SỰ tồn tại và PHÂN rã NGHIỆM của hệ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA – HOLM có NHỚT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THỦY

SỰ TỒN TẠI VÀ PHÂN RÃ NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA - HOLM
CÓ NHỚT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THỦY

SỰ TỒN TẠI VÀ PHÂN RÃ NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CAMASSA - HOLM
CÓ NHỚT

Chuyên ngành: Toán Giải tích
(Phương trình vi phân và tích phân)
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Trang

HÀ NỘI-2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn Thạc sĩ "Sự tồn tại và phân rã nghiệm
của hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt", chuyên ngành Toán giải
tích được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Trang và bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn, tác giả đã kế thừa và phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự biết ơn và trân trọng.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2018
Học viên

Đỗ Thị Thủy

1


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn của mình, em đã nhận
được nhiều sự giúp đỡ nhiệt tình từ các tập thể và cá nhân.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán
- Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho em những kiến thức quý
báu, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập cũng như trong
quá trình hoàn thiện luận văn này.
Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.
Phạm Thị Trang, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình và giúp đỡ

em trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
và giúp đỡ trong học tập cũng như trong cuộc sống. Mặc dù bản thân đã rất cố
gắng nhưng do thời gian thực hiện và trình độ còn hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
và nhân văn của các quý thầy cô cùng các bạn để luận văn được hoàn thiện và
phát triển hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2018
Học viên

Đỗ Thị Thủy

2


Mục lục

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Sự tồn tại nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt

14

2.1

Sự tồn tại nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt . . . . . . . . . . 14

2.2

Tính chính quy của nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt . . . . 25

3 Sự phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt

30

3.1

Sự phân rã nghiệm của hệ VCHE có nhớt trong toàn không gian:
tốc độ phân rã không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Sự phân rã nghiệm của hệ VCHE có nhớt trong toàn không gian:
tốc độ phân rã đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

54

3


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô
tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới
những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều
hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp
dầu mỏ, vật lí plasma, . . . . Một trong những lớp hệ phương trình rất quan trọng

trong cơ học chất lỏng là hệ phương trình Navier-Stokes (viết tắt là NS). Hệ
phương trình Navier-Stokes miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí và có
dạng:
∂u
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),
∂t
∇ · u = 0,

ở đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất, ν > 0 là hệ số
nhớt, f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có hàng ngàn
bài báo và sách viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên những hiểu
biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn quá khiêm tốn, nói
riêng là sự duy nhất nghiệm của hệ trong không gian ba chiều vẫn là một trong
7 bài toán lớn của thế kỷ. Chính vì vậy, một hướng nghiên cứu mới rất được
quan tâm gần đây là nghiên cứu các biến thể của hệ phương trình Navier-Stokes,
xuất hiện trong những điều kiện vật lý nhất định. Một trong số đó là hệ phương

4


trình Camassa-Holm có nhớt (viết tắt là VCHE) có dạng như sau


vt + u · ∇v + v · ∇uT + ∇π = ν∆v,




u − α2 ∆u = v,

(1)


∇ · v = 0,






v(x, 0) = v0 (x).

Hệ phương trình VCHE xuất hiện khi nghiên cứu các mô hình nước nông,
dựa trên nguyên lý biến phân và định lý trung bình Lagrange (xem [5, 10, 14]).
Trong [8], VCHE cũng được xây dựng như một biến thể của hệ phương trình
Navier-Stokes khi vận tốc được “lọc”, thỏa mãn định lý Kelvin mở rộng về tính
lưu thông của chất lỏng. Vì vậy, hệ (1) còn được coi như một dạng hệ phương
trình Navier-Stokes-α, ở đó, α là tham số lọc. Khi α = 0 ta được hệ NavierStokes cổ điển. Do đó, nghiệm của hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt có
mối quan hệ mật thiết với nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes ([11]). Vì
những lý do trên, việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của
hệ Camassa-Holm có nhớt có ý nghĩa rất quan trọng, cả về mặt lý thuyết và
thực tiễn, thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới.
Khi xét hệ Casmassa-Holm trong miền bị chặn thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet hay điều kiện biên tuần hoàn, đã có rất nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất,
tính chính quy của nghiệm và sự tồn tại, các tính chất của tập hút toàn cục
([12, 14],. . . ). Khi bài toán được xét trong cả không gian, người ta quan tâm
đến việc đánh giá tốc độ phân rã (decay rate) của nghiệm. Mặc dù được đặt
ra từ năm 1934 bởi J. Leray trong bài báo nền tảng về sự tồn tại nghiệm của
hệ Navier-Stokes ([13]), nhưng chủ đề này mới được nghiên cứu một cách hệ
thống từ giữa những năm 1980 sau khi Schonbek đề xuất phương pháp phân

