠNG 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức chứa căn.

1
có nghĩa ⇔ f (x) ≠ 0 .
f (x)

f (x) có nghĩa ⇔ f (x) ≥ 0

f (x) có nghĩa
⇔ g(x) ≠ 0
g(x)

f (x).g(x) ≥ 0
f (x) có nghĩa
⇔
g(x)
g(x) ≠ 0

3


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

f (x)
f (x) ≥ 0
có nghĩa ⇔ 
g(x)
g(x) > 0
Ví dụ 4: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

−5x

b)

4 − 3x

c)

−3x + 2

Hướng dẫn giải
a) −5x có nghĩa ⇔ −5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Vậy x ≤ 0 thì biểu thức có nghĩa.
b) 4 − 3x có nghĩa ⇔ 4 − 3x ≥ 0 ⇔ 4 ≥ 3x ⇔ x ≤

Vậy x ≤

4
3

4
thì biểu thức có nghĩa.
3

c) −3x + 2 có nghĩa
⇔ −3x + 2 ≥ 0 ⇔ −3x ≥ −2 ⇔ x ≤
Vậy x ≤

2
3

2
thì biểu thức có nghĩa.
3

Ví dụ 5: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
d)

2x + 1
+ x−2
x−2
1
3 − 2x

b)
e)

x −1
+ x−2
x+2
4
2x + 3

Hướng dẫn giải
a)

x − 2 ≠ 0
2x + 1
⇔ x−2>0⇔ x >2
+ x − 2 có nghĩa ⇔ 
x
−
2
≥
0
x−2

Vậy x > 2 thì biểu thức có nghĩa

b)

x + 2 ≠ 0
 x ≠ −2
x −1

⇔
⇔x≥2
+ x − 2 có nghĩa ⇔ 
x+2
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa

4

c)
f)

2x
+ x2 x − 2
x −4
2

−2
x +1


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

x 2 − 4 ≠ 0
x 2 ≠ 4
 x ≠ ±2

2x
2
⇔
⇔
⇔x>2
+ x x − 2 có nghĩa ⇔ 
c) 2
x −4
x ≥ 2
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
Vậy x > 2 thì biểu thức có nghĩa
d)

1
có nghĩa
3 − 2x
Vậy x <

e)

3
thì biểu thức có nghĩa
2

4.( 2x + 3) ≥ 0
−3
4
⇔ 2x + 3 > 0 ⇔ 2x > −3 ⇔ x >
có nghĩa ⇔ 

2
2x + 3
2x + 3 ≠ 0
Vậy x >

f)

( 3 − 2x ) .1 ≥ 0
3
⇔ 3 − 2x > 0 ⇔ 3 > 2x ⇔ x <

2
3 − 2x ≠ 0

−3
thì biểu thức có nghĩa
2

−2 ( x + 1) ≥ 0
−2
⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
có nghĩa ⇔ 
x +1
x + 1 ≠ 0
Vậy x < −1 thì biểu thức có nghĩa

DẠNG 3: Chứng minh một biểu thức luôn có nghĩa với mọi x.
+ Cần chỉ ra các mẫu thức trong biểu thức khác 0 với mọi x.
+ Cần biến đổi các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, sao cho các biểu thức này luôn
dương (hoặc không âm).

Ví dụ 6: Chứng minh các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x.
a) A = x 2 + x + 1 +
b) A =

3x − 5
x − 2x + 3
2

2x
x2 + 1
+ x2 − x +1
Hướng dẫn giải

a) Ta có:
2

1 3

x + 1 ≠ 0 với mọi x và x + x + 1 =  x + ÷ + > 0 với mọi x
2 4

2

2

Do đó biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi x.
b) Ta có: x 2 − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 > 0 với mọi x
2

5

20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2

1 3

và x − x + 1 =  x − ÷ + > 0 với mọi x
2 4

2

Do đó biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi x.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng biểu thức B =

5x + 2
x − 9x 2 + 1

luôn xác định với mọi x.

Hướng dẫn giải

 x − 9x 2 + 1 ≠ 0
Biểu thức B xác định ⇔  2
9x + 1 ≥ 0
Ta có: 9x 2 + 1 > 0 luôn đúng với mọi x

x − 9x 2 + 1 < x − 9x 2 = x − 3 x ≤ x − x ≤ x − x = 0 với mọi x
⇒ x − 9x 2 + 1 ≠ 0 với mọi x
Vậy biểu thức B luôn xác định với mọi x.
DẠNG 4: Từ điều kiện của x để biểu thức có nghĩa suy ra x nguyên để biểu thức
chứa căn bậc hai nhận giá trị nguyên.
Từ việc tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa, ta có miền bị chặn
của biến x .
Chọn các giá trị x thuộc miền bị chặn, thay vào biểu thức:
+ Nếu giá trị biểu thức là số nguyên thì giá trị x thỏa mãn.
+ Nếu giá trị biểu thức không nguyên thì giá trị x không thỏa mãn.
Ví dụ 8: Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức A =

