cuc tri cua bieu thuc bac hai

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********** **********
Đề tài
vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai
ở trờng Thcs
Hà tĩnh, ngày 15 tháng 12 năm 2008
1
Mục lục


Nội dung trang
A Phần mở đầu 1
I - Đặt vấn đề 1
II Mục đích nghiên cứu 2
III - Đối tợng nghiên cứu 2
IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2
V - Phơng pháp nghiên cứu 3
B Phần nội dung 3
I Cơ sở thực tiển 3
II Nội dung 3 12
III Kết quả thu đợc 12
C Kết luận kiến nghị 13
A. phần mở đầu.
I.đặt vấn đề:
-trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi tuyển vào lớp 10
thờng có những bài tập tìm cực trị của biểu thức bậc hai. đây là dạng toán t-
ơng đối khó đối với học sinh, các em thờng e ngại khi tiếp xúc với dạng toán
này, thậm chí kể cả giáo viên nhiều khi cũng dè dặt không muốn đi sâu thêm
khi gặp dạng toán tìm cực trị. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học
sinh giỏi, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta biết phân loại từng dạng bài tập và
định hớng cho các em cách giải thì các em sẽ chủ động hơn trong việc giải

dạng toán này qua đó giúp học sinh rèn luyện kỹ thuật giải bài toán tìm cực
trị của biểu thức và những ứng dụng của nó trong một vài trờng hợp. Bởi vậy,
ngời thầy giáo cần phân loại và trang bị cho học sinh phơng pháp giải dạng
toán này. Trong những năm thực tế giảng dạy HS tôi nhận thấy rằng cần
thiết phải hình thành một cách có hệ thống các dạng toán cực trị và phơng
pháp giải để truyền thụ kiến thức cho HS. Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên
cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với học sinh đặc biệt là
các em học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu nêu lên Vài
phơng pháp tìm cực trị của biểu thức bậc hai ở trờng THCS.
II.mục đích nghiên cứu
Giúp HS nắm đợc một số phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức bậc
hai một ẩn hoặc hai ẩn thờng gặp trong trờng THCS nhằm nâng cao kỹ thuật
giải dạng toán trên, từ đó làm công cụ phục vụ tốt cho việc giảng dạy và bồi
dỡng HS, gạt bỏ dần t tởng e ngại của HS khi gặp bài toán cực trị.
2
III. Đối tợng nghiên cứu
1. Đối tợng: Vài phơng pháp tìm cực trị của biểu thức biểu thức bậc hai
ở trờng THCS
2. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu thực trạng giải bài toán cực trị của biểu
thức bậc hai của học sinh THCS.
IV. nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng cơ sở lý luận, phơng pháp giải một số dạng toán cực trị của
biểu thức bậc hai ở trờng THCS.
- áp dụng cho học sinh khá, giỏi, ôn thi vào THPT.
V. phơng pháp nghiên cứu.
- Quan sát s phạm
- Điều tra giáo dục
- Nghiên cứu tài liệu
- Thực nghiệm s phạm
- Trắc nghiệm, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp

- Thống kê, tổng hợp.
B. phần nội dung
I. Cơ sở thực tiển.
Tôi đã tiến hành điều tra s phạm về phản ứng của học sinh khi đợc hỏi về
bài toán cức trị của biểu thức bậc hai ở lớp 9A và thu đợc kết quả nh sau:

Lớp
Kết quả nghiên cứu
Không biết
cách làm
E ngại và không định hớng đ-
ợc phơng pháp giải
Định hớng và có
phơng pháp giải
9A 30 % 50% 20%
Nhìn vào bảng số liệu ta thấy hầu hết các em đều e ngại hoặc không biết
cách giải bài toán cực trị của biểu thức bậc hai nói riêng và các dạng cực trị
khác nói chung.
II. nội dung
Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức dạng:
F(x) = ax
2
+ bx + c. (a

