Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo cho học sinh ở trường THPT

1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện
nay nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của
học sinh, đòi hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và
giải quyết nhiệm vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên.
Vì vậy, phương hướng đổi mới phương pháp dạy học là làm cho học
sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Phải
làm sao trong mỗi tiết học học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận
nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn. Đây chính là tiêu chí, là thước đo đánh giá
sự đổi mới phương pháp dạy học.
1.2.Trong những năm gần đây, một số phương pháp dạy học hiện đại
đã được đưa vào nhà trường phổ thông như: Dạy học theo lý thuyết hoạt
động, Dạy học phân hoá, … Các phương pháp dạy học này đã và đang đáp
ứng được phần lớn những yêu cầu được đặt ra. Tuy nhiên, chỉ với một số
phương pháp đã được sử dụng thì vấn đề nâng cao hiệu quả dạy học, phát
huy tính chủ động của học sinh vẫn chưa được giải quyết một cách căn bản.
Vì thế việc nghiên cứu và vận dụng các xu hướng dạy học có khả năng tác
động vào hoạt động của học sinh theo hướng tích cực hóa quá trình nhận
thức là điều thực sự cần thiết.
1.3. Đi sâu vào việc đổi mới phương pháp dạy học, cần thiết phải
đẩy mạnh việc nghiên cứu lý luận, tìm hiểu những lý thuyết dạy học của
các nước khác có chứa đựng những yếu tố phù hợp với thực tiễn giáo dục
nước ta. Một trong những xu hướng dạy học mới đang gây sự chú ý cho
các nhà nghiên cứu lý luận dạy học đó là ''Dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề''.
Về mặt lý luận, vận dụng quan điểm này trong dạy học Toán ở trường
phổ thông có thể được coi là một trong những phương pháp dạy học tích cực.

2
“Thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện
vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề,
thông qua đó mà tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng”. [15,tr .199].
1.4. Từ những năm 60 (thế kỷ XX), đặc biệt trong công cuộc đổi mới
chương trình SGK và PPDH hiện nay, dạy học nhằm bồi dưỡng và phát triển
năng lực PH và GQVĐ một cách sáng tạo cho học sinh không chỉ mang tính
thời đại mà thực sự trở thành một nhu cầu cấp thiết. Trên thế giới và ở Việt
Nam các nhà khoa học M.WBundy, G.Polya, C.W Taylo, E.P Torance,...
Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều,... đã có các
công trình nghiên cứu về dạy học sáng tạo và dạy học giải quyết vấn đề theo
tư tưởng: Sáng tạo thông qua con đường PH và GQVĐ.
1.5. Lượng giác là một phân môn có nhiều thuận lợi đối với việc xây
dựng các biện pháp sư phạm theo hướng PH và GQVĐ. Ở lớp 11, các
phương trình lượng giác hầu hết đều có thể quy về dạng quen thuộc đã có
cách giải; Song định hướng sáng tạo, cách PH và GQVĐ trong việc giải
phương trình lượng giác thể hiện rất rõ ở quá trình biến đổi lượng giác đưa
về dạng có cách giải, biện luận nghiệm, biểu diễn và kết hợp nghiệm, cách
hệ thống khái quát hóa các cách giải...Đặc biệt, đối với phương trình lượng
giác thì việc rèn luyện NLGT còn thể hiện ở quá trình vận dụng kiến thức,
cách lựa chọn phương pháp giải và thu nhận hợp thức hoá bài toán...
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận
văn là: ''Rèn luyện năng lực giải Toán theo định hướng PH và GQVĐ
một cách sáng tạo cho học sinh ở trường THPT''.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận về NLGT theo hướng sáng tạo trong
giải quyết vấn đề, từ đó xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện
NLGT cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán THPT

(Thông qua nội dung về phương trình lượng giác).
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU


3
3.1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận về dạy học PH và GQVĐ . Phân tích
bản chất và hình thức tổ chức của phương pháp dạy học PH và GQVĐ .
3.2. Phân tích các đặc điểm của hoạt động sáng tạo trong khoa học và
trong Toán học.
3.3. Làm sáng tỏ định hướng sáng tạo thông qua cách tiếp cận PH và
GQVĐ trong dạy học giải Toán.
3.4. Xây dựng một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực giải Toán
cho học sinh theo hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo thông qua nội
dung phương trình lượng giác.
3.5. Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của
một số biện pháp đã đề xuất trong luận văn.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Dựa vào SGK hiện hành, nếu trong quá trình dạy học giải Toán, các
giáo viên ở trường THPT, trên cơ sở hiểu biết những vấn đề cơ bản của
NLGT, chú ý rèn luyện NLGT theo định hướng PH và GQVĐ một cách
sáng tạo cho học sinh, đồng thời được cung cấp các biện pháp sư phạm
thích hợp sẽ góp phần nâng cao NLGT cho học sinh THPT.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài chủ yếu sử dụng 3 phương pháp nghiên cứu sau:
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài
liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát: Thực trạng dạy học môn Toán ở
một số trường THPT trong tỉnh Nghệ An.

5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư
phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất
trong luận văn.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN.

6.1. Về lý luận


4
* Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về NLGT :
- Định hướng sáng tạo và cách tiếp cận PH và GQVĐ trong giải Toán.
- Khái niệm, bản chất, các thành phần và đặc trưng của NLGT
- Điều kiện, cơ chế lôgic hình thành và phát triển NLGT cho học sinh.
- Các biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán .
* Xây dựng và thực nghiệm một phương án về rèn luyện NLGT
nhằm góp phần nâng cao NLGT cho hoc sinh bậc THPT.
6.2. Về thực tiễn
- Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ thêm về NLGT, cung cấp một số
biện pháp rèn luyện NLGT theo hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo,
cụ thể qua dạy học giải phương trình lượng giác.
- Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy học môn Toán ở trường THPT.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm
có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số bịên pháp góp phần rèn luyện năng lực giải
Toán cho học sinh THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1.1.1. Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học PH và GQVĐ


5
* Cơ sở triết học
* Cơ sở tâm lý học
* Cơ sở giáo dục học
1.1.2. Bản chất, các thành tố đặc trưng của PPDH PH và GQVĐ
1.1.3. Những hình thức và các cấp độ của dạy học PH và GQVĐ
1.1.4. Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán
Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong giải Toán, bao gồm:
+ Áp dụng phép tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy lạ về
quen.
+ Áp dụng phép phân tích tổng hợp .
+ Áp dụng phép suy diễn và quy nạp.
1.2. NLGT THEO ĐỊNH HƯỚNG PH VÀ GQVĐ MỘT CÁCH SÁNG TẠO

1.2.1. Quan niệm về quá trình sáng tạo
Theo Poăngcarê và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:
chuẩn bị, sự chín muồi (của ý tưởng), bừng sáng và kiểm chứng. Trong đó
hai giai đoạn quan trọng nhất nhưng chưa được nghiên cứu đầy đủ và có
nhiều quan điểm khác nhau là giai đoạn ấp ủ và giai đoạn bừng sáng.
1.2.2. NLGT theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo
Trong phạm vi luận văn từ góc độ PH và GQVĐ có thể hiểu:
Năng lực giải Toán là năng lực áp dụng tiến trình PH và GQVĐ vào bài
toán cụ thể, có mục tiêu và tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư

duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kêt quả sau một số bước thực hiện.
1.2.3. Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực giải Toán
1.2.4. Các điều kiện để hình thành năng lực giải Toán cho học sinh
1.2.5. Hình thành và phát triển năng lực giải Toán theo định hướng PH
và GQVĐ một cách sáng tạo cho học sinh THPT


