Nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ nanocomposite chịu áp lực ngoài

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 – 2018
Tên đề tài: Nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực
ngoài
Mã số: DTSV171837
Sinh viên tham gia:
(1)

Đào Ngọc Nam

(2)

Đỗ Quang Trà

(3)

Nguyễn Vạn Tuế

Giáo viên hướng dẫn :

Th.S. Vũ Thọ Hưng

HÀ NỘI – 2018


i

MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................. i
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
1. Tên đề tài.....................................................................................1
2. Sự cần thiết của việc nghiên cứu.................................................1
3. Mục tiêu nghiên cứu.....................................................................1
4. Nội dung nghiên cứu của đề tài...................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu.............................................................1
6. Kết quả đạt được..........................................................................1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN VỎ TRỤ NANO COMPOSITE CHỊU
ÁP LỰC NGOÀI.......................................................................................................2
1.1. Vật liệu NanoComposite............................................................2
1.2. Tình hình nghiên cứu hiện nay..................................................2
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI.......................................................................................................................... 4
2.1. Mô hình kết cấu.........................................................................4
2.2. Các phương trình cơ bản...........................................................6
2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải.......................................10
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN.....................................................13
3.1. Kết quả so sánh......................................................................13
3.2. Phân tích ổn định phi tuyến....................................................13
3.2.1. Thay đổi cấu trúc hình học của CNTRC.............................13
3.2.2. Thay đổi tỷ phần thể tích CNT..........................................15
3.2.3. Thay đổi bán kính cong R.................................................17
3.2.4. Thay đổi mode..................................................................18
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................................20
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN
ĐỀ TÀI....................................................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................22
PHỤ LỤC................................................................................................................ 25

Phụ lục A........................................................................................25
Phụ lục B........................................................................................25
Phụ lục C........................................................................................26
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1: So sánh giá trị tải trọng áp lực ngoài của vỏ trụ tròn FG-CNTRC..........13
Bảng 3.2: Tải tới hạn áp lực ngoài của vỏ trụ FG-CNTRC trực giao với các tỷ phần thể
tích CNT khác nhau ,...............................................................................................13


ii
Bảng 3.3: Tải tới hạn áp lực ngoài của vỏ trụ FG-CNTRC trực giao với các bán kính
vỏ khác nhau, ..........................................................................................................17


iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 2.1. Hình dạng của vỏ trụ tròn và các loại FG-CNTRC trực giao.....................4
Hình 3.1. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi. .14
Hình 3.2. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi. .15
Hình 3.3. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi. .15
Hình 3.4. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-O CNTRC.............................................................................................16
Hình 3.5. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn UD-CNTRC................................................................................................16
Hình 3.6. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-X CNTRC.............................................................................................17
Hình 3.7. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi bán kính cong thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-O CNTRC.............................................................................................18
Hình 3.8. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi bán kính cong thay đổi với vỏ
trụ tròn UD-CNTRC................................................................................................18

Hình 3.9. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với bán kính cong thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-X CNTRC.............................................................................................18
Hình 3.10. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi mode thay đổi................19


iv

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CNT

: Carbon nanotube

CNTRC
FG

: Carbon nanotube-reinforced composite
: Functionally graded

SWCNTs : Single-walled carbon nanotubes
UD

: Uniformly distributed


1
MỞ ĐẦU
1. Tên đề tài
Nghiên cứu ổn định phi tuyến của vỏ trụ NanoComposite chịu áp lực ngoài
2. Sự cần thiết của việc nghiên cứu
Ống nano carbon (Cacbor nanotube – CNT) là vật liệu nano carbon dạng ống

với đường kính ở kích thước nm , chiều dài từ vài nm đến µm. Với cấu trúc tinh thể
đặc biệt và các tính chất cơ học quý như: nhẹ, độ cứng lớn, tính dẫn điện, dẫn nhiệt tốt,
tính chất phát xạ điện từ mạnh,…, Carbon nanotube đang được nghiên cứu ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ. Đề tài dự kiến đánh giá sơ bộ
ảnh hưởng của CNT tới tải tới hạn tĩnh và ứng xử sau tới hạn của vỏ trụ Nano
Composite chịu tác dụng của áp lực ngoài.
3. Mục tiêu nghiên cứu
– Thiết lập các phương trình chủ đạo của bài toán vỏ trụ tròn Nano Composite
chịu áp lực ngoài.
– Lựa chọn dạng nghiệm của độ võng, áp dụng phương pháp Galerkin để giải hệ
phương trình chủ đạo nhận được.
– Khảo sát số để đánh giá hiệu quả của CNT lên tải tới hạn của vỏ trụ tròn
NanoComposite.
4. Nội dung nghiên cứu của đề tài
Đề tài thiết lập các phương trình chủ đạo cho bài toán vỏ trụ tròn Nano
Composite chịu áp lực ngoài. Đề xuất dạng nghiệm và giải hệ phương trình nhận được
bằng phương pháp Galerkin hoặc phương pháp năng lượng để nhận được hệ phương
trình đại số phi tuyến cân bằng. Giải hệ phương trình này để nhận được tải tới hạn và
đường cong sau mất ổn định của vỏ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển.
6. Kết quả đạt được
Đề tài dự kiến đánh giá sơ bộ ảnh hưởng của Cabon nanotube, các thông số hình
học, vật liệu lên tải tới hạn tĩnh và ứng xử sau tới hạn của vỏ trụ.