tách Fourier (Fourier Splitting Method) ([15]). Từ đó đến nay, đây là một chủ
đề nghiên cứu thời sự và quan trọng đối với các phương trình trong cơ học chất
lỏng.
Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và sự phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt
trong toàn không gian.
5


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm yếu trong không gian

Rn , n = 2, 3, 4.
• Nghiên cứu sự phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt trong toàn

không gian trong hai trường hợp: tính phân rã không đều khi vận tốc
ban đầu v0 ∈ L2 (Rn ) và đánh giá tốc độ phân rã đều khi v0 ∈ H m (Rn ) ∩
L1 (Rn ), m ≥ 0.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Camassa-Holm có nhớt trong toàn không gian.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và sự phân rã của nghiệm của hệ Camassa-

Holm có nhớt.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp xấp xỉ Galerkin.
• Phương pháp phân tách Fourier.

• Phương pháp qui nạp.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Trình bày các kết quả về sự tồn tại và phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm
có nhớt khi thời gian ra vô cùng.
Nội dung của luận văn gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày chương sau như
biến đổi Fourier, các không gian hàm dùng để nghiên cứu phương trình trong
cơ học chất lỏng.
6


Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt
Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất, tính chính qui của nghiệm của
hệ Camassa-Holm có nhớt trong toàn không gian Rn , n = 2, 3, 4.
Chương 3. Sự phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt
Trình bày các kết quả về sự phân rã nghiệm của hệ Camassa-Holm có nhớt
trong toàn không gian trong hai trường hợp: khi vận tốc ban đầu v0 ∈ L2 (Rn )
và khi vận tốc ban đầu v0 ∈ H m (Rn ) ∩ L1 (Rn ), m ≥ 0.

7


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về các không
gian hàm, phép biến đổi Fourier, một số kí hiệu và các bất đẳng thức cần dùng
để nghiên cứu hệ phương trình VCHE trong không gian n chiều.

1.1

Các không gian hàm

Để nghiên cứu hệ Camassa-Holm, ta cần sử dụng các không gian hàm sau (xem,
chẳng hạn [18]).
1/p

Kí hiệu

Lp (Ω)

là không gian vectơ Lebesgue n chiều với chuẩn φ

p

p

|φ(x)| dx

=
Ω

Đặc biệt, khi p = 2 ta có không gian Hilbert L2 (Ω) với tích vô hướng u, v =
uvdx.
Ω

Ta kí hiệu
W m,p (Rn ) = {u = (u1 , . . . , un ) ∈ Lp | Dβ u ∈ Lp , |β| ≤ m}

là các không gian Sobolev n chiều với chuẩn
u

m,p

|uk |pm,p

:=



1/p

n

, trong đó |uk |m,p := 

k=1

1/p


Rn

|Dβ uk |p 



.

|β|≤m

Đặc biệt, khi p = 2, đặt H m = W m,2 (Rn ). Như vậy, L2 = H 0 . Ký hiệu Lpσ , Hσm
lần lượt là bao đóng của Σ = {φ ∈ C0∞ (Ω) | ∇ · φ = 0} với chuẩn trong Lp và H m
tương ứng; (Hσm ) là không gian đối ngẫu của Hσm .
8

.


Ta kí hiệu C là một hằng số tùy ý, có thể nhận các giá trị khác nhau ở các vị
trí khác nhau. Khi cần nhấn mạnh sự phụ thuộc của hằng số vào một đại lượng
nào đó, ví dụ ν , ta sẽ viết C(ν).

