SKKN biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị image marked

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

A/ PHẦN MỞ ĐẦU

Khảo sát hàm số và ứng dụng của khảo sát hàm số là một phần rất quan trọng trong chương trình
lớp 12, trong các đề thi đại học. Một trong các ứng dụng của khảo sát hàm số là biện luận số
nghiệm của phương trình bằng đồ thò. Đây là dạng toán rất hay, rất có ích cho học sinh, không chỉ
cho học sinh lớp 12 mà kể cả cho học sinh lớp 10, 11. Rất nhiều bài toán muốn biện luận số
nghiệm của phương trình, bất phương trình theo tham số m, nếu dùng phương pháp đại số các em
gặp nhiều khó khăn vì phải xét quá nhiều trường hợp, nhưng nếu dùng đồ thò thì bài toán trở nên
đơn giản, dễ thấy hơn. Đề tài này đi sâu vào việc giúp học sinh có kỹ năng giải nhanh và chính
xác loại toán này
II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình lớp 12 , khi dạy phần biện luận phương trình bằng đồ thò, tôi thấy sách giáo
khoa chỉ đề cập đến hai dạng thường gặp đó là trường hợp phương trình đề bài cho là phương trình
hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà đường d là đường thẳng cùng
phương với trục Ox.Trong khi đó có nhiều bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học thì phương trình
đề bài cho là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà
những đường thẳng d luôn song song với nhau, không cùng phương Ox, hoặc những đường d này
luôn quay quanh một điểm A cố đònh. Ngoài ra còn rất nhiều bài toán khi giải ta thường đưa về
dạng xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c trên miền K , dạng toán này học sinh thường gặp phải
khó khăn khi a có chứa tham số và có rất nhiều em giải thiếu trường hợp , kể cả khi các em đọc
lời giải sẵn , có em vẫn không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế Song nếu có sự
giúp đỡ của đồ thò thì việc giải quyết các bài toán trên trở nên nhẹ nhàng hơn và ít xảy ra tình
trạng thiếu nghiệm. Vì vậy với bài viết này tôi hy vọng giúp các em học sinh tháo gỡ được những
khó khăn khi gặp các bài toán trên.
Bài viết còn nhiều hạn chế, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy
cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn.


B/ PHẦN NỘI DUNG

VẤN ĐỀ 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cho phương trình (1) , đππể dùng đồ thò (C ) : y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm của
phương trình (1) thì ta biến đổi sao cho một vế của (1) là f(x) còn vế còn lại sẽ có một trong 5
dạng sau :

DẠNG 1 : f(x) = m (1) .Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của

(C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của
phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta
tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
VÍ DỤ 1:1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y = x3 – 3x2 +1

2/ Dùng đồ thò (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
a/ x3 – 3x2 +1 = m (1)
b/ x6 – 3x4 +1 – m = 0 (2)
c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3) x  [0;  ]

GIẢI:

1/ + Tập xác đònh : D = R
+ y/ = 3x2 – 6x = 3x ( x – 2)
x  0  y  1
y/ = 0  

 x  2  y  3
+ y// = 6x – 6 = 6 ( x – 1 )
y// = 0  x  1  y  1
BXD :

x -
y//

1
0

-

(C)
+ BBT :

lồi
x -
y/

+

ĐU

+

y

+

0
0
CĐ
1

lõm

-

2
0

+
+
+

-3
CT

-
+ ĐĐB:
x

-1

0

1

2

3


y

-3

1

-1

-3

1

y

f(x)=x^3-3x^2+1
f(x)=-3
f(x)=1

(C )

8

f(x)=5

6

d

4

2

d
x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

7

8

9

d

-4

-6

-8

2/
a/ x3 – 3x2 +1 = m (1)
(1) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng d : y = m
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình
(1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
m  3
+ Nếu 
thì (C ) và d có 1 giao điểm  phương trình (1) có một nghiệm
m  1
m  3

