Phân tập không gian tín hiệu

CHUYÊN ĐỀ
Đề tài:
Phân tập không gian tín hiệu

MỤC LỤC

I. Giới thiệu........................................................................................................3
II. Hệ thống QAM đa chiều.................................................................................5
III. Lý thuyết đại số...............................................................................................8
IV. Biến đổi kênh truyền fading Rayleigh sang dạng kênh truyền Gaussian......10
V. Quay mạng số nguyên Zn..............................................................................14
VI. Tối đa hoá khoảng cách Hamming...............................................................21
VII. Kết quả mô phỏng........................................................................................30
VIII. Kết luận......................................................................................................33

1


Phân tập không gian tín hiệu: Kỹ thuật phân tập a Power- and BandwidthEfficient cho kênh truyền fading Rayleigh
Joseph Boutros, Member, IEEE, and Emanuele Viterbo, Member, IEEE
Tóm tắt - Ngày nay việc truyền dữ liệu tốc độ cao trên các kênh truyền fading
chọn lọc thời gian hay fading chọn lọc tần số, sử dụng các dạng điều chế có hiệu
suất băng thông cao ví dụ QAM, đang là tâm điểm. Với mục tiêu là tăng
“diversity order” của tín hiệu chúng ta xem xét đến việc xoay giản đồ chòm sao
của QAM. Và kết quả là chúng ta có thể có diversity order cao hơn giúp cải
thiện chất lượng trong kênh truyền fading. Kỹ thuật này có ưu điểm là không
cần mở rộng băng thông, không cần mã hoá thêm bit để check và sửa lỗi truyền
nhận tức là không cần tốn thêm công suất cho những bit dư thừa đó.
I. GIỚI THIỆU
Sự phát triển nhanh chóng của nhu cầu truyền dữ liệu tốc độ cao trên các
kênh truyền fading trong điều chế AM-PM với hiệu suất băng thông cao đã trở

thành tâm điểm nghiên cứu của nhiều đề án. Hiệu quả của việc truyền dẫn này
cơ bản dựa trên khả năng sửa lỗi. Và cái giá phải trả để đạt được điều này là
hoặc tăng băng thông hoặc phải tốn thêm năng lượng để truyền các bit check và
sửa lỗi.
Bài báo này giới thiệu một hướng tiếp cận khác. Xét những phương pháp
điều chế đa chiều không mã hoá với một diversity order được set là minimum
của số thành phần nằm giữa hai điểm bất kỳ trên giản đồ chòm sao. Hay nói
cách khác, diversity order là khoảng cách Hamming nhỏ nhất giữa hai vector toạ
độ bất kỳ trong giản đồ chòm sao.
Để phân biệt với các dạng phân tập khác (phân tập thời gian, tần số,
không gian, mã hoá), bài báo này gọi phương pháp này là phân tập điều chế
(modulation diversity) hay phân tập không gian tín hiệu (signal space diversity).
Xuyên suốt bài báo, để đơn giản, sẽ chỉ viết là diversity và ký hiệu là L.

2


Như sẽ được trình bày trong các phần sau, chìa khoá để tăng modulation
diversity là xoay giản đồ chòm sao một góc nào đó để số thành phần nằm giữa
hai hai điểm bất kỳ trên giản đồ chòm sao đạt lớn nhất.
Hình 1 minh hoạ ý tưởng đó trên 4-PSK. Sau khi xoay giản đồ chòm sao
thì như chúng ta thấy đã không còn tồn tại 2 điểm trùng nhau như (1-a) nữa.

Hình 1. (a) L = 1 và (b - sau khi xoay giản đồ chòm sao) L = 2
Một ưu điểm của phương pháp xoay giản đồ chòm sao này là chất lượng
của tín hiệu không bị thay đổi khi thêm nhiễu trắng Gaussian (additive white
Gaussian noise - AWGN) vào kênh truyền. Còn khi áp dụng với kênh truyền
fading Ricean thì chất lượng sẽ tăng lên mặc dù không được bằng với khi áp
dụng cho kênh truyền fading Rayleigh.
Trong bài báo này sẽ chỉ xét với những tín hiệu khi chưa mã hoá

(uncoded) tức là tín hiệu gốc, không thêm bất cứ bit thông tin nào khác. Các bit
dữ liệu chỉ được nhóm thành các block và ánh xạ một - một trên giản đồ chòm
sao đa chiều. Điều đó cũng có nghĩa là giữ nguyên băng thông và không phải
thêm công suất để truyền những bit dư thừa (bit đồng bộ, check lỗi, sửa lỗi), chỉ
tăng thêm độ phức tạp về hàm điều chế tín hiệu cũng như giải điều chế.
Trong phạm vi bài báo này sẽ phân tích cụ thể phương pháp khi áp dụng
cho dạng điều chế QAM, đây là dạng điều chế có hiệu suất băng thông cao.
Cấu trúc của bài báo:
3


- Phần II và III nói về mô hình hệ thống, và review một số khái niệm cơ
bản về đại số.
- Phần IV sẽ chứng minh rằng với giá trị diversity L lớn thì xác suất lỗi xảy
ra trên kênh truyền fading sẽ tiệm cận đến kết quả khi truyền trên kênh
truyền chỉ có nhiễu trắng Gaussian (AWGN). Tính chất này được kiểm
chứng thông qua mô phỏng và khi giá trị diversity lớn hơn 12 thì tỷ lệ lỗi
bit chỉ từ 1 đến 2dB từ các đường cong Gaussian tương ứng.
- Phần V giới thiệu ba kỹ thuật khác dùng để tăng diversity của giản đồ
chòm sao tín hiệu điều chế QAM.
- Phần VI chỉ ra rằng, diversity không chỉ là tham số ảnh hưởng đến chất
lượng hệ thống mà nó còn là tham số quan trọng để maximize cái
minimum product distance giữa hai điểm bất kỳ trên giản đồ chòm sao.
- Phần VII và VIII đưa ra kết quả mô phỏng và một số kết luận của tác giả
bài báo.
II. HỆ THỐNG QAM ĐA CHIỀU

Hình 2. Mô hình hệ thống
Chúng ta mô tả mô hình hệ thống trong hình 2. Một chòm sao n-QAM
được tạo ra từ tích Cartesian của tập tín hiệu 2 chiều n/2-QAM. Một khối m bits

được ánh xạ vào chòm sao bằng việc áp dụng mã Gray trên mỗi chiều. Chúng ta
sẽ có được một bộ mã Gray với sự thay đổi 1 bit giữa các điểm gần nhau nhất
trong chòm sao (2 điểm gần nhất chỉ khác nhau 1 bit).

4


Mỗi nhóm của m/n bits duy nhất xác định một trong n thành phần của
vector chòm sao QAM đa chiều u = (u1, u2,...,un), trong đó u1 = ±1, ±3,... Chúng
ta gọi u là vector thành phần nguyên (interger component vector). Chúng ta biểu
diễn thông lượng hệ thống η bằng phép đo số lượng bit trên mỗi 1 mẫu
(symbol). Do đó ta có m = η.n/2.
Tổng số điểm của chòm sao lập phương là 2m và năng lượng trung bình/bit
tính theo công thức:
Eb = (2η - 1)/3η
Chúng ta có thể xem chòm sao này được tạo ra từ sự dịch chuyển và mở
rộng (hệ số 2) của lưới lập phương n chiều Zn. Để đơn giản, trong bài báo này
chúng ta chỉ xét chòm sao tạo ra từ Zn, vì thế ui = 0, ±1, ±2,... Việc mở rộng và
dịch chuyển theo cách đơn giản có thể khôi phục lại được chòm sao QAM đa
chiều.
Điểm x của chòm sao xoay (Rotated Constellation) có được từ việc xoay
vector u bằng ma trận xoay M. Tập tất cả các điểm {x = uM, } phụ thuộc vào
lưới lập phương n chiều Zn,L với ma trận M và phân tập L. Hai lưới Zn và Zn,L là
tương đương trong mục V-A, nhưng thể hiện sự đa dạng của điều chế phân tập.
Trong phần sau chúng ta sẽ xác định lưới với chòm sao hữu hạn tương ứng được
biến đổi từ lưới.
Kênh được mô hình hóa như một kênh fading Rayleight độc lập, phân
chia hoạt động cho mỗi thành phần. Phía thu hoàn toàn có thể khôi phục pha và
CSI. Và giả sử hệ thống không bị ảnh hưởng bởi nhiễu xuyên ký tự (còn gọi là
nhiễu xuyên âm - intersymbol Interference).

Để thỏa mãn các điều kiện độc lập, chúng ta cần có 1 thành phần
interleaver, thành phần này sẽ hủy các tương quan giữa in-phase và các hệ số
Fading kênh cầu phương (Thành phần Interleaver giúp cho tín hiệu đưa vào bộ
mã hoá có vẻ như ngẫu nhiên hơn. Như thế sẽ nâng cao được chất lượng mã
hoá/giải mã, để sửa lỗi dạng ngẫu nhiên đặc biệt là Gaussian). Hiển nhiên rằng
thành phần hoán vị – interleaver là điểm chính để đạt được độ lợi như trong ví
5


dụ hình 1. Nhưng có nhược điểm mà thành phần hóa vị gây ra đó là sự không
liên tục của nhãn truyền dẫn tín hiệu.
Theo các giả thuyết ở trên thì chúng ta sẽ có vector thu như sau:
Trong đó:
 n = (n1, n2,...,nn) là một vector nhiễu, nếu các giá trị thành phần thực của
ni là zero, lúc này phân phối Gauss là các biến ngẫu nhiên.
 Hệ số fading ngẫu nhiên α = (α1,α2,...αn).
 Kí hiệu Θ là phép nhân từng thành phần.
Tín hiệu giải điều chế được giả sử là tương quan, vì thế hệ số fading có
thể được mô hình hóa sau khi loại bỏ pha, đó là các biến thực ngẫu nhiên với
phân phối Rayleigh và phương pháp bình phương giá trị (second moment): .
Sự độc lập của các mẫu fading thể hiện các thành phần của điểm truyền
hoàn toàn được hoán vị (interleaved).
Sau khi de-interleaving các thành phần của các điểm thu, giá trị
maximum-likelihood (ML) được xác định theo công thức:
Thông qua đó, chúng ta có thể xác định được điểm giải mã và vector
thành phần nguyên từ những bit giải mã có thể được tách ra.
Tối thiểu hóa giá trị m trong công thức trên có thể là một hoạt động phức
tạp cho một tập các tín hiệu tùy ý với một lượng lớn các điểm. Nó được trình
bày trong [7], cách thức áp dụng bộ giải mã lưới phổ quát để đạt được hiệu quả
ML cao hơn của chòm sao trong các kênh fading.

Trong [4], sử dụng kỹ thuật biên Chernoff, chúng ta biết được rằng xác
suất lỗi điểm của một tập tín hiệu đa chiều bị chi phối bởi 4 yếu tố. Để cải thiện
hiệu suất của nó cần phải:
1) giảm thiểu năng lượng trung bình mỗi điểm chòm sao;
2) tối đa hóa phân tập L;
3) tối đa hóa khoảng cách tích phân tập tối thiểu

6


trong đó x, y là 2 điểm bất kỳ trong chòm sao;
4) tối thiểu hóa giá trị Tp (product kissing number) cho khoảng cách tích
L.
Trong bài báo này, chúng ta sẽ cố định năng lượng trung bình của các
chòm sao, chúng ta sẽ tập trung vào các hạng mục còn lại.
III. LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Ý tưởng quay một QAM constellation hai chiều lần đầu tiên được giới
thiệu trong mục [10]. Đối với trường hợp 16-QAM, góc quay cho ra độ phân tập
là 2. Hiệu ứng của góc quay này nhằm lan truyền thông tin chứa trong mỗi thành
phần trên cả hai thành phần của các điểm trên giải đồ hình sao. Theo cách tiếp
cận tương tự, việc tối ưu hóa một vòng quay bốn chiều được đưa ra trong mục
[8]. Các phương pháp tiếp cận nhằm xác định các vòng quay đó là phương pháp
trực tiếp và không thể dễ dàng đưa ra ứng dụng cho các giản đồ chòm sao đa
chiều.
Cần có một công cụ toán học phức tạp hơn để xây dựng giản đồ chòm sao
dạng lưới đa chiều cho ra độ phân tập cao hơn, đó là lý thuyết số đại số. Một bài
giới thiệu sơ qua về lý thuyết này được đưa ra trong mục [4] cùng với một bản
đánh giá các giản đồ chòm sao mạng lưới đã biết thu được từ ánh xạ chính tắc
của các trường số thực và số phức.
Trong phần này, tác giả mô tả ngắn ngọn một số khái niệm toán học trong

lý thuyết số đại số; tuy nhiên cũng tôi đề xuất độc giả tìm đọc nghiên cứu chủ đề
này kỹ lưỡng hơn trong mục [13] – [15].
Trường số đại số K = Q( là một tập hợp tất cả các phép tính đại số (+, -, *,
/) có thể của một số đại số (số thực hoặc số phức, vô tỷ và số không siêu việt)
với số hữu tỷ Q. Tập hợp này có các đặc tính của trường và liên quan đến một đa
thức bất khả uy trên Q, được gọi là đa thức tối thiểu, có là một root.
Từ các phép tính cơ bản, chúng ta biết rằng tập Q thuộc R, tập hợp các số
thực. Sau đó có thể nói rằng tập K là “một tập có ít phần tử hơn” trong R nếu K
7


là trường số thực, và là “một tập có ít phần tử hơn” trong C nếu K là trường số
phức 1. Sử dụng một phép ánh xạ cụ thể, được gọi là ánh xạ chính tắc, ta có thể
biểu diễn được mỗi phần tử của một trường số đại số bằng một điểm tại không
gian Euclide n chiều Rn giống như cách chúng ta biểu diễn các phần tử Q trên
tập số thực R. Tập hợp các điểm này chỉ là phần tử nằm trong Rn vì Q thuộc R.
Thực tế tác giả đã chọn n để có thể thỏa mãn các điều kiện này. n được gọi là
bậc của một trường số đại số.
Sự song song giữa Q và K có thể được xem xét thêm. Thực tế, trong tập
Q, tác giả nhận thấy tập hợp các số nguyên tương đối Z có thể được biểu diễn
dưới dạng một mạng lưới Z trong R. Trong K tồn tại một tập con OK được gọi là
vành số nguyên hoặc vành số nguyên của tập K, có thể được vạch ra bằng ánh
xạ chính tắc vào mạng lưới n chiều, tức là một nhóm rời rạc của Rn
Cuối cùng, một ideal của Z có thể được coi như là một mạng lưới con của
Z, tương tự như vậy, một ideal của vành số nguyên OK được vạch ra bằng ánh xạ
chính tắc vào mạng lưới con của mạng mà OK tạo ra.
Lợi ích của các mạng nằm ở thực tế là chúng biểu diễn một mức độ phân
tập có thể được kiểm soát một cách dễ dàng thông qua việc lựa chọn trường số
đại số phù hợp. Kết quả quan trọng trong mục [4] chỉ ra rằng có thể thiết kế các
giản đồ chòm sao dạng lưới có độ phân tập trong khoảng n/2 và n theo số lượng

các root số thực (r1) và số phức (2r2) của trường đa thức tối thiểu. Cụ thể hơn, đã
chứng minh được rằng L = r1 + r2. Từ đó cho thấy chỉ khi L=n, thì dp, min mới
liên quan đến các đặc điểm trường cụ thể của tập K.
1

Lưu ý rằng khái niệm trực quan này là không chính xác về mặt toán học bởi vì tập K

có phần tử giống với tập Q trong R.