5x + 1
x
+
nhận giá trị
x −1
15 − 2x

nguyên.
Hướng dẫn giải

5x + 1 ≥ 0
15
 −1

 ≤x<
⇔ 5
2

Biểu thức A có nghĩa ⇔  x ≠ 1
15 − 2x > 0  x ≠ 1

Mà x nguyên nên ta có: x ∈ { 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}
Với x = 0 ⇒ A = −1∈¢

6


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

Với x = 2 ⇒ A = 11 +

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2
∉¢
11

Với x = 3 ⇒ A = 3 ∈¢
Với x = 4 ⇒ A =

21 4
+
∉¢
3
7

Với x = 5 ⇒ A =

26
+ 5 ∉¢
4

Với x = 6 ⇒ A =

31
+ 2 3 ∉¢
5

Với x = 7 ⇒ A = 13 ∉¢
Vậy với x ∈ { 0 ; 3 ; 7} thì A nhận giá trị nguyên.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: So sánh các số sau:

7
7 1
và
.
4 3
3 12

Bài 2: So sánh các số sau:
a)

1
1 17
19
và

3
2 2

d)

2 + 11 và

f)

27 + 6 + 1 và

b) 3 3 − 2 2 và 2

3 +5

e)

30 − 29 và

7 + 5 và

c)

29 − 28

48

Bài 3: So sánh các số sau:
a) 2 15 và
d) 6 và

59

41

g) 6 − 1 và 3
j) 6

b) 2 2 − 1 và 2
e)

3
và 1
2

h) 2 5 − 5 2 và 1

c) 2 15 và
f)

− 10
và −2 5
2

i)

3
8
và
4

3

1
1
15
; 4 ; − 132;2 3;
(Sắp xếp theo thứ tự giảm dần)
4
2
5

Bài 4: Chứng minh:

99 − 97 > 0,1

7

59

49


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Bài 5: Cho S = 1 +

1

1
1
+
+ ... +
. Chứng minh rằng: 22 < S < 23
2
3
144

Bài 6: Cho S = 1 +

1
1
1
+
+ ... +
. Chứng minh S < 120.
2
3
3600

Bài 7: Chứng minh

30 + 30 + 30 + ... + 30 < 6 .

Bài 8: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

x2 +1

b)

4x 2 + 3

c)

9x 2 − 6x + 1

d)

− x 2 + 2x − 1

e)

− x+5

f)

−2x 2 − 1

Bài 9: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

4 − x2

b)

x 2 − 16

c)

x2 − 3

d)

x 2 − 2x − 3

e)

x(x + 2)

f)

x 2 − 5x + 6

c)

4− x

Bài 10: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

x −1

b)

d)

x − 2 x −1

e)

x −1 − 3
1
9 − 12x + 4x 2

f)

1
x + 2 x −1

Bài 11: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
1) 6x + 1

2)

−3
2+x

3)

4)

−2 6 + 23
−x + 5

5 − 3x

Bài 12: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa)
1)

−8x

2)

4) 2011 − x
7)

(

x −7

( x + 5)

2

5) 4 − 5x

)(

x +7

)

8)

2 15 − 59
x −7

Bài 13: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

8

3)

6x − 4x

6)

6 −4
x+2


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

1)

(

4)

4z 2 + 4z + 1

3−x

)

2

2)

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

16x − 1
x −7

5)

x 2 + 2x + 1

3)

( x − 6)

6)

2x + 5

6

Bài 14: Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau.
1)
4)
7)

49x 2 − 24x + 4

2)
5)

2 − 4 5x + 8

1
− 2a
4
x2 − 9

3)

3
12x − 1

6)

( 3x + 2 ) ( x − 1)

3x − 2. x − 1

Bài 15: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) A =

1
2 a
−
a − 1 (a + 1)( a − 1)

b) B =

c) C =

x +2
5
1
−
+
x +3 x + x −6 2− x

d) D =

x x −3
2( x − 3)
−
x −2 x −3
x +1
x+ y
1 − xy

+

x− y
1 + xy

 x+2
x
1  x −1
+
+
b) E = 
.

÷:
2
 x x −1 x + x +1 1 − x 
4
2
Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x − x + 3 +

5x − 2
x2 − x + 2

luôn xác định với

mọi x.
Bài 17: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x.
a)
b)

x2 −1
2x + 1 − 2
x − 3x + 4
2

x −3
x −x+2
2

+ 2 2x 2 − x + 2

2
Bài 18: Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức B = 2x 9 + 4x − x +

nguyên.