1.2

Số hạng phi tuyến

Ta kí hiệu
n

u · ∇v =

ui
j=1

vj
∂xi

,

(i=1,...,n)

n
T

v · ∇u =

vj
j=1

ui
∂xj

.
(i=1,...,n)

Khi đó, nhờ tích phân từng phần, ta thu được bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. [4] Giả sử u và v là các hàm trơn có giá compact thỏa mãn ∇ · u =
∇ · v = 0, khi đó,
u · ∇v, u + v · ∇uT , u = 0,
u × (∇ × v) , u = 0.

Sử dụng bổ đề này, khi hệ phương trình (1) có nghiệm, ta có thể nhân hai vế
phương trình đầu tiên của hệ với u và thu được đẳng thức sau:
∂
v, u
∂t

+ ν ∇v, ∇u = 0.

(1.1)

Thay v = u − α2 ∆u ta được
1d
2 dt

u, u + α2 ∇u, ∇u

+ν

∇u, ∇u + α2 ∆u, ∆u

= 0.

(1.2)

Hệ thức này cho ta ước lượng tiên nghiệm của u như sau:
t

u (t)

2
2

+ α2 ∇u (t)

2
2

t

∇u (t)

+ 2ν
0

≤

u0 22

+α

2

2
2
2 dt + 2να

∇2 u (t)
0

∇u0 22 .

9

2
dt
2

(1.3)

1.3

Biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1. (xem, chẳng hạn [2]) Giả sử φ ∈ L1 (Rn ). Khi đó, ta định nghĩa
1

F(φ) = φ (ξ) =

n/2

(2π)
n

trong đó x · ξ =

e−ix·ξ φ (x) dx,
Rn

xk ξk là tích vô hướng trong Rn .

k=1

Khi đó, F(φ) hay φ được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm φ và
ˇ =
F −1 (φ) = φ(ξ)

1
(2π)n/2

eix·ξ φ(x)dx
Rn

được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm φ.
Do e±x·ξ = 1 và φ ∈ L1 (Rn ) nên các tích phân trên hội tụ. Ta sẽ mở rộng
định nghĩa trên cho các hàm φ ∈ L2 (Rn ). Đầu tiên, ta có tính chất sau.
Định lý 1.1. [Plancherel] (xem, chẳng hạn [2]) Giả sử φ ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ).
Khi đó, ta có φ, φˇ ∈ L2 (Rn ) và
= φˇ

φ
L2 (Rn )

L2 (Rn )

= φ

L2 (Rn ) .

Từ Định lý 1.1, ta định nghĩa phép biến đổi Fourier trên L2 như sau:
Định nghĩa 1.2. (xem, chẳng hạn [2]) Giả sử φ ∈ L2 (Rn ). Chọn dãy {φk }∞
k=1 ∈
L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) thỏa mãn φk → φ trong L2 (Rn ). Khi đó,
φk − φj

L2 (Rn )

= φk − φj

,
L2 (Rn )

2
n
vậy nên, {φk }∞
k=1 là một dãy Cauchy trong L (R ). Do đó dãy trên hội tụ trong

L2 (Rn ) tới một giới hạn, ta ký hiệu là φ và được gọi là phép biến đổi Fourier của

hàm φ.
10


Định lý 1.2. (xem, chẳng hạn [2]) Cho φ, ψ ∈ L2 (Rn ). Khi đó, ta có
a)

Rn

φψdx =

Rn

φψdy ,

b) Dα φ = (iy)α φ, với α là đa chỉ số sao cho Dα φ ∈ L2 (Rn ).

1.4

Một số bất đẳng thức thường dùng

• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤

a2 b 2
+ .
2
2

• Bất đẳng thức Cauchy với ε:
b2
ab ≤ εa + ,
4ε
2

(ε > 0).

• Bất đẳng thức Young: Cho 1 < p, q < ∞,
ab ≤

ap b q
+ ,
p
q

1 1
+ = 1. Khi đó,
p q

(a, b > 0).