2
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN VỎ TRỤ NANO COMPOSITE
CHỊU ÁP LỰC NGOÀI
1.1. Vật liệu NanoComposite

Cacbon nanotubes (CNTs) được biết đến như một ứng cử viên tuyệt vời để củng
cố vật liệu composite do sở hữu các đặc tính đặc biệt về cơ học, nhiệt và điện của
Thostenson và các cộng sự (2002). Khi một ống nano cacbon được đưa vào một ma
trận polyme, nó cải thiện đáng kể tính chất cơ học của vật liệu nanocomposite như:
làm tăng độ bền kéo và độ cứng, trong khi tỷ lệ trọng lượng thấp hơn từ 3 đến 5 lần so
với vật liệu kim loại của Lau và cộng sự (2002), và Liew và các cộng sự (2015). Đó là
do cấu trúc của CNT được liên kết một cách độc đáo theo hướng dọc trục với một lớp
vật liệu nền, tạo thành vật liệu composite được gia cường bởi ống nano-cacbon
(CNTRCs). Sự khác biệt chính giữa vật liệu composite gia cường bằng sợi cacbon
thông thường và composite gia cường bằng ống nano-cacbon nằm ở chỗ vật liệu
composite gia cường bằng sợi cacbon thông thường có tỷ lệ sợi cacbon rất cao (thường
trên 60% tính theo thể tích), trong khi CNTRCs có tỷ lệ phần trăm CNT thấp hơn với
các đề tài của Bonnet P và các cộng sự (2007), Griebel và Hamaekers (2004),
Song và Youn (2006). Bởi vì với một kết cấu CNTRC có tỷ lệ CNT nhiều hơn có
thể dẫn đến sự suy giảm tính chất cơ học của chúng được tác giả Meguid SA và
Sun (2004). Như vậy, cái hay của vật liệu CNTRC nằm ở chỗ phát huy được các tính
chất cơ học của một kết cấu CNTRC chỉ với một hàm lượng phần trăm thấp của CNT
trong vật liệu composite. Khai thác ưu điểm này, Shen (2009) đã đề xuất áp dụng
CNTRC cho vật liệu cơ tính biến thiên (FG) nhằm phát huy khả năng chịu tải cơ và
nhiệt của kết cấu CNTRC. Vật liệu FG nanocomposite được thực hiện trong phòng thí
nghiệm đã được báo cáo bởi Kwon và các cộng sự (2011).
1.2. Tình hình nghiên cứu hiện nay
Để tiếp tục khám phá khả năng của FG-CNTRC trong việc tăng cường khả năng
chịu lực của cấu trúc, Shen (2011a, b, 2012, 2014), Shen và cộng sự (2010a, b, 2013)
đã nghiên cứu bài toán ổn định của dầm, tấm và vỏ trụ FG-CNTRC chịu tác dụng của
tải cơ và tải nhiệt. Theo xu hướng này, nhiều tác giả khác cũng đã tiến hành một loạt
các nghiên cứu về ổn định tĩnh và dao động của các kết cấu này, Jam và Kiani
(2015), Lei và các cộng sự (2013, 2015), Mayandi và Jeyaraj (2015), Mehrabadi
SJ và các cộng sự (2012), Rafiee M và các cộng sự và các cộng sự
(2013), Wattanasakulpong và cộng sự (2013), Wu và cộng sự (2014), Zhang và các

