Chuyen de_Tich vo huong cua hai vecto

Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ
Giá trị lợng giác của một góc bất kỳ
Bài 1 :
Chứng minh rằng với mọi góc

bất kỳ từ
0
0
đến
0
180 ta luôn có
2 2
sin cos 1x x+ =
Bài 2 :
Cho biểu thức

4cos 5sin
cos sin
P


+
=
+
a.Với giá trị nào của góc

thì biểu thức không xác định
b. Tìm giá trị của P biết tan 2

=
Bài 3 :

Tính giá trị các biểu thức sau

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
. cos 0 cos 20 cos 40 ...cos160 cos180
. tan 5 tan10 tan15 ...tan 80 .tan 85
a A
b B
= + + + + +
=

0 0 0 0 0 0
. cos1 .cos 2 .cos3 ...cos178 .cos179 .cos180c C =
Bài 4 : Tìm
. sina x
khi biết
1
cos
3
x =
. cosb x
khi biết
sin 0,3x =
. cosc x
và
sin x
khi
2
sin cos
3

x x =
Bài 5 :
a. Chứng minh rằng với mọi góc

khác 90
0
, ta có
2
2
1
1 tan
cos


+ =
b. Chứng minh rằng với mọi góc
0
0


và
0
180


, ta có
2
2
1
1 cot

sin


+ =
Bài 6 :
Cho
3 2
sin
2


=
(
0 0
0 90

< <
). Tính
tan

Bài 7 :
Cho
2 1
sin cos
2
x x
+
+ =
Tính :

4 4
6 6
. sin .cos
. sin cos
. sin cos
a x x
b x x
c x x
+
+
Bài 8 :
Biết
tan cot m

+ =
Tìm :

2 2
4 4
6 6
. tan cot
. tan cot
. tan cot
a
b
c



+

+
+
Bài 9 :
Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra các số bằng nhau trong các số sau đây
Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây
Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ

cos ; cot ; tan ;cos ;sin ;cot ; tan ;cos ; sin ;sin ; cos
2 2 2 2 2 2
A A A A B C B C
A A A A A
+ +
tan ;
2
B C+

cot ;
2
B C+
;sin( );cos( ) ; tan( ); cot( )B C B C B C B C+ + + +
Bài 10 :
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào

,
x

2 0 8 8 0 6 6 4 0
2 2
2
. cot 30 (sin cos ) 8 cos 60 (sin cos ) 6cos (90 )

cot cos sin cos
.
cot cot
a P
x x x x
b Q
x x

= + +


= +
ữ

Bài 11 :
Rút gọn các biểu thức sau
6 6 4 4
. 2(sin cos ) 3(sin cos )a A

= +
2 2
2
1
. tan sin
cos
c C x x
x
=
2 2
. (tan cot ) (tan cot )b B x x x x= +

1 1 1
. . 2
sin 1 cos 1 cos
d D
x x x
= +
+
2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0
. sin 54 3sin 126 sin 36 cos 126 3cos 126 cos 36e E = + + +
Bài 12 :
Chứng minh các hằng đẳng thức
2 2 2 2
. tan sin tan sin
1 sin cos
.
cos 1 sin
a x x x x
x x
b
x x
=

=
+
4 2 4 4 2 4
1 cot 1 tan
.
1 cot 1 tan
. sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin 4
x x

c
x x
d x x x x x x
+ +
=

+ + + + + =
Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây
Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ
Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng
Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng của hai vectơ
Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi G là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác. Tính các tích
vô hớng sau :
. ; . ; . ; . ; .AB AC AB BC AG AC AG CD AG BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A và có hai cạnh AB=7, AC=10
a. Tìm cosin của các góc
( , );( , );( , )AB AC AB BC AB CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tính
.HB HC
uuur uuur
Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB=7, AC=5, A=120
0
a. Tính các tích vô hớng
. ; .AB AC AB BC
uuur uuur uuur uuur
b. Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác (M là trung điểm của BC)
Bài 4 : Tam giác ABC có
; ;AB c BC a AC b= = =

Tính các tích vô hớng
. ; .AB AC AB BC
uuur uuur uuur uuur
Bài 5 : Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB = 2, đáy lớn BC = 3, đáy nhỏ AD = 2
Tính các tích vô hớng
. ; . ; . ; .AB CD BD BC AC BD AI BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
(I là trung điểm của CD)
Bài 6 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông và
N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính
. .MA MB MC MD+
uuur uuur uuuur uuuur
;
.NA AB
uuur uuur
;
.NO BA
uuur uuur
Dạng 2 : Chứng minh các đẳng thức về tích vô h ớng hoặc độ dài
của vectơ
Bài 7 : Cho hai điểm A và B. O là trung điểm của AB, M là một điểm tuỳ ý.
Chứng minh rằng
2 2
.MA MB OM OA=
uuur uuur
Bài 8 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Có AC và BD kà hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại
E. Chứng minh rằng :
2
. .AE AC BE BD AB+ =
uuur uuur uuur uuur

Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
a.
MA MC MB MD+ = +
uuur uuuur uuur uuuur
b.
. .MA MC MB MD=
uuur uuuur uuur uuuur
c.
2 2 2 2
MA MC MB MD+ = +
Bài 10 : Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm thoả mãn
0JA JB JC