• Bất đẳng thức Young với ε:
ab ≤ εap + C(ε)bq ,

(a, b, ε > 0),

với C(ε) = (εp)−q/p q −1 .
• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ]
và thỏa mãn
dx
≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t,
dt

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó,
t
G(t)

x(t) ≤ x(0)e

eG(t)−G(s) h(s)ds,

+
0

với 0 ≤ t ≤ T , ở đó
t

G(t) =

g(r)dr.
0

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
≤ ax + b,
dt
11


thì
x(t) ≤ x(0) +

b at b
e − .
a
a

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ(t) là một hàm khả tích, không

âm trên [0, T ] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân
t

ξ(t) ≤ C1

ξ(s)ds + C2 ,
0

với C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó,
ξ(t) ≤ C2 (1 + C1 teC1 t ),

với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.
• Bất đẳng thức H¨
older: Giả thiết 1 < p, q < ∞,

1
1
+ = 1. Khi đó, nếu u ∈
p
q

Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì uv ∈ L1 (Ω) và
|uv|dx ≤ u

Lp (Ω)

· v

Lq (Ω) .

Ω

• Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp ([18]): Giả thiết 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞ và
1
θ 1−θ
= +
. Giả sử u ∈ Ls (Ω) ∩ Lt (Ω). Khi đó u ∈ Lr (Ω) và
r
s
t

u

Lr (Ω)

≤ u

θ
Ls (Ω)

u

1−θ
Lt (Ω).

• Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg ([18]): Giả thiết 1 ≤ p < n, khi đó tồn tại
hằng số C chỉ phụ thuộc vào p và n sao cho:
u

trong đó, p∗ =

Lp∗ (Rn )

≤ C Du

Lp (Rn ) ,

np
.
n−p

• Bất đẳng thức Agmon ([18]): Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn. Khi

đó, tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào Ω sao cho;

n
1/2
C u 1/2n −1
u n2 +1
∀ u ∈ H 2 +1 (Ω) nếu n chẵn;
2
u

L∞ (Ω)

≤

C u

H
1/2
H

(Ω)

n−1 (Ω)
2

u

H

1/2
H

(Ω)

n+1
2 (Ω)

∀u ∈ H

n+1
2

(Ω) nếu n lẻ.

• Định lý compact Rellich-Kondrachov: Giả thiết Ω là một tập mở, bị chặn của

Rn , ∂Ω ∈ C 1 . Giả sử 1 ≤ p < n, khi đó,
W 1,p (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω), với 1 ≤ q < p∗ =
12

np
.
n−p


Kí hiệu (u)Ω :=

Ω

udy là giá trị trung bình của u trên Ω.

• Bất đẳng thức Poincaré: Cho Ω là tập mở, bị chặn, liên thông trong Rn với
∂Ω ∈ C 1 , 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào n, p và Ω sao

cho:
u − (u)Ω

Lp (Ω)

≤ C Du

Lp (Ω) ,

với mỗi hàm u ∈ Wp1 (Ω).
Kí hiệu (u)x,r :=

B(x,r)

udy là giá trị trung bình của u trên hình cầu B(x, r).

• Bất đẳng thức Poincaré đối với hình cầu. Giả thiết 1 ≤ p ≤ ∞, khi đó tồn tại

một hằng số C chỉ phụ thuộc vào n và p sao cho:
u − (u)x,r

Lp (B(x,r))

≤ Cr Du

Lp (B(x,r)) ,

với hình cầu B(x, r) ⊂ Rn và với mỗi hàm u ∈ Wp1 (B 0 (x, r)).

13


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của hệ
Camassa-Holm có nhớt
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại duy nhất và tính chính
quy của nghiệm của hệ phương trình Camassa-Holm có nhớt trong Rn , n = 2, 3, 4.

2.1

Sự tồn tại nghiệm của hệ Camassa-Holm có
nhớt

Trước tiên, ta định nghĩa nghiệm yếu của hệ phương trình VCHE.
Định nghĩa 2.1. [4] Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở bất kỳ, bị chặn hoặc Ω = Rn ,
n = 2, 3, 4. Một nghiệm yếu của VCHE với điều kiện bằng không trên biên trong

trường hợp Ω bị chặn, là một cặp hàm u, v sao cho
v ∈ L∞ [0, T ] ; L2σ (Ω) ∩ L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) ,
∂t v ∈ L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) ,
u ∈ L∞ [0, T ] ; Hσ2 (Ω) ∩ L2 [0, T ] ; Hσ3 (Ω) ,

thỏa mãn v(x, 0) = v0 ∈ L2 (Ω) và với mọi hàm thử φ ∈ L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) , φ(T ) =
14

0, ta có
T

−

T

T

u · ∇v, φ ds +

v, ∂t φ ds +
0

0

T

φ · ∇u, v ds + ν
0

∇v, ∇φ ds
0

= v0 , φ (0) ,

thêm nữa, với hầu khắp t ∈ [0, T ],
u, φ + α2 ∇u, ∇φ = v, φ .

Ta cần nhắc lại bất đẳng thức elliptic về mối liên hệ giữa u và v như sau.
Bổ đề 2.1. [4] Cho 2 ≤ n ≤ 4 và Ω ⊂ Rn là tập mở có biên trơn. Nếu u ∈ Hσ2 ,
và v ∈ L2σ thỏa mãn phương trình
u − α2 ∆u = v

trên Ω thì
u

n

∇u
u

2
2

≤ C v 2,
n

(2.1)

≤ C v 2,

+ 2α2 ∇u

2
2

(2.2)
+ α4 ∆u

2
2

= v 22 ,

(2.3)

trong đó C chỉ phụ thuộc vào α và n.
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của VCHE trong toàn không gian Rn ,
n = 2, 3, 4, trước tiên, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của (1) trong miền
Ω ⊂ Rn bị chặn.
Định lý 2.1. Cho Ω ⊂ Rn , n = 2, 3, 4 là tập mở, bị chặn. Khi đó, với v0 ∈ L2 (Ω),
tồn tại nghiệm yếu của VCHE (1) thỏa mãn Định nghĩa 2.1.
Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh định lý đúng khi điều kiện ban đầu
v0 ∈ C0∞ (Ω) bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
15


Bước 1: Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Vì Ω ⊂ Rn là một tập mở bị chặn với biên trơn nên tồn tại một cơ sở trực giao
của L2σ (Ω) gồm các véctơ riêng của toán tử Stokes trên Ω, ký hiệu là {wj }∞
j=1 .
Các giá trị riêng λj tương ứng đều là các số thực dương, các véctơ riêng là các
hàm trơn và dần tới không trên biên. Đặt Hm = span{w1 , . . . , wm } và ký hiệu Pm
là phép chiếu trực giao Pm : L2σ (Ω) → Hm . Với mỗi m, cặp
m

vm =

gjm (t)wj ,
j=1

và
m

um =
j=1

gjm (t)
wj ,
1 + α 2 λj

trong đó gjm ∈ C 1 ([0, Tm ]) với thời gian Tm nào đó được gọi là nghiệm xấp xỉ của
VCHE (1) nếu thỏa mãn các hệ thức sau:
∂t vm , wi + um · ∇vm , wi − wi · ∇vm , um = ν ∆vm , wi ,

(2.4)
vm (0) = Pm v0 .

Sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình vi phân chỉ ra sự tồn tại của
nghiệm gim , xác định trong một khoảng thời gian [0, Tm ].
Bước 2: Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm.
Nhân hai vế của phương trình (2.4) với

1
gjm , cộng lại, áp dụng Bổ đề
1 + α 2 λj

1.1 rồi lấy tích phân hai vế theo biến t, cận từ 0 đến T ta được

T

um

2
2

+ α2 ∇um

2
2

T

∇um 22 dt + 2α2 ν

+ 2ν
0

= u0

2
2

∆um 22 dt
0

(2.5)

+ α2 ∇u0 22 .