6
1.3. MỘT VÀI NÉT VỀ THỰC TRẠNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC TRƯỜNG PTTH

1.3.1.Tình hình chung
1.3.2. Thực tiễn dạy học giải bài tập lượng giác theo hướng PH và
GQVĐ ở trường phổ thông.
1.4. Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, Luận văn đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được
vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh NLGT theo định hướng
PH và GQVĐ. Trên cơ sở hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về
giải Toán THPT liên quan tới năng lực PH và GQVĐ một cách sáng tạo
để nghiên cứu NLGT trên các phương diện: Khái niệm, bản chất, các
thành phần và đặc trưng, điều kiện hình thành NLGT cho học sinh. Đây
cũng là cơ sở khoa học để xây dựng một số biện pháp rèn luyện NLGT
cho học sinh THPT.
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG PH VÀ GQVĐ MỘT CÁCH SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH THPT
2.1. VẤN ĐỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC HIỆN NAY

2.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

2.1.2. Đổi mới các PPDH theo hướng sáng tạo, PH và GQVĐ
2.1.3. Nâng cao chất lượng dạy học giải Toán cho đội ngũ giáo viên theo
hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo.
2.1.4. Yêu cầu về trang thiết bị, phương tiện phục vụ dạy học giải Toán
theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo.
2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN NLGT CHO HỌC SINH
THPT

2.2.1. Định hướng trong việc xây dựng các biện pháp


7
 Định hướng 1: Hệ thống các biện pháp thể hiện rõ việc rèn luyện
năng lực giải Toán theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo cho
học sinh ở trường THPT.
 Định hướng 2: Hệ thống các biện pháp phải mang tính khả thi, có
thể thực hiện tốt nội dung chương trình SGK và phù hợp với điều kiện
thực tiễn của nhà trường phổ thông.
 Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm
nhận thức của học sinh (tập thể nói chung, từng học sinh nói riêng) tức là
đảm bảo tính vừa sức giữa chung và riêng trong dạy học.
 Định hướng 4: Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần đảm bảo
sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy với vai trò tự giác, tích cực,
độc lập sáng tạo của học sinh.
2.2.2. Các biện pháp rèn luyện NLGT cho học sinh ở trường THPT
Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng xác định hướng giải
của bài toán
Đây là một biện pháp ít được đề cập đến trong thực tiễn giải Toán,
thường bị bỏ qua hoặc hiểu chưa đúng vị trí của nó. Do vậy nhiệm vụ của
giáo viên là phải gợi mở cho học sinh xác định và điều chỉnh hướng giải

trong suốt tiến trình giải Toán.
Mục này luận văn nêu lên tầm quan trọng của phương pháp tìm lời
giải bài toán và các giai đoạn cơ bản khi xác định hướng giải bài toán
Ví dụ : Tìm giá trị tham số m để phương trình
� 3 �
cos2x - (2m +1) cosx + m + 1 = 0 (1) có nghiệm x với x �� ; �
�  �


8
Học sinh xác định hướng giải bài toán trong giai đoạn chuẩn bị tiến hành
giải Toán bao gồm: Xác định là dạng bài toán chuyển dịch phức tạp từ bài
toán lượng giác sang bài toán giải phương trình đại số đã học ở lớp 10.
(1)  2cos2x - (2m + 1) cosx + m = 0
� 3 �
Chọn u = cosx, do x �� ; �
nên -1 < u < 0
�  �
Phương trình bậc 2 ẩn u có dạng (2):
G (u; m) = 2u2 - (2m +1)u + m = 0
Đưa về bài toán mới: Tìm mọi m để phương trình
G(u, m) = 2u2 - (2m + 1)u + m = 0 có nghiệm u [0;1).
Tìm được m [-1; 0)
Không chỉ xác định được kế hoạch giải theo hướng đã chọn là xong,
mà còn điều chỉnh hướng giải trong suốt quá trình giải bài toán .
Biện pháp 2 : Rèn luyện cho học sinh khả năng tiếp cận PH và GQVĐ
một cách sáng tạo trong tiến trình giải Toán
Biện pháp này chủ yếu dành cho giáo viên, trên cơ sở những tri
thức và kinh nghiệm của mình (về khoa học và thực tiễn) hướng dẫn, gợi
mở cho học sinh cách tiếp cận PH và GQVĐ một cách sáng tạo. Nhiệm vụ

của học sinh là tiếp cận bài toán bằng nhiều góc độ, luôn đưa ra các phỏng
đoán, dự đoán, đề xuất các giả thiết khác nhau để giải bài toán.
Sau đây chúng tôi xin đưa ra một ví dụ trong SGK lớp 11 tiến hành
theo 2 hướng:
(*) Nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, phân tích bài toán để đưa ra nhiều
cách giải.
(*) Thu nhận hợp thức hoá bài toán theo hướng sáng tạo các bài toán mới.
Ví dụ : Giải phương trình :


9
tan2x + cot2x + 2 tanx + 2 cotx = 6 với 0 < x <
Với điều kiện 0 < x <


2


2

thì tanx và cotx luôn dương.

Học sinh tiếp cận, PH và GQVĐ theo các góc độ khác nhau của bài toán
đã cho:
Cách 1 : Học sinh có thể dùng công thức lượng giác cotx =

1
đưa về
tan x

giải phương trình bậc 4 đủ với tanx: tan4x + 2 tan3x - 6 tan2x + 2 tanx + 1 = 0
(*)
Nhận thấy Phương trình bậc 4 (*) có tổng các hệ số bằng 0  có một
nghiệm bằng 1, do đó (*)
 (tanx - 1) 2 (tanx2 + 4 tanx + 1) = (tanx - 1) 2 (tanx + 2 - 3 ) (tanx + 2 + 3 ) = 0.
Thấy ngay tanx = -2 

3 không đúng với điều kiện 0 < x <

Do đó nghiệm của phương trình đã cho x =



4


2

.

.

Cách 2 : Ý tưởng nảy sinh là từ điều kiện của bài toán, học sinh có thể sử
dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số thực không âm tanx và cotx:tanx + cotx  2
(Đẳng thức xảy ra  tanx = 1 (nếu tanx > 0) hoặc tanx = -1 (nếu tanx < 0).
Từ đó học sinh xác định điều kiện y [2, +∞).Đưa phương trình đã cho về
phương trình theo biến y: y2 - 2y - 8 = 0.Áp dụng định lý Viet ta có: y 1 = 2;
y2 = -4. Rõ ràng vì y  [2, +∞) nên loại nghiệm y2.
Dấu bằng xảy ra: tanx + cotx = 2 khi và chỉ khi tanx =
(vì x  0,



). Do đó nghiệm phương trình đã cho: x = .
2
4

1
=1
cot x


10
Cách 3: Từ lời giải trên giúp học sinh tiếp tục nhìn bài toán đã cho ở 1
góc độ khác: Do 0 < x <


nên tanx và cotx đều dương và tanx . cotx = 1.
2

Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương tan2x và cot2x ta có:
tan2x + cot2x  2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tan2x = cot2x và cotx
+ tanx > 2 tanx = cotx. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ở
cả 2 bất đẳng thức trên có dấu đẳng thức, tức là nghiệm phải thoả mãn hệ
phương trình:
�tan 2 x  cot 2 x


