Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu, kém toán trường THPT nông cống i trong việc học phần nguyên hàm tích phân

1. Mở đầu
1.1.

Lí do chọn đề tài
Trong những năm qua, nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục và giáo viên

đã quan tâm đến việc dạy học cho học sinh khá giỏi, góp phần quan trọng vào
việc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Tuy nhiên, việc nghiên cứu vấn đề dạy
học cho học sinh yếu kém lại chưa được nghiên cứu, chú trọng đúng mức để
đảm bảo việc đào tạo nhân lực, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Ở
trường THPT, đa số học sinh đã học yếu kém về một chủ đề kiến thức nào đó
thì sẽ mặc cảm, tự ti, bỏ qua phần kiến thức này. Do đó việc nghiên cứu phân
dạng bài tập là rất cần thiết, giúp học sinh dễ nhớ và dễ vận dụng. Từ đó thúc
đẩy hoạt động, phát huy tính tự giác, tính tích cực, chủ động của học sinh.
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng chiếm vai trò quan trọng trong
chương trình Toán THPT. Nội dung về Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
được trình bày trong toàn bộ chương 3 giải tích 12. Qua nhiều lần thay sách
với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng là nội dung bắt
buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT
Quốc gia. Đây là một chủ đề có nhiều khó khăn trong việc dạy và học. Ngoài
ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ
thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời gian khi giải bài
tập phần này. Đã có một số đề tài nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy
học tích cực hoặc xác định những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải
toán Nguyên hàm – Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này.
Tuy nhiên chưa có đề tài nào quan tâm nghiên cứu việc phân dạng bài tập phù
hợp để giúp đỡ đối tượng học sinh yếu kém học tốt môn toán hơn.
Xuất phát từ những lý do trên, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm
giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và
trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu
kém toán Trường THPT Nông Cống 1 trong việc học phần Nguyên hàm –

Tích phân”
1


1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh yếu kém dễ nhớ, dễ vận dụng;
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó bổ sung vào
hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu phân dạng các bài toán Nguyên hàm – Tích phân
để giải quyết các bài toán liên quan.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12;
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ K .
Định lí 1: Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với
mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên
K.
Định lí 2: Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
2.1.2 Tính chất của nguyên hàm
TC1:

∫ f '( x)dx = f ( x) + C

TC2: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
TC3: ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx.
2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa:
Bảng nguyên hàm:

∫ 0dx = C

x
∫ a dx =

∫ 1dx = x + C
α
∫ x dx =

∫ cos xdx = sin x + C

xα +1
+ C (α ≠ −1)
α +1

∫ sin xdx = − cos x + C

1

1

∫ x dx = ln x + C

∫ cos

∫ e dx = e

∫ sin

x

x

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

2

x

1

+C

2

x

dx = tan x + C
dx = − cot x + C

2.1.4 Bảng nguyên hàm bổ sung:
Định lí: Nếu
tục thì

∫ f (u )du = F (u ) + C

và u = u ( x) là hàm số có đạo hàm liên

∫ f (u ( x))u '( x)dx = F (u ( x)) + C .
3


Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0) ta có:

1

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C

Ví dụ:
π
3

π
3

1
2

1
2

a) ∫ cos(2 x + )dx = sin(2 x + ) + C

∫

1

c) sin 2 x

dx = −2 cot

b) ∫ e−2 x dx = − e−2 x + C

x
+C
2

x
3

3 x
6 3

d) ∫ ( + 1)5 dx = ( + 1)6 + C

2

Từ đó ta có bảng nguyên hàm bổ sung:
Bảng nguyên hàm bổ sung: a ≠ 0

α
∫ (ax + b) dx =

1

1 (ax + b)α +1
+C
a α +1

1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

1

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
∫e

ax + b

dx =

mx + n
∫ a dx =

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

1 ax +b
e
+C
a

∫ cos

a mx + n
+ C (m ≠ 0, 0 < a ≠ 1)
m ln a

∫ sin

2

2

1
1
dx = tan(ax + b) + C
(ax + b)
a

1
1
dx = − cot(ax + b) + C
(ax + b)
a

Chú ý: Vi phân: u = ϕ ( x) ⇒ du = ϕ '( x)dx
Ví dụ:
a) 2u 2 = 3x ⇒ 4udu = 3dx
b)

t = tan

c) u = x + 1 ⇒ u 2 = x + 1 ⇒ 2udu = dx

x
1
⇒ dt =
dx
2
2 x
2 cos
2

1

2

d) u = 2 x − 3 ⇒ du = − (2 x − 3) 2 dx

2.1.5 Tích phân và tính chất
Định nghĩa: Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b] . Giả sử F ( x) là
một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [ a; b] . Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là
tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ a; b] của hàm số f ( x) .
b

b

a

a

TC1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

4


b

b

b

a

a

a

TC2: ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
b

TC3:

∫

a

c

b

a

c

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia
chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán nguyên hàm, tích
phân luôn xuất hiện, chiếm khoảng 10% trong đề thi và chủ yếu là những câu
thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu. Đối với đa số học sinh hiện nay nếu học
yếu môn toán gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc định hướng
cách làm hoặc trong quá trình làm thường mắc sai sót. Đặc biệt hiện nay thi
trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một
(hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong
đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân dạng bài toán
Nguyên hàm – Tích phân.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến
thức của học sinh.
- Trong mỗi bài toán yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất
cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán.

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể: Chia thành các dạng nguyên hàm như sau:
2.3.1 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Trong sách giáo viên (Ban cơ bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm
ở dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x). Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh
khó nhớ được và khi vận dụng vào bài tập, không phải bài nào cũng có dạng
giống như công thức mà còn xuất hiện thêm các hệ số α mà học sinh không
vận dụng được công thức.
5


Ví dụ: Từ công thức ∫ [ u ( x)] u '( x)dx = [
α

Nếu học sinh gặp bài toán

u ( x)]

α +1

α +1

∫ (2 x

2

+ C (α ≠ −1)

+ 1)3 4 xdx , học sinh có thể nhận thấy

(2x2+1)’=4x, đối với những học sinh học trung bình – khá trở lên thì có thể áp
dụng được công thức. Nhưng khi gặp bài toán

∫ (2 x

2

+ 1)3 8 xdx thì các em

không thể vận dụng.
Từ những lý do trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm bài tập có hiệu
quả, tôi nêu lên đây một số trường hợp đổi biến thông dụng trong bài toán
tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến .
2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng:
Dấu hiệu
Hàm số có chứa mẫu
Hàm số có chứa căn
Hàm số có chứa lũy thừa

Cách đặt biến mới
u là mẫu
u là toàn bộ căn
u là lượng trong lũy thừa
u = ϕ ( x)

∫ f [ ϕ ( x)] ϕ '( x)dx
∫

Nhân tử và mẫu cho x

f ( x2 )
dx
x

Đặt u = x

∫ f(

a 2 − x 2 )dx

∫ f(

a 2 + x 2 )dx hoặc

π
π
≤t ≤ )
2
2
π
π
x = a tan t (− < t < )
2
2
x = a sin t (−

∫ f (a

2

+ x 2 )dx

2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho mỗi dấu hiệu:
Ở mỗi ví dụ ta có thể cho bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu:
A=∫

x2
dx
1 − x3

A = ∫−

B = ∫

1
3

. Đặt u = 1–x3 ⇒ du=-3x2dx ⇒ x2dx= − du. Suy ra

1
du
3u

1
x3
dx . Đặt u = 1+x2 ⇒ x2 = u-1 ⇒ 2xdx=du ⇒ xdx= du.
2
2
1+ x

Suy ra B = ∫

u −1
1
1
du = ∫ (1 − )du
2u
2
u

6


 C = ∫ tan xdx = ∫

sin x
dx . Đặt u=cosx ⇒ du=-sinxdx ⇒ sinxdx = -du. Suy ra
cos x

1
C = ∫ − du
u

D = ∫
D=∫

x +1
1
dx . Đặt u=x2+2x+3 ⇒ du=2(x+1)dx ⇒ (x+1)dx= du. Suy ra

x + 2x + 3
2
2

1
du
2u

2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:
 A = ∫ x + 1dx
x3

B = ∫

4− x

dx .Đặt u = 4 − x 2 ⇒ u2 =4-x2 ⇒ x2=4-u2 ⇒ xdx=-udu.

2

Suy ra B = ∫

. Đặt u = x + 1 ⇒ u2=x+1 ⇒ 2udu=dx. Suy ra A = ∫ 2u 2 du

−(4 − u 2 )udu
= ∫ (u 2 − 4)du
u

u3 −1
⇒

 C = ∫ x15 3 1 + 3x8 dx = ∫ x8 .x 7 3 1 + 3x8 dx . Đặt u= 3 1 + 3x8 ⇒ u3=1+3x8 ⇒ x8 =
3

u2
du .
8

x7dx=

Suy ra C = ∫
D = ∫

(u 3 − 1)u 3
1
du = ∫ (u 6 − u 3 )du
24
24

1
1
dx . Đặt u= cot x ⇒ u2=cotx ⇒ -2udu= 2 dx. Suy ra
sin x cot x
sin x

D = ∫−

2

2u
du = ∫ −2du

u

2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa:
1
8

 A = ∫ x(4 x 2 − 5)100 dx . Đặt u = 4x2-5 ⇒ du=8xdx ⇒ xdx= du. Suy ra
1
A = ∫ u100 du
8

 B = ∫ sin 5 x cos xdx . Đặt u = sinx ⇒ du =cosxdx. Suy ra B = ∫ u 5du
 C = ∫ x 2009 (1 + x 2010 )2 dx . Đặt u=1+x2010 ⇒ du=2010x2009dx ⇒ x2009dx =

7

1
du.
2010


Suy ra C = ∫

1
u 2 du
2010

1
ln 4 x
4

D = ∫
dx . Đặt u=lnx ⇒ du= dx. Suy ra D = ∫ u du
x
x

2.3.1.2.4. ∫ f [ u ( x )] u '( x )dx :
1
3

 A = ∫ e3sin x cos xdx
B = ∫

1
3

. Đặt u = 3sinx ⇒ du=cosxdx . Suy ra A = ∫ eu du

1
1
1
dx . Đặt u = lnx ⇒ du = dx. Suy ra B = ∫
du
2
x cos (ln x)
x
cos 2 u
sin x cos x

C = ∫

cos x − sin x
2

2

dx = ∫

sin 2 x
dx .
2 cos 2 x

Đặt u= cos 2x ⇒ u2 =cos2x ⇒ 2udu=-2sin2xdx ⇒ sin2xdx=-udu. Suy ra
C = ∫−

D = ∫

1u
1
du = ∫ − du
2u
2

1 + 3ln x
1
1
1
dx . Đặt u=1+3lnx ⇒ du= dx. Suy ra D = ∫ udu
x
3
x

3

f ( x2 )
dx :
2.3.1.2.5. ∫
x

A=∫

dx
x x −1
2

=∫

xdx
x

2

x −1
2

. Đặt u = x 2 − 1 ⇒ u2 =x2 -1 ⇒ x2=u2+1 ⇒ xdx=

udu .
u

1

Suy ra A = ∫ u (u 2 + 1) du = ∫ 1 + u 2 du
2
2
 B = ∫ 1 + x dx = ∫ x 1 +2 x dx . Đặt u = 1 + x 2 ⇒ u2 =x2 +1 ⇒ udu =xdx. Suy

x

ra B = ∫

x

u2
du
u2 −1

2.3.1.2.6. ∫ f ( a 2 − x 2 )dx và

∫ f(

a 2 + x 2 )dx :

π
2

π
2

 A = ∫ 4 − x 2 dx . Đặt x =2sint ( − ≤ t ≤ ) ⇒ dx =2costdt .
Suy ra A = ∫ 4 − 4sin 2 t .2 cos tdt = ∫ 4 cos 2 tdt
B = ∫

