029 đề HSG toán 8 pleiku 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT TP PLEIKU
TRƯỜNG THCS BÙI THỊ XUÂN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể giao đề)

Bài 1. (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  6 xy  9 y 2  49
b) x 2  6 x  5

1
x2  x  2
2x  4
 2

Bài 2. (1,5 điểm) Thực hiện phép tính: A 
x  2 x  7 x  10 x  5

Bài 3. (1,5 điểm) Giải phương trình:

x  2005 x  2004 x  4 x  5



4
5
2005 2004

Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của cạnh

AB, AC. Vẽ BE  MN , CF  MN ( E, F thuộc đường thẳng MN)
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BEFC là hình chữ nhật
b) Chứng minh rằng : SBEFC  S ABC
Bài 5. (2 điểm)
Cho tam giác ABC  AB  AC  , đường phân giác AD. Qua trung điểm M
của BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và K .
Chứng minh rằng:
a) AE  AK

b) BK  CE

Bài 6. (1 điểm) Chứng minh rằng: n3  3n2  2n 6 với mọi số nguyên n


ĐÁP ÁN
Bài 1a)
x 2  6 xy  9 y 2  49   x 2  6 xy  9 y 2   7 2
  x  3 y   72   x  3 y  7  x  3 y  7 
2

Bài 1b)
x2  6 x  5  x2  x  5x  5
 x  x  1  5  x  1   x  1 x  5 

Bài 2.
x 2  7 x  10   x  5  x  2 
1
x2  x  2
2x  4

1
x2  x  2
2x  4
A
 2




x  2 x  7 x  10 x  5 x  2  x  5  x  2  x  5
x  5  x 2  x  2   2 x  4  x  2   x 2  8 x  15   x  5  x  3  x  3




 x  5 x  2 
 x  5 x  2   x  5 x  2  x  2

Bài 3.
x  2005 x  2004 x  4 x  5



4
5
2005 2004
 x  2005   x  2004   x  4   x  5 

 1  
 1  

 1  
 1
4
5

 
  2005   2004 
x  2009 x  2009 x  2009 x  2009




0
4
5
2005
2004
1
1 
1 1
  x  2009    

0

4
5
2005
2004



a)

Vì

1 1
1
1
 

 0  x  2009  0  x  2009
4 5 2005 2004


Vậy phương trình có nghiệm x  2009
Bài 4.

A
N

F

M

E

H
C

B
a) Ta có MN là đường trung bình của ABC  MN / / BC

BEF  900
Mặt khác : BE  EF ; CF  EF  BE / /CF &
Vậy BEFC là hình chữ nhật
b) Kẻ AH  MN
Xét AHM vuông tại H và BEM vuông tại E có:
AMH  BME; AM  BM
 AHM  BEM (Cạnh huyền – góc vuông)
 S AHM  SBEM (1)

Chứng minh tương tự, ta có: AHN  CFN  S AHN  SCFN (2)
Từ (1) và (2) ta có: S AHM  S AHN  SBEM  SCFN
Mà SBEFC  SBEM  SBMNC  SCFN ; S ABC  SBMNC  S AHM  S AHN
 SBEFC  S ABC


Bài 5.

K
E

A
2
1

C

D

M

B
a) K  A1 (đồng vị); AEK  A2 (so le trong)
Mà A1  A2 (AD là tia phân giác)  AEK  K  AEK cân tại A
 AE  AK

b)

AK DM
AK BK



1
BK BM
DM BM
CE CM
CE
AE
Vì AD / / EM nên:



AE DM
CM DM
AK
AE

(3)
Vì AK  AE  c / m a  nên

DM DM
BK CE

Từ (1) (2) (3) 
BM CM
Mà BM  CM (M là trung điểm của BC)
 BK  CE
Vì MK / / AD nên:

(2)


Bài 6.
Ta có:

n3  3n 2  2n  n  n 2  3n  2   n  n 2  n  2n  2 
 n  n 2  n    2n  2    n  n  1 n  2 

Vì n là số nguyên nên: n; n  1; n  2 là ba số nguyên liên tiếp
Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
 n  n  1 n  2  6 hay n3  3n2  2n 6 với mọi số nguyên n