8


IV. BIẾN ĐỔI KÊNH TRUYỀN FADING RAYLEIGH SANG DẠNG
KÊNH TRUYỀN GAUSSIAN
Trong phần này, tác giả sẽ chỉ ra rằng giản đồ chòm sao đa chiều QAM sẽ
trở nên ít bị ảnh hưởng bởi fading khi giá trị diversity L lớn. Điều đó có nghĩa là
xác suất lỗi khi đó đối với kênh truyền có fading và không có fading là như
nhau. Xét cặp điểm x và y nằm trên giản đồ chòm sao, r là một điểm bên thu
nhận được khi phía truyền phát điểm x và giả sử r nằm giữa x và y, bây giờ ta sẽ
tập trung phân tích xác suất lỗi khi bên thu nhận nhầm điểm r là y (r gần y hơn)
chứ không phải là x, ký hiệu là P(x → y). Bên thu nhận r là y nếu m(x|r, α) ≤
m(y|r, α), và khi đó xác suất lỗi:
trong đó:
là một biến ngẫu nhiên Gaussian và
là một hằng số. X là một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và phương sai là .
Xác suất lỗi lúc này có thể viết thành và chúng ta nhận được:
Lưu ý rằng, theo Gaussian ta có hàm tính xác suất đuôi:
Xác suất lỗi P(x → y) nhận được khi lấy trung bình các giá trị fading
trong đó là hàm mật độ xác suất (pdf) của hệ số fading. Khoảng cách Hamming
giữa x và y ít nhất là L, từ đó L là giá trị modulation diversity của giản đồ chòm

sao. Để đơn giản và không mất tính tổng quát, ta coi với L thành phần đầu tiên
(0 ≤ i < L) và với n - L thành phần còn lại (i ≥ L). Khi đó, xác suất lỗi theo công
thức (2) trở thành:
Nếu xét trong kênh truyền Gaussian thì biểu thức (3) rút gọn thành:
9


trong đó là bình phương khoảng cách Euclidean giữa x và y và là giá trị
phương sai của nhiễu.
Đầu tiên, ta thấy rằng khi L tiến ra vô cùng thì:
Đây là “luật số lớn yếu” (weak law of large numbers). Nó thể hiện rằng, hội tụ
về 1, từ đó phương sai của tổng trên có xu hướng tiến về 0. Tính hội tụ này là
“hội tụ yếu” và có thể chứng minh được bằng cách sử dụng bất đẳng thức
Chebyshev. Nó chỉ ra một cách trực quan rằng, biểu thức (3) tiệm cận đến (4) và
fading không còn ảnh hưởng khi L tiến ra vô cùng.
Những thảo luận ở trên là chưa kể đến một điều kiện khắt khe. Điều kiện
này sẽ được nói đến khi áp dụng “luật số lớn mạnh” (strong law of large
numbers) dưới đây.
Trước tiên, ta viết lại hàm xác suất lỗi (3) dưới dạng
trong đó
Biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối với hai bậc tự do, vì trong đó và là
hai biến ngẫu nhiên phân độc lập nhau phối theo Gaussian, đều có kỳ vọng bằng
0 và phương sai bằng 1/2. Kỳ vọng và phương sai của lần lượt là và . và là các
biến độc lập do đó cũng là các biến ngẫu nhiên độc lập. Tổng của chúng Y là
một biến ngẫu nhiên phân phối 2L bậc tự do. Kỳ vọng và phương sai của nó lần
lượt là và . Hàm mật độ xác suất pdf của Y được viết thành:

10

Hình 3. Hàm mật độ xác suất của Y
Hình 3 vẽ các đường biểu diễn hàm mật độ xác suất pdf ứng với L = 2, 4, 8, 12,
16 và 32. Rõ ràng, ta thấy có xu hướng trở thành xung Dirac khi L tiến ra vô
cùng. Đúng hơn, dễ dàng chỉ ra rằng:
khi , với bất kỳ hàm g nào của lớp . Từ định nghĩa của xung Dirac ta có thể nói .
Do đó, hàm tính xác suất lỗi
tiến tới xác suất lỗi của kênh chuyền Gaussian .
Một biểu thức chính xác khác của nhận được Khi kết hợp (5) với (6) và
tính trực tiếp tích phân trên ta thu được kết quả là được biểu diễn thành hàm của
signal-to-noise ratio :
trong đó
Hàm biểu diễn xác suất lỗi (7) được vẽ trên Hình 4 với các giá trị L = 1, 4, 12 và
32 trên kênh truyền fadinh Rayleigh. Chúng ta cũng có thể vẽ thêm vào Hình 4
11


đường biểu diễn xác suất lỗi tính theo công thức (4) cho tín hiệu khi truyền trên
kênh truyền chỉ có nhiễu trắng Gaussian (AWGN).

Hình 4. Xác suất lỗi theo SNR
Nhận thấy, ảnh hưởng của fading giảm đáng kể khi diversity lớn hơn hoặc bằng
12 như trong Hình 4, và điều này sẽ được kiểm chứng thông qua mô phỏng
trong phần VII.
V. QUAY MẠNG SỐ NGUYÊN Zn
Phần này tập hợp 3 kỹ thuật chúng ta đã từng nghiên cứu để thu được một
mạng lập phương đa chiều Zn quay với sự phân tập cao. Kế tiếp chú giải [4]
chúng ta biểu thị n,L với n-mạng đa chiều, L: phân tập. Chúng ta quan sát sự tạo
ra ma trận M của việc quay mạng Zn là việc quay ma trận sẽ chuyển đổi tất cả
các vector phần nguyên sang một tập vector cần phân tập.
Việc quay nhóm mảng lập phương có thể sử dụng một sơ đồ mô đul đa

diện giải mã hoặc như một mô dul cơ bản cho kỹ thuật mã hoá. Ví dụ, chúng ta
có thể đưa vào việc quay vào bất cứ sơ đồ mã hoá đã biết dựa vào việc modul
hoá QAM để thu được hiệu quả của sự phân tập cùng với lợi ích từ mã hoá.
A. Xây dựng mạng Zn quay từ mạng số nguyên đã biết
12


Trong [4] phiên bản sau khi quay của các mạng D4, E6, E8, K12, A16, A24
được thành lập cho L bằng một nửa kích thước. Từ D4, E6, E8, K12, A16, A24 là các
mạng số nguyên (ví dụ các mạng con của Zn) chúng ta mong muốn tìm thấy lớp
nền sau khi quay mạng Zn với cùng sự phân tập. Trong phần này chúng ta sẽ
thảo luận ngắn về vấn đề này.
Chúng ta nói 1 và 2 là bằng nhau nếu chúng bằng nhau ở phần quay và
phần hệ số chuyển dịch. Ma trận nguồn M1 và M2 của hai mảng thành phần có
quan hệ theo:
M2 = αBM1R

(8)

α là hệ số chuyển dịch, R là ma trận quay và B là ma trận chuyển đổi
mạng cơ bản. i.e., một ma trận nguyên với det(B)=1. Ma trận B Được biết đến
như một ma trận số nguyên không thể mô dul hoá.
Chúng ta sẽ chỉ ra một mạng bất kỳ không quay được D4, E6, E8, K12, A16,
A24 với n,1 khi nó có phân tập L=1 và với n,n/2 mạng quay tương ứng với phân
tập L=n/2. Hai mạng n,1 và n,n/2 được định nghĩa bởi ma trận thành phần M1 và
M2 nếu chúng ta quyết định scaling factor α và ma trận B sau đó chúng ta có thể
đạt được yêu cầu ma trận rotaition R từ (8).
Lấy giá trị tuyệt đối của định thức của hai phía của (8) ta được:
Để không mất tính tổng quát, chúng ta thay thế M2 bởi α-1M2 và tập trung
tìm B. Chúng ta sẽ lựa chọn các ma trận Gram và . Từ đó M2 = RM1B ta có G2 =

BG1BT. Thay vì tìm B ta trực tiếp tìm ma trận chung M1 của mạng nonrotated với
kết quả , hàm ý rằng B là ma trận xác định.
Ma trận Gram G2 là đối xứng và thành phần của nó gij là phần vô hướng
(vi, vj) của mạng vector cơ bản tương xứng với các hàng của M1. Đường chéo
phần gij tương ứng với quy tắc hình vuông của vector cơ bản. Vấn đề là sau đó
quyết định ma trận nguồn M1 như mạng vector cơ bản thoả mãn điều kiện vô
hướng G2. Bằng máy tìm kiếm chúng ta có thể tìm được các ma trận nguồn M1
và đáp ứng yêu cầu các ma trận rotation .
13


B. Xây dựng biểu thức đại số cho các mạng Zn,n/2
Trong phần này chúng ta xây dựng một tập hợp của các ma trận trực giao
với phân tập L = n/2 với n = 2e13e2; e1, e2=0, 1, 2, …
Điểm cốt lõi được sử dụng trong phần này là tìm Zn,n/2 theo các mục dưới đây
-

Các vector của mạng cơ bản là trực giao
Đa thức nhỏ nhất µ(x) có hệ số nguyên
Đa thức nhỏ nhất µ(x) có n nghiệm phức riêng
Kích thước của mạng là n=(N), tại (.) là biểu thức Euler cho bởi các số
nguyên tố với N [14]
Giờ ta lựa chọn trường chia vòng tròn K=Q[j](), khi =e2j/N là

nghiệm đơn thứ N. K là phần mở rộng đại số của Q[j]={a+jb|a,bQ} của
(N)/2. (r1=0, r2=n/2) và đa thức nhỏ nhất
k)

(9)

khi (k, N) là ước số chung lớn nhất của k và N. đa thức nhỏ nhất Z[j] được quyết
định bởi m(x) và được định nghĩa ở phần dưới đây.
Chúng ta chọn 1=, 1, 2,…, n/2 nghiệm phức của sẽ xác định n/2
trường riêng biệt Q-hàm chỉnh hình.

1()=1

2()=2 … n/2()=n/2

Để xây dựng mảng phức  của chiều n/2 ta đưa vào theo chuẩn một vòng
các số nguyên OK=Z[j]() được tạo ra bởi (1, , 2, …,n/2-1). Nó tạo ra ma trận
được cho như dưới.

Khi các vector chuẩn mảng phức vi, i=1, 2, …, n/2, tương ứng với hàng
của M.

14


Mạng thực tương ứng của chiều n có thể có được bởi việc thay thế mỗi số
phức a+jb của M bằng ma trận 2x2 . Như được cho bởi [4] mạng này có phân
tập L=n/2=r2.
Chúng ta quan tâm tới việc chọn nghiệm i, i=1, 2, …, n/2, hoặc thành
phần đa thức nhỏ nhất , nên M trở thành ma trận đa thức, i.e., một ma trận nguồn
cho mạng nguyên phức trong chiều n/2. Đa thức theo vector phức mang tính
vector thực. Kết quả được cho bởi hai dòng:

Của M phải thoả mãn

Với p>q, ta có

Và từ nghiệm phức I được đặt trên vòng đơn vị

Mặt khác, đầu tiên n/2-1 chức năng đối xứng nguồn Sm của nghiệm của
là rỗng. đa thức , điều chúng ta muốn xác định có thể được cho trong
m(x)m*(x), khi ta giả sử i, i=1, 2, …, n/2 là các nghiệm của đa thức m(x) của

15


độ chính xác n/2 vượt qua vòng số nguyên Gaussian Z[j], trong khi m*(x) đem
đến nghiệm phức hợp.
Áp dụng đồng nhất Newton nhận thấy

Và

Nên

Giờ chúng ta có dạng tổng quát của các đa thức tối thiểu, chúng ta vẫn cần
phải xác định các nghiệm hợp nhất được lựa chọn chính tắc:
là các nghiệm chưa biết của m(x) mà
chúng ta cần xác định. P là kết quả của n/2 nghiệm dựa trên vòng tròn đơn vị

Và chúng ta có giá trị chính xác n/2 của I với

Tương ứng với các nghiệm

thoả mãn

Để xác định giá trị của  ta xem xét theo những điều kiện sau:

-

-

có các nghiệm thực, nên các nghiệm của m(x) phải khác các
nghiệm của m*(X)

chỉ có nghiệm phức nên

16


-

có hệ số nguyên

Với
Các giá trị dương của các nghiệm m(x) được tổng hợp trong bảng I, các
giá trị âm của  được xác định từ các giá trị dương tương ứng của các nghiệm
của m*(x). Cột thứ 3 (giá trị của N) được phân tập từ cột thứ 2 bằng đánh dấu
từ định nghĩa
Cuối

cùng,

chúng

ta

phải

giải

quyết

Để có được các giá trị thoả mãn của kích thước n của mạng thực. Bằng
cách tương đương, ta có thể giải quyết
Ta gọi lại

khi

với

phải có số nguyên tố lớn nhất chia N là

một phần trong mẫu số. Sau đó đối với các phần trên của K số nguyên tố lớn
nhất

trong

N

chúng

ta

có

thể

viết

đối

với

vài

ta phân biệt 3 trường hợp:
-

đặt

với

sau đó
sẽ không có vấn đề gì.
với trường hợp này, Số nguyên tố lớn nhất chia N là 2, nên

-

với sau đó

không có vấn đề gì

với
-

đặt
sau đó

với
có vấn đề với

Ta có thể kết luận rằng các giá trị có thể chấp nhận được của  là
chúng tương ứng với biểu thức dạng

và

với
17


và với
mạng

và

tương ứng. Như vậy có tồn tại các

cho tất cả các chiều

với

và

.
C. Xây dựng biểu thức đại số cho các mạng
Việc xây dựng này dựa trên đại số thực trường số

.

Bằng việc áp dụng canonical embedding vào ý tưởng đặc biệt trong trường này
chúng ta tìm thấy mạng lập phương quay

. Từ

là tổng

trường thực chúng ta đã biết từ [4] nhóm constellation có đầy đủ phân tập L=n.
Sự lựa chọn tập các trường số xuất hiện là ngẫu nghiên nhưng trong phần này ta
sẽ chỉ ra rằng một vài mạng lập phương quay cũng đem lại kết quả lớn nhất về
khoảng cách của constellation.
Giờ ta mô tả các thủ tục đã sử dụng để có
là
lưới mà ta có thể chỉ ra

. Ta đã biết mức của

. Điều này đặt ra một số hạn chế về kích thước
. ở tất cả các kích thước thậm chí lên tới

32 không dẫn tới mạng tinh thể nguyên trong khi phần lẻ trong bảng II. Thủ tục
theo các bước sau:
1) Quyết định trường số

với biểu thức nhỏ nhất

và trị tuyệt đối
2) Đặt

trở thành nhân tố nguyên tố của biệt thức trị tuyệt đối.
3) Yếu tố lý tưởng (p) trong
tại I là nguyên tố.
4) Cho k=0,…,n đặt vào canonical embedding tới ý
trận phát là trực giao, i.e., ma trận phát của

và kiểm tra nếu ma
.