Do 0 < x < nên nghiệm của phương trình đã cho x =
�

2
4
�tan x  cot x

Cách 4: Giải bằng phương pháp đồ thị.
Nhận xét: Kiểm tra kết quả của 4 cách giải trên xét về định tính (cách lựa
chọn kế hoạch giải, phương pháp và công cụ …) và định lượng (sử dụng
các thao tác tư duy, các bước suy luận, kiến thức, kỹ năng thủ thuật giải
Toán …) là chấp nhận được, không có sai lầm.
Khai thác tiến trình giải Toán theo hướng sáng tạo, học sinh sẽ phát
hiện ra nhiều vấn đề mới và hoàn toàn có thể giải quyết được; có hiệu quả
thiết thực trong việc rèn luyện năng lực giải Toán.
Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện các thao tác tư
duy trong quá trình giải Toán
Biện pháp này dùng cho cả giáo viên và học sinh. Nhiệm vụ của giáo
viên là nắm các nội dung cơ bản nhất về khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương
tự để hướng dẫn học sinh trong khi giải bài tập. Nhiệm vụ của học sinh là
nắm vững các phép suy luận và các thao tác tư duy cơ bản theo cách vận
dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong tiến trình giải Toán.
Ví dụ: Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0

(1)


11
Học sinh PH và GQVĐ ở các góc độ khác nhau:
(1)

 sin2x + sin3x + sinx = sin2x (1 + 2cosx) = 0

sin 2x  0
�
��
1
�
cos x  
�
2

� k
�x  2
�
2
�
x  �  2k (k �Z)

�

Từ cách giải trên học sinh sẽ giải được bài toán tương tự:
sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
Từ ý tưởng giải bài toán trên học sinh sẽ nảy sinh ý định khái quát hóa
bài toán đã giải. Học sinh tiếp tục nhìn các góc của hàm số sin theo cấp số
cộng, sẽ đi đến bài toán tổng quát.
Giải phương trình: sinx + sin2x + … + sinnx = 0
Vấn đề mới nảy sinh ở một góc độ khác là học sinh xác định hướng
giải các bài toán tương tự:
1)

cosx + cos2x + cos3x = 0

2)

cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

3)

cosx + cos2x + … + cosnx = 0

4)

cosx + cos2x + … + cosnx = a

Đến đây học sinh sẽ có ý tưởng sáng tạo giải bài toán dạng phối hợp
bằng cách chuyển hóa cả nội dung và hình thức của bài toán đã cho:
cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x
 (cosx + cos3x) + cos2x = (sinx + sin3x) + sin2x
 2cos2x cosx + cos2x = 2sin2x cosx + sin2x
 (2cosx + 1)(cos2x - sin2x) = 0


12
2cos x  1  0
�
�
cos 2x  sin 2x  0
�
2
�
1
x


�
 k2
�
�
cos
x



2 ��
�
�


�
tan
2x

1
x


k
�
� 


(k �z)

Mục này luận văn còn phân tích tầm quan trọng của khái quát hóa
đặc biệt hóa, tương tự trong giải Toán và mối liên hệ của khái quát hóa, đặc
biệt hóa, tương tự trong giải Toán.
Biện pháp 4:Tập luyện cho học sinh tìm nhiều cách giải, phân tích và
chọn cách giải hay cho một bài toán
Biện pháp này nói về chiến thuật giải một bài toán cụ thể, chủ yếu
dành cho học sinh. Trong quá trình tiếp cận, PH và GQVĐ một cách sáng
tạo khi giải bài toán thì học sinh không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà
phải xem xét từ nhiều phía, không chấp nhận một cách quen thuộc hoặc
duy nhất. Từ đó luôn tìm tòi đề xuất được nhiều cách giải khác nhau cho
một bài toán. Giáo viên có nhiệm vụ định hướng cho các em, đặc biệt là
chỉ ra được lời giải tối ưu cho bài toán.
Ví dụ : Giải phương trình: sin4x + cos4x = 1

(1)

Học sinh tiếp cận, PH và GQVĐ từ nhiều góc độ khác nhau của bài toán.
Cách 1: Từ ý tưởng sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc
(sin2x + cos2x) 2 = sin4x + cos4x + 2sin2x cos2x
= sin4x + cos4x +

1
sin2x
2

1
Khi đó (1)  1  sin 2 2x  1  sin22x = 0
2

13
 xk




( k  z)

