Sang kien KN Toan 9

A-đặt vấn đề
I). Đặt vấn đề.
Kiến thức về phơng trình trong chơng trình THCS thể hiện ở 2 giai đoạn: Giai đoạn
ẩn tàng từ cấp I đến lớp 7; giai đoạn tờng minh bắt đầu từ lớp 8 đến cuối lớp 9. Đó là
những hiểu biết cơ bản nhất về phơng trình Đại số ở THCS nhằm đáp ứng yêu cầu liên
hệ với những môn học khác và yêu cầu tính toán trong thực tế cuộc sống.
Đặc biệt đối với phơng trình bậc hai (dạng ax
2
+ bx + c = 0) và nghiệm của nó
việc giới thiệu về nghiệm của phơng trình bậc hai đợc tiến hành trong quá trình xây
dựng công thức nghiệm tổng quát và đã đợc tiến hành qua xét các ví dụ cụ thể, song
tính phức tạp của nó vẫn là điều mà khi giảng dạy mỗi giáo viên cần đặc biệt quan tâm
chú ý để xác định đúng mức độ yêu cầu; giúp những học sinh trung bình nắm vững nội
dung kiến thức cơ bản; những học sinh khá giỏi phát huy năng lực học tập tích cực chủ
động của bản thân.
II). Thực tế giảng dạy - học tập ở tr ờng THCS hiện nay .
Nhiệm vụ chuyên môn cơ bản chính là nâng cao chất lợng giảng dạy, chất lợng
học tập của học sinh. Để làm tốt nhiệm vụ yêu cầu trên cần thực đổi mới phơng pháp
dạy học cụ thể Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh
,,
.Giúp các em độc lập tích cực học tập; giải quyết các yêu cầu về kiến thức kỹ năng
liên hệ thực tế, kết hợp ôn bài cũ học bài mới với những nội dung liên quan.
Bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng phơng pháp trên trong phần dạy về phơng trình
bậc hai - nghiệm của phơng trình bậc hai.
Song điều kiện hạn chế về thời gian trên lớp cũng nh năng lực học tập của học sinh
ở một trờng THCS bình thòng nên việc nêu vấn đề và giải quyết đề cần có sự nỗ lực
cao của giáo viên và học sinh. Bản thân các em thờng chỉ áp dụng đơn điệu những vấn
đề lý thuyết đã có sẵn nên kĩ năng giải quyết bài tập dới các cách diễn đạt của đề bài
khác nhau còn rất hạn chế.
III). Lí do chọn đề tài.
Việc giới thiệu công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm cũng nh một số tr-

ờng hợp tính nhẩm nghiệm mà cơ sở lý thuyết là định lí Viét nhằm làm cho việc tìm
nghiệm của phơng trình bậc hai đợc sinh động linh hoạt có sự cân nhắc chọn lựa theo
tiêu chuẩn nhanh, gọn và hợp lý.
Hệ thức Viét là lý thuyết phát triển, nêu lên mối liên hệ giữa các các nghiệm (nếu
có) và các hệ số a, b, c của phong trình.
Là hệ thức có nhiều ứng dụng trong tính toán, giải và biện luận phơng trình bậc 2
về nghiệm, số nghiệm, dấu của các nghiệm
Vấn đề đặt ra là: Trên cơ sở công thức nghiệm và định lí Viét ta cần nghiên cứu
tính chất của các nghiệm.
Nếu có phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì khi nào có thể có nghiệm,
có thể có bao nhiêu nghiệm, các nhiệm có liên quan nh thế nào với nhau? Chúng có sự
liện hệ nh thế nào với các hệ số a, b, c ?
1
IV). Các nội dung cơ bản.
ở một mức độ nhất định , qua thực tế giảng dạy một số năm và qua nghiên cứu các
tài liệu liên quan đến nghiệm của phơng trình bậc hai. Tôi xin nêu ra một số vấn đề về
nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) nh sau:
1.Điều kiện để phong trình bậc hai có nghiệm
ứng dụng để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm (hệ hai phơng trình)
2.Quan hệ giữa các nghiệm trong một phơng trình, giữa các nghiệm trong hai ph-
ơng trình .
3. So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc.