18


Cột cuối của bảng II đưa ra nguồn của ý tưởng I mà các thủ tục phân tập
hoàn chỉnh mạng

. Mạng được cho bởi

embedding được định nghĩa bằng nghiệm thực n của
của

có thể có quan hệ với

, tại

. Khối lượng cơ bản

và chỉ tiêu đại số

Nếu ta giới thiệu tỉ lệ

là canonical

bởi [4]

ta sẽ chỉ ra ma trận lập

phương độ lớn đơn vị.
Nhưng một ví dụ, mạng lập phương phân tập hoàn chỉnh
thấy từ trường

. Giá trị tuyệt đối là

được tìm
và

. Ý tưởng chính I được tính toán bởi
.
VI. TỐI ĐA HÓA KHOẢNG CÁCH HAMMING
Trong những mục trước, chúng ta đã thể hiện cách để nhận được lưới Zn
xoay, thứ mà đảm bảo cho mức độ nhất định của phân tập. Mặc dù việc phân tập
là tham số thiết kế quan trọng nhất, chúng ta vẫn cần xem xét tới việc tối đa hóa
khoảng cách sản phẩm cực tiệu dP,min giữa hai điểm của chòm sao tín hiệu. Trong

19


mục này, chúng ta sẽ hể hiện một cấu trúc của lưới Zn, n cho một vài số chẵn n
để nhắm tới việc tối đa hóa dP,min.
Xét vấn đề ở dạng phổ biến nhất, chúng ta cần xá định ma trận ma trận
xoay tùy ý với thứ tự phân tập lớn nhất có thể (L = n), thứ sẽ làm tối đa hóa d P,min

của chòm sao tín hiệu tương ứng. Vấn đề tối ưu hóa này trở nên bất trị một cách
nhanh chóng do số lượng các biến và độ phức tạp của các hạn chế kĩ thuật. Vì lý
do đó, chúng ta sẽ giới hạn nghiên cứu tới một họ nhỏ hơn các ma trận xoay, cái
mà có thể được tham số hóa với một số lượng các biến đã được giảm thiểu và
tạo ra các hạn chế đơn giản hơn.
Chúng ta sẽ bắt đầu với các chiều 2 và 3 và sau đó tiếp tục với các chiều
khác của loại 2e13e2 áp dụng một cấu trúc mà gợi lại cấu trúc được sử dụng cho
các ma trận Hadamard
Một điều rất quan trọng nhắc lại là bất cứ khi nào chúng ta ứng phó với
các lưới được tạo ra bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực, dP, min có
liên hệ tới quy tắc trường và bị phụ thuộc vào kích thước của chòm sao tín hiệu
hữu hạn được cắt ra bởi lưới [4]. Trong toàn bộ các trường hợp khác, điều này
không cần thiết phải đúng.
Trong cấu trúc tối ưu hóa dP,min tiếp theo, chúng ta sẽ giới hạn kích thước
của các chòm sao tới trường hợp của η = 4 bit/symbol. Trong mọi trường hợp
(ngoại trừ cho trường hợp ba chiều, nơi mà điều này được chứng minh là đúng)
chúng ta đã kiểm chứng bằng thực nghiệm rằng d P,min không phụ thuộc vào kích
thước của chòm sao tín hiệu. Chúng ta phỏng đoán rằng trong mọi trường hợp
chúng ta sẽ ứng phó với một số phần chiều thấp hơn của một lưới được tạo ra
bởi ánh xạ chính tắc của tổng các trường số thực của bậc cao hơn.
A. Chiều 2
Mọi ma trận trực giao hai chiều có cấu trúc như sau:
Với ràng buộc a2 + b2 = 1

20


Chúng ta sẽ tham số hóa ma trận trực giao này như một hàm của của một biến
đơn lẻ λ như sau:
Lưu ý rằng các hàng của M là các vector lưới cơ bản trực giao chuẩn hóa.

Hình 5 thể hiện các giá trị của d P,min như một hàm của λ cho một chòm sao tín
hiệu hữu hạn (η = 4 bit/symbol), được cắt từ lưới được tạo ra bởi M. Chỉ các giá
trị dương của λ được xét tới do tính đối xứng giữ giá trị gốc và giá trị của λ tạo
ra các chòm sao phân tập có L = 1 bị bỏ qua. d P,min được tính toán bởi sự tìm
kiếm đầy đủ thông qua các điểm của chòm sao hữu hạn sử dụng một bước nhỏ
cho λ (ví dụ 0.005). Cũng trong hình 5, tác giả cũng đã vẽ các biên trên sau tới
dP,min (các hàm của λ)
(23)
tương ứng với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm với các
thành phần số nguyên được báo cáo trong cột thứ 2 của (23). Đường cong của
dP, min về nguyên tắc cũng có thể nhận được như là phần bé nhất của toàn bộ
các biên của loại (23) cho toàn bộ các điểm của chòm sao tín hiệu.
Trong hình 5, chúng ta sẽ quan sát các đỉnh cao nhất được tìm tháy tại các
phần giao nhau giữa biên thứ nhất và biên thứ 2 trong (23) cho
Biên cao hơn của 0.5 tới dP, min nhận được bằng cách giả sử rằng có tồn tại một
chòm sao tín hiệu có chứa một vector chính tắc đơn vị với toàn bộ các thành
phần bằng nhau
Một vài sự cân nhắc về ma trận tối ưu là thích hợp tại đây. λ 0,2 là gốc của
đa thức λ2 + λ – 1, tức là nó thuộc về một trường số thực bậc 2. Các đầu vào a
và b của M do đó thuộc về một trường số bậc 4. Trong trường hợp này chúng ta
sẽ không sử dụng lưới ánh xạ chính tắc mà chỉ một vài phần hai chiều của nó,
thức mà cho chúng ta một chòm sao tín hiệu lưới Z2 với phân tập L = 2 và dP,
min tối đa. Trường hợp hai chiều là trường hợp duy nhất mà chúng ta nhận được
dP, min tối đa tuyệt đối trong mọi ma trận xoay khả dụng.
21