+ Nếu 
thì (C ) và d có 2 giao điểm  phương trình (1) có hai nghiệm
m  1
+ Nếu -3 < m < 1 thì (C ) và d có 3 giao điểm  phương trình (1) có ba nghiệm

b/ x6 – 3x4 +1 – m = 0

(2)  t 3  3t 2  1  m (2/) với t = x2  0

(2/) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t  0 và đường thẳng d : y = m
,d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình
(2/) chính là số giao điểm của (C ) và d với điều kiện hoành độ giao điểm t  0. Dựa vào đồ thò của
(C ) và d ta có :
+Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ âm  (2/) vô nghiệm  (2) vô nghiệm
+ Nếu  3  m  1 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ âm và 2 giao
điểm có hoành độ dương  (2/) có 2 nghiệm  (2) có 4 nghiệm
+ Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao
điểm có hoành độ dương  (2/) có 2 nghiệm  (2) có 3 nghiệm
+ Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ dương  (2/) có 1 nghiệm  (2) có 2
nghiệm đối nhau
c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3)  t 3  3t 2  1  m (3/)


với t = cosx vì x  [0;  ] nên t  [1;1]
(3/) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t  [1;1] và đường thẳng
d : y = m ,d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của
phương trình (3/) chính là số giao điểm của (C ) và d với điều kiện hoành độ giao điểm t  [1;1] .
Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
+ Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t < -1  (3/) vô nghiệm  (3) vô nghiệm.
+ Nếu  3  m  0 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ t  [1;1] và 2

giao điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có 1 nghiệm  (3) có 1 nghiệm
+ Nếu 0  m  1 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 2 giao điểm có hoành độ t  [1;1] và 1
giao điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có 2 nghiệm  (3) có 2 nghiệm
+Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao
điểm có hoành độ t  [1;1]  (3/) có 1 nghiệm  (3) có 1 nghiệm
+ Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t  [1;1]  (3/) vô nghiệm  (3) vô
nghiệm.

Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – mx + m = 0 (1)
Giải :
(1) x3 – mx + m = 0  x3 = m ( x – 1) 
( vì x = 1 không phải là nghiệm của (1) )

x3
m
x 1

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của ( C) : y =

x3
và (d) : y = m
x 1

x3
1
= x2 + x + 1 +
x 1
x 1
+ Tập xác đònh : D = R \ 1

Khảo sát và vẽ (C ) : y =

+ y/ = 2x + 1 -

1
x 2 (2 x  3)
=
( x  1) 2
( x  1) 2

+(C ) có tiệm cận đứng : x = 1 , tiệm cận cong : y = x2 + x + 1
+ Bảng biến thiên
3
X -
0
1
+
2
y/
0
0
+
+
+
+
y
-
CT
3 27
Đồ thò hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( ;

) , có điểm uốn O (0;0)
2 4
Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có :
27
+m<
thì (1) có đúng một nghiệm
4


27
thì (1) có hai nghiệm
4
27
+m>
thì (1) có ba nghiệm
4

+m=

y

f(x)=x^3/(x-1)

(C )

10

f(x)=4
f(x)=27/4
f(x)=x^2+x+1

8

6

d

4

2

(C )

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

-2

-4

Ví dụ 3 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : x  1 ( x  2)  m  0 (1)
Chú ý : Với ví dụ 3 nếu giải bằng phương pháp đại số thì các em dùng đònh nghóa để phá bỏ dấu

giá trò tuyệt đối và đưa về việc giải và biện luận phương trình bậc hai , cách làm này phức tạp hơn
, nhưng nếu ta nhìn bài toán này dưới dạng 1 thì bài giải lại đơn giản hơn .