1
dx . Đặt x =
2 + x2

2 tant ( −

π
π
2
< t < ) ⇒ dx=
dt.
2
2
cos 2 t
8


Suy ra B = ∫

1
2
1
.
dt = ∫
dt
2
2
2(1 + tan t ) cos t
2

2.3.2 Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ:
Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ rất phức tạp, nếu nghiên cứu sâu vào
hàm số này thì không phù hợp với yêu cầu của sách giáo khoa, do đó tôi chỉ
nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng
2.3.2.1.Hằng đẳng thức:
1

P( x)
với P(x) là một đa thức.
ax + bx + c
2

1
1 1 1
=
 − ÷ (*)
AB A − B  B A 
1

1

1

1

Ví dụ: a) x 2 − 5 x + 4 = ( x − 1)( x − 4) = 3 ( x − 4 − x − 1)
1

1

1

1

b) ( x 2 + 2)( x 2 + 1) = 3 ( x 2 + 1 − x 2 + 2 )
2.3.2.2.Nguyên hàm của hàm số

P( x)
ax + bx + c
2

2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số):
a) ∆ < 0 : Đưa về dạng

u'
(k là hằng số)
u + k2

b) ∆ =0 : Đưa về dạng

u'
u2

c) ∆ >0 : Đưa về dạng

h
u'
và
2 (k là hằng số) hoặc đưa về dạng

( x − x1 )( x − x2 )
k −u

2

2

áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ: Tính:


A=∫

dx
=
x + x +1 ∫
2

1
2

Đặt x+ =
Suy ra
B = ∫

dx
1
3 .
( x + )2 + ( )2
2

2

1
3
3
tant ⇒ dx= . 2 dt
2
2 cos t

A=∫

1

3 1
1
dt = ∫
dt
2
3
3
(1 + tan 2 t ) 2 cos t
2
.

1
1
1
1
dx = ∫
dx = −

+C
2
4 x + 12 x + 9
(2 x + 3)
2 (2 x + 3)
2

9




D=∫

1
1
1
1
x −1
dx = ∫
dx = ∫ (
−
) dx
ln
+C
1
1
=
2x − x −1
x

−
1
1
2( x − 1)( x − )
x−
x−
2
2
2
2

( ax 2 + bx + c) '
h
+ 2
2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi về dạng k
2
ax + bx + c
ax + bx + c

Ví dụ: Tính
A=∫

2x + 3
2x +1
2
dx = ∫ 2
dx + ∫ 2
dx = A1 + A2
x + x +1
x + x +1

x + x +1
2

Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 và tính A2 thực hiện như phần 2.1
B = ∫

2x +1
1
4x + 2
1
4x −1
1
3
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
dx + ∫ 2
dx = B1 + B2
2
2x − x −1
2 2x − x −1
2 2x − x −1
2 2x − x −1

Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 và tính B2 thực hiện như phần 2.1
2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn hơn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa về các
trường hợp nêu trên.
Ví dụ: A = ∫

x3
1

dx = ∫ ( x − 1 + 2
) dx
2
x + x +1
x + x +1

B=∫

4 x 3 + 12 x 2 + 9 x
1
dx = ∫ ( x + 2
)dx
2
4 x + 12 x + 9
4 x + 12 x + 9

C=∫

x2 − x + 1
2x − 3
2
dx == ∫ (1 + 2
+ 2
)dx
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2 x − 3x + 2

2.3.3 Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Nói chung hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lượng giác, ta cần biến

đổi để đưa về một trong các dạng đã nêu ở phần 2.3.2. Tuy nhiên đối với dạng
này, nhiều bài cũng rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều. Do
vậy, tôi cũng chỉ đưa ra vài dạng mà tôi nghĩ học sinh thường hay gặp.
dx

2.3.3.1. Dạng ∫ R(sin x, cos x) :
Phương pháp: Đặt t=tan

x
và biến đổi đưa về tích phân hàm số hữu tỉ theo t.
2

10


1
x
1
x
2dt
2t
⇒
Chú ý: Đặt t=tan
dt= 2 cos 2 x dx= (1+tan2 )dx ⇒ dx=
2 và sinx=
2
2
2
1+ t
1+ t2

2
2t
1− t2
, cosx=
,
tanx=
1− t2
1+ t2

Ví dụ: Tính
a) A = ∫

dx
2sin x + cos x
x
2

Đặt t=tan ⇒ dx=

2dt
.
1+ t2

Suy ra
x
tan − 2 − 5
2dt
dt
1
t −2− 5

1
2
A=∫ 2
= −2 ∫
=−
ln
+C = −
ln
+C
2
−t + 4t + 1
(t − 2) − 5
5 t −2+ 5
5 tan x − 2 + 5
2

b)
B=∫

dx
dx
dx
=∫
= 2∫
1 + cos 2 x
2sin x + cos x − 4sin x cos x
3 − cos 2 x − 4sin 2 x
1 − cos 2 x +
− 2sin 2 x
2

2

2

Đặt t=tanx ⇒ dx=

dt
1+ t2

Suy ra
1
2dt
dt
1
dt
1
2 + C = 1 ln
B=∫ 2
=
=
=
ln
4t − 8t + 2 ∫ 2t 2 − 4t + 1 2 ∫ (t − 1)2 − 1 2 2 t − 1 + 1
2 2
2
2
t −1−

2 tan x − 2 − 1
+C

2 tan x − 2 + 1

m
n
2.3.3.2. Dạng ∫ sin x cos xdx (m, n∈ Z):

Phương pháp: Xét các trường hợp:
Nếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx)
Nếu m và n đều chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm: Đặt t=tanx
Nếu m và n đều là số dương chẵn: Dùng công thức hạ bậc.
11


Ví dụ: Tính:
3
2
2
2
a) A = ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − cos x) cos x sin xdx

Đặt u=cosx ⇒ du=-sinxdx ⇒ sinxdx=-du
u5 u3
cos5 x cos3 x
−
+C
Suy ra A = ∫ (1 − u )u (−du ) = ∫ (u − u )du = − + C =
5 3
5
3
2

b) B = ∫

2

4

2

dx
sin xdx
=∫
sin x
1 − cos 2 x

Đặt u=cosx ⇒ -du=sinxdx
Suy ra B = ∫

du
1
1
1
1 u −1
1 cos x − 1
= ∫(
−
)du = ln
+ C = ln
+C
2

u −1 2 u −1 u +1
2 u +1
2 cos x + 1
1 + cos 2 x
1
) dx = ∫ (1 − cos 4 x)(1 + cos 2 x) dx
2
16

1
4

c) C = ∫ sin 2 x cos4 xdx = ∫ sin 2 2 x(
==

1
1
1
1
1
1
(1 + cos 2 x − cos 4 x − cos 6 x) dx = x + sin 2 x −
sin 6 x + C
∫
16
2
2
16
64
192

sin 4 x
1
d) D = ∫ 6 dx = ∫ tan 4 x 2 dx
cos x
cos x

Đặt u=tanx ⇒ du=

1
u5
tan 5 x
4
dx
D
=
u
du
=
+
C
=
+C
.
Suy
ra
∫
cos 2 x
5
5

2.3.3.3.Dạng ∫ sin ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax cos bxdx :
Phương pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
Ví dụ: Tính
a) ∫ sin 2 x cos 3 xdx

b) ∫ sin 3x sin xdx

c) ∫ cos 2 x cos xdx

2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Nếu u= u(x), v=v(x) là các hàm số xác định có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ udv = uv − ∫ vdu
Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
phải linh hoạt. Đôi khi phải có dự đoán khác thường. Do đó, tôi chỉ nêu ra hai
dạng mà học sinh thường gặp.
2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) là một đa thức.

∫ P( x).a

mx

dx

∫ P( x) sin axdx

: Đặt u=P(x), dv=amxdx
: Đặt u=P(x), dv=sinaxdx
12

∫ P( x) cos axdx

: Đặt u=P(x), dv=cosaxdx

2.3.4.2. Dạng 2:

∫ P( x) log

a

xdx

: Đặt u=logax, dv=P(x)dx

Qua hai dạng trên ta chú ý cho học sinh chỉ cần nhớ cách đặt của dạng
2 còn dạng 1 thì ngược lại.
Ví dụ: Tính
2
a) A = ∫ x ln xdx .