+ + =
uur uur uuur r
(Khi đó J đợc gọi là tâm
tỉ cự của A, B, C theo bộ số (
, ,

)) với
0

+ +
. Chứng minh với mọi điểm M ta có :

2 2 2 2 2 2 2
( )MA MB MC JA JB JC MJ

+ + = + + + + +
Từ đó suy ra, nếu tam giác ABC có trọng tâm G thì với mọi điểm M ta có :

2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +
Phát biểu bài toán tổng quát cho nếu J là tâm tỉ cự của hệ n điểm
{ }
1 2 3
, , ,...,
n
A A A A
theo bộ số
{ }
1 2 3
, , ,...,
n

Ap dụng : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, I là điểm xác định bởi :

3 2 0IA IB IC+ =
uur uur uur r
a. Chứng minh BCDI là hình bình hành
Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây
Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ
b. M là một điểm tuỳ ý, chứng minh :
2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2MA MB MC MI IA IB IC+ = + +
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD. Gọi I và I lần lợt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 2
4AB BC CD DA AC BD IJ+ + + = + +
Bài 12 : Cho tam giác ABC với AD, BE, CF là các trung tuyến. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2
. . . . 0
3
. ( )
4
a BC AD CA BE AB CF
b AD BE CF BC CA AB
+ + =
+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Dạng 3 : Chứng minh tính vuông góc và thiết lập điều kiện vuông
góc
Bài 13 : Chứng minh trong tam giác ba đờng cao đồng quy
Bài 14 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và
ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
AM DE
Bài 15 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng
2 2 2 2
AB CD AC BD AD BC + = +
Bài 16 : Tứ giác ABD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M, P là trung điểm của
đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng :
. .MP BC MA MC MD MB =
uuur uuuur uuuur uuur
Bài 17 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho
4
AC
AM =
, N là trung
điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân

Bài 18 : Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ
( )EF AC F BC
, M và N lần lợt là
trung điểm AE và DC. Chứng minh rằng :
MN DF

Bài 19 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của cạnh
AB và G là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh : OG CD
Dạng 4 : Tìm quỹ tích điểm thoả mãn điều kiện về tích vô h ớng
hay độ dài của vectơ
Bài 20 : Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách bằng a
a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
.MA MB k=
uuur uuur
b. Tìm tập hợp các điểm N sao cho
2
. 2AN AB a=
uuur uuur
Bài 21 : Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng thẳng

, H là hình chiếu của A trên

. Với mỗi điểm
M trên

, lấy điểm N trên tia AM sao cho
2
.AN AM AH=
uuur uuuur
. Tìm tập hợp các điểm N

Bài 22 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho :

2
. . .
4
a
MA MB MB MC MC MA+ + =
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur

Bài 23 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

2 2
. ( )( ) 0
. 2 . ( )
a MA MB MA MC
b MB MB MC a a BC
+ + =
+ = =
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuuur
Bài 24 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

2 2 2 2
. . .
. 0
a AM AB AC AB
b MA MB CA CB
=
+ =
uuuur uuur uuur uuur

Bài 25 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây
Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ

2 2 2
. . ( )AM AB AC AB a MB MC a BC = + =
uuuur uuur uuur uuur
Bài 26 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong
góc BAC sao cho :
2
. .AB AH AC AK AI+ =
trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của
M lên AB và AC
Bài 27 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
2 2
MA MB k =
Bài 28 :
a. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn :
2 2
MA MB k

+ =
với A, B cố định,
0

+
và
k
không đổi.

b. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
2 2 2
MA MB MC k

+ + =
với
k

là số cố định cho trớc khi :
1)
0

+ + =

2)
0

+ +
Dạng 5 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán định l ợng,
định tính
Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE và CF
Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp sao cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM.
Tính góc giữa hai vectơ
AP
uuur
và
DN
uuur
Bài 31 : Cho tứ giác ABCD. M, N lần lợt là trung điểm của AC và BD. Tính MN theo các cạnh và
hai đờng chéo của tứ giác

Bài 32 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :
3
1 cos cos cos
2
A B C< + +
Bài 33 : Tam giác ABC vuông có cạnh huyền
3BC a=
, M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng :
2
.
2
a
AM BC =
uuuur uuur
. Tính độ dài cạnh AB và AC.
Bài 34 : Cho tứ giác ABCD, biết :
. . . . 0AB AD BA BC CB CD DC DA+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Chứng minh rằng : ABCD là hình bình hành
Bài 35 : Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có :
2 2 2 2
MA MB MC MD+ = +
.
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Dạng 6 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán cực trị
Bài 36 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm và M là điểm tuỳ ý.
a. Chứng minh rằng
. . . 0MA BC MB CA MC AB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur r
b. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +
, từ đó suy ra vị trí của
điểm M sao cho
2 2 2
MA MB MC+ +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 37 : Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là một điểm tuỳ ý
a. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2( )MA MB MC MD OB OA + =
b. Xác định vị trí điểm M để
2 2 2
MA MB MC +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 38 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, M là một điểm tuỳ ý
a. Chứng minh rằng vectơ
2v MA MB MC= +
r uuur uuur uuuur
không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng :
Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây