Ứng dụng định lý Lagrange

ứng dụng định lý Lagrăng
1. Cho m > 0 và
0
m
c
1m
b
2m
a
=+
+
+
+
Chứng minh rằng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm
thuộc (0 ; 1)
HD: Xét hàm số
m
xc
1m
xb
2m
xa
xf
m1m2m
...
)(
+
+
+

+
=
++
2. Chứng minh rằng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = 0 luôn có nghiệm
a,b,c,d R.
HD: Xét hàm số
Sinxdx3Cos
3
c
x5Sin
5
b
x7Cos
7
a
xF .)(
++

=
áp dụng ĐL Lagrăng.
3. Giải PT: 2000
x
+ 2002
x
= 2.2001
HD: Xét hàm số f(t) = (t + 1)
x
- t
x
Theo ĐL Lagrăng (2000; 2001) sao cho f()

= 0.
4. Cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 có ít nhất 4
nghiệm thuộc [0; ].
HD: áp dụng Cho F(x) có đạo hàm f(x) trên (a;b) . Chứng minh nếu F(x) = 0 có hai
nghiệm thì f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).
CM: Gọi , là hai nghiệm của PT F(x) = 0. Ta có F() =F() = 0.
Theo ĐL Lagrăng x
0
(; ) sao cho f(x
0
) = F(x
0
) =
0
FF
=


)()(
Giải: Xét hàm số:
x5Sincx3SinbSinxaxF ...)(
=
C/M: F(x) = 0 có ít nhất 6 nghiệm thuộc [0; ].Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm
thuộc [0; ]. Ta c/m F(x) = 0 có ít nhất 4 nghiệm thuộc [0; ].
5. Cho a,b,c 0 thoả mãn
0
3
c
5
b

7
a
=++
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = a.x
4
+
bx
2
+ c luôn cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ thuộc (0 ; 1).
6. CMR: a,b,c tuỳ ý. PT sau luôn có nghiệm trong (0; 2). a.Cos3x + b.Cos2x +
c.Cosx + Sinx = 0.
7. CMR: a,b,c,d không đồng thời bằng không. PT sau luôn có nghiệm a.Cos4x +
b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.
8. Cho f(x) = Sinx.(2
x-1
- 1)(x - 2). Chứng minh rằng PT: f(x) = 0 luôn có nghiệm.
9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4
Cosx
) = 3.4
Cosx
10. Cho đa thức P(x) có n nghiệm phân biệt x
1
;x
2
; . . . x
n
. CMR
a,
0
xP

xP
xP
xP
xP
xP
n
n
2
2
1
1
=+++
)(
)(''
......
)(
)(''
)(
)(''

b,
0
xP
1
xP
1
xP
1
n21
=+++

)('
......
)(')('
11. Cho hàm số f(x) = (x
2
- 4)(x + 1)(x - 3). CMR phơng trình f(x) = 0 có 3 nghiệm
phân biệt.
12.Cho hàm số f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Với a<b<c<d<e. Chứng minh PT
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
13. Cho m>0; n> 0 và f(x) = 2 + x
m
(x - 1)
m
. CMR PT f(x) = 0 có nghiệm x (0; 1)
14. Cho 2b + 3c = 0. CMR phơng trình: aCos2x + b.Cosx + c = 0 luôn có nghiệm
thuộc (0;
2

).
15. Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0). Biết rằng f(x) = x vô nghiệm.
CMR: a.[f(x)]
2
+ b.[f(x)] + c = 0 vô nghiệm.
16. Cho 0 < b < a. CMR
b
ba
b
a

a
ba

<<

ln
17. Cho f(x) xác định trên R và f(x) 0 x R Chứng minh rằng a,b R(a <
b) thì
f(a) f(b) a b
f( )
+ +

2 2
18. Chứng minh rằng: ln(1 + x) < x; x > 0
19. CMR:
a b a b
tga tgb
cos b cos a

< <
2 2
0 < b < a <

2
.
20. Cho a < b < c . CMR:
a a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca c< + + + + < + + + + + <
2 2 2 2 2 2
3 3
HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x

1
; x
2
sao cho a< x
1
< b < x
2
<c =>?
21. Cho n
Z
+

; CMR:
n
x . x ; x ( ; )
ne
<
1
1 01
2
HD: Đặt f(x) = lnx
22. CMR
a) |sin a - sin b| |a - b| a,b R
b) sin x < x x > 0
c) e
x
> x + 1 x > 0
d) tg x > x x ( 0; /2)
e)
x x

( ) ( )
x x
+
+ > +
+
1
1 1
1 1
1
f)
(x )Cos xCos ; x
x x

+ >
+
1 1 2
1
23. Cho f(x) liên tục trên [a ; b] và f(x) = 0 x (a; b) . CMR: f(x) 0.
24. Cho f(x) khả vi trên [a ; b] và f(x) = 0 có đúng 1 nghiệm x
0
[a; b]. CMR: f(x)=
0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt.
25. Cho x> 1 và a> 1. CMR: x
a
- 1> a(x - 1)
26. Cho 0 < a< b; n> 1.CMR: n.a
n-1
(b - a) < b
n
- a

n
< n. b
n-1
(b - a)
27. Cho x, y, z 0 thoả mãn x + y + z > 0 Tìm GTLN, GTNN của
x y z
P
(x y z)
+ +
=
+ +
3 3 3
3
16
HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Giả sử x + y + z = 1
GTLN:
(x y)
x y ( z) f(z) ( z) .z
+

+ = = +

3
3 3 3 3 3
1
1 1 64
4 4
GTNN:
x y z (x y z) .z+ + + + +
3 3 3 3 3

15 16

28.C
29.C
30.C
31.C
32.C
33.C
Sö dông ®¹o hµm chøng minh bÊt ®¼ng thøc
1. CMR:
x x x
x sinx x ; x
! ! !
− < < − + ∀ >
3 3 5
0
3 3 5
HD: ChuyÓn vÕ ®Æt f(x) tÝnh f’(x); f’’(x)
2. CMR:
x
Sinx ; x ( ; )
π
> ∀ ∈
π
2
0
2
HD: §Æt f(x) =
Sinx
x

3. CMR:
Sinx tgx x
; x ( ; )
+
π
+ > ∀ ∈
1
2 2 2 0
2
HD: §Æt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x
4. CMR:
x x x
Cosx ; x
! ! !
− < < − + ∀ ≠
2 2 4
1 1 0
2 2 4
5. CMR:
; x ( ; )
Sin x x
π
< + − ∀ ∈
π
2 2 2
1 1 4
1 0
2
6. CMR:
x

e x; x> + ∀ >1 0
7. CMR:
n
x
x x
e x ... ; x ;n Z
! n!
+
> + + + + ∀ > ∈
2
1 0
2
8. CMR:
[ ]
2
1 1 0 1
2
x
x
x e x ; x ;
−
− ≤ ≤ − + ∀ ∈
9. CMR:
[ ]
2
4
1 1 0 1
1 2 1
x
e x

x x ; x ;
x (x )
−
− ≤ ≤ − + ∀ ∈
+ +
10. CMR:
1 0ln( x) x; x+ < ∀ >
11. CMR:
2 1
1
1
(x )
ln x ; x
x
−
> ∀ >
+
12. CMR:
2
1
1 1 0ln( x ) ln x; x
x
+ + < + ∀ >
13. CMR:
2
1 0
2
x
ln( x) x ; x+ > − ∀ >
14. CMR:

1 1 0 1
p q p q
x (p q)(x x ); x ;p q ,p q
+
− > + − ∀ ≥ ≥ > − ≤
15. CMR:
1
1 2 1
x (x )
log (x ) log (x ); x
+
+ > + ∀ >
16. Cho a, b > 0. CMR:
1 1
0ln(a b ) ln(a b ); ;
α α β β
+ > + ∀β > α >
α β
17. CMR:
1
4 0 1 0 1
1 1
y x
ln ln ; x ; y ;x y
y x y x
 
− > ∀ < < < < ≠
 
− − −
 

18. CMR:
2
x y x y
ln x ln y
+ −
>
−
∀ x> y> 0
19. CMR:
1
1
x
ln x ; x
x
−
< ∀ >
20. CMR:
2 2
2 2 0
2
n n
tg x cot g x n .Cos x; x ( ; );n N
π
+ ≥ + ∀ ∈ ∈
21. CMR:
3
1
2
2
2 2 2 0

2
x
.Sinx tgx
; x ( ; )
+
π
+ > ∀ ∈
22. CMR:
2SinA SinB SinC tgA tgB tgC ; ABC+ + + + + > π ∀V
23. CMR:
2 1
3 3
(SinA SinB SinC) (tgA tgB tgC) ; ABC+ + + + + > π ∀V
nhän
24. CMR:
0
55 1 4tg ,>
25. CMR:
0 0 0 0
4 5 9 3 6 10.tg .tg .tg .tg<
26. CMR:
0
1 7
20
3 20
Sin< <
27. CMR:
1 1
2 0
2

1 1
n n
; ( ; );n Z
Sinx Sinx
+
π
+ ≥ ∀∈ ∈
+ −
28. Cho
3
2
2
2
1 2
3
1
1
1
3
0 6
3
x
x
Sinx
!
x x .CMR :
x
Sinx
x
!

−
< < < >
−
29. CMR:
3
0
2
Sinx
Cosx; x ( ; )
x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
 
30. CMR:
0
e x e x
(e x) (e x) ; e x
− +
+ > − ∀ > >
31. CMR:
0
b x b
a x a
; a,b,x ;a b
b x b
+
+
   

> ∀ > ≠
 ÷  ÷
+
   
32. CMR:
2
1 1 2ln n ln(n ).ln(n ); n N> + − ∀ ≤ ∈
33. CMR:
5
0 2
4
y.Sinx
Cos(x y) ; x,y ;x y
x.Siny
π
+ < ∀ > + <
34. CMR:
0
2
a b a b
ab ; a,b ;a b
lna ln b
− +
< < ∀ > ≠
−
35. CMR:
2007 2006
2006 2007>
36. CMR:
1

1 3
n n
n (n ) ; n Z
+
≥ + ∀ ≤ ∈
37. CMR: x.Sin x + Cos x > 1; ∀x∈(0; π/2)
38. CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); ∀0 < a < b < π/2
39. CMR:
1 1 1
2 2 2
3 3
A B C
Cos Cos Cos
. ; ABC
A B C
+ + +
+ + > ∀V
40. CMR: NÕu x ≥ 0 vµ α > 0 th×
1x .x
α
+ α − ≥ α
. Tõ ®ã c/m
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
41.C
42.C
43.C

44. C