Cuc tri cua bieu thuc bac hai

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********** **********
Đề tài
phơng pháp tìm cực trị của vài dạng biểu thức
ở trờng Thcs
Hà tĩnh, ngày 15 tháng 12 năm 2008
1
Mục lục


Nội dung trang
A Phần mở đầu 1
I - Đặt vấn đề 1
II Mục đích nghiên cứu 2
III - Đối tợng nghiên cứu 2
VI Nhiệm vụ nghiên cứu 2
V - Phơng pháp nghiên cứu 3
B Phần nội dung 3
I Cơ sở thực tiển 3
II Nội dung 3 12
III Kết quả thu đợc 12
C Kết luận kiến nghị 13
A. phần mở đầu.
I.đặt vấn đề:
-trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển vào lớp 10
thờng có những bài tập tìm cực trị của biểu thức. đây là dạng toán tơng đối
khó đối với học sinh, các em thờng e ngại khi tiếp xúc với dạng toán này,
thậm chí kể cả giáo viên nhiều khi cũng dè dặt không muốn đi sâu thêm khi
gặp dạng toán tìm cực trị. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh
giỏi, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta biết phân loại từng dạng bài tập và định
hớng cho các em cách giải thì các em sẽ chủ động hơn trong việc giải dạng

toán này qua đó giúp học sinh rèn luyện kỹ thuật giải bài toán tìm cực trị của
biểu thức và những ứng dụng của nó. Bởi vậy, ngời thầy giáo cần phân loại
và trang bị cho học sinh phơng pháp giải dạng toán này. Trong những năm
thực tế giảng dạy HS tôi nhận thấy rằng cần thiết phải hình thành một cách
có hệ thống các dạng toán cực trị và phơng pháp giải để truyền thụ kiến thức
cho HS.Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp,
tìm tòi thử nghiệm với học sinh đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Vì vậy
tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu phơng pháp tìm cực trị của vài dạng
biểu thức ở trờng THCS.
II.mục đích nghiên cứu
Giúp HS nắm đợc một số phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức bậc
hai thờng gặp trong trờng THCS nhằm nâng cao kỹ thuật giải dạng toán
trên, từ đó làm công cụ phục vụ tốt cho việc giảng dạy và bồi dỡng HS, gạt
bỏ dần t tởng e ngại của HS khi gặp bài toán cực trị.
2
III. Đối tợng nghiên cứu
1. Đối tợng: phơng pháp tìm cực trị của vài dạng biểu thức ở trờng
THCS
2. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu thực trạng giải bài toán cực trị của biểu
thức của học sinh trờng THCS.
IV. nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lý luận, phơng pháp giải một số dạng toán cực trị của
biểu thức ở trờng THCS.
áp dụng cho học sinh khá, giỏi, ôn thi vào THPT.
V. phơng pháp nghiên cứu.
- Quan sát s phạm
- Điều tra giáo dục
- Nghiên cứu tài liệu
- Thực nghiệm s phạm
- Trắc nghiệm, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp

- Thống kê, tổng hợp.
B. phần nội dung
I. Cơ sở thực tiển.
Tôi đã tiến hành điều tra s phạm về phản ứng của học sinh khi đợc hỏi về
bài toán cức trị của biểu thức bậc hai ở 3 lớp 9A, 9E, 9G và thu đợc kết quả
nh sau:

Lớp
Kết quả nghiên cứu
Không biết
cách làm
E ngại và không định hớng đ-
ợc phơng pháp giải
Định hớng và có
phơng pháp giải
9A 30 % 50% 20%
9E 43 % 46% 11%
9G 48% 40% 12%
Nhìn vào bảng số liệu ta thấy hầu hết các em đều e ngại hoặc không biết
cách giải bài toán cực trị của biểu thức bậc hai nói riêng và các dạng cực trị
khác nói chung.
II. nội dung
Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức dạng:
F(x) = ax
2
+ bx + c. (a

0)
3
Cách giải: - Ta đa về dạng:

F(x) = a[(x
2
+
a
b
x +
a
b
4
2
) -
2
2
4a
b
+ c] = a(x +
a
b
2
)
2
+
a
acb
4
)4(
2

+ Nếu a > 0 thì GTNN[F(x)] =
a

acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2

+ Nếu a < 0 thì GTLN[F(x)] =
a
acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2