0)
Cách giải: - Ta đa về dạng:
F(x) = a[(x
2
+
a

b
x +
a
b
4
2
) -
2
2
4a
b
+
c
a
] = a(x +
a
b
2
)
2
+
a
acb
4
)4(
2

3
+ Nếu a > 0 thì GTNN[F(x)] =
a

acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2

+ Nếu a < 0 thì GTLN[F(x)] =
a
acb
4
)4(
2



x = -
a
b
2


Dạng2: Tím cực trị của biểu thức dạng:
F(x,y) = ax
2

+by
2
+cxy + dx + ey + h (a.b.c

0) (1)
Cách giải:
Cách1: Đa dần các biến vào trong hằng đẳng thức
a
2


2ab + b
2
= (a

b)
2
nh sau:
F(x,y) = mK[x,y]
2
+ nG[y]
2
+ r (2)
hoặc F(x,y) = mK[x,y]
2
+ nH[x]
2
+ r (3)
Trong đó: G[y] , H[x]

là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K[x,y] = px +
qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) nh sau với a

0 và 4ac b
2


0:
4a.F(x,y) = 4a
2
x
2
+ 4abxy + 4acy
2
+ 4adx + 4aey + 4ah = 4a
2
x
2
+ b
2
y
2
+ d
2
+
4abxy + 4adx + 2bdy + (4ac b
2
)y

2
+ 2y(2ae bd) + 4ah d
2
=
= (2ax + by + d)
2
+ (4ac b
2
)(y +
2
4
2
bac
bdae


)
2
+ 4ah d
2
- (
2
4
2
bac
bdae


)
2

Vậy có (2) với m =
a4
1
, F(x,y) = 2ax + by + d, n = -
a
acb
4
4
2

;
G(y) = y +
2
4
2
bac
bdae


; r = h -
a
d
4
2
-
)4(4
)2(
2
2

baca
bdae



+ Nếu a > 0 và 4ac b
2
> 0 thì m > 0 và n > 0, từ (2) có F(x,y)

r (*)
+ Nếu a < 0 và 4ac b
2
> 0 thì m < 0 và n < 0, từ (2) có F(x,y)

r (**)
+ Nếu m > 0 , n > 0 thì ta tìm đợc GTNN
+ Nếu m < 0 , n < 0 thì ta tìm đợc GTLN
Dể thấy rằng luôn tồn tại (x, y) để có dấu đẳng thức. Nh thế ta sẽ tìm đợc
cực trị của đa thức đã cho.
Trong cả hai trờng hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phơng trình F(x, y) = 0 có nghiệm.
- Nếu F(x, y)

r > 0( hoặc F(x, y)

r < 0) thì không có (x, y) nào
thỏa mản F(x, y) = 0.
+ Nếu a > 0, 4ac b
2
< 0 và r = 0 thì theo (2) F(x, y) phân tích đợc tích của

hai nhân tử, giúp ta giải đợc các bài toán khác.
Cách biến đổi này có đờng lối cụ thể, mục tiêu xác định, nên biến đổi
nhanh, kết quả biến đổi là duy nhất, do đó phạm vi áp dụng rộng rải.
Cách2: Đa các biến vào bình phơng của tổng dựa vào công thức:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac
Dạng3: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện:
a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
4
Q= ax
2
+by
2
+cxy + dx + ey + f = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
U= Ax + By + C (2)
*c ách giải:
- cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= -
B
A
x-
B
C

-
B
U
Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số
Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0.
- Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m
2
U
2
+ nU + k + [f(x)]
2
= 0.(*)
Do Q= 0 và [f(x)]
2

0 => m
2
U
2
+ nU + k

0 U
1

U

U
2
=>{MinU=U
1

;maxU=U
2
}
* Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p
2
(x-a)
2
+ q
2
(y-b)
2
- r
2
=0
- Cách 1 : Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki
- Cách 2 : Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx |

22
ba
+
(lợng giác)
Dạng 4: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức:
ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2


0)
Tìm cực trị của biểu thức: T = p

2
(x - m)
2
+ q
2
(y - n)
2
- r
2
Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1.
Cách2:
Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski
Bài tập áp dụng:
Dạng1:
Bài tập 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, A = x
2
x + 1
b, B =
2
3
x
2
+ 3x +
4
5
c, C = (x + 1)
2

+ (x - 3)
2
Lời giải:
a, Ta có A = x
2
2x
2
1
+
4
1
+
4
3
= (x -
2
1
)
2
+
4
3


4
3
( Do (x -
2
1
)

2



0)
Do đó : GTNN(A) =
4
3
khi và chỉ khi x =
2
1
b,Ta có: B =
2
3
(x
2
+ 2x + 1 -
6
1
) =
2
3
(x + 1)
2
-
4
1


-

4
1
(Do
2
3
(x + 1)
2


0 )
5