Giải :
Ta có : x  1 ( x  2)  m  0

(1)  m   x  1 ( x  2)

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y =  x  1 ( x  2) và d : y = m
Vẽ đồ thò ( C ) : y =  x  1 ( x  2) và xét x2 + x – 2 = - m khi x  1 ta có x1 
x2 

 1  9  4m
,
2

 1  9  4m
9
(m  )
2
4

Tương tự xét x2 + x – 2 = m khi x  1 ta có x3 
Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có :
a/ m > 0 thì (1) có nghiệm x = x1

 1  9  4m
 1  9  4m
9
, x4 

(m  )
2
2
4


 x  2
b/ m = 0 thì (1) có nghiệm 
x  1
 x  x4
9
c/   m  0 thì (1) có nghiệm  x  x1
4
 x  x 2
1

x
9

d/ m = - thì (1) có nghiệm
2

4
 x  x4
e/ m < -

9
thì (1) có nghiệm x = x4
4
y

f(x)=-x^2-x+2
f(x)=x^2+x-2
f(x)=2

8

f(x)=-5
f(x)=-1

6

(C )

4

2

d
x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

d

-4

-6

-8

Ví dụ 4: Tìm tham số a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
 2 x 2  10 x  8  x 2  5 x  a

(1)

Giải :
Ta có :  2 x 2  10 x  8  x 2  5 x  a

(1)  2 x 2  10 x  8  x 2  5 x  a

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = 2 x 2  10 x  8  x 2  5 x
và d : y = a

9


 2
 x  5 x  8 khi
2
2
Dựng đồ thò (C ) :y = 2 x  10 x  8  x  5 x = 

2
 3 x  15 x  8

x  1
x  4

khi 1  x  4

Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có (1) có bốn nghiệm khi và chỉ khi 4 < a <

43
4

y

f(x)=x^2-5x+8
f(x)=x^2-5x+8
f(x)=-3x^2+15x-8
f(x)=5

12

f(x)=4
f(x)=43/4

(C )
10

8

d

6

5
2

4

2

x
-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ví dụ 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 x 2  3x  2  5a  8 x  2 x 2
Giải :
Ta có : 2 x 2  3 x  2  5a  8 x  2 x 2

(1)  2 x 2  3 x  2  2 x 2  8 x  5a

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = 2 x 2  3 x  2  2 x 2  8 x và
d : y = 5a

1

4 x 2  5 x  2 khi  x   2


Dựng đồ thò (C ) :y = 2 x 2  3 x  2  2 x 2  8 x = 
x  2

1
11x  2 khi   x  2
2

d: y = 5a là đường thẳng cùng phương với Ox , đi qua điểm (0;5a)

Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 5a = -

57
57

a
16
80

(1)


y

f(x)=4x^2+5x-2
f(x)=4x^2+5x-2
f(x)=11x+2
f(x)=24
f(x)=10

25

(C )

20

15

d
10

5

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

DẠNG 2 : f(x) = g(m) (1) trong đó g(m) là biểu thức theo m
Đặt g(m) = m/ , lưu ý điều kiện của m/.Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao
điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m/
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) .Số nghiệm của
phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta
tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
Ví dụ 6 : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của
phương trình :x3 - 3x2 – m2 – 2m – 2 = 0 (1)

Giải :

y

f(x)=x^3-3x^2+1
f(x)=2
f(x)=5

8

(C )

d

6

4

d

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-2

-4

-6

-8

2

3

4

5

6

7

8

9


(1)  x3 – 3x2 +1 = m2 + 2m +3 = ( m + 1)2 + 2
Đặt m/ = ( m + 1)2 + 2  2

, m  R

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/
Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có m/  2

, m  R thì (C )

và d có 1 giao điểm nên pt (1) có 1 nghiệm

Ví dụ 7 : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm
1
(2)
m

của phương trình : x3 - 3x2+1 = m +

Giải :
y

f(x)=x^3-3x^2+1
f(x)=2

(C )

8

f(x)=-2
f(x)=-4

6

d
4

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

d

-4

-6

-8

Đặt m/ = m +

m /  2
1
, điều kiện : m /  2   /
m
m  2

Ta xem (2) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/
Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có :
+m/  2  m  0 thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một nghiệm
m  0
3 5
3 5


/
 m 2  3m  1  0 
m
+ - 3  m  2  
1
2
2
m  m  3
thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (2) có ba nghiệm