Dạng2: Tím cực trị của biểu thức dạng:
F(x,y) = ax
2
+by

2
+cxy + dx + ey + h (a.b.c

0) (1)
Cách giải:
Đa dần các biến vào trong hằng đẳng thức
a
2


2ab + b
2
= (a

b)
2
nh sau:
F(x,y) = mK[x,y]
2
+ nG[y]
2
+ r (2)
hoặc F(x,y) = mK[x,y]
2
+ nH[x]
2
+ r (3)
Trong đó: G[y] , H[x]

là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K[x,y] = px +

qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) nh sau với a

0 và 4ac b
2


0:
4a.F(x,y) = 4a
2
x
2
+ 4abxy + 4acy
2
+ 4adx + 4aey + 4ah = 4a
2
x
2
+ b
2
y
2
+ d
2
+
4abxy + 4adx + 2bdy + (4ac b
2
)y
2

+ 2y(2ae bd) + 4ah d
2
=
= (2ax + by + d)
2
+ (4ac b
2
)(y +
2
4
2
bac
bdae


)
2
+ 4ah d
2
- (
2
4
2
bac
bdae


)
2

Vậy có (2) với m =
a4
1
, F(x,y) = 2ax + by + d, n = -
a
acb
4
4
2

;
G(y) = y +
2
4
2
bac
bdae


; r = h -
a
d
4
2
-
)4(4
)2(
2
2
baca

bdae



+ Nếu a > 0 và 4ac b
2
> 0 thì m > 0 và n > 0, từ (2) có F(x,y)

r (*)
+ Nếu a < 0 và 4ac b
2
> 0 thì m < 0 và n < 0, từ (2) có F(x,y)

r (**)
+ Nếu m > 0 , n > 0 thì ta tìm đợc GTNN
+ Nếu m < 0 , n < 0 thì ta tìm đợc GTLN
Dể thấy rằng luôn tồn tại (x, y) để có dấu đẳng thức. Nh thế ta sẽ tìm đợc
cực trị của đa thức đã cho.
Trong cả hai trờng hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phơng trình F(x, y) = 0 có nghiệm.
- Nếu F(x, y)

r > 0( hoặc F(x, y)

r < 0) thì không có (x, y) nào
thỏa mản F(x, y) = 0.
+ Nếu a > 0, 4ac b
2
< 0 và r = 0 thì theo (2) F(x, y) phân tích đợc tích của
hai nhân tử, giúp ta giải đợc các bài toán khác.

Cách biến đổi này có đờng lối cụ thể, mục tiêu xác định, nên biến đổi
nhanh, kết quả biến đổi là duy nhất, do đó phạm vi áp dụng rộng rải.
Dạng3: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện:
4
a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Q= ax
2
+by
2
+cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
U= Ax + By + C (2)
*cách giải:
- cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= -
B
A
x-
B
C
-
B
U
Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số
Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0.
- Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m
2
U
2
+ nU + k + [f(x)]
2

= 0.(*)
Do Q= 0 và [f(x)]
2

0 => m
2
U
2
+ nU + k

0 U
1

U

U
2
=>{MinU=U
1
;maxU=U
2
}
* Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p
2
(x-a)
2
+ q
2
(y-b)
2

- r
2
=0
- Cách 1: Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki
- Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx |

22
ba
+
(lợng giác)
Dạng 4: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức:
ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2


0)
Tìm cực trị của biểu thức: T = p
2
(x - m)
2
+ q
2
(y - n)
2
- r
2
Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:

Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1.
Cách2:
Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski
Bài tập áp dụng:
Dạng1:
Bài tập 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, A = x
2
x + 1
b, B =
2
3
x
2
+ 3x +
4
5
c, C =
2
2
20082
x
xx
+
(x

0)
d, D = (x + 1)
2
+ (x - 3)

2
Lời giải:
a, Ta có A = x
2
2x
2
1
+
4
1
+
4
3
= (x -
2
1
)
2
+
4
3


4
3
( Do (x -
2
1
)
2

0)
Do đó : GTNN(A) =
4
3
khi và chỉ khi x =
2
1
b,Ta có: B =
2
3
(x
2
+ 2x + 1 -
6
1
) =
2
3
(x + 1)
2
-
4
1


-
4

1
5