Bài giảng sức bền vật liệu 1

BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
CHƯƠNG 4


NỘI DUNG CHƯƠNG 4

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Khái niệm
Momen tĩnh. Trọng tâm
Momen quán tính. Bán kính quán tính
Công thức chuyển trục song song
Công thức xoay trục
Các bước xác định momen quán tính chính
trung tâm của hình phẳng


1. KHÁI NIỆM


Khái niệm: Đặc trưng hình học của m/c ngang là
các yếu tố như diện tích, hình dáng, cách bố trí
m/c,… cần xác định để sử dụng trong tính toán
khả năng chịu lực của thanh.

P

P
y

z

y

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

x

1


2. MOMEN TĨNH. TRỌNG TÂM
y
M

y


S

dA

Momen tĩnh của diện tích A đối với trục x, y:

<0, >0 hoặc = 0
thứ nguyên [L3]

y

A
O

x

x

x

Sx  �
ydA, __ S y  �
xdA
A

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

A

2


2. MOMEN TĨNH. TRỌNG TÂM
yo

y

A

M



Sxo = 0, Syo = 0: xo, yo là các trục trung tâm.



C = xo∩yo: C là trọng tâm.

→ S đối với 1 trục đi qua trọng tâm = 0.
 Tọa độ trọng tâm C của diện tích A:

yo

y

C

xc
O

dA

xo
x

yc

xo

x

Sy

Sx
xC 
, __ y C 
A
A
Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

3


2. MOMEN TĨNH. TRỌNG TÂM


Nhận xét: Nếu m/c có trục đ/x, trọng tâm sẽ nằm trên trục này vì S đ/v trục này = 0.

y


C

Tính chất:

y
x

y

C x

C

y x1
S x  �yi A i

C1

i1

S y  �xi A i

A1

xC

n

n

x

C

y1

i1

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

C2
O

x2

A2
y2 yC

x

4


2. MOMEN TĨNH. TRỌNG TÂM


Toạ độ trọng tâm của 1 hình phức tạp:
n

xC 

Sy
n

�A i



i1

�yi A i

y x1

i1
n

�A i

xC

i1

C1

n

yC 

Sx
n

�A i
i1



�xi A i

i1
n

A1

C

y1

�A i

C2
O

x2

A2
y2 yC

x

i1

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

5


2. MOMEN TĨNH. TRỌNG TÂM


Ví dụ 1: Xác định tọa độ trọng tâm của thép hình
U200x80x7.5.
7.5

7.5

200
7.5
80

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

6


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.1. Momen quán tính:

y




A

MMQT của dt(A) đ/v trục x, y:

M

x

MMQT của dt(A) đ/v điểm O (MMQT độc cực):

dA



y

O

x

I  �
2dA
A

Ix  �
y 2dA, __ Iy  �
x 2 dA
A

A

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

7

3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.1. Momen quán tính (tt):
 MMQT ly tâm của dt(A) đ/v hệ trục (x,y):




Nhận xét:
 MMQT có thứ nguyên [L4].
 I , Ix, Iy >0.


Ixy >0, <0, hoặc =0.



I = Ix + Iy

Ixy  �
xydA
A

Tính chất:

y x1

A1

xC
C1

n

I  �Ii  I1  I2  ...  In

C

y1

i1

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

C2
O

x2

A2
y2 yC

x

8


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.2. Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT):
 Ixy = 0: hệ trục (x,y) là hệ trục QT chính.
 Hệ trục QT chính đi qua trọng tâm m/c đgl hệ trục QTCTT.
→ Sx = 0, Sy = 0, Ixy = 0



Tính chất:
 Bất kỳ trục nào ┴ với trục đ/x và đi qua trọng tâm cũng hợp với nó thành hệ trục QTCTT.
 MMQT đ/v hệ trục QTCTT đgl MMQT chính trung tâm.

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

9


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.3. Bán kính quán tính:
 Bán kính quán tính của dt(A) đ/v trục x,y:
Iy
Ix
rx 
, __ ry 
_____ [L]
A
A

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

10


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.4. Momen quán tính của 1 số hình thường gặp:
 Hình chữ nhật:

y
dy
y

h/2

C

h/2

x

b
h/2

3 h/2

y
2
2
Ix  �
y dA  �y bdy  b
3
A
h/2

h/2

bh3


12

hb3
Iy 
12
Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

11


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.4. Momen quán tính của 1 số hình thường gặp (tt):
 Hình tròn:
y
D

C

x

R 4 D4
I 

; 0.1D4
2
32
I D4
Ix  Iy  
; 0.05D4
2

64
Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

12


3. MOMEN QUÁN TÍNH. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
3.4. Momen quán tính của 1 số hình thường gặp (tt):
 Hình vành khăn:

y

D4 d4 D4
d4
Ix  Iy 


(1  4 )
trong đó
64
64
64
D
� Ix  Iy  0.05D4 (1  4 )
d

D

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

x

C

d
D

13


4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG
Y

y

x
O

A
M
y

b

O’



x
X

a

Oxy: hệ trục chính trung tâm của diện tích A.
O’XY: hệ trục // với hệ trục Oxy.
IX  Ix  b2 A
IY  Iy  a2 A
IXY  Ixy  abA

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

14


5. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
v

y

A


O



u
x

Oxy: hệ trục chính trung tâm của diện tích A.

Ouv: hệ trục hợp với hệ trục Oxy một góc .
Ix  Iy Ix  Iy
Iu 

cos2  Ixy sin2
2
2
Ix  Iy Ix  Iy
Iv 

cos2  Ixy sin2
2
2
Ix  Iy
Iuv 
sin2  Ixy cos2, __ Iu  Iv  Ix  Iy  const
2

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

15


6. CÁC BƯỚC XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH PHẲNG


Xác định tọa độ trọng tâm C(xC, yC):
 Chia A thành n hình đơn giản
 Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu
 Xác định tọa độ trọng tâm Ci(xCi, yCi) đ/v hệ trục Oxy

 Xác đinh tọa độ trọng tâm C:

n

xC 

Sy
A



�yCi A i
i1
n

�A i

n

Sx
, __ y C 

A

i1

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

�xCi A i
i1

n

�A i
i1

16


6. CÁC BƯỚC XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH PHẲNG



Vẽ hệ trục xoCyo
Xác định các MMQTCTT:
n

Ixo  �Iixo , __ Iixo  Iix  bi2 A i
i1
n

Iyo  �Iiyo , __ Iiyo  Iiy  ai2 A i
i1

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

17


6. CÁC BƯỚC XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH PHẲNG


Ví dụ 2: Xác định MMQT của hình sau:
125
9

250

6

Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

18