9

d



3 5
m 
2
+ m/ = -3  
thì d và (C ) có hai giao điểm nên pt (2) có hai nghiệm

3 5
m 
2

 3  5
m0


m  0
2
/


+ m < -3   2
d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một

3 5
m  3m  1  0
m 
2

nghiệm

DẠNG 3 : f(x) = f(m) (1) trong đó f(m) là biểu thức theo m
Đặt f(m) = m/ , dựa vào bảng biến thiên của f(x) ta suy ra bảng biến thiên của f(m)
Ta xem (1) là phương trình hoành giao điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng
d : y = m/
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) .Số nghiệm của
phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta
tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
Ví dụ 8: : Cho đồ thò (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm
của phương trình :x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = 0 (1)

Giải :

x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = 0 (1)  x3 – 3x2 +1 = m3 – 3m2 +1
Đặt m/ = m3 – 3m2 +1 , dựa vào bảng biến thiên của f(x) = x3 – 3x2 +1 , ta có bảng biến thiên của
f(m) :

+ BBT :
m -
-1
0
2
3
+
CĐ
+
f(m)
-3
1
-3
1
CT
-
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = f(x) = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng
d : y = m/ d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ )
Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
m /  3
m  1
a/  /

thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (1) có một nghiệm
m  1
m  3


m  1
m  2

m  3
b/  /
thì d và (C ) có hai giao điểm nên pt (1) có hai nghiệm

m  0
m  1

m  3
c/ -3 < m/ < 1  m  (1;0)  (0;2)  (2;3) thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (1) có ba nghiệm
/

y

f(x)=x^3-3x^2+1
f(x)=-3
f(x)=5

8

(C )

d

6

4

2

x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

d

-4

-6

-8

Ví dụ 9: Cho hàm số y = ( x + 1)2 ( 2 – x )

a/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số
b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
( x + 1)2 ( 2 – x ) = ( m + 1)2 ( 2 – m ) (1)

Giải :

y = ( x + 1)2 ( 2 – x ) = - x3 + 3x + 2

+D=R

x  1
y  4
+ y/ = -3x2 + 3 ; y/ = 0  

 x  1  y  0
+ y// = -6x , y// = 0  x = 0  y = 2
BXD :
x -
y//
(C)

+
lõm

0
0

+
-

ĐU

lồi

6

7

8

9


+ BBT :
x -
y/
+
y

-1

0

-

1
0
CĐ
4

+

0
CT

+
-

-

+ ĐĐB:
x
y

-2
4

-1
0

0

2

1
4

2
0

y

f(x)=-x^3+3x+2
f(x)=4
f(x)=-3

8

d

6

4

2

(C )
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

x
-2

-1

d

1

2

3

4

5

6

7

-2

-4

-6

-8

b/ Đặt k = ( m + 1)2 ( 2 – m )
dựa vào bảng biến thiên của f(x) = - x3 + 3x + 2, ta có bảng biến thiên của
k = ( m + 1)2 ( 2 – m )
m -
+
k

-2

-1

4

1
4

2

+

0
0

Căn cứ vào đồ thò ta có :

k  0
a/ (1) có đúng một nghiệm  
 m 2
k  4
m  1
m  1
k  0
b/ (1) có hai nghiệm  

m  2
k  4

m  2
c/ (1) có ba nghiệm  0  k  4  m  (2;2) \  1,1

-

8

9


Dạng 4 : f(x) = kx + m (1) với k là một hằng số , m là tham số
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = kx + m
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn cùng phương với đường thẳng y = kx
Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp
tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận .

Ví dụ 10: a/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y = - x3 + 3x

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 12x + m = 0

Giải :

+D=R

x  1
y  2
+ y/ = -3x2 + 3 ; y/ = 0  

 x  1  y  2
+ y// = -6x , y// = 0  x = 0  y = 0
BXD :
x -
0
//
y
+
0
(C)
+ BBT :

lõm
x -
y/
+
y

-

+
-

ĐU
-1
0

lồi
1
0
CĐ
2

+

-2
CT

+
-

-

+ ĐĐB:
x
y

-2

2

-1
-2
(C )

0
0

1
2

2
-2


y

f(x)=-x^3+3x

m = 16

8

f(x)=-9x+16
f(x)=-9x-16

d

6

4

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

d
-4

-6

-8

b/ x3 – 12x + m = 0  - x3 +3x = - 9x +mm= (1)
- 16
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = - x3 +3x và d : y = - 9x + m
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn song song với đường thẳng y = -9x
Cho d tiếp xúc với (C )  hệ phương trình sau có nghiệm :
 x  2

 x 3  3 x  9 x  m
m   x 3  12 x

m  16




 x  2
 3 x 2  3  9
 x 2  4

m  16
Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
m  16
a/ Nếu 
thì (C ) và d có một giao điểm  (1) có một nghiệm
m  16
m  16
b/ Nếu 
thì (C ) và d có hai giao điểm  (1) có hai nghiệm
m  16
c/ Nếu -16 < m < 16 thì (C ) và d có ba giao điểm  (1) có ba nghiệm
Lưu ý : khi -16 < m < 16 thì những đường d tương ứng nằm giữa hai tiếp tuyến , khi m < -16 thì
đường d tương ứng nằm bên trái đường tiếp tuyến ứng với m = -16 và khi m > 16 thì đường d tương
ứng nằm bên phải đường tiếp tuyến ứng với m = 16

Ví dụ 11: Cho đồ thò (C ) : y = x 2  4 x  3

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C )
b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) và có hệ số góc là 2
c/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

Giải :

x 2  4 x  3 - 2x – m = 0 (*)

x  1
a/ Hàm số xác đònh khi x2 – 4x + 3  0  
Vậy D = (;1]  [3;)
x  3
2x  4
+ y/ =
, y/ = 0  x  2
2
2 x  4x  3


x 2  4x  3
1
x

,

x 2  4x  3
 1
x

,

+ lim

x  

lim

x  

 y = x – 2 là tiệm cận xiên của (C )

lim ( x 2  4 x  3  x)  2

x  

 y = - x + 2 là tiệm cận xiên của (C )

lim ( x 2  4 x  3  x)  2

x  

+ BBT :
x
y/

-

1

3

+

-

+

+

+

y
0

+ ĐĐB :

x

0

y

3

0

1

3

0

0

4

3

y

f(x)=(x^2-4x+3)^(1/2)
f(x)=-x+2

9

f(x)=x-2

8

7

6

5

4

3

2

1

x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

b/ Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc bằng 2 , gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
x0  2
2
Ta có y/ (x0) = 2 
 2  x0  2  2 x0  4 x0  3
2
x0  4 x0  3

x  2  0
2 3
1

 x0  2 
y
2
2
3
3
4( x0  4 x0  3)  ( x0 (C2))
Vậy phương trình  : y = 2x – 4 - 3

c/

x 2  4 x  3 - 2x – m = 0 (*) 

x 2  4x  3  2x  m

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = x 2  4 x  3 và d : y = 2x + m
Khi m thay đổi , những đường d luôn song song với tiếp tuyến 


y

f(x)=(x^2-4x+3)^(1/2)
f(x)=-x+2

6

f(x)=x-2
f(x)=2x-2

5

d

4

(C )

f(x)=2x+4

d

f(x)=2x-6
f(x)=(2x)-(4)-[3^(1/2)]

3

2

d

1

x
-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
a/ m < -6 thì (*) có một nghiệm
b/ -6  m  4  3 thì (*) có hai nghiệm
c/ m = -4 - 3 thì (*) có một nghiệm
d/ -4 - 3 < m < -2 thì (*) vô nghiệm
e/ m  - 2 thì (*) có một nghiệm

Dạng 5 : f(x) = m ( x – a) + b (1) với a , b là một hằng số , m là tham số
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = m ( x – a) + b
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố đònh A( a,b)
Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp
tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận .
x 2  4x  5
Ví dụ 12 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y =
x2
b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
1
x–2+
= mx – m + 1 (1)
x2

