114 đề HSG toán 8 hạ hòa 2012 2013

II
P8
2013
Mụn: Toỏn
C SINH

Bài 1. (3 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3x2 7x + 2;
Bài 2. (6 điểm). Cho biu thc:

b) a(x2 + 1) x(a2 + 1).

2
1
10 x 2
x
A 2



:x 2
x2
x 4 2x x2

a. Rỳt gn biu thc A.
1
b. Tớnh giỏ tr ca A, bit x = .
2
c. Tỡm giỏ tr ca x A < 0.
d. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr nguyờn.

Bài 3. (5 im)
a. Tỡm x, y, z tha món phng trỡnh sau :
9x2 + y2 + 2z2 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x2 y 2 z 2
x y z
a b c
b. Cho 1 v 0 . Chng minh rng: 2 2 2 1 .
a
b
c
a b c
x y z

Bài 4. (1 im)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = a4 2a3 3a2 4a 5 .
Bi 5. (5 im)
Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai ng chộo ct nhau ti O. ng thng
qua O v song song vi ỏy AB ct cỏc cnh bờn AD, BC theo th t M v N.
a. Chng minh rng OM = ON.
b. Chng minh rng

1
1
2


.
AB CD MN

c. Bit SAOB= 20122 (n v din tớch); SCOD= 20132 (n v din tớch). Tớnh SABCD.
----------------------------L-u ý: Thí sinh không đ-ợc sử dụng Máy tính cầm tay.

/>
1


h-íng dÉn chÊm

C SINH
– 2013
Môn: Toán

IỎI

Bµi 1: (3 ®iÓm)
a. (1,5 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
®iÓm) = 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b. (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
®iÓm) = ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

1
x2
1
1
1
b. x   x  hoặc x 
2
2
2
4
4
 A  hoặc A 
3
5
c. A  0  x  2
1
 Z ...  x 1;3
d. A  Z 
x2

a. Rút gọn được kq: A 
Bµi 2
6 điểm

1,5

1,5
1,5
1,5

Bài 3 (5 ®iÓm)

a. (2,5)

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
2
2
2
 (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0
2
2
2
 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*)
Do : ( x 1)2  0;( y  3)2  0;( z  1)2  0
Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

a b c
ayz+bxz+cxy
  0
0
x y z
xyz
 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
Ta có :
   1  (   )2  1
a b c
a b c

2
2
2
x
y
z
xy xz yz
b. (2,5)
 2  2  2  2(   )  1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz
 2  2  2 2
1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
 2  2  2  1(dfcm)
a
b

c
2
/>
Từ :

P8

1
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5

0,5


Bài 4

Biến đổi để có A= a 2 (a 2  2)  2a(a 2  2)  (a 2  2)  3
= (a 2  2)(a 2  2a  1)  3  (a 2  2)(a  1) 2  3
Vì a 2  2  0 a và (a  1) 2  0a nên (a 2  2)(a  1) 2  0a do đó

0,25đ
0,25đ
0,25đ

(a 2  2)(a  1) 2  3  3a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  1  0  a  1
KL

0,25đ

Bài 5 (5 điểm

B

A
O
M

N

C

D

a, (1,5
điểm)

b, (1,5
điểm)

c, (2
điểm)

OM OD
ON OC

,


AB
BD
AB AC
OD OC
Lập luận để có

DB AC
OM ON

 OM = ON

AB
AB
OM DM
OM AM
Xét ABD để có
(1), xét ADC để có
(2)


AB
AD
DC
AD
1
1
AM  DM AD

Từ (1) và (2)  OM.(
)


1
AB CD
AD
AD
1
1
Chứng minh tương tự ON. ( 
) 1
AB CD
1
1
1
1
2
từ đó có (OM + ON). ( 
)2 


AB CD
AB CD MN
S AOB OB S BOC OB
S
S


 AOB  BOC  S AOB .S DOC  S BOC .S AOD

,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC

0,5đ

Chứng minh được S AOD  S BOC

0,5đ
0,5đ

Lập luận để có

 S AOB .S DOC  (S AOD )

2

Thay sè ®Ó cã 20122.20132 = (SAOD)2 
Do đó SABCD= 20122 + 2.2012.2013 + 20132 = (2012 + 2013)2 =
40252 (đơn vị DT)

/>
3

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