Hình 5. Tập hợp Z
A. Chiều 3
Họ của các ma trận trực giao 3 chiều chúng ta xét tới ở đây là

với ràng buộc a2 + b2 + c2 = 1 và ab + bc + ac = 0.
Chúng ta sẽ tham số hó ma trận trực giao này như là hàm của một biến đơn lẻ λ
như sau:
Cũng như trước đây, các hàng của M tạo ra các vector cơ sở lưới trực
chuẩn của một phiên bản xoay Z3
Hình 6 thể hiện các giá trị của dP,min như một hàm của λ, cho một chòm sao
tín hiệu hữu hạn với η = 4 bit/symbol, được cắt ra từ lưới được tạo ra bởi M.
dP,min được tính toán bởi sự tìm kiếm đầy đủ thông qua các điểm của chòm sao
tín hiệu hữu hạn cho mỗi giá trị của λ. Trong trường hợp này, các giá trị của λ
được lấy trong khoảng (-4, 4) do dP,min nhanh chóng biến mất bên ngoài khoảng
này. Các giá trị của λ khiến cho việc phân tập nhỏ hơn 3 bị bỏ qua. Trong hình 6,
tác giả cũng vẽ các biên phía trên tới dP,min
22


(26)
tương ứng với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm có
các thành phần số nguyên được báo cáo trong cột chứ 2 của (26)
Trong hình 6, chúng ta sẽ nhận dạng các đỉnh cao nhất của các phần giao
nhau giữa biên thứ nhất và biên thứ hai trong (26), phần đó nằm tại các gốc của
các đa thức sau:

Thật ngạc nhiên, hai đa thức này lại là các đa thức tối thiểu tương đương
của trường số đại số thực tổng cộng Q(2 cos(2π/7). Các giá trị λo,3 của các gốc
của các đa thức trên có các biểu diễn đơn giản sau:

Các giá trị của a(λo,3), b(λo,3) và c(λo,3) để thay thế trong M có thể được
tính toán trực tiếp bằng cách thay thế trong (25) hoặc bằng cách áp dụng các
thuộc tính trường của Q(2 cos(2π/7). Phương pháp thứ 2 này là thích hợp hơn do
nó tạo ra các biểu diễn đa thức đơn giản:

23


Hình 6. Các giá trị của dP,min trong 3 chiều
Tương tự, chúng ta có thể tính toán giá trị tối ưu
Bằng cách xem xét trực tiếp, chúng ta đã tìm ra rằng toàn bộ các lưới trên
là tương đương với các lưới Z3, 3a và Z3, 3b của mục III-C.

B. Cấu trúc trong các chiều cao hơn
Trong hai mục nhỏ trước, chúng ta đã tìm ra các khối cấu trúc cơ bản của
các ma trận xoay mà chúng ta sẽ thể hiện ở đây. Cấu trúc này được dựa trên cấu
trúc đặc biệt của một vài ma trận trực giao tương tự với thứ mà được sử dụng để
tạo ra các ma trận Hadamart. Chúng ta sẽ minh họa cấu trúc này trong một vài
chi tiết cho chiều 4. Các ma trận xoay khác cho các chiều 6, 8 và 12 có thể nhận
được bằng cách lặp lại cùng cấu trúc.
1) Chiều 4: Họ của các ma trận trực giao bốn chiều mà chúng ta xem xét ở đây
là:

24


Đặt U2 = a2 + b2 + c2 + d2 là hệ số chuẩn hóa.
Nếu ma trận con có kích thước 2 x 2 M1 được đặt cố định là một trong số
các ma trận hai chiều tối ưu thì các rang buộc trực giao sẽ được giảm xuống còn
ad – bc = 0. Ma trận 2 x 2 M2 thì sẽ phụ thuộc vào tham số λ. Các vector cơ sở
cuối cùng sẽ được chuẩn hóa bởi U như sau:

với:

Hình 7 thể hiện các giá trị của dP,min như là một hàm của λ cho một chòm
sao tín hiệu hữu hạn (η = 4 bit/symbol), được cắt từ lưới được tạo ra bởi M. dP,
min được tính toán bằng việc tìm kiếm đầy đủ thông qua các điểm của chòm sao
tín hiệu hữu hạn. Các giá trị của λ được thể hiện, với các bước 0.005, trong
khoảng (0, 3), do dP, min nhanh chóng biến mất bên ngoài khoảng này và đường
cong thì đối xứng so với tín hiệu gốc. Các giá trị của λ khiến cho sự phân tập
nhỏ hơn 4 bị bỏ qua. Trong hình 7, tác giả cũng vẽ các biên phía trên tiếp theo
tới dP,min (các hàm của λ), như thể hiện trong (27) tại cuối trang này, tương ứng
với các khoảng cách sản phẩm giữa tín hiệu gốc và các điểm với các thành phần
số nguyên cho trước.

25