3
cộng sự (2015a, b). Với kết cấu panel trụ FG-CNTRC, một số nghiên cứu tiêu biểu về
bài toán ổn định và mất ổn định đã được công bố như: Zhang và các cộng sự (2014) đã
phân tích phi tuyến hình học biến dạng lớn của panel trụ FG-CNTRC chịu áp lực
ngoài và/hoặc tải trọng nén dọc trục bằng phương pháp năng lượng Ritz. Trong nghiên
cứu này, các đặc tính vật liệu của kết cấu được giả thiết biến thiên theo chiều dày và
được ước tính thông qua một mô hình liên tục tương đương dựa trên phương pháp tiếp
cận Eshelby – Mori – Tanaka. Liew và cộng sự (2014) đã tiến hành các nghiên cứu về
mất ổn định của các pannel trụ FG-CNTRC chịu nén dọc trục bằng cách sử dụng
phương pháp năng lượng Ritz dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (The First
Order Shear Deformation Theory – FSDT). Gần đây, dựa trên lý thuyết biến dạng trượt
bậc cao (Higher Order Shear Deformation Theory – HSDT), Shen và Xiang [23-25] đã
phân tích bài toán uốn phi tuyến, nén dọc trục và mất ổn định nhiệt của các panel trụ
FG-CNTRC nằm trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt. Cần lưu ý rằng đối với tất
cả các nghiên cứu nói trên, chỉ Shen và Xiang (2013, 2014a, b) là xem xét các đặc tính
hiệu dụng của vật liệu CNTRCs phụ thuộc vào nhiệt độ.
Đặc biệt, kết cấu vỏ trụ FG-CNTRC đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà
khoa học trong và ngoài nước với các công trình nghiên cứu đồ sộ. Yasin Heydarpour
và Parviz Malekzadeh (2018) nghiên cứu về ổn định động của vỏ trụ FG-CNTRC dưới
tác dụng của tải tĩnh và động kết hợp. R. Ansari và cộng sự (2019) đã khảo sát dao
động của vỏ trụ sandwich FG-CNTRC chịu nén dọc trục dựa trên lý thuyết biến dạng
trượt bậc cao. Nhóm tác giả Phạm Toàn Thắng và cộng sự (2019) đã nghiên cứu bài
toán ổn định tĩnh của vỏ trụ FG-CNTRC không hoàn hảo hình dáng ban đầu. Jiao và
cộng sự (2019) đã phân tích ổn định động của vỏ trụ FG-CNTRC chịu tác dụng của tải
trọng thay đổi theo thời gian
Trong nghiên cứu hiện tại, nhóm đề tài tập trung nghiên cứu sự mất ổn định của
vỏ trụ FG-CNTRC chịu tác dụng của áp lực ngoài. Các công thức cơ bản được thiết
lập dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển và liên hệ giữa biến dạng – chuyển vị có xét đến tính

phi tuyến hình học của Von Kármán. Bằng việc áp dụng phương pháp Galerkin nhận
được các phương trình chủ đạo để khảo sát ổn định tĩnh của vỏ. Ảnh hưởng của kích
thước hình học, sự phân bố tỷ phần thể tích CNT cũng được khảo sát chi tiết.


4
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
2.1. Mô hình kết cấu
Xem xét vỏ trụ nanocomposite có chiều dày h và bán kính cong R được gia
cường bằng liên kết carbon-nanotubes đơn vách (SWCNTs). Vỏ được đặt trong hệ trục
toạ độ Oxyz . Trong đó, gốc tọa độ nằm tại góc mặt phẳng giữa, các trục x và y lần
lượt theo phương dọc và phương vòng của vỏ; trục z

hướng theo bề dày của vỏ

(−h / 2 ≤ z ≤ h / 2) . Trong nghiên cứu này, SWCNTs được gia cường trong một ma trận
polymer đẳng hướng thông qua một phân phối đều thu được trường hợp UD hoặc phân
bố kiểu cơ tính biến thiên trong đó CNT biến đổi dọc theo hướng chiều dày theo ba
kiểu khác nhau tương ứng với FG-O và FG-X. Cấu trúc có lượng CNT tập trung nhiều
tại mặt giữa là loại FG-O và ngược lại cấu trúc tập trung nhiều CNT tại cả trên và dưới
là loại FG-X, như minh hoạ trong hình 2.1. Các tính chất hiệu dụng của vật liệu
composite được xác định bởi lý thuyết Mori-Tanaka hoặc quy tắc hỗn hợp tuyến tính.
Trong đó, quy tắc hỗn hợp tuyến tính là một quy tắc đơn giản và tiện dụng trong ứng
dụng để dự đoán các tính chất vật liệu tổng thể và đáp ứng của các kết cấu.

UD trực giao

FG-X trực giao

FG-O trực giao

Hình 2.1. Hình dạng của vỏ trụ tròn và các loại FG-CNTRC trực giao


5
Trong nghiên cứu này, quy tắc hỗn hợp mở rộng được sử dụng để tính toán mô
đun đàn hồi và mô đun trượt của các vỏ trụ FG-CNTRC:
CNT
E11 = η1VCNT E11
+ Vm E m

η2
V
V
= CNT
+ mm
CNT
E22 E22
E

(1)

η3 VCNT Vm
=
+
G12 G CNT G m
12
trong đó, E CNT , E CNT và G CNT lần lượt là các mô đun đàn hồi và mô đun trượt tương
11