Tiếp tục nhân hai vế của phương trình (2.4) với
16

λj
gjm , cộng lại rồi áp
1 + α 2 λj


dụng bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev ta có
d
dt

∇um

2
2

+ α2 ∆um

2
2

+ 2α2 ν ∇3 um

2
2

+ 2ν ∆um

2
2

= − 2 um · ∇um , ∆um + 2α2 um · ∇∆um , ∆um − 2 ∆um · ∇um , um
+ 2α2 ∆um · ∇∆um , um
≤ C um
≤C

∇um

n

∇um 22

um 2n

∆um

2

2n
n−2

+ C um

+ C um
∆um

∞

2

∞

∆um
3

∇ um

2

∇3 um

2

α2 ν 3
∇ um 22 .
2+
2

Suy ra
d
dt

∇um
2
n

≤ C um

2
2

+ α2 ∆um

∇um

2
2

2
2

+ C um

2
2

+ 2ν ∆um
∞

∆um

2

+

3α2 ν 3
∇ um
2

2
2

∇3 um 2 .

Áp dụng bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Agmon rồi sử dụng bất đẳng
thức Gronwall, kết hợp với (2.5) ta được
T

∇um 22

+α

2

∆um 22

T

∆um 22 dt + α2 ν

+ 2ν
0

∇3 um 22 dt
0

(2.6)

≤ C( u0 2 , ∇u0 2 , ∆u0 2 ).

Kết hợp (2.5), (2.6) và (2.3), ta được
vm

L∞ ([0,T ];L2σ (Ω))

+ ∇vm

≤ C(n, α, ν, v0 2 ).

(2.7)

≤ C(n, α, ν, u0 2 , ∇u0 2 , ∆u0 2 ).

(2.8)

L2 ([0,T ];L2σ (Ω))

Sử dụng (2.1) suy ra
∞

um

2
n

∇um

+

2
n dt

0

Để đánh giá đạo hàm, từ phương trình (2.4) ta thấy, bất kỳ φ ∈ Hσ1 đều có
thể viết được thành tổng của các wi nên mỗi nghiệm xấp xỉ thỏa mãn
∂t vm , φ + um · ∇vm , φ − φ · ∇vm , um = ν ∆vm , φ .
17


Áp dụng công thức tính phân từng phần, sau đó là các bất đẳng thức H¨older và
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, ta được
| ∂t vm , φ | ≤ C um

∇vm

2

∇φ

≤ C( um

n

∇vm

n

2

+ C ∇vm

2

∇φ 2 .

Do φ được chọn tùy ý, suy ra
∂t vm

(Hσ1 )

2

+ ∇vm 2 ).

Kết hợp điều này với (2.7) và (2.8), ta được
∂t vm

L2 ([0,T ];(Hσ1 ) (Ω))

≤ C(n, α, ν, v0 2 ).

Bước 3: Qua giới hạn.
Từ các ước lượng tiên nghiệm suy ra, từ dãy {vm } bị chặn, ta có thể trích ra
một dãy con, vẫn kí hiệu là {vm } sao cho, theo định lý Banach-Alaoglu, tồn tại
một hàm
v ∈ L∞ [0, T ] ; L2σ (Ω) ∩ L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) ,
∂t v ∈ L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) ,

thỏa mãn
vm
vm

∗

v yếu trong L∞ [0, T ] ; L2σ (Ω) ,

v yếu trong L2 [0, T ] ; Hσ1 (Ω) .

(2.9)
(2.10)

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng v là một nghiệm yếu của VCHE (1).
Thật vậy, từ cách xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ ta thấy với mọi vectơ cơ sở
wj ∈ L2σ (Ω) và hàm vô hướng trơn theo thời gian φ(t) sao cho φ(T ) = 0, ta có
T

T

0

T

u · ∇v, φ wj ds +

vm , ∂t φ wj ds +
0

φ wj · ∇u, v ds
0

18


T

∇v, ∇φ wj ds

+
0

= vm (0) , φ (0) wj .

Sự hội tụ (2.9) và (2.10) kéo theo
T

T

vm , ∂t φ wj ds →
0

v, ∂t φ wj ds,
0

T

T

∇vm , φ ∇wj ds →
0

∇v, φ ∇wj ds.
0

Ngoài ra,
vm (0) , φ (0) wj = Pm (v0 ) , φ (0) wj → v0 , φ (0) wj .