4. ý nghĩa hình học của việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai.
V). Các kỹ năng cần rèn luyện.
1.Kỹ năng chứng minh phơng trình bậc hai có một nghiệm, có hai nghiệm hay
không có nghiệm hay vô số nghiệm.
2.Kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của một phơng trình bậc hai để chứng
minh hệ hai phơng trình có hay vô nghiệm, hoặc tìm điều kiện của tham số để hệ có
nghiệm hay vô nghiệm.
3.Kỹ năng lập mối kiên hệ giữa 2 nghiệm trong 1 phơng trình, giữa hai nghiệm
trong hai phơng trình theo tham số cho trớc, hoặc tìm điều kiện của tham số để nghiệm
của phơng trình thoả mãn một điều kiện nào đó
4.Kỹ năng so sánh nghiệm của phơng trình với một số nào đó ( với số 0; với số
thực

nào đó ).
5.Kỹ năng xác định sự tơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c
= 0 (P) và đồ thị của hàm số bậc nhất g(x) = mx + n (d) (a

0, m

0). Kỹ năng tìm
điều kiện của tham số để xác định các vị trí tơng đối của (P) và (d).
VI) ý nghĩa.
Đồng thời với việc nêu những vấn đề nói trên là những phơng pháp giải quyết phù
hợp với từng loại cùng các bài tập cụ thể, phù hợp với từng nội dung vấn đề. Điều này
sẽ đáp ứng yêu cầu giải quyết phần lớn nội dung bài tập ở sgk Đại số 9 cho học sinh
một cách chủ động, tích cực, độc lập. Học sinh trên cơ sở nắm chắc đợc mấu chốt của
từng loại vấn đề từ đó phát triển áp dụng linh hoạt cho nhiều dạng bài khác nhau với
nhiều cách đặt vấn đề của đề bài khác nhau.

Giúp các em có đợc sự tự tin mạnh bạo, cố gắng chăm chỉ chủ động lĩnh hội kiến
thức và có quyết tâm giải quyết các bài tập.
B. Biện pháp thực hiện
B
1
. Lý thuyết cơ bản.
1.Công thức tính nghiệm của phơng trình (Pt)
ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
a. Đặt

= b
2
- 4ac
*

< 0 Pt vô nghiệm
*

= 0 Pt có nghiệm kép: x =
a
b
2

2
*

> 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x
1
=
a
b
2
+
, x
2
=
a
b
2
+
.
b. Công thức nghiệm thu gọn: trờng hợp b = 2b
Đặt
'

= b
2
- 4ac. (
'

và

cùng dấu,

= 4
'

)
*
'

< 0 Pt vô nghiệm
*
'

= 0 Pt có nghiệm kép: x =
a
b'

*
'

> 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x
1
=
a
b ''
+
, x
2
=
a
b ''
+
2. Tổng và tích các nghiệm số.
a. Định lí Viét:

Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
x
1
+ x
2
=
a
b

= S
x
1
.x
2
=
a
c
= P
b. Định lí đảo: Nếu 2 số x
1
, x
2

có tổng bằng
a
b

và có tích bằng
a
c
thì hai số
đó là nghiệm của phơng trình bậc hai :x
2
- Sx

+ P = 0

.
c. Chú ý:
Nếu a + b + c = 0 thì : x
1
= 1 ; x
2
=
a
c
Nếu a - b + c = 0 thì : x
1
= -1 ; x
2
=
a
c

3. Cần biết thêm về biểu thức ax
2
+ bx + c ( a

0 ).
Tên gọi: Tam thức bậc hai ; kí hiệu f(x) = ax
2
+ bx + c ( a

0 ) các giá trị x
i
mà
f(x
i
) = 0 khi và chỉ khi x
i
là nghiệm của tam thức.
a. Tách ra một bình phơng đủ trong tam thức bậc hai.
ax
2
+ bx + c = a







+=

+
2
2
2
2
4
)
2
(
4
4
)
2
(
a
a
b
xa
a
acb
a
b
x

(*)
b. Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số.
- Nếu

< 0 thì theo (*) f(x) không phân tích đợc thành các thừa số bậc
nhất.
- Nếu

0 thì f(x) = a(x x
1
)(x x
2
) (**)
Với x
1
, x
2
là nghiệm của tam thức.
c. Dấu của tam thức bậc hai.
Dựa vào (*) và (**) ở trên ta có kết luận sau:
- Nếu