Giải :

+ D = R\ 2

x  1

 y  2
x 2  4x  3 /
;y =0 

2
( x  2)
x  3  y  2
+(C ) có một tiệm cận đứng x = 2 và một tiệm cận xiên y = x - 2
+ y/ =


+ BBT :
x -
y/

1
0
CĐ
-2

+

y

2
-

3
0

-

+
+

+

+
2
CT

-

-

+ ĐĐB:
x

0
5
2

y

1

3

-2

2

4
5
2

y

f(x)=(x^2-4x+5)/(x-2)
f(x)=x-2

8
6
4
2

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2
-4
-6
-8

Nhận xét : Nếu câu b/ đề bài chỉ yêu cầu bòên luận theo m số nghiệm của phương trình (1) thì ta
có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai , nhưng ở đây yêu cầu của đề bài là dùng đồ thò (C )
nên buộc ta phải sử dụng dạng đồ thò (C ) .Vì vậy phương trình (1) phải đưa về dạng 5.
x 2  4x  5
1
 m( x  1)  1
b/ x – 2 +
= mx – m + 1 (1) 
x2
x2
x 2  4x  5
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y =
và d : y = m ( x – 1) + 1
x2
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố đònh A( 1,1)
Cho d tiếp xúc với (C )  hệ phương trình sau có nghiệm :


1

 x  2  x  2  m( x  1)  1


1
1 
m
 ( x  2) 2

1

 x  2  x  2  m( x  2)  m  1

1
1 
 m (b)
 ( x  2) 2

(a)

Thế (b) vào (a) ta có :
1
1
x–2+
= (1 )(x-2) + m + 1
x2
( x  2) 2
2
1
m 1

 m 1 

(c )

x2
x2
2
Thế (c ) vào (b) với điều kiện m < 1 , ta có :

5 3
x


m  3  2 3
 m 1
2
2
1 

  m  m  6m  3  0  
2



5 3
m  3  2 3
x 
2

Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
m  3  2 3

a/ Nếu  3  2 3  m  1 thì (C ) và d có hai giao điểm  (1) có hai nghiệm
m  1


m  3  2 3

b/ Nếu m  3  2 3 thì (C ) và d có một giao điểm  (1) có một nghiệm
m  1

c/ Nếu  3  2 3  m  3  2 3 thì (C ) và d không có giao điểm  (1) vô nghiệm
2

+
(C )

m =1

d

m  3  2 3

d

d
(C )


y

f(x)=(x^2-4x+5)/(x-2)
f(x)=x-2
f(x)=x

8

f(x)=[-3+2(3)^(1/2)](x-1)+1
f(x)=[-3-2(3)^(1/2)](x-1)+1

6

4

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

Chú ý : Với ví dụ này thì khi xét các trường hợp để biện luận ngoài việc vẽ các tiếp tuyến vừa
tìm được , các em phải vẽ thêm hai đường thẳng đi qua A và song song với hai đường tiệm cận
của đồ thò (C ), khi đó đường thẳng song song với tiệm cận đứng không tồn tại hệ số góc m , nghóa
là m tiến ra vô cực , còn đường thẳng song song với tiệm cận xiên có hệ số góc m = 1.Do đó dựa

vào vò trí các đường thẳng d ta dễ dàng biện luận các trường hợp .