9

3
nhận giá trị
x −3


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

x2 −1
8
+
Bài 19: Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức B =
nhận giá trị
3
4( 5 − x2 )
nguyên.
Bài 20: Tìm các giá trị x nguyên để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên
a) A = 3x − 2 − 4 − x
b) D = 5 − 4x − x 2
C/ HƯỚNG DẪN GIẢI.
Bài 1:
2

7 1 
49
49
=

÷ =
 3 12  9.12 108

2

 7  49
;
÷ = .
 4 3  48
2

49 49
7
7 1
 7  7 1 
>
⇒
>
>
Vì
÷⇒
÷
48 108  4 3   3 12 
4 3 3 12
2

Bài 2:
a)

1 17
17
153
1
19
152
và
=
=
19 =
=
2 2
8
72
3
9
72
Vì

(

153 152
153
152
1 17 1
>

⇒
>
⇒
> 19
72 72
72
72
2 2 3

b) 3 3 − 2 2

)

2

= 9 − 12 6 + 8 = 17 − 12 6 và 2 = 17 − 15

Xét 12 6 = 122.6 = 864 > 225 = 15

⇒ 17 − 12 6 < 17 − 15 ⇒ 3 3 − 2 2 < 2 < 2
c)

7 + 5 < 7 + 2 = 2 7 và

49 = 7. 7

Vì 2 = 4 < 7 ⇒ 2 7 < 7. 7

⇒ 7 + 5 < 49
d)

2 + 11 < 3 + 11 < 3 + 25 = 3 + 5 .

e) Ta có:

10


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

(
(
Mà
f)
Mà

)(
28 ) (

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

)
28 ) = 29 − 28 = 1

30 − 29

30 + 29 = 30 − 29 = 1

29 −

29 +

30 + 29 > 29 + 28 ⇒ 30 − 29 < 29 − 28
27 + 6 + 1 = 3 3 + 6 + 1 và

48 = 4 3 = 3 3 + 3

6 +1 > 3 +1 > 3
⇒ 27 + 6 + 1 > 48

Bài 3:
a) 2 15 và

59

+ Cách 1: So sánh A 2 và B2

(

Ta có: 2 15

)

2

(

= 4.15 = 60 ;

(

Do 60 > 59 ⇒ 2 15

) (
2

>

59

59

)

2

)

2

= 59

2 15 > 0
mà 
nên 2 15 > 59
59
>
0


+ Cách 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh:
Ta có: 2 15 = 22.15 = 60
Do 60 > 59 > 0 nên

60 > 59 ⇒ 2 15 > 59

b) 2 2 − 1 và 2
Ta có: 2 2 − 1 = 22.2 − 1 = 8 − 1 ; 2 = 3 − 1 = 9 − 1
Vì

8 < 9 ⇒ 8 −1 < 9 −1 ⇒ 2 2 −1 < 2

c) Ta có: 6 = 36 < 41 ⇒ 6 < 41
d) Ta có: 1 =

2
4
3
3
. Vậy 1 >
=
>
2
2
2
2

−4 5 − 42.5 − 80
e) Ta có: −2 5 =

=
=
2
2
2
Vì − 10 > − 80 ⇒

− 10 − 80
− 10
>
⇒
> −2 5
2
2
2

f) Ta có: 3 = 4 − 1 = 16 − 1 .

11


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Vì 16 > 6 ⇒ 16 − 1 > 6 − 1 ⇒ 6 − 1 < 3
g) Ta có: 2 5 = 22.5 = 20 ; 5 2 = 52.2 = 50
Do

20 < 50 ⇒ 2 5 < 5 2 ⇒ 2 5 − 5 2 < 0 < 1

Vậy 2 5 − 5 2 < 1
h) Ta có:
Do

81
8 4 8
42.8
128 3 9
; =
=
=
=
=
4 12 12
3
12
12
12
128
81
8 3
>
⇒
>
12
12
3
4

j) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: 6

1
1
15
; 4 ; − 132; 2 3;
4
2
5

Trong các số đã cho thì − 132 < 0 các số còn lại dương nên − 132 nhỏ nhất.
Ta so sánh các số dương còn lại:
6

1
1
= 62. = 9
4
4

15
= 3
5

2 3 = 22.3 = 12
Do

1
1

= 4 2. = 8
2
2

4

3 < 8 < 9 < 12 nên

15
1
1
<4
<6
<2 3
5
2
4

Vậy các số theo thứ tự giảm dần là: 2 3; 6

1
1 15
;4 ;
; − 132
4
2
5

Bài 4:
Chứng minh:

n + a + n − a < 2. n với 0 < a < n

Ta có: BĐT
⇔ n+a +n−a +2

( n − a) ( n + a)

< 4n

⇔ n 2 − a 2 < n ⇔ n 2 − a 2 < n 2 ⇔ −a 2 < 0
Biểu thức trên luôn đúng với a > 0
Áp dụng ta có:
⇒