(2.11)

Ta lại có
L2 (0, T ; Hσ1 (Ω)) ⊂⊂ L2 (0, T ; L2σ (Ω)) ⊂ L2 (0, T ; Hσ1 (Ω) ),
vm bị chặn trong L2 (0, T ; Hσ1 (Ω)),
dvm
bị chặn trong L2 (0, T ; (Hσ1 (Ω)) ).
dt

Suy ra, theo Bổ đề compact Aubin- Lions, {vm } compact tương đối trong
L2 (0, T ; L2σ (Ω)). Kết hợp với tính duy nhất của giới hạn, suy ra tồn tại của

một dãy con của vm , vẫn kí hiệu là vm sao cho
vm → v mạnh trong L2 (0, T ; L2 (Ω)).

(2.12)

Theo định lý tồn tại nghiệm của phương trình elliptic, với hàm v cố định, tồn
tại một hàm u sao cho
u − α2 ∆u = v.

Suy ra,
(um − u) − α2 ∆(um − u) = vm − v.

19


Áp dụng Bổ đề 2.1, ta được
um − u

2
2

2
2

+ 2α2 ∇ (um − u)

+ α4 ∇2 (um − u)

2
2

= vm − v

2
2.

Kết hợp với bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev suy ra
um − u

2
n

≤ C vm − v 22 .

Điều này cùng với sự hội tụ mạnh (2.12), chỉ ra um hội tụ mạnh tới u trong
L2 (0, T ; Ln (Ω)).

Bây giờ, chúng ta có thể chứng minh sự hội tụ của các thành phần phi tuyến
T

T

um · ∇vm , φ wj ds →
0

u · ∇v, φ wj ds,
0

T

T

φ wj · ∇vm , um ds →
0

φ wj · ∇v, u ds.
0

Thật vậy, bằng cách thêm bớt số hạng, sau đó áp dụng bất đẳng thức H¨older,

bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, ta được
| um · ∇vm , φ wj − u · ∇v, φ wj | ≤ A1 + B1 ,

trong đó,
A1 = | (um − u) · ∇vm , φwj |
≤ um − u

n

∇vm

2

φwj

≤ vm − v

2

∇vm

2

φ∇wj

2n
n−2

2.

Do sự hội tụ mạnh trong (2.12) và bất đẳng thức H¨older, ta được
Tương tự,
B1 = | u · ∇ (vm − v) , φwj |
= | u · ∇φwj , (vm − v) |
20

T
0

A1 ds → 0.


≤ u

n

≤C v

φ∇wj
2

vm − v

2n
n−2

φ∇wj

2

vm − v 2 .

2n
n−2

Một lần nữa, do sự hội tụ mạnh trong (2.12) và bất đẳng thức H¨older, ta có
T
0

B1 ds → 0. Kết hợp lại, ta thu được
T

T

um · ∇vm , φwj ds →
0

u · ∇v, φwj ds.
0

Bằng cách tương tự, ta có
| φwj · ∇vm , um − φwj · ∇v, u | ≤ A2 + B2 ,

trong đó,
A2 = | φwj · ∇vm , (um − u) |
≤ φwj

∇vm

2n

n−2

≤ C φ∇wj

2

um − u

2

∇vm

2

2

vm − v 2 ,

B2 = | φwj · ∇ (vm − v) , u |
= | φwj · ∇u, vm − v |
≤ φwj

2n
n−2

≤ C φ∇wj

vm − v
2

2

vm − v

∇u
2

n

v 2.

Áp dụng (2.12) với các ước lượng trong Bước 2 và bất đẳng thức H¨older chỉ ra
T

T

φwj · ∇vm , um ds →
0

φwj · ∇v, u ds.
0

Do wj là trù mật trong L2σ và φ là một hàm trơn tùy ý, nên v thỏa mãn hệ
phương trình (1) theo nghĩa yếu.
Bây giờ, ta chứng minh kết quả trên đúng với giả thiết v0 ∈ L2σ (Ω).
21


Thật vậy, ta thấy các đánh giá trong các bước chứng minh trên chỉ phụ thuộc
vào chuẩn trong L2 của dữ liệu ban đầu. Chọn v0i ∈ C0∞ (Ω) là dãy các hàm hội

tụ mạnh tới v0 trong L2σ (Ω) sao cho
v0i

L2σ

≤ v0

L2σ .