Ví dụ 13:

x 2  2x  1
x2
b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
1
x+
= mx – m + 1 (1)
x2

a/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y =

Giải : + D = R\ 2
+ y/ =

x  1
y  0
x 2  4x  3 /
;y =0 

2
( x  2)
x  3  y  4


+(C ) có một tiệm cận đứng x = 2 và một tiệm cận xiên y = x

+ BBT

x -
y/

1
0
CĐ
0

+

y

2
-

3
0

-

+
+

+

+
4
CT

-

-

+ ĐĐB:
x

0
1
2

y

1

3

0

4

4
9
2
y

f(x)=(x^2-2x+1)/(x-2)
f(x)=x

(C )

8

6

4

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

-6

-8

x 2  2x  1
 m( x  1)  1
x2
x 2  2x  1
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y =
và d : y = m ( x – 1) + 1

x2
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố đònh A( 1,1)
Cho d tiếp xúc với (C )  hệ phương trình sau có nghiệm :
1
1


x


m
(
x

1
)

1
x

 m( x  2)  m  1 (a )


x2
x2


1
1
1 

1 

m
 m (b)
2
2
 ( x  2)
 ( x  2)

b/ b/ x +

1
= mx – m + 1 (1)
x2



Thế (b) vào (a) ta có :
1
1
x+
= (1 )(x-2) + m + 1
x2
( x  2) 2
2
1
m 1

 m 1 


(c )
x2
x2
2


Thế (c ) vào (b) với điều kiện m < 1 , ta có :
2
m  1
 m 1
2
1 
 m  3  d : y  3 x  4
  m  m  2m  3  0  
 2 
m  3
Dựa vào đồ thò của (C ) và d ta có :
y

+

f(x)=(x^2-2x+1)/(x-2)
f(x)=x

m 1

f(x)=-3x+4

8

f(x)=-x+2
f(x)=3x-2

(C )
6

4

2

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2

-4

d

-6

d

d

-8

(C )
-

m  3

m  3
a/ Nếu 
thì (C ) và d có hai giao điểm  (1) có hai nghiệm
m  1
b/ Nếu m= -3 thì (C ) và d có một giao điểm  (1) có một nghiệm
c/ Nếu  3  m  1 thì (C ) và d không có giao điểm  (1) vô nghiệm

Chú ý:
* * / Khi viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C ) đi qua một điểm A cho trước trong
ax 2  bx  c
trường hợp (C ) : y =
, rất nhiều học sinh lúng túng khi giải hệ điều kiện tiếp xúc ,
a1 x  b1
nếu chỉ dùng phương pháp thế như đối với hàm số đa thức thì có nhiều bài các em không tìm được
kết quả hoặc tìm được thì giải cũng khó khăn , vì vậy tôi đề nghò một mẹo nhỏ để giải quyết vấn
đề này
Ở ví dụ 12 và ví dụ 13 để giải hệ điều kiện tiếp xúc trong trường hợp (C ) là hàm số hữu tỉ , ta làm
như sau :“ ta biến đổi sao cho vế trái của phương trình (a) xuất hiện mẫu ( x – 2), sau

đó thế (b) vào (a) nhưng chỉ thế vào vò trí m trước (x – 2) và thu gọn để được phương
trình (c) .Cuối cùng thế (c) vào (b) với lưu ý điều kiện của m ta được một phương


trình theo m giải phương trình này ta tìm được giá trò m từ đó ta viết được phương

trình tiếp tuyến d”




* / Ở ví dụ 12 do có hai phương trình tiếp tuyến nên từ điểm cố đònh A(1;1) ta vẽ các tiếp
tuyến và các đường thẳng song song với hai đường tiệm cận , từ đó ta mới chia các trường
hợp để biện luận .
* / Ở ví dụ 13 nếu không lưu ý điều kiện của m các em dễ sai lầm nhận hết cả hai giá trò , ở
đây ta chỉ tìm được một tiếp tuyến d mà thôi , do đó phần biện luận cũng đơn giản hơn

Ví dụ 14: a/ Vẽ đồ thò (C ) : y = 9  x 2

b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

9  x 2 - mx + 4m – 3 = 0 (*)

Giải :

y  0
x 2  y 2  9
9  x2   2


2
y  9  x
y  0
Do đó (C ) chính là nửa đường tròn tâm O , bán kính R = 3 ở phía trên trục hoành
a/ Ta có :

b/

9  x 2 - mx + 4m – 3 = 0 (*) 

