Giao anDS11 37 38

Ngày soạn: 25/11/2017
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Tiết: 37  38
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Hiểu được phương pháp quy nạp toán học (gồm hai bước).
2. Kỹ năng:
- Biết cách chứng minh một số mệnh đề đơn giản bằng quy nạp.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác.
- Thấy được toán học có ứng dụng thực tiễn.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung, luyện tập bài 1, 2. Tiết 2: Luyện tập 3, 4 vận dụng và tìm tòi mở
rộng.
1. Giới thiệu
Tính tổng a) 1+3+5+7+9+11= ?
b) 1+3+5+7+...+2017=?
Câu a các em có thể giải quyết đơn giản, tuy nhiên, câu b chúng ta sẽ gặp khó khăn (kể cả
dùng MTBT). Sau khi nghiên cứu xong bài học này, các em sẽ giải quyết được khó khăn
của câu b.
2. Nội dung

2.1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n�N * , ta thường dùng phương pháp quy
nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta
gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi n�N * .
2.2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số
tự nhiên) thì:
– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh
rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
2.3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự
đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy
nạp toán học.


2.4. Một số bài toán thường gặp
– Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.
– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.
– Dự đoán kết quả và chứng minh.
VD : Chứng minh rằng với n�N * thì 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
B1: Khi n = 1, VT = VP =1. Vậy (1) đúng.
B2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k �1, nghĩa là
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1 tức là:
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = (k+1)2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = k2 +[2(k+1)-1] = k2 + 2k +1 =(k+1)2
Vậy (1) đúng với mọi n�N * .

3. Luyện tập:
Bài 1. Chứng minh rằng với n�N * , ta có đẳng thức:

Giải:
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng (3+1) / 2 = 2.
Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n�N *
b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.


Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n�N *
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n�N *
Bài 2. Chứng minh rằng với n�N * ta luôn có n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.
Giải: Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n =1 ta có S1 = 9 M3.
Giả sử đúng với n = k �1, nghĩa là SkM3.
Ta phải chứng minh Sk+1 M3. Thật vậy
Sk+1 = (k+1)3 + 3(k+1)2 +5(k+1)
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
= Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp SkM3, ngoài ra 3(k2 + 3k + 3) M3 nên Sk+1 M3.
Vậy Sn M3 với mọi n ��*
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức 3n > 3n + 1.
Giải: Với n = 2 ta có VT > VP
Giả sử đúng với n = k �2, nghĩa là
3k > 3k + 1 (*)
Ta phải chứng minh 3k1 > 3(k+1) + 1


Thật vậy nhân hai vế của (*) với 3, ta được 3k1 > 9k +1 � 3k1  3x  4  6k  1
Vì 6k – 1 > 0 nên 3k1  3x  4
hay 3k1 > 3(k+1) + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
��*

Bài 4. Cho tổng
với n
a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
1
2
3
, S2  , S3  .
2
3
4
n
b) Theo câu a) ta dự đoán Sn 
.
n 1

Giải: a) Ta có : S1 

Chứng minh bằng PP quy nạp.
Với n = 1 đẳng thức đúng.
Giả sử đúng với n = k �1, tức là
Sk 

1
1
1
k

 ... 

1.2 1.3
k k  1 k  1

Ta phải chứng minh nó cúng đúng khi n = k + 1, nghĩa là Sk1 
1

k 1

k 1
k 2

Ta có : Sk1  Sk  k k  1  k  2


tức là đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức được cm.
4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 5 . Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
Giải: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ��* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = 2
Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k – 3)/2
Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi
k + 1cạnh có số đường chéo là
. Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak cũng là một
đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chứng minh.
V.

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC


Tiết 1:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem lại các bài tập để chuẩn bị tiết sau làm bài tập.
Tiết 2:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các bài tập.
- Làm các bài tập còn lại trong SGK.
- Đọc trước bài DÃY SỐ chuẩn bị cho tiết sau.