Giao anDS11 49 52

Ngày soạn:7/1/2018

Tiết: 49  52
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.
 Một số giới hạn đặc biệt của dãy số.
 Một số định lí về giới hạn của dãy số và công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn.
 Định nghĩa giới hạn tại vô cực.
2. Kĩ năng:
 Tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
 Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó.
4. Năng lực hướng tới
 Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung 2.1.1, 2.1.2. Tiết 2: Nội dung 2.1.3, 2.1.4. Luyện tập 1,2. Tiết 3:
Nội dung 2.2, luyện tập bài 3. Tiết 4: Luyện tập bài 4, 5, 6, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu: Achilles và con rùa
Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100
mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles
chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức
anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy

được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để
chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ
như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách
đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do
đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.
Để tìm ra câu trả lời cho nghịch lý trên, chúng ta đi nghiên cứu chương tiếp theo: “GIỚI HẠN”. Bài
đầu tiên chúng ta tìm hiểu là bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
2. Nội dung
2.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số.
2.1.1. Định nghĩa:

Định nghĩa 1: Ta nói dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n � � nếu |un| có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
un  0 hay un � 0 khi n � �
Kí hiệu: nlim
� �


vn  a � lim  vn  a   0 hay un � a khi n � �
Định nghĩa 2: nlim
��
n ��


2.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt.



1
1

 0; lim k  0, k �N 
n �� n
n �� n
n
lim q  0, q  1
lim

n ��

lim C  C , (C  Const )

n ��
2.1.3. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:

Nếu lim un  a;lim vn  b thì:

lim  un  vn   a  b;lim  un  vn   a  b
un a
 (b �0)
vn b
a �0
�
un �0n
�
�
�
�
�
lim un  a

lim un  a
�
�

lim  un vn   a.b;lim



2.1.4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn (un) với công bội q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cho CSN lùi vô hạn (un) với công bội q.
u1 (1  q n )
u
u
 1  1 qn
1 q
1 q 1 q
u n� u
�u
Suy ra: lim S n  lim � 1  1 q � 1
1 q 1 q � 1 q
�
Sn  u1  u2  u3  ...  un 

Vậy: S 

u1
 q  1
1 q

2.2. Giới hạn vô cực
2.2.1. Định nghĩa:

Ta nói dãy số  un  có giới hạn � khi n � � nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
un  �hay un � � khi n � �
Kí hiệu: nlim
��


 un   �
Dãy số  un  có giới hạn � khi n � � nếu nlim
� �

un  �hay un � � khi n � �
Kí hiệu: nlim
��
Chú ý:
lim n k  �, k �N 

lim q n  �khiq  1

2.2.2. Định lí 2:

un
0
vn



lim un  a;lim vn  ��� lim



lim un  a  0;lim vn  0, vn  0n � lim



lim un  �;lim vn  a  0 � lim  un .vn   �

3. Luyện tập:

un
 �
vn


Bài 1. Tìm giới hạn:
1 lim �3  1 �
1
lim3  lim
�
�
3n  n
� n �
n 
n 3
lim
 lim
2

1
1
1 �
a)
1 n
�
 1 lim � 2  1� lim 2  lim1
n2
n
�n
�
1
4
2
2
1  4n
2
n
lim
 lim

 1
b)
1
1  2n
2
2
n
1 1
1

Bài 2. Tính a) S    ...  n  ...
3 9
3
n 1
1 1 1
� 1�
S  1     ...  �
 �  ...
b)
2 4 8
� 2�
3

2

Gợi ý:
1 1 1
1
1
1
, , ,..., n ,... là một CSN lùi vô hạn với u1  & q  . Vậy:
3 9 27
3
3
3
1
1 1
1
1
S    ...  n  ...  3 

1 2
3 9
3
1
3

a) Xét dãy:

n1

1

1 1 1 �1�
b) Xét dãy: 1,  , ,  ,... � � ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với q   & u1  1 . Vậy:
2
2 4 8 � 2�
n 1

1 1 1
� 1�
S  1     ...  �
 �  ... 
2 4 8
� 2�

1
2

�1� 3
1 �

 �
� 2�

Bài 3. Tìm giới hạn:
5�
5 lim �
2 �
�
2n  5
� n � 0
a) lim
 lim n n 
n
n.3
3
lim 3n
1�
� 2 1�
2
2� 2
2
b) lim n  2n  1  lim n �1   2 � lim n .lim �1   2 � �
� n n �
� n n �
2





Bài 4. Tìm giới hạn
n

n

�3 �
� � 5
�4 �

�3 �
lim � � lim 5
n
n
3  5.4
�4 �

5
a) lim n n  lim
n
n
4 2
�1 �
�1 �
1  � � lim1  lim � �
�2 �
�2 �

9n  n  1
 lim
4n  2

2

b) lim

Bài 5. Tính các giới hạn:

1 1

3
n n2

2
4
4
n

9


� 2 1 1�
 3 � �
2
� n n n �
5 2 �
2
2 �
b) lim  n  5n  2   lim n �1   2 � �
n n �
�
n

1
1
lim n 2  n  n  lim
 lim

2
2
c)
1
n n n
1 1
n
3
2
3
1 
a) lim  n  2n  n  1  lim n �









2
d) lim n  n  n  �

Bài 6 .a) lim

b) lim

3un  1 3lim  un   lim1 9  1


2
un  1
lim un  lim1
3 1

vn  2
0
vn2  1

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1. Tính các giới hạn
a) lim(1  n  n  3n  1)
2

4.3  7
2.5n  7 n

4

1

1

�

 ... 
a) lim � 
�
1.2 2.3
n(n  1)
�

�1

�

3

c) lim

2

n

Bài 2. Tính các giới hạn
�1

n2  3 1  n6

n 1  n
2  2n 1
e) lim n
2  5.3n

n 1

n

d) lim

b) lim

4

5

2n  1 �

c) lim � 2  2  2  ...  2 �
n
n �
�n n
�

�
1
1
1

 ... 
�
(n  1) n  n n  1 �
�2 1  1 2 3 2  2 3

e) lim �

2.12  3.22  ....  (n  1).n 2
n4
1
i) lim
n!

g) lim

V.
HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC
Tiết 1:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem trước nội dung 2.1.3 để chuẩn bị cho tiết sau.
Tiết 2:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem trước nội dung 2.1.5 để chuẩn bị cho tiết sau.
- Làm bài tập 1 phần luyện tập.
Tiết 3:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Chuẩn bị bài tập cho tiết sau.

f) lim

(2n n  1)( n  3)
( n  1)( n  2)

1  a  a 2  ...  a n
1  b  b 2  ...  b n

b) lim(1 

1
1
1
)(1  2 )...(1  2 )
2
2
3
n

� 1

d) lim �



1

2
n2  2
� n 1
1.3.5.7...(2n  1)
f) lim
2.4.6....(2n)

h) lim

1  2 2  33  ...  n n
nn

j) lim n n

( a  1, b  1)

 ... 

�
�
n2  n �
1


-

Làm bài tập 3,4,5 phần luyện tập.
Tiết 4:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các bài tập.
- Hoàn thành các bài tập trong phần vận dụng
- Xem trước nội dung bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để chuẩn bị cho tiết sau.