Cách 2: Một vấn đề nảy sinh là một trong hai số hạng của vế trái bằng
0 thì sao:
+ Nếu cos4x = 0  x 


 k , k  z


Thử thấy đây là nghiệm của phương trình (1)
+ Nếu cos4x  0, thay

1
 1  tan x , chia cả 2 vế của phương trình
cos 2 x

cho cos4x  0.
1
1
2
4
2
2


(1

tan
x)

1

tan
x

2
tan
x


2
tan
x
cos 4 x
cos 4 x
 2tan2x = 0  tanx = 0  x = lp
Kết hợp ta có: x  k

(l  z)


(k  z)


Cách 3: Học sinh liên tưởng đến một vấn đề quen thuộc được dùng
trong giải Toán lượng giác là vận dụng công thức hạ bậc: Phương trình (1) là
phương trình hữu tỉ bậc chẵn đối với sinx, cosx, áp dụng công thức hạ bậc
2

2

1  2cos 2x � �
1 2cos 2x �
�
sin4x + cos4x = �
� �
� 1
2
2
�
� �
�
Cách 4: Tương tự cách 3, áp dụng công thức hạ bậc đưa về :
sin2x (sin2x - 1) = 0
Cách 5: Áp dụng liên tiếp công thức hạ bậc đưa phương trình (1) về
dạng cos4x = 1  x  k


(k  z).


Cách 6: Học sinh liên tưởng đến cách giải bài toán quen thuộc, do đó
dùng phương pháp bất đẳng thức để giải bài toán:

14
 sin4x + cos4x = sin2x + cos2x

(1)

 sin2x (sin2x - 1) = cos2x (cos2x - 1)
Nhận xét thấy rằng:
sin x  1
�

sin x - 1  0 và 1 - cos x  0 nên �
 x  k (x  z)
cos x  0

�
2

2

Nhận xét thấy một vấn đề lý thú là từ bài toán trên học sinh đi đến giải
bài toán tổng quát.
sinnx + cosnx = 1 (2  n  N)
1) Thật khó cho học sinh, đưa về tanx (cách 2) cũng rất phức tạp, nếu dùng
công thức hạ bậc (cách 3) thì không giải được với n là số lẻ.
Gợi ý cho học sinh áp dụng tương tự cách 6, có:
sinnx +cosnx = 1 = sin2x + cos2x (2)
Hay sin2x (1 - sinn -2x) + cos2x (1- cosn - 2x) = 0
Vì n  2 nên

(*)

1 - sin2n - 2 x  0

1 - cosn - 2 x  0
(2)  sin2x (1 - sinn - 2x) = cos2x (1 - cosn -2x) = 0
a) Nếu n chẵn, phương trình (2) tương đương với:
sin x  0 �
sin x  0
�
;
;
�
�
cos
x

1
cos
x


1
�
�
cho nghiệm x  k




sin x  1
�
;
�
cos
x

0
�

sin x  1
�
�
cos x  0
�

(k  z)

b) Nếu n lẻ, đưa về giải:
sin x  0 �
sin x  1
�

;
cho nghiệm x = k2p và x   2k (k z)
�
�
cos x  1 �
cos x  0


�


15
Nhận xét: Trên cách giải của phương trình (1) và (2) học sinh có thể
đi đến cách giải phương trình tổng quát sau:
sin2mx + cos2nx = 1

(1  m, n N)