< 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x.
- Nếu

= 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x
a
b
2

- Nếu

> 0 dấu của f(x) đợc ghi ở bảng sau:
Với x
1
< x
2

x x
1
x
2
f(x) Cùng đấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
3
B
2
Một số vấn đề về nghiệm của ph ơng trình bậc 2 .
I.Vấn đề 1. Điều kiện để ph ơng trình bậc 2 có nghiệm .
1. Các cách chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm .
a. Cách 1. Chứng tỏ rằng


0.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phơng trình sau đây có nghiệm với mọi a và b.
(a + 1)x
2
2(a + b)x + b 1 = 0 (1)
Giải:
*Với a

-1. Pt (1) là Pt bậc 2 , xét
'

= (a + b)
2
(a + 1)(b 1). Đặt a + 1
= m, b 1 = n ta có : (a + b) = m + n khi đó ta có:
'

= (m + n)
2
mn = m
2
+
mn + n
2
= (m +
2
n
)
2
+
0
4
3
2

n
Vậy

0

Pt (1) có nghiệm.
* Với a = -1 Pt (1) trở thành 2(b 1)x = -(b 1) (1)
Nếu b

1 (1) có nghiệm x =
2
1
Nếu b =1 (1) có vô số nghiệm với b = 1.
* Vậy (1) có nghiệm với mọi a; b.
b. Cách 2. Chứng tỏ rằng ac < 0. (Thật vậy nếu ac < 0 thì

= b
2
4ac >
0 )
Ví dụ 2
1
: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m.
x
2
(3m
2
5m + 1)x (m
2
4m + 5) = 0 (2)

Giải
* Xét tích ac = - (m
2
4m + 5) = -(m 2 )
2
1 < 0
Vậy (2) có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2
2
: Tìm điều kiện của phơng của m để phơng trình sau đây có nghiệm;
m
2
x
2
mx 2 = 0 (3)
Giải:
Với m

0 ta có: ac = -2m
2
< 0 (3) có nghiệm.
Với m = 0 (3) trở thành : 0x = 2 (3) vô nghiệm.
- Nhận xét:
* Nếu ac

0 mà a

0 thì ta cũng có

0 nên Pt : ax
2
+ bx + c = 0 có
nghiệm.
* Nếu chỉ với điều kiện ac

0 cha đảm bảo phơng trình có nghiệm vì vậy khi
gặp trờng hợp ac

0 ta cần xét 2 trờng hợp : a

0 ( Khi đó Pt có nghiệm ) và a = 0.
c. Ngoài ra có thể sử dụng một số cách sau.
c
1
. Cho Pt bậc 2. ax
2
+ bx + c = 0. (Đặt f(x) = ax
2
+ bx + c) (4)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực

sao cho af(

)

0 thì Pt (4) có nghiệm.
Thật vậy: với f(x) = ax
2
+ bx + c

af(

) = a
2
x
2
+ abx + ac = (ax +
2
b
)
2
(
4
2
b
-
ac) = (ax +
2
b
)
2
-
4

.
Do đó: af(

)

0 thì
4



(a

+
2
b
)
2





0 Vậy Pt (4) có nghiệm.
c
2
Cho Pt : ax
2
+ bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax
2
+ bx + c) (5)
4
Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị

;
sao cho f(

)f(

)

0 thì (5) có
nghiệm.
Thật vậy: f(

)f(

)

0

a
2
f(

)f(

)

0. Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f(

) ; f(

) nhỏ hơn bằng 0. Theo c
1
thì (5) có nghiệm.

Bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho Pt: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) với 5a + 2c = b.
Chứng minh rằng Pt có nghiệm.
Giải: Ta có

= b
2
4ac = (5a + 2c)
2
4ac = 25a
2
+ 16ac + 4c
2
= (2c + 4a)
2
+ 9a
2

0 vậy Pt có nghiệm.
Bài 2. Cho Pt: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thoả mãn điều kiện
4
2

+
a
c
a
b
chứng minh
rằng Pt có nghiệm.
Giải
- Nếu ac < 0 hiển nhiên Pt có nghiệm
- Nếu ac > 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng
044
4
24424
22
2
2
=+
acbacb
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
a
c

a
c
. Vậy Pt luôn có nghiệm
với
4
2
+
a
c
a
b
Bài 3. a.Tìm giá trị nguyên dơng để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
x
2
4x + k = 0
b. Tìm giá trị nguyên âm của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2x
2
6x + m + 7 = 0.
Giải :
a. có
'

= 4 k > 0

k < 4 mà k nguyên dơng nên k = 1; 2 ; 3.
b. có
'

= 9 2m 14 > 0

-2m 5 > 0

m < -2,5 mà m nguyên âm
nên m = -3 ; -4 ; -5 ; -6 ;
Bài tập về nhà
Bài 1 Chứng minh rằng Pt sau có nghiệm với mọi a, b, c.
a) x(x a) + x(x b) + (x a)(x c) = 0
b) (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) =0
Bài 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các Pt sau có nghiệm.
ax
2
+ 2bx + c = 0
bx
2
+ 2cx +a = 0
cx
2
+ 2ax + b = 0
Bài 3 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng Pt sau có
nghiệm: (a
2
+ b
2
- c
2
)x
2
- 4abx + (a
2

+ b
2
- c
2
) = 0. Khi nào phơng trình có nghiệm kép ?
Bài 4 a) Với giá trị nào của a thì phơng trình sau vô nghiệm: 2
0133
2
=+
xax
b) Với giá trị nào của k thì phơng trình sau có nghiệm:
(k
2
4)x
2
+ 2(k + 2)x + 1 = 0
2. Dùng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình bậc 2 để chứng minh một hệ số có
nghiệm.
a. Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm.
5



=+
=
)6(52
)6(734
2
22
1

myx
yx
Giải
Từ (6
1
)
4
37 y
x
+
=
thế vào (6
2
) ta đợc Pt:
49y
2
+ 42y + (49 8m) = 0 (6
3
)
Từ (6
1
) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (6
3
)
có nghiệm
Giải: (6
3
)
'

0 ta đợc: 21
2
- 49(49 8m)

0

9 (49 8m)

0

m

5
Vậy với m

5 thì hệ Pt đã cho có nghiệm.
b) Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để phơng trình mx
4
10mx
2
+ m + 8 = 0 (7)
+) Có 4 nghiệm phân biệt ?
+) Có 4 nghiệm x
1
; x
2
; x
3
; x

4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thoả mãn điều kiện:
Giải
+) Đặt x
2
= y thì (7) trở thành my
2
10my + m + 8 = 0 (7). cần tìm m để (7) có
2 nghiệm dơng phân biệt
đ/k: m

0 ,
'

> 0 ; P =
0
8
>
+
m
m
; S =

0
10
>
m
m
ta đợc m < -8; m >
3
1
.
+) Gọi 2 nghiệm của (7) là y
1
, y
2
với 0 < y
1
< y
2
, 4 nghiệm của (7) là: x
1
= -
2
y
;
x
2
= -
1
y
; x
3

=
1
y
; x
4
=
2
y
. Ta có x
4
- x
3
= x
3
- x
2
= x
2
- x
1

2
y
-
1
y
=
1
y
- (-

1
y
)
2
y
= 3
1
y


y
2
= 9 y
1
mà y
1
+ y
2
; y
1
.y
2
=
m
m 8
+
tính đợc y
1
= 1, y
2

= 9,
m =1 . Vậy với m = 1 thì Pt (7) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm



=+
=+
)8(
)8(13
2
22
1
ayx
yx

Giải
Từ (8
1
) ta có : y = -3x + 1. Thế vào (8
2
) , ta có : x
2
+ (-3x + 1)
2
= a hay 10x
2
6x
+ 1 a = 0 (8

3
)
Từ (8
1
) nếu tồn tại x thì cũng tồn tại y, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (8
3
) có
nghiệm
'

= 9 10(1 a)

0

a


10
1
Vậy với a


10
1
thì hệ đã cho có
nghiệm.
Bài 2. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt
x
3
(m + 1)x

2
+ (m
2
+ m 3)x m
2
+ 3 = 0.
Giải
6
Ta có : x
3
(m + 1)x
2
+ (m
2
+ m 3)x m
2
+ 3 = (x 1)(x
2
mx + m
2

3)
Pt trở thành (x 1)(x
2
mx + m
2
3) = 0 . Để Pt có 3 nghiệm phân biệt thì
Pt (x
2
mx + m

2
3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khấc 1.
Tìm đợc 2
1
<
m
; -1 < m < 2.
Bài tập về nhà.
Bài 1. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm:
(m 3)x
4
2mx
2
+ 6m = 0.
Bài 2. Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
a)



=
=
04
2
yx
myx
b)



=+

=
myx
yx
22
2
72
Bài 3. a. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm.
b. Tìm m để hệ có nghiệm.