22
12
ứng của vỏ cacbon-nanotube và có giá trị như sau:
CNT
E11
= (6.18387 − 0.00286T + 4.22867 × 10−6 T 2 − 2.2724 × 10 −9 T 3 ) TPa,
CNT
E22
= (7.75348 − 0.00358T + 5.30057 × 10−6 T 2 − 2.84868 × 10 −9 T 3 ) TPa,

(2)

CNT
G12
= (1.80126 + 7.7845 × 10−4 T − 1.1279 × 10−6 T 2 + 4.93484 × 10−10 T 3 ) TPa,

E m , G m là hệ số phụ thuộc vào dạng ma trận đẳng hướng
E m = (3.52 − 0.0034T ) GPa,
Em
G =
,
2(1 + ν m )
m

(3)

ν m = 0.34,
trong đó, T = 300 K.
Vì các yếu tố bề mặt tiếp xúc, biến dạng gradient, các ứng suất kết hợp giữa các
phần tử,… sự truyền tải giữa CNT và các pha là không hoàn hảo. Do đó, các hệ số η j

(j=1, 2, 3) được gọi là các thông số hiệu dụng của CNT, và được trình bày trên công
thức để xem xét các thuộc tính vật liệu phụ thuộc và kích thước. VCNT và Vm là các tỷ
phần thể tích của CNT và nền tương ứng và có quan hệ như sau:
VCNT + Vm = 1
Các tỷ phần thể tích CNT cho ba loại được giả định là:

(4)


6

VCNT


*
VCNT

4z *

= 2 −
VCNT
h

 z *
4 VCNT
 h

(UD)
( FG − O )

(5)

( FG − X )

trong đó
*
VCNT
=

ωCNT

ωCNT
+ (ρCNT / ρm )(1 − ωCNT )

(6)

ở đây ωCNT là phần khối lượng của CNT trong kết cấu CNTRC, và ρCNT và ρm lần
lượt là mật độ của CNT và nền. Cần lưu ý rằng, theo cách này, kết cấu CNTRC phân
bố đồng nhất (UD), và hai trường hợp kết cấu CNTRC cơ tính biến thiên (FG-O và
FG-X) có cùng giá trị khối lượng CNT.
Ứng với mỗi giá trị V *

CNT

ta lại có các bộ hệ số η j (j=1, 2, 3) tương ứng

*
*
VCNT
= 0.12 thì η1 = 0.137, η2 = 1.022; VCNT

= 0.17 thì η1 = 0.142, η2 = 1.626;
*
và VCNT
= 0.28 thì η1 = 0.141, η2 = 1.585; η3 : η2 = 0.7 :1,

tương tự, hệ số poison được xác định bởi:
*
CNT
ν12 = VCNT
ν12
+ Vmν m ,

ν 21 =

E22ν12
,
E11

(7)

CNT
trong đó ν12
và ν m tương ứng là hệ số poisson của CNT và nền.

2.2. Các phương trình cơ bản
Thành phần biến dạng tại một điểm bất kì thuộc vỏ trụ cách mặt trung bình một
khoảng z được viết dưới dạng:


7

 0
∂2w 
ε x − z 2 
∂x

ε x  
2
   0
∂ w 
 ε y  = ε y − z 2  ,
∂y
  

γ
 xy  
2 
 γ 0xy − 2 z ∂ w 
∂x∂y 


(8)

0
0
trong đó ε0x và ε y là các thành phần biến dạng của pháp tuyến, γ xy là thành phần biến

dạng trượt tại mặt trung bình.
Quan hệ biến dạng tại mặt trung bình và chuyển vị của vỏ trụ được biểu diễn bởi:
 ∂u 1  ∂w  2 ∂w


+
 + 

÷
∂x 2  ∂x 
∂x


0
ε x 

2
   ∂u w 1  ∂w  ∂w 
0
ε y  =  − + 
,
÷ +
∂y 
 0   ∂y R 2  ∂y 
 γ xy   ∂u ∂υ ∂w ∂w

+
+


 ∂y ∂x ∂x ∂y




(9)

với u = u ( x, y ), v = v( x, y ), w = w( x, y ) là các thành phần chuyển vị theo các trục x, y
và z tương ứng.
Phương trình tương thích biến dạng được rút ra từ biểu thức (9) như sau:
2

2 0
2 0
∂ 2ε0x ∂ ε y ∂ γ xy
1 ∂ 2w  ∂ 2w  ∂ 2w ∂ 2w
+
−
=
−
+
.
÷ − 2
∂x∂y
R ∂x 2  ∂x∂y 
∂y 2
∂x 2
∂x ∂y 2

(10)

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất cho vỏ CNTRC là:
σ x 
 Q11
 


σ y  = − Q12
 
Q16

σ xy 

Q12
Q 22
Q 26

Q16   ε x 
 
Q 26  ε y  ,
Q 66   γ xy 
 

trong đó Q ij = Qij (i, j = 1, 2, 6) .