1

du
=
dx

u = ln x
x

⇒
Đặt 
2
3
dv
=
x
dx

v = x

3

Suy ra A =

x3
1
x3
x3
ln x − ∫ x 2 dx = ln x − + C
3
3
3
9

x
b) B = ∫ ( x − 1)3 dx

 du = dx
u = x − 1


⇒
Đặt 
3x
x
dv
=
3
dx
v
=


ln 3


Suy ra B =

( x − 1)3x
3x
( x − 1)3x
3x
−∫
dx =
− 2 +C
ln 3
ln 3
ln 3
ln 3

c) E = ∫ x cos 3xdx
du = dx
u = x

⇒
Đặt 
1
 dv = cos 3xdx v = sin 3x
3

1
3

1
3

1
3

1
9

Suy ra E = x sin 3x − ∫ sin 3xdx = x sin 3x + cos 3x + C
x
d) D = ∫ e sin xdx

u = e x
du = e x dx
⇒
Đặt 


 dv = sin xdx v = − cos x
x
x
Suy ra D = −e cos x + ∫ e cos xdx

u = e x
du = e x dx
⇒
Lại đặt 

 dv = cos xdx v = sin x
13


x
x
x
Suy ra ∫ e cos xdx = e sin x − ∫ e sin xdx

Do đó, D = −e cos x + e sin x − D ⇒ 2D=ex(sinx-cosx) ⇒ D =
x

x

ex
(sin x − cos x ) + C
2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục
hoàn thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng
dạy nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài
học lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn
bị động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao
được chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học
sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào
nhà trường.
Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho
lớp 12A3, không áp dụng cho lớp 12A7. Sau khi kết thúc kỳ thi thử THPT
Quốc gia do Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết quả làm bài cho thấy tại lớp
12A3 có 85% học sinh giải được các bài toán liên quan đến Nguyên hàm, tích
phân trong khi lớp 12A7 chỉ có 31,33%.

14


3. Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận
Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu
tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống, phân dạng lại
các bài toán Nguyên hàm, tích phân và các ví dụ, cụ thể:
•

Bảng nguyên hàm mở rộng

•

Một số công thức đổi biến số thường gặp

•

Nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỉ

•

Nguyên hàm, tích phân của hàm số lượng giác

•

Phương pháp nguyên hàm từng phần và cách vận dụng

Từ việc phân dạng bài tập như trên chúng ta còn phải chú ý đối với học
sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững chắc của kiến thức, kĩ năng
hơn là chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức. Do đó việc luyện tập
cần được đặc biệt chú ý. Khoảng cách giữa các bài tập liên tiếp không nên
quá xa, quá cao. Cần cho học sinh bước theo những bậc thang vừa với sức
mình, học sinh yếu kém sẽ đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả năng leo
hết các nấc thang dành cho họ để chiếm lĩnh được kiến thức, kĩ năng mà
chương trình yêu cầu. Những nấc thang đầu dù có thấp, những bước chuyển
bậc dù có ngắn nhưng khi học sinh thành công sẽ tạo nên một yếu tố tâm lí
cực kì quan trọng: các em sẽ tin vào bản thân, tin vào sức mình, từ đó có đủ
nghị lực và quyết tâm vượt qua tình trạng yếu kém.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp
một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh yếu kém
dễ nhớ, dễ vận dụng các bài toán nguyên hàm tích phân cơ bản. Đồng thời
hình thành khả năng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán, từ đó tạo hứng

thú cho các em khi học toán. Tuy nhiên, do kinh nghiệm giảng dạy chưa

15


nhiều, trình độ bản thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ
sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học;
Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa
các buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi
kinh nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở
phổ biến rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung của
người khác.

Văn Thị Vân Anh

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học
2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam
[2]. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán tích phân, Nxb

Hà Nội
[3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.
[4]. Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục.
[5]. Trần Phương, Phương pháp giải toán tích phân, Nxb ĐHQG Hà Nội
[6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán và
câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.

17