99 + 97 = 98 + 1 + 98 − 1 < 2 98 < 20

99 + 97
< 10 ⇔
2

(

99 + 97
99 + 97

)(

12

99 − 97

)

< 10


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

⇔

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

1
1
< 10 ⇔ 99 − 97 >
= 0,1
10
99 − 97

Bài 5:
* Ta có: 1 +

1
1
1
+
+ ... +
< 2 n −1

2
3
n
1
< 2 k + 1 − 2 k ⇔ 1 < 2 ( k + 1) − 2 k ( k + 1)
k +1

Ta chứng minh:

⇔ 2 k ( k + 1) < 2k + 1 ⇔ 4k(k + 1) < ( 2k + 1) ⇔ 0 < 1 luôn đúng
2

Áp dụng ta có:
1
< 2 2 −2 1 ,
2

1
1
< 2 3−2 2 ,
< 2 4 − 2 3 ,….
3
4

1
< 2 n − 2 n −1
n
Cộng vế ta có:
Áp dụng có: 1 +
* Ta có: :

1
1
1
1
1
+
+ ... +
< 2 n − 2 1 ⇔ 1+
+ ... +
< 2 n −1
2
3
n
2
n
1
1
1
+
+ ... +
< 2 144 − 1 = 23
2
3
144

1
>2
k

(

k +1 − k

)

⇔ 1 > 2 k ( k + 1) − 2k ⇔ 2k + 1 > 2 k ( k + 1)

⇔ 4k 2 + 4k + 1 > 4k(k + 1) ⇔ 1 > 0 luôn đúng
Áp dụng ta có: 1 > 2
Cộng vế ta có: 1 +

(

)

2 −1 ,

1
>2
2

(

)

3 − 2 ,…,

1
>2

144

1
1
1
+
+ ... +
> 2 145 − 2 > 22
2
3
144

Từ đó suy ra: 22 < S < 23
Bài 6: Áp dụng biểu thức như bài 5:
1+

1
1
1
+
+ ... +
< 2 3600 − 1 = 119 < 120
2
3
3600

Bài 7:

13

(

145 − 144

)


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

30 + 30 + 30 + ... + 30 < 30 + 30 + 30 + ... + 30 + 6
30 + 30 + 30 + ... + 30 + 6 = 30 + 30 + 30 + ... + 36 = 6
⇒ 30 + 30 + 30 + ... + 30 < 6
Bài 8:

A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

a) x 2 + 1 có nghĩa ⇔ x 2 + 1 ≥ 0
Vì x 2 ≥ 0, ∀x ∈¡ ⇒ x 2 + 1 ≥ 1 > 0 với ∀x ∈¡ ⇒ x 2 + 1 > 0 với ∀x ∈¡
Vậy

x 2 + 1 luôn có nghĩa với ∀x ∈¡

b) 4x 2 + 3 có nghĩa ⇔ 4x 2 + 3 ≥ 0
Vì x 2 ≥ 0(∀x ∈ R)
⇒ 4x 2 + 3 ≥ 3 > 0 với ∀x ∈¡ ⇒ 4x 2 + 3 > 0 với ∀x ∈¡
Vậy

4x 2 + 3 luôn có nghĩa với ∀x ∈¡

c) 9x 2 − 6x + 1 có nghĩa ⇔ 9x 2 − 6x + 1 ≥ 0
Ta có: 9x 2 − 6x + 1 = ( 3x ) − 2.3x + 1 = ( 3x − 1) ≥ 0 với ∀x ∈¡
2

Vậy

2

9x 2 − 6x + 1 luôn có nghĩa với ∀x ∈¡

d) − x 2 + 2x − 1 có nghĩa ⇔ − x 2 + 2x − 1 ≥ 0
Ta có: − x 2 + 2x − 1 = − ( x 2 − 2x + 1) = − ( x − 1) ≤ 0, ∀x ∈¡
2

Nên
Vậy

− x 2 + 2x − 1 có nghĩa ⇔ − ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
2

− x 2 + 2x − 1 có nghĩa khi x = 1

e) − x + 5 có nghĩa ⇔ − x + 5 ≥ 0 ⇔ x + 5 ≤ 0
Vì x + 5 ≥ 0 , ∀x ∈¡ . Nên
Vậy

− x + 5 có nghĩa ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = −5

− x + 5 có nghĩa khi x = −5

f) −2x 2 − 1 có nghĩa ⇔ −2x 2 − 1 ≥ 0 . Vì x 2 ≥ 0(∀x ∈ R) ⇒ −2x 2 ≤ 0(∀x ∈¡ )
⇒ −2x 2 − 1 ≤ 1 < 0 với ∀x ∈ R

14


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

⇒ −2x 2 − 1 < 0 với ∀x ∈¡
Nên không có giá trị nào của x để biểu thức
Bài 9:

−2x 2 − 1 có nghĩa

 x ≤ −a
A có nghĩa ⇔ A ≥ 0 . Với a > 0 : x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a; x ≥ a ⇔ 
x ≥ a

a) 4 − x 2 có nghĩa ⇔ 4 − x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2
Vậy

4 − x 2 có nghĩa khi −2 ≤ x ≤ 2

x ≥ 4
2

2
b) x 2 − 16 có nghĩa ⇔ x − 16 ≥ 0 ⇔ x ≥ 16 ⇔ 
 x ≤ −4
x ≥ 4
Vậy x 2 − 16 có nghĩa khi 
 x ≤ −4
x ≥ 3
c) x 2 − 3 có nghĩa ⇔ x 2 − 3 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 3 ⇔ 
 x ≤ − 3
Vậy

x ≥ 3
x 2 − 3 có nghĩa khi 
 x ≤ − 3

d) x 2 − 2x − 3 có nghĩa x 2 − 2x − 3 ≥ 0
x − 1 ≥ 2
x ≥ 3
2
2
⇔ ( x − 1) − 4 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ≥ 4 ⇔ 
⇔
 x − 1 ≤ −2
 x ≤ −1
Vậy

x ≥ 3
x 2 − 2x − 3 có nghĩa khi 
 x ≤ −1

e) x ( x + 2 ) có nghĩa khi x ( x + 2 ) ≥ 0
x + 1 ≥ 1
x ≥ 0
2
⇔ x 2 + 2x + 1 − 1 ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ≥ 1 ⇔ 
⇔
 x + 1 ≤ −1  x ≤ −2
Vậy

x ≥ 0
x ( x + 2 ) có nghĩa khi 
 x ≤ −2

f) x 2 − 5x + 6 có nghĩa khi x 2 − 5x + 6 ≥ 0

15


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2

2

5
25 1
5 1

5 1


⇔ x − 2. x +
− ≥ 0 ⇔ x − ÷ − ≥ 0 ⇔ x − ÷ ≥
2
4 4
2 4
2 4


2

5 1

x − 2 ≥ 2
x ≥ 3
⇔
⇔
x ≤ 2
 x − 5 ≤ −1

2 2
Vậy

x ≥ 3
x 2 − 5x + 6 có nghĩa khi 
x ≤ 2

Bài 10:

x ≥ 1
a) x − 1 có nghĩa ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ 
 x ≤ −1
x −1 ≥ 3
x ≥ 4
⇔
b) x − 1 − 3 có nghĩa khi x − 1 − 3 ≥ 0 ⇔ x − 1 ≥ 3 ⇔ 
 x − 1 ≤ −3
 x ≤ −2
c) 4 − x có nghĩa khi: 4 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4

( x − 1) − 2

d) x − 2 x − 1 =
Ta có
e)

(

)

x − 1.1 + 1 =

(

)

x −1 −1

2

2

x − 1 − 1 ≥ 0 , nên căn thức có nghĩa khi: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

1
9 − 12x + 4x

2

1

=

( 3 − 2x )

2

Ta có: ( 3 − 2x ) ≥ 0 , nên biểu thức có nghĩa khi 3 − 2x ≠ 0 ⇔ x ≠
2

1
f) x + 2 x − 1

=

1

( x − 1) + 2.1.

x −1 + 1

=

1

(

⇒ biểu thức có nghĩa khi: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Bài 11:
1) 6x + 1 có nghĩa khi 6x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

16

−1
6

)

x −1 +1

2

3
2


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2 + x ≠ 0
x ≠ 2
x ≠ 2

−3
⇔
⇔
⇔ x < −2
2)
có nghĩa khi  −3
2
+
x
<
0
x
<
−
2
≥
0
2+x


 2 + x
3)
4)

5 − 3x có nghĩa khi

5 − 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 5 ⇔ x ≤

5
3

−2 6 + 23
. Ta có: −2 6 + 23 = − 24 + 23 < 0
−x + 5
Do đó căn thức có nghĩa khi − x + 5 < 0 ⇔ x > 5

Bài 12:
1) −8x có nghĩa khi −8x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
2)

( x + 5)

3)

2

Do ( x + 5 ) ≥ 0 ∀x ∈¡ nên biểu thức có nghĩa ∀x ∈¡
2

6x − 4x có nghĩa khi
6x − 4x ≥ 0 ⇔

(

)

6 −4 x ≥0⇔ x ≤0

(

6 − 4 = 6 − 16 < 0

)

4) 2011 − x có nghĩa khi 2011 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2011
5) 4 − 5x có nghĩa khi 4 − 5x ≥ 0 ⇔ 5x ≤ 4 ⇔ x ≤
6 −4
ta có:
x+2

6)

4
5

6 − 4 = 6 − 16 < 0

x + 2 ≠ 0

⇔ x + 2 < 0 ⇔ x < −2
Do đó căn thức có nghĩa khi:  6 − 4
=0

 x+2

7)

(

x −7

(

)(

 x − 7

 x ≥ 0
8)

)

x + 7 có nghĩa khi

)(

)

x +7 ≥0

 x − 49 ≥ 0
 x ≥ 49
⇔
⇔
⇔ x ≥ 49

x ≥ 0
x ≥ 0

2 15 − 59
ta có: 2 15 − 59 = 60 − 59 > 0
x −7

17


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

 2 15 − 59
≥0

⇔ x−7 > 0 ⇔ x > 7
Căn thức có nghĩa khi: 
x −7
x − 7 ≠ 0

Bài 13:
A
có nghĩa ⇔ B ≠ 0
B

A có nghĩa khi A ≥ 0
A có nghĩa khi

B>0
B
1)
2)

(

3−x

)

2

có nghĩa với mọi x ∈¡ , vì

(

3−x

)

2

≥ 0, ∀ x ∈¡ .

16x − 1
có nghĩa khi: x − 7 > 0 ⇔ x > 7
x −7

Vậy biểu thức có nghĩa khi x > 7 .

3)
4)

( x − 6)

6

có nghĩa với x ∈¡ vì ( x − 6 ) ≥ 0, ∀x ∈¡ .
6

2
4z 2 + 4z + 1 có nghĩa khi: 4z + 4z + 1 ≥ 0

Ta có: 4z 2 + 4z + 1 = ( 2z ) + 2.2z + 1 = ( 2z + 1) ≥ 0, ∀x ∈¡
2

2

Nên 4z 2 + 4z + 1 ≥ 0, ∀x ∈¡ .
Vậy biểu thức luôn có nghĩa ∀x ∈¡ .
5)

2
x 2 + 2x + 1 có nghĩa khi x + 2x + 1 ≥ 0

Ta có: x 2 + 2x + 1 = ( x + 1) ≥ 0, ∀ x ∈¡ .
2

Nên x 2 + 2x + 1 ≥ 0, ∀ x ∈¡ .
Vậy biểu thức luôn có nghĩa với mọi giá trị của x ∈¡ .

6)

2x + 5 có nghĩa khi: 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥

−5
2

−5
.
2

Bài 14:
1) 49x 2 − 24x + 4 có nghĩa ⇔ 49x 2 − 24x + 4 ≥ 0

18


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2

2

12
12  52

 12  52 
=  7x − ÷ +
Ta có: 49x − 24x + 4 = ( 7x ) − 2. .7x +  ÷ +
7
7  49
 7  49 
2

2

2

12 

Vì  7x − ÷ ≥ 0, ∀x ∈ ¡
7

2

12  52 52

⇔  7x − ÷ +
≥ , ∀x ∈ ¡
7  49 49

Nên 49x 2 − 24x + 4 > 0, ∀x ∈¡
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x ∈¡ .
2)

1

1
1
1
− 2a có nghĩa khi: − 2a ≥ 0 ⇔ ≥ 2a ⇔ a ≤
4
4
8
4

Vậy biểu thức có nghĩa khi a ≤
3)

1
8

3
1
có nghĩa khi: 12x − 1 > 0 ⇔ x >
12
12x − 1

Vậy biểu thức có nghĩa khi x >

1
12

4) 2 − 4 5x + 8 có nghĩa khi: 5x + 8 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ −8 ⇔ x ≥
Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥

−8

5

2
5) x 2 − 9 có nghĩa khi: x − 9 ≥ 0 ⇔ ( x + 3) ( x − 3) ≥ 0

x − 3 ≥ 0
x ≥ 3
⇔
⇔ x≥3
+ TH1: 
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
x − 3 < 0
x < 3
⇔
⇔ x < −3
+ TH2: 
x + 3 < 0
 x < −3
Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥ 3 hoặc x < −3
6)
HD:

A = B.C có nghĩa ⇔ B.C ≥ 0

B ≥ 0
Ta xét 2 TH: TH1: 
C ≥ 0

B < 0

TH2: 
C < 0

19

−8
5


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

( 3x + 2 ) ( x − 1)

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

có nghĩa khi: ( 3x + 2 ) ( x − 1) ≥ 0

−2

3x + 2 ≥ 0
x ≥
⇔
3 ⇔ x ≥1
+ TH1: 
x
−
1
≥
0


 x ≥ 1
−2

3x + 2 < 0
−2
x <
⇔
3 ⇔x<
+ TH2: 
3
x − 1 < 0
 x < 1
Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥ 1 hoặc x <

7)

−2
3

2

3x − 2 ≥ 0
3x ≥ 2
x ≥
⇔
⇔
3 ⇔ x ≥1
3x − 2. x − 1 có nghĩa khi: 
x − 1 ≥ 0

x ≥ 1
 x ≥ 1

Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥ 1.
Bài 15:
1
có nghĩa ⇔ A ≠ 0
A
B có nghĩa ⇔ B ≥ 0

 a − 1 ≠ 0
a ≠ 1
⇔
a) Ta có: A có nghĩa khi: a ≥ 0
a ≥ 0

a
+
1
a
−
1
≠
0
)
(

(

)

Vậy biểu thức có nghĩa khi: a ≠ 1 và a ≥ 0
b) Ta có: B có nghĩa khi:
x ≥ 0
 x ≥ 0

x − 2 x − 3 ≠ 0 ⇔ 
 x + x − 3 x − 3 ≠ 0

x
+
1
≠
0

 x ≥ 0
x ≥ 0
 x ≥ 0
⇔
⇔
⇔
 x − 3 ≠ 0
x ≠ 9
 x + 1 x − 3 ≠ 0

(

Vì

)(

)

x ≥ 0, ∀x ∈¡ nên

x + 1 ≥ 1, ∀x ∈¡ nên

Vậy biểu thức có nghĩa khi: x ≥ 0 và x ≠ 9

20

x + 1 > 0 ∀x ∈¡


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

c) Ta có: C có nghĩa khi
x ≥ 0
x ≥ 0

x
+
3
≠
0



⇔ x − 2 x + 3 x − 6 ≠ 0

x + x − 6 ≠ 0

 x ≠2
2 − x ≠ 0

x ≥ 0

⇔  x −2

x ≠ 4

(

Vì

)(

x ≥ 0
x +3 ≠ 0⇔ 
x ≠ 4

x ≥ 0, ∀x ∈¡ nên

)

x + 3 ≥ 3, ∀x ∈¡ nên

x + 3 > 0 ∀x ∈¡

Vậy biểu thức có nghĩa khi: x ≥ 0 và x ≠ 4
d) Chú ý:
1
có nghĩa ⇔ A ≠ 0
A
B có nghĩa ⇔ B ≥ 0
C = D.E có nghĩa ⇔ D.E ≥ 0
 x ≥ 0; y ≥ 0

 x ≥ 0; y ≥ 0
1 − xy ≠ 0
⇔
Ta có: D có nghĩa khi 
 xy ≠ 1
1 + xy ≠ 0
 x.y ≥ 0

Vì

xy ≥ 0, ∀x, y ∈¡ nên

xy + 1 > 0 ∀x, y ∈¡

xy + 1 ≥ 1, ∀x, y ∈¡ nên

Vậy biểu thức có nghĩa khi: x ≥ 0; y ≥ 0 và xy ≠ 1
x ≥ 0
x ≥ 0



x ≥ 0
x x − 1 ≠ 0
⇔  x −1 x + x +1 ≠ 0 ⇔ 
e) Ta có: E có nghĩa khi: 
x ≠ 1
x + x + 1 ≠ 0

x
≠
1

1 − x ≠ 0


(

)(

)

Vì x ≥ 0 nên x + x + 1 ≥ 1, ∀x ∈¡ nên x + x + 1 > 0 ∀x ∈¡
Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥ 0 và x ≠ 1
Bài 16:

21


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2

Ta có:

1  11

x − x + 3 =  x 2 − ÷ + > 0 với mọi x
4
4

4

2

2

1 7

x − x + 2 =  x − ÷ + > 0 với mọi x.
4 4

2

Do đó biểu thức P luôn xác định với mọi x.
Bài 17:
a) Ta có: 2x 2 + 1 > 0 với mọi x ;
2

3 7

x − 3x + 4 =  x − ÷ + > 0 với mọi x
2 4

2

Do đó biểu thức luôn có nghĩa với mọi x.
2

1 7

b) Ta có: x − x + 2 =  x − ÷ + > 0 với mọi x
2 4

2

2

1  15

2x − x + 2 =  x −
÷ + 8 > 0 với mọi x.
2 2

2

Do đó biểu thức luôn có nghĩa với mọi x.
Bài 18:

Biểu thức B có nghĩa
2
9 + 4x − x 2 ≥ 0 ( x − 2 ) ≤ 13 − 13 + 2 ≤ x ≤ 13 + 2
⇔
⇔
⇔
x
−
3
≠
0

 x ≠ 3
 x ≠ 3

Mà x là số nguyên nên x∈ { −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5}
Lần lượt thay các giá trị nguyên của x vào biểu thức B ta thấy chỉ có x = 0 và x = 4
thì B nhận giá trị nguyên.
Bài 19:

  x ≤ −1
 − 5 ≤ x ≤ −1
x 2 − 1 ≥ 0

x
≥
1
⇔
⇔
Biểu thức B có nghĩa ⇔ 




2
1 ≤ x ≤ 5
5 − x > 0 
− 5 ≤ x ≤ 5
Mà x là số nguyên, nên x ∈ { −2 ; − 1 ; 1 ; 2}

