De thi HSG tỉnh Đồng Tháp 07-08

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x
2
+(m
2
-m)x - m
3
+1= 0 có một
nghiệm nguyên .
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x-4sin
2
x+2(sin6x+sin4x)+1=0
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2

x
1
+2sin
2
x
2
+…+nsin
2
x
n
= a ,với n là số nguyên
dương , a là số thực cho trước , .Xác đònh các giá trò của x
1
,x
2,
… ,x
n
sao cho tổng S= sin2x
1
+2sin2x
2
+…+nsin2x
n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a
và n.
Bài 3: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh :
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S
1
,S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S
1
+(x+z-1)S
2
+(x+y-1)S
3
=0

Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+u
2
+…+ u
n

.
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ax
2
+bx+b có ba nghiệm x
1
,x
2
,x
3
và đa thức g(x)=x
3
+bx
2
+bx+a .Tính tổng
S=g(x
1
)+g(x
2
)+g(x
3
) theo a,b.
Hết.
1
Đề chính thức
2)12(log13)12(log
22
≤+−++−

xx
2
)1(
0
+
≤≤
nn
a
.cot)
2
(cot2
cot)
2
(cot2
)cot2(cotcot
gB
BA
g
gB
BA
g
gBgAgA
−
+
=
+
+
+
z
MC

MC
y
MB
MB
x
MA
MA
===
'
,
'
,
'







>
−+
=
=
+
0
11
1
2
1

1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
])
2
1
(1[
4
1
1
−
−+≥
n
π
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
226226226

≥
+
+
+
+
+ bacacbcba