9  x 2 = m(x-4) + 3

Ta xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = 9  x 2 và d: y = m(x-4) + 3
d là đường thẳng quay quanh điểm cố đònh A( 4 ; 3) khi m thay đổi
Dựa vào đồ thò (C ) và d ta có :
+ m < 0 thì (*) vô nghiệm
+ m = 0 thì (*) có một nghiệm x = 0
3
+ 0 < m  thì (*) có hai nghiệm
7
3
+
< m < 3 thì (*) có một nghiệm
7
+ m > 3 thì (*) vô nghiệm


y

f(x)=[9-(x^2)]^(1/2)
f(x)=3
f(x)=-2x+11

9

f(x)=(2/7)x+(13/7)

f(x)=2x-5

8

f(x)=4x-13

7

6

5

4

3

2

1

x
-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

Vấn đề 2: : Giải và biện luận hệ phương trình bằng đồ thị
Sử dụng 5 dạng biện luận phương trình , ta có thể biện luận hệ phương trình

x  y 1
Ví dụ 15 : Cho hệ phương trình :  2 2
.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
 x  y  m

Giải :

 x  y  1 (1)


 x 2  y 2  m (2)


+ Nếu m < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
+ Nếu m = 0 thì phương trình (2) có nghiệm (0;0) nên hệ vô nghiệm
+ Nếu m > 0 thì (1) được biểu diễn bởi 4 cạnh hình vuông ABCD
với A( -1;0) , B(0;1) , C(1;0) , D( 0;-1)
(2) được biểu diễn bởi đường tròn tâm O , bán kính R =

m



Khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh của hình vuông là 1 .



Khoảng cách từ O đến mỗi cạnh của hình vuông là

2
2


Hệ phương trình có nghiệm  đường tròn tâm O có bán kính R =

một cạnh của hình vuông ABCD 
y
2.5

m có điểm chung với ít nhất

2
1
 m 1  m 1
2
2
f(x)=[1-(x^2)]^(1/2)

y

f(x)=-[1-(x^2)]^(1/2)
f(x)=[(1/2)-(x^2)]^(1/2)
f(x)=-[(1/2)-(x^2)]^(1/2)
f(x)=x+1

2

f(x)=x-1
f(x)=1-x
f(x)=-1-x

1.5

B

1

0.5

A
-2.5

-2

-1.5

C

O
-1

-0.5

0.5

1

1.5

x
2

2.5

x

-0.5

-1

-1.5

D

-2

-2.5

Ví dụ 16: Tìm các giá trò của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm :
 x 2  y 2  2(1  a )

( x  y ) 2  4

Giải : * Nếu 1 + a  0 thì hệ vô nghiệm


Nếu a > -1 khi đó (1)  x 2  y 2  2(1  a ) là phương trình của đường tròn tâm O ,

bán kính R=

2(1  a )

x  y  2
(2)  ( x  y ) 2  4  
được biểu diễn bởi hai đường thẳng

 x  y  2
d1 : x + y = 2 và d2 : x + y = - 2
d( O , (d1)) =

2 = d( O , (d2))

Hệ phương trình có đúng hai nghiệm  đường tròn tâm O bán kính R=
và d2 

2(1  a ) =

2  a=0

2(1  a ) tiếp xúc với d1


y

f(x)=2-x
f(x)=-2-x
f(x)=[2-(x^2)]^(1/2)

2.5

f(x)=-[2-(x^2)]^(1/2)

d1

2

1.5

d2
1

0.5

O
-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x
0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

x  ay  a  0

Ví dụ 17: Cho hệ phương trình. 

2
2
x  y  x  0

(*)

Tìm tất cả các giá trò của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.

Giải :

Hệ đã cho có thể viết lại :
(1)
x  a ( y  1)  0

(*)  
1 2
1

2
(2)
( x  2 )  y  4
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng,
luôn qua điểm cố đònh (0;1) . (2) là phương trình
1
1
đường tròn có tâm I( ;0) bán kính R = . Do số
2
2
giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là
số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm
phân biệt khi :