(11)


8
Q11 =

E11
,
1 − ν12 ν 21

Q22 =

E22
,
1 − ν12 ν 21

(12)

ν E
Q12 = 21 11 ,
1 − ν12 ν 21
Q16 = Q26 = 0,

với E11 , E12 , G12 , ν12 , ν 21 , là các mô đun đàn hồi và hệ số poisson của FG-CNTRC
được trình bày trong phương trình (1) và phương trình (5).
Nội lực của vỏ trụ FG-CNTRC:

 N x   A11
N  
 y   A12
 N xy   0

 

=
 M x   B11
 M y  B

  12
 M xy   0

A12

0

B11

B12

A22

0

B12

B22

0

A66

0

0

B12

0

D11

D12

B12

0

D12

D 22

0

B66

0

0

ε0x

 0

εy


0


 γ0


0
  xy

2
B66   ∂ w 
 − 2  ,
0   ∂x 
2

0  − ∂ w 


 ∂y 2 
2 D66  
 ∂2w 
−

 ∂x∂y 

trong đó
( Aij , Bij , Dij ) =

∫

h /2

− h /2

(Qij )(1, z, z 2 ) dz ( i, j = 1, 2, 6 )

Từ biểu thức (13), nhận được liên hệ:

(13)


9

*
*
ε0x   A22
− A12
  
0
*
*
ε y  = − A12 A11
 0  
0
 γ xy   0

0

*
B11

*
B12

0

*
B21

*
B22

0

0

*
A66

Nx 
N 
 y 
N 
 xy 

0
 2 
  ∂ w 
0   ∂x 2  ,

*  2
2 B66
  ∂ w 
 ∂y 2 
 2 
∂ w

 ∂x∂y 



(14)

Nx

N

 y

N

 xy 
0  2 
∂ w
  − 2 
0   ∂x  ,

* 
2
2 D66
  − ∂ w 
 ∂y 2 
 2 
 ∂ w
− ∂x∂y 



(15)

Thay (14) vào (13), dẫn tới:

*
 M x   B11

 
*
 M y  =  B12

 
0
 M xy  

*
B21

0

*
D11

*
D12

*
B22

0

*
D21

*
D22

0

*
B66
0

0

*
*
*
trong đó các hệ số Aij , Bij , Dij được xác định trong phụ lục A.

Hệ phương trình cân bằng viết theo nội lực dựa trên lý thuyết vỏ Donnell được
biểu diễn như sau:
∂N x ∂N xy
+
= 0,
∂x
∂y
∂N xy ∂N y
+

= 0,
∂x
∂y

(16)

∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
∂2w
∂2w
∂2w N y
+
2
+
+
N
+
2
N
+
N
+
+ qo = 0.
x
xy
y
∂x∂y
∂x∂y
R
∂x 2

∂y 2
∂x 2
∂y 2
Hai phương trình đầu của (16) được thỏa mãn nếu đưa vào hàm ứng suất ϕ thỏa
mãn điều kiện:


10
Nx =

∂ 2ϕ
,
∂y 2

Ny =

∂ 2ϕ
,
∂x 2

N xy = −

∂ 2ϕ
.
∂x∂y

(17)

Thay (14) vào phương trình tương thích biến dạng (10) và (15) vào phương trình
thứ ba của hệ (16), trong đó có xem xét tới các liên hệ (9) và (17), nhận được hệ hai

phương trình hai ẩn theo hàm độ võng và hàm ứng suất:
*
A11

4
4
∂ 4ϕ
∂ 4ϕ
*
*
* ∂ ϕ
* ∂ w
+
(
A
−
2
A
)
+
A
+
B
+
66
12
22
21
∂x 4
∂x 2∂y 2

∂y 4
∂x 4
*
*
*
+ ( B11
+ B22
− 2 B66
)

4
∂4w
* ∂ w
+
B
+
12
∂x 2∂y 2
∂y 4

(18)

2

1 ∂2w  ∂2w  ∂2w ∂2w
+
−
= 0.
÷ + 2
R ∂x 2  ∂x∂y 

∂x ∂y 2
*
D11

−

(

4
4
∂4w
∂ 4w
*
*
*
* ∂ w
* ∂ ϕ
+
D
+
D
+
4
D
+
D
−
B
−
12

21
66
22
21
∂x 4
∂x 2∂y 2
∂y 4
∂x 4

*
B11

(

+

*
B22

)

*
− 2 B66

)

4
2
2
∂ 4ϕ

∂ 2ϕ ∂ 2 w
* ∂ ϕ ∂ ϕ∂ w
− B12 4 − 2 2 + 2
−
∂x∂y ∂x∂y
∂x 2 y 2
∂y
∂y ∂x

(19)

∂ 2ϕ ∂ 2 w 1 ∂ 2ϕ
− 2 2 −
− q0 = 0.
R ∂x 2
∂x ∂y
(17)
2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải
Xét vỏ trụ NanoComposite có các cạnh được đặt tựa đơn, chịu áp lực ngoài phân
bố đều qo trên toàn diện tích bề mặt vỏ:
w = 0, M x = 0, N x = 0, N xy = 0, tại x = 0; L.