22


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Lần lượt thay các giá trị nguyên của x vào biểu thức A ta thấy chỉ có x = 1 và

x = − 1 thì B nhận giá trị nguyên.
Bài 20:

2

3x − 2 ≥ 0  x ≥
2
⇔
3 ⇔ ≤x≤4
a) Biểu thức A có nghĩa ⇔ 
3

4 − x ≥ 0
 x ≤ 4
Mà x là số nguyên, nên x ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4}
Lần lượt thay các giá trị nguyên của x vào biểu thức A ta thấy chỉ có x = 1 thì A
nhận giá trị nguyên.
b) Biểu thức D có nghĩa

⇔ 5 − 4x − x 2 ≥ 0 ⇔ 9 − ( x + 2 ) ≥ 0 ⇔ ( x + 2 ) ≤ 9
2

2

⇔ −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x ≤ 1
Mà x là số nguyên, nên x ∈ { −5 ; − 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1}
Lần lượt thay các giá trị nguyên của x vào biểu thức A ta thấy chỉ có x = − 5 ,

x = − 2 , x = −1 thì D nhận giá trị nguyên.

CHỦ ĐỀ 2
RÚT GỌN BIỂU THỨC SỐ CHỨA CĂN BẬC
HAI
A/ CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: Đưa về các căn thức đồng dạng rồi rút gọn.

23


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Để đưa về các căn thức đồng dạng, ta vận dụng kiến thức sau:
 Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:
* Với hai số A và B không âm thì:
Khai phương một tích

A.B = A. B
Nhân các căn thức bậc hai
Chú ý: Với A1 ; A 2 ; ... ; A n ≥ 0 thì

A1 .A 2 ...A n = A1 . A 2 ... A n

* Với hai số A không âm và B > 0 thì:
Khai phương một thương
A
A
=
B
B
Chia các căn thức bậc hai
 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

A 2 .B = A B với B ≥ 0

Nếu A ≥ 0 thì:

A 2 .B = A B

Nếu A < 0 thì:

A 2 .B = − A B

 Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì: A B =

A 2 .B

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì: A B = − A 2 .B
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 20 − 45 + 3 18 + 72 .
b)

(

28 − 2 3 + 7

)

7 + 84 .
Hướng dẫn giải

20 − 45 + 3 18 + 72 =

a)

22.5 − 32.5 + 3 32.2 + 62.2

= 2 5 − 3 5 + 9 2 + 6 2 = ( 2 − 3) 5 + (9 + 6) 2 = 15 2 − 5 .
b)

(

28 − 2 3 + 7

)

7 + 84 =

22.7. 7 − 2 3. 7 + 7. 7 + 2 2.21.

= 2.7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 14 + 7 + ( 2 − 2 ) 21 = 21 .

24


20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

(

6+ 5

)

2

− 120 .

1 1 3
1
4
−
2+
200 ÷: .
b) B = 
5
2 2 2
8

Hướng dẫn giải
a) A =

(

6+ 5

)

2

− 120 = 6 + 2 30 + 5 − 22.30 = 6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11 .

1 1 3
 1 1 2 3

 1
4
4
2
−
2+
200 ÷: = 
−
2
+
10
.2
b) B = 
÷:
2
5
2
5
2 2 2
 8 2 2
 8

3
1

= 
2−
2 + 8 2 ÷.8 = 2 2 − 12 2 + 64 2 = 54 2
2
4


DẠNG 2: Áp dụng hằng đẳng thức

 A2 = A
A = A hay 
 A 2 = −A

khi A > 0

2

khi A < 0

Ví dụ 3: Thực hiện tính.
a)

(

c)

( 3− 2 2)

2 2 −3

)

2

2

( 3+ 2 2)

+

2

b)

(

d)

( 5− 2 6)

0.1 − 0.1
2

)

2

−

( 5+ 2 6)

2

Hướng dẫn giải
Nhận xét: Biểu thức số dưới các dấu căn đã có dạng A 2 , do đó ta áp dụng trực tiếp
hằng đẳng thức

a)
b)

A 2 = A để thực hiện tính.

( 2 2 − 3) = 2 2 − 3 = 3 − 2
( 0.1 − 0.1 ) = 0.1 − 0.1 =
2

2

c)

( 3−2 2)

d)

(

5−2 6

)

2

2

+

(3+ 2 2)

−

(

5+2 6

)

2

2

2
0.1 − 0.1

= 3− 2 2 + 3+ 2 2 = 3− 2 2 + 3+ 2 2 = 6
= 5 − 2 6 − 5 + 2 6 = 5 − 2 6 − 5 − 2 6 = −4 6

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B = 5 + 2 6 − 5 − 2 6

25