Coi v0i là dữ liệu ban đầu, các bước trên chỉ ra sự tồn tại của nghiệm yếu v i theo
nghĩa của Định nghĩa 2.1. Áp dụng (2.3), ta thấy rằng các nghiệm yếu này thỏa
mãn
vi

L∞ ([0,T ];L2σ (Ω))

∂t v i

+ ∇v i

L2 ([0,T ];(Hσ1 ) (Ω))

L2 ([0,T ];L2σ (Ω))

≤ C(n, α, ν, v0 2 ),

≤ C(n, α, ν, v0 2 ).

và với mỗi φ ∈ Hσ1 , ta có hệ thức
T

T

v i , ∂t φ ds +
0

T

ui · ∇v i , φ ds +
0

φ · ∇ui , v i ds
0

T

(2.13)

i

∇v , ∇φ ds = v0 , φ .

+
0

Sử dụng định lý Banach-Alaoglu suy ra từ dãy v i có thể trích ra dãy con, vẫn
kí hiệu là v i sao cho, tồn tại một hàm
v ∈ L∞ ([0, T ]; L2σ (Ω)) ∩ L∞ ([0, T ]; Hσ1 (Ω)),
∂t v ∈ L2 ([0, T ]; (Hσ1 ) (Ω)),

thỏa mãn
vi
vi

∗

v yếu trong L∞ ([0; T ]; L2σ (Ω)),

v yếu trong L2 ([0; T ]; Hσ1 (Ω)).

Qua giới hạn của (2.13) tương tự theo cách làm trong Bước 3, suy ra v là nghiệm
của (1) hay định lý được chứng minh với giả thiết v0 ∈ L2σ (Ω).

22


Tiếp theo, ta chứng minh sự tồn tại của nghiệm trong toàn không gian Rn , 2 ≤
n ≤ 4.
Định lý 2.2. Cho v0 ∈ L2σ (Rn ). Khi đó, tồn tại một nghiệm yếu của VCHE (1)
theo nghĩa của Định nghĩa 2.1 thỏa mãn điều kiện ban đầu v0 , trong toàn bộ
không gian Rn , 2 ≤ n ≤ 4.
Chứng minh. Ký hiệu Ri là dãy dần tới vô cùng và χRi là hàm đặc trưng, nhận
giá trị bằng 1 trong hình cầu bán kính Ri − ε và bằng 0 trên biên của hình cầu
bán kính Ri . Từ kết quả nhận được trong Bước 4 kéo theo sự tồn tại của nghiệm
yếu v Ri trên hình cầu bán kính Ri thỏa mãn điều kiện ban đầu v0 χRi . Mở rộng
v Ri ra toàn bộ Rn bằng cách đặt nó bằng 0 bên ngoài hình cầu bán kính Ri . Tất

cả các ràng buộc tìm được trong Bước 3 không phụ thuộc vào kích thước của Ω
nên chúng cũng không phụ thuộc vào Ri . Sử dụng định lý Banach-Alaoglu, ta
thu được sự tồn tại của hàm

v ∈ L∞ ([0; T ]; L2σ (Rn )) ∩ L2 ([0; T ]; Hσ1 (Rn )),
∂t v ∈ L2 ([0; T ]; (Hσ1 ) (Rn )),

sao cho
v Ri
v Ri

∗

v yếu trong L∞ ([0; T ]; L2σ (Rn )),

v yếu trong L2 ([0; T ]; Hσ1 (Rn )).

(2.14)
(2.15)

Tồn tại của cơ sở trực giao {φj } trong L2 ([0; T ]; L2 (Rn )) trong đó mỗi hàm trong
cơ sở này là trơn và có giá compact. Với Ri đủ lớn chứa giá của φ, theo Định lý
2.1 ta có
T
0

T

T

uRi · ∇v Ri , φ ds +

v Ri , ∂t φ ds +
0

φ · ∇uRi , v Ri ds
0

23