Như vậy từ một ví dụ trong SGK, trên cơ sở tìm 6 cách giải, nhìn bài
toán đã cho theo các góc độ khác nhau, học sinh tìm được cách giải tối ưu
và đi đến 2 bài toán với dạng tổng quát.
Biện pháp 5 : Dự đoán và hướng khắc phục những sai lầm của
học sinh khi giải Toán
Phần này luận văn nêu lên các sai lầm thường gặp khi giải bài tập
lượng giác cũng như các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm,đó là:
a) Nắm vững các kiến thức về môn Toán.
b) Nắm vững các kiến thức về lôgic.
c) Nắm vững những nội dung về năng lực giải Toán.
d) Nắm vững một số phương pháp giải Toán cơ bản.
2.3. Kết luận chương 2
Mục đích và nội dung của chương 2 là xây dựng một số phương án
để rèn luyện và phát triển năng lực giải Toán cho học sinh, trong đó yếu tố
quyết định là thực hiện một số biện pháp chính bao gồm:
- Phát huy năng lực sáng tạo, PH và GQVĐ trong dạy học giải
Toán: Rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng tạo trong giải Toán: Rèn
luyện khả năng xác định hướng giải bài toán; Rèn luyện cho học sinh
tiếp cận, PH và GQVĐ một cách sáng tạo trong tiến trình giải Toán;
Vận dụng các thao tác tư duy trong dạy học giải Toán; tìm nhiều lời

giải hay cho một bài toán; Dự đoán và khắc phục những khó khăn, sai
lầm của học sinh trong giải Toán.


16
CHƯƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
Nhằm kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của những biện pháp sư
phạm đã được đề xuất qua thực tế dạy học giải Toán với mục đích rèn
luyện năng lực giải Toán theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng
tạo cho học sinh THPT.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường THPH Phạm Hồng
Thái, Hưng Nguyên, Nghệ An. Lớp thực nghiệm:11C 1 . Lớp đối chứng : 11C 3
Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ tháng 9 đến tháng 11 năm 2007.

3.2.2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm kiểm chứng một số biện pháp rèn luyện năng lực giải
Toán theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo theo chủ đề chương
1: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác.
Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra.
Sau đây là nội dung bài kiểm tra:
Bài kiểm tra số 1: (Thời gian 15’, kiểm tra sau khi dạy bài "phương
trình lượng giác cơ bản").
Giải phương trình lượng giác:

a) cos(2x + ) + sin 2x = 0
3

b) 8cos2xsin2xcos4x =

2


17

c) 2tan 2 (3x+ ) = 1
3
Bài kiểm tra số 2: (Thời gian 15’ sau khi dạy bài "phương trình bậc
nhất đối với sinx và cosx")
Giải phương trình lượng giác:
a)

3 sinx – cosx +

2 =0

b) 3cosx +2 sinx =2
Bài kiểm tra số 3: (Thời gian 45’, kiểm tra sau khi dạy xong chương I)
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cos3x + sinx – sin3x = 0
b) sin4x + cos4x – cos2x + sin22x = 2
c) 4 sin2x + 3 3 sin2x -2 cos2x =4
Bài 2: Cho phương trình:sinx + mcosx = 1
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình với m = - 3
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y=

cosx  2sinx  3
trong khoảng (- ,  )
2cosx  sinx  4

3.3. Kết quả thực nghiệm
3.3.1.Khả năng lĩnh hội sử dụng kiến thức về dạy học giải Toán và các
mức độ khả thi của từng biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán trong
thực nghiệm sư phạm.
- Dạy học giải Toán theo định hướng PH và GQVĐ một cách sáng
tạo hoàn toàn phù hợp với đối tượng học sinh.
- Tiến trình giải Toán là hợp lý. Đặc biệt giáo viên và học sinh tham
gia thực nghiệm đã thấy được tính hữu ích, khả thi và sự điều chỉnh khi
vận dụng các biện pháp.