(20)

Chọn dạng nghiệm của độ võng như sau:
w = f 0 + f1 sin

mπx
ny
mπx

sin + f 2 sin 2
,
L
R
L

(21)

trong đó m, n là số nửa bước sóng theo các phương dọc và vòng tương ứng.
Thế dạng nghiệm độ võng (21) vào phương trình (18) và giải, nhận được biểu
thức của hàm ứng suất ϕ như sau:


11
ϕ = ϕ1 cos

2mπx
2ny
mπx
ny
+ ϕ2 cos
− ϕ3 sin
sin +
L
R
L
R
3mπx
ny
x2

+ ϕ4 sin
sin − σ0 y h ,
L
R
2

(22)

trong đó các hệ số ϕi được xác định trong phụ lục B.
Thế phương trình (21), (22) vào phương trình (19) và áp dụng phương pháp
Glalerkin, nhận được:
σ0 y h = Rq0 ,

(23)


 m 4 π4 n 4 λ 4  3
B2 
+
f +
D+
÷ f1 + 
*
* ÷ 1
A

 16 A22 16 A11 
*

2 2 2 2

n 2λ 2 λL − 4 B21
m 2 π2 
2
Bm
n
π
λ
 f1 f 2 +
+
−
*

A

4 A11


4
4
4
4
4
4
4
4
m n π λ
m n πλ 
2
2 2 2
+

+
÷ f1 f 2 − σ0 y hn L λ f1 = 0,
A
G



(

)

(24)

4
2
2
2
 
1  mπ   n 2λ 2
1 B  mπ   n   2
*  mπ 
+
  4 B21 
÷ − 
÷

÷  ÷  f1 +
* 2 2
L
R

L
2
A
L
16
A
m
π





  R  
11
 

2

2

1
 mπ   n   1 1  2
+ m 2 n 2 π2λ 2 
÷  ÷  − ÷ f1 f 2 +
2
 L  R  A G
4 
4
2

*

1  mπ   λL − 4 B21
m 2 π2 
*  mπ 
*  mπ 
+ 4 D11 
 f2 +
÷ −  4 B21 
÷ − 
÷
* 2 2
L
L
R
L
4
A
m
π








11





+

σ0 y h
R

(25)

− q0 = 0.

trong đó A, B, C , D được xác định trong phụ lục B.
Xét điều kiện chu vi kín như sau:
2 πR L

∫∫
0 0

∂υ
dxdy =
∂y

2 πR L

2

w 1  ∂w  
0
ε y + − 

÷ dxdy = 0.
R 2  ∂y  


0

∫∫
0

(26)

Khử σ0 y trong các phương trình (23)-(25) và kết hợp điều kiện chu vi kín (26),
dẫn tới:


12
H11 + H12 f 0 + H13 f12 + H14 f 2 + H15 f 22 − H17 q0 = 0,

(27)

H 21 f12 + H 22 f12 f 2 + H 23 f 2 = 0,

(28)

H 31 ( f 2 + 2 f 0 ) − H 32 f12 − H 33q0 = 0,

(29)

trong đó các hệ số H ij được xác định trong các phụ lục C.
Thế f 0 và f1 từ phương trình (27) và (29) vào phương trình (28) nhận được:

q0 =

H11 −

H12 H 32 H 23 f 2
1
H 23 f 2
− H12 f 2 − H13
+ H14 f 2 + H15 f 22
2 H 31 ( H 21 + H 22 f 2 )
2
H 21 + H 22 f 2
.
H12 H 33
H17 −
2 H 31
(30)

Từ phương trình (30), bằng cách cho f 2 = 0 , tải áp lực ngoài vồng cận trên của
vỏ trụ tròn là:
q0upper =

H11
.
H12 H 33
H17 −
2 H 31

(31)

Từ phương trình (21), độ võng lớn nhất phụ thuộc vào thời gian của vỏ nhận
được:
Wmax = f 0 + f1 + f 2
tại x =

(32)

iL
j πR
, y=
, trong đó i, j là các số nguyên dương lẻ.
2m
2n

Thế f 0 và f1 từ phương trình (28) và (29) vào phương trình (32) nhận được:
−

Wmax = −



H 32 H 23 f 2
H
1
H 23 f 2
+ 33 q0 + f 2 +  −
÷
2 H 31 ( H 21 + H 22 f 2 ) 2 H 31
2

 H 21 + H 22 f 2 

1
2

(33)


13
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
3.1. Kết quả so sánh
Để chứng minh cho tính chính xác của phương pháp này, bảng 1 so sánh tải trọng
áp lực ngoài q0 (kPa ) của vỏ trụ tròn FG-CNTRC với kết quả của Shen [20]. Các tham
*
= 0.17. Các kết quả thu
số đầu vào được lấy như sau: R / h = 30, h = 2 mm, VCNT

được từ bảng 3.1 cho thấy sự phù hợp tốt của kết quả đề tài với kết quả nghiên cứu
trước của Shen [20].
Bảng 3.1: So sánh giá trị tải trọng áp lực ngoài q0 (kPa ) của vỏ trụ tròn FGCNTRC
L2 / ( Rh) = 100
L2 / ( Rh) = 300
L2 / ( Rh) = 500
Loại CNT
Shen[20]
Đề tài
Shen[20]
Đề tài
Shen[20]
Đề tài

UD

776.63

792.16

433.04

441.7

343.81

350.69

FG-X

927.40

945.95

448.05

457.01

382.59

390.24

3.2. Phân tích ổn định phi tuyến
3.2.1. Thay đổi cấu trúc hình học của CNTRC

Bảng 3.2: Tải tới hạn áp lực ngoài của vỏ trụ FG-CNTRC trực giao với các tỷ
phần thể tích CNT khác nhau q0 ( MPa ) , (h = 0.01m, R = 0.5m, L = 1.5m)
*
VCNT

FG-O

UD

FG-X

0.12

0.466

0.707

1.08

0.17

0.705

1.15

1.60

0.28

1.92

1.75

2.48

Bảng 3.2 khảo sát ảnh hưởng của tỷ phần thể tích CNT lên khả năng chịu tải tới
hạn áp lực ngoài của vỏ trụ FG-CNTRC trực giao với ba mô hình vật liệu khác nhau.
Kết quả thu được cho thấy, với dạng FG-X CNTRC, tải tới hạn áp lực ngoài của vỏ trụ
là lớn nhất dù tỷ phần thể tích thay đổi, trong khi giá trị tải tới hạn áp lực ngoài nhỏ
nhất thuộc về dạng FG-O CNTRC. Mặt khác, khi xét đến ảnh hưởng của tỷ phần thể
*
tích CNT, rõ ràng, với tỷ phần thể tích CNT VCNT = 0.28 , giá trị tải tới hạn áp lực ngoài

*
đạt được là lớn nhất và giá trị này nhỏ nhất với VCNT = 0.12 .

Hình (3.1 - 3.3) mô tả các đường cong tải trọng – độ võng của vỏ trụ tròn FG*
*
= 0.12, VCNT
= 0.17,
CNTRC trực giao chịu tác dụng của áp lực ngoài với VCNT


14
*
VCNT
= 0.28 . Từ các hình vẽ có thể thấy, tuy thể tích CNT thay đổi, đường cong sau

mất ổn định của dạng FG-X CNTRC vẫn đạt giá trị cao nhất, sau đó đến dạng UD
CNTRC, trong khi dạng FG-O CNTRC có giá trị thấp nhất. Điều này có nghĩa là khả

năng chịu áp lực ngoài của dạng FG-X CNTRC tốt hơn so với các dạng FG-CNTRC
còn lại. Ngoài ra, khi độ võng phi tuyến phụ thuộc vào thời gian nhỏ, kết cấu có thể
chịu được tải trọng lớn hơn, có thể duy trì làm việc trong thời gian lâu hơn; đồng thời
đảm bảo kết cấu không bị biến dạng hóp khi chịu áp lực ngoài.

Hình 3.1. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*
VCNT
= 0.12


15
Hình 3.2. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*
VCNT
= 0.17

Hình 3.3. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với các loại FG-CNTRC khi
*
VCNT
= 0.28
3.2.2. Thay đổi tỷ phần thể tích CNT
Hình (3.4 – 3.6) cho thấy ảnh hưởng của tỷ phần thể tích CNT lên đường cong áp
lực ngoài – độ võng của kết cấu với các dạng vật liệu lần lượt là FG-O CNTRC, UDCNTRC, FG-X CNTRC. Các tham số hình học của vỏ được lấy như sau:
h = 0.01m, R = 0.5m, L = 1.5m. Các giá trị CNT được thay đổi lần lượt là
*
*
VCNT
= ( 0.12; 0.17; 0.28 ) . Kết quả thu được với VCNT
= 0.28 , vỏ trụ với cả ba loại kết

*
= 0.12 khả
cấu vật liệu đều có khả năng chịu áp lực ngoài là tốt nhất còn với VCNT

năng chịu tải kém nhất. Biến dạng hóp của vỏ cũng được tính tới trong các hình (3.43.6) và ở đây giá trị tỷ phần thể tích luôn đảm bảo mức độ an toàn cao nhất trong các
dạng kết cấu FG-CNTRC trực giao.


16

Hình 3.4. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-O CNTRC

Hình 3.5. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn UD-CNTRC


17
Hình 3.6. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi thể tích CNT thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-X CNTRC
3.2.3. Thay đổi bán kính cong R
Bảng 3.3 cho thấy ảnh hưởng của bán kính cong R của vỏ trụ lên tải tới hạn áp
lực ngoài các loại vỏ trụ FG-CNTRC. Rõ ràng, kết cấu vỏ trụ với cả ba mô hình vật
liệu được khảo sát đều có tải tới hạn áp lực ngoài giảm khi bán kính cong của vỏ tăng.
Tại bán kính cong R=0.5m chịu được áp lực ngoài lớn hơn rất nhiều khi bán kính tăng
gấp 2 và 4 lần.
Bảng 3.3: Tải tới hạn áp lực ngoài của vỏ trụ FG-CNTRC trực giao với các bán
*
= 0.28 .

kính vỏ khác nhau, VCNT
R(m)
FG-O
UD
FG-X
0.5
1.02
1.75
2.48
1
0.361
0.584
0.747
2
0.128
0.199
0.262
Tương tự như đối với kết quả thu được trong bảng 3.3, hình (3.7 – 3.9) cũng chỉ
ra rằng, khi bán kính cong tăng lên R=(0.5m;1m;2m) làm cho đường cong sau mất ổn
định áp lực ngoài – độ võng của vỏ FG-O CNTRC, UD-CNTRC, FG-X CNTRC thấp
hơn. Cụ thể, đường cong sau mất ổn định cao nhất vẫn là tại bán kính cong R=0.5m và
với R=2m, đường cong này ở vị trí thấp nhất. Ngoài ra, quan sát trên các hình này ta
thấy, khi bán kính lớn thì đường cong tải áp lực ngoài – độ võng trở nên ổn định hơn,
tức là giá trị áp lực ngoài không bị giảm nhiều khi độ võng tăng lên mà chỉ giảm nhẹ
sau đó có xu hướng tăng nhanh, hiện tượng hóp của vỏ xảy ra yếu hơn so với khi bán
kính nhỏ.


18
Hình 3.7. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi bán kính cong thay đổi với vỏ

trụ tròn FG-O CNTRC

Hình 3.8. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi bán kính cong thay đổi với vỏ
trụ tròn UD-CNTRC

Hình 3.9. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng với bán kính cong thay đổi với vỏ
trụ tròn FG-X CNTRC
3.2.4. Thay đổi mode
Hình 3.10 khảo sát ảnh hưởng của mode vồng lên đường cong tải áp lực ngoài –
*
độ võng của vỏ trụ tròn FG-X CNTRC với tỷ phần thể tích VCNT
= 0.28 . FG-X

CNTRC được biết như là dạng tối ưu nhất của FG-CNTRC trực giao. Và tỷ phần thể
*
tích VCNT
= 0.28 cũng đạt giá trị cao nhất so với các loại tỷ phần thể tích CNT hiện có

trên thế giới. Khi thay đổi mode vồng, kết quả đường cong sẽ đạt được các giá trị khác
nhau và sẽ giảm sự nguy hiểm đối với từng kết cấu. Qua kết quả thu được ta có thể
thấy được rằng khi mode vồng theo hướng vòng n tăng, kết cấu sẽ trở nên chắc chắn


19
hơn. Biến dạng co hóp do độ võng phi tuyến ảnh hưởng theo thời gian sẽ được cải
thiện rõ rệt. Độ võng có giá trị nhỏ sẽ giúp cho kết cấu thêm hoàn hảo để có thể làm
việc hiệu quả.

Hình 3.10. Mối quan hệ giữa áp lực ngoài – độ võng khi mode thay đổi

20
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Đề tài đã thu được một số kết quả mới sau đây:
1.Đã góp phần phát triển vật liệu NanoComposite chịu cường độ cao.
2.Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell, tính phi tuyến hình học của Von - Kármán, đã
thiết lập phương trình chủ đạo của các bài ổn định tĩnh phi tuyến của dạng kết cấu vỏ
trụ NanoComposite.
3.Đặt bài toán theo hàm ứng suất và phương pháp Galerkin được thực hiện trên
toàn diện tích bề mặt vỏ đã phân tích phi tuyến ổn định tĩnh của vỏ. Độ võng được
chọn dưới dạng nghiệm ba số hạng kết hợp với điều kiện chu vi kín.
4.Đã khảo sát ảnh hưởng của kích thước hình học, sự phân bố tỷ phần thể tích
CNT. Từ đó đưa ra một số nhận xét có ý nghĩa, áp dụng trong thực tế kỹ thuật.