=+
=+
.1
2
22
2
yx
m
y
mx
II. Vấn đề 2. Quan hệ giữa các nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai và giữa hai ph -
ơng trình bậc hai.
1. Quan hệ giữa hai nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai .
(sử dụng định lí Viét và ứng dụng của nó)
a. Ví dụ 1. Cho Pt: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (9)

+) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình (9) theo m ?
+) Tìm m sao cho T = 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất; tìm giá trị nhỏ nhất
đó ?
Giải:
+) Tính
'

ta có :
'

= (m + 1)
2
2m 10 = 0 = m
2
9.
'



0

3

m
hay m

3 hoặc m

3.
m
<
3 hoặc m
>
3 Pt (9) có 2 nghiệm phân biệt: x
1
= m + 1 -
9
2

m
, x
2
= m + 1
+
9
2

m
Với m = -3 => x = -2 , m =3 => x = 4
.Với -3
3

<<
m
Pt (9) vô nghiệm.
+). Ta có : T = (x
1
+ x
2
)
2
+ 8x
1
x
2
.
Với m

3 ta có : T = 4(m + 1)
2
+ 8(2m +10) = 4(m +3)
2
+ 48.
Ta luôn có: T

48. Dấu =
,,
xãy ra khi m = -3. Vậy T nhỏ nhất là 48
b. Ví dụ 2. Cho phơng trình.
(m 1)x
2
2(m 4)x + m 5 = 0 (m

1) (10)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải :
7
-Phơmg trình có nghiệm với
'

= (m 4)
2
- 2(m 1)(m 5)

0
Hay : m
2
8m + 16 m
2
+ 6m 5

0

m


2
11

.
-Ta có: S = x
1
+ x
2
=
;
1
4


m
m
P = x
1
x
2
=
1
5


m
m
rút m theo x
1
, x
2
thế vào S ta đợc
hệ thức: 3x

1
x
2
4(x
1
+ x
2
) + 1 = 0.
đây là hệ thức độc lập với m giữa x
1
, x
2
của phơng trình với m


2
11
.
*Nhận xét: Để giải bài toán này trớc hết cần tìm điều kiện để phơng trình có
nghiệm. Sau đó tính S và P, nếu S và P không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức phải
tìm , nếu S và P có chứa tham số thì ta tìm cách khử tham số từ S và P rồi suy ra hệ
thức phải tìm.
c. Ví dụ 3. Cho Pt: x
2
+ 5x + 2 = 0. Có 2 nghiệm x
1
; x
2
. Không giải Pt; hãy tính
x

1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
; x
1
2
x
2
3
+ x
1
3
x
2
2
.
Giải.
Ta có : x
1
+ x
2
= -5 ; x

1
x
2
= 2. Nên x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
x
2
= (-5)
2
2.2 =
21.
. x
1
3
+ x
2
3
= (x

1
+ x
2
)
3
- 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = (-5)
3
2.2.(-5) = -95.
. x
1
2
x
2
3
+ x
1
3
x
2
2
= x
1

2
x
2
2
(x
1
2
+ x
2
2
) = -20.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x
2
+ (m 2)x + m + 5 = 0 có 2
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn hệ thức x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Giải
- Điều kiện để phơng trình có nghiệm:

= (m 2)

2
4(m + 5)

0

m
2

8m 16

0

m


244

hoặc m

4 + 4
2
.
Ta có: x
1
2
+ x
2
2
= 10 => (x
1

+ x
2
)
2
2x
1
x
2
10 = 0 => (m 2)
2
2(m +
5) 10 = 0.
Phơng trình với ẩn m có nghiệm m
1
= -2, m
2
= 8.
Với m = 8 ,

< 0 nên giá trị này bị loại.
Với m = -2.

> 0 nên m
1
= -2 là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm các hệ số p và q của phơng trình x
2
+ px + q = 0 sao cho 2 nghiệm x
1
, x

2
của phơng trình thoả mãn hệ thức:



=
=
.35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Giải.
Điều kiện :

= p
2
4q

0 khi đó: x
1
+ x
2
= -p ; x
1
x

2
= q.
8