18
3.3.2. Về nội dung thực nghiệm sư phạm:
- Nghiên cứu về dạy học giải Toán có tính thiết thực, bởi lẽ đây là
một vấn đề chủ yếu của dạy học Toán ở trường phổ thông.
- Dạy học giải Toán đề cao sự hình thành, phát triển trí sáng tạo và
khả năng PH và GQVĐ. Nó liên kết hoạt động của thầy và trò trong việc
thực hiện 5 biện pháp mà luận văn đã đề cập đến.
3.3.3. Về học sinh thực nghiệm.
Qua quan sát hoạt động dạy học và kết quả thu được qua đợt thực
nghiệm sư phạm cho thấy:
- Tính tích cực hoạt động của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.
- Nâng cao trình độ nhận thức, khả năng tư duy cho học sinh trung
bình và một số học sinh yếu ở lớp thực nghiệm, tạo hứng thú và niềm tin
cho các em, trong khi điều này chưa có ở lớp đối chứng.
- Cả ba bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp

đối chứng, đặc biệt là loại khá và giỏi. Nguyên nhân là do học sinh ở lớp
thực nghiệm ngoài việc luôn học tập trong hoạt động còn được phát triển
kiến thức thông qua các biện pháp sư phạm được xây dựng ở chương II.

3.3.4. Kết quả kiểm tra
Bảng 1: Kết quả bài kiểm tra số 1

Điểm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số

bài

TN(11C1)

0

0

1

4

5

6

7

9

7

6

45

ĐC(11C 3 )

0

3

4

9

5

5

6

6

5

3

46

Lớp

Kết quả:


19
Lớp thực nghiệm có 40/45 (88,89%) đạt trung bình trở lên, trong đó
29/45 (64,44%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 30/46 (65,22%) đạt trung bình trở lên, trong đó
20/46 (43,48%) đạt khá giỏi.

Bảng 2: Kết quả bài kiểm tra số 2

Điểm
Lớp
TN
(11C1)
ĐC
(11C3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số

bài

0

0

2

4

3

8

11

9

5

3

45

0

3

4

8

10

8

7

4

2

0

46

Kết quả:
Lớp TN có 39/45 (86,67%) đạt trung bình trở lên, trong đó 28/45
(62,22%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 31/46 (67,39%) đạt trung bình trở lên, trong đó 13/46
(28,26%) đạt khá giỏi.

Bảng 3: Kết quả bài kiểm tra số 3

Điểm
Lớp
TN
(11C1)
ĐC
(11C3)

Kết quả:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
bài

0

1

0

2

7

10

11

3

8

3

45

0

1

2

3

9

12

8

7

3

1

46


20
Lớp TN có 42/45(93,33%) đạt trung bình trở lên, trong đó 25/45
(55,56%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 40/46(86,96%)đạt trung bình trở lên, trong đó 19/46
(41,30%) đạt khá giỏi.
3.3.5. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho
thấy: Mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và tính hiệu
quả của các biện pháp đã được khẳng định. Thực hiện các biện pháp đó sẽ
góp phần phát triển kĩ năng phát hiện và giải quyết các vấn đề liên quan đến
phương trình lượng giác, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán cho
học sinh phổ thông.
Như vậy, mục đích của thực nghiệm đã đạt được và giả thuyết khoa học
nêu ra đã được kiểm nghiệm.
3.4. Một số vấn đề cần quan tâm

KẾT LUẬN
Quá trình nghiên cứu đã dẫn đến những kết quả chủ yếu sau:
1. Đã hệ thống hóa quan điểm của một số nhà khoa học về NLGT,
tính sáng tạo trong dạy và học tập.

2. Làm rõ khái niệm, bản chất, các thành phần của NLGT, phối hợp
được cơ chế lôgic và các điều kiện hình thành NLGT theo định hướng PH
và GQVĐ một cách sáng tạo trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông


21
3. Đã đưa ra 4 định hướng và xây dựng được 5 biện pháp sư phạm
theo hướng PH và GQVĐ một cách sáng tạo.
4. Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của những biện
pháp sư phạm đã đề xuất bằng thực nghiệm sư phạm.
5. Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán ở
trường THPT.
Những kết quả rút ra từ nghiên cứu lý luận và thực nghiệm đã chứng tỏ
giả thuyết khoa học là chấp nhận được, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành.