Bài toán sử dụng phương pháp chặn trong môn Số học

Sử Dụng Phương Pháp Chặn Để Giải Toán Số học
I. Một số kiến thức cơ bản cần nhớ:
1. Với

a, m

N; a

0 th× am

1

2. a ³ 0 víi " a
3. abc = 100a + 10b + c
4. Phương pháp giải bất phương trình
5. Phương pháp giải phương trình bậc hai
II. Các bµi tËp hình thành phương pháp
Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a. 2x + 5y = 21
b. 7x + 12y = 50

Giải :
- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh
- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự cho những bài
sau:
? So sánh 2x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y
- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn
a. Vì 2x  1 nên 5y  20 vậy y  4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
Y

0

1

2

3

4

5y

0

5

10

15

20

2x

21

16

11

6

1

X

không có

4

không có

không có

0

Đáp số :
x = 4; y = 1
;
x = 0; y = 4
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b. Nếu y  2 thì 12y  122 > 50 => y < 2  y = 0 hoặc y = 1
- Nếu y = 0 thì 120 = 1 nên 7x = 49  x = 2
- Nếu y = 1 thì 121 = 12 nên 7x = 38 (loại)
Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể chặn theo các
giá trị của x như sau :
a) Vì 25 = 32 > 21 nên x  4  x Î  0 , 1 , 2 , 3 , 4  và lập bảng lựa chọn để giải tiếp
b) ta có 73 > 50 => x  2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự

biết x5. 3 yz = 7850
Giải :
Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và thường không
biết bắt đầu từ đâu. Sau đó tôi đưa ra gợi ý:
Bµi tËp 2 ::

Tìm các số tự nhiên x, y, z

? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300  3 yz  399 )
? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?
Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên. Tuy nhiên đa số các em
chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài toán trình bày dài hơn. Do đó tôi
đưa ra lời giải sau:
Ta thấy nếu x  3 thì

x5. 3 yz  35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3

Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì

x5.3 yz  15. 399 = 5985 < 7850 .

Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. 3yz

= 7850 nên

3yz = 7850 : 25 = 314  yz = 14 . Vậy x = 2; y = 1; z = 4
* Nhận xét:
Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau:

x5.3 yz = 7850  x5  7850  7850  25 => Vậy x = 2 hoặc x = 1. Đến đây việc giải tiếp dễ

3 yz

300

dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu như có làm được
thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài toán trở lên đơn
giản và lời giải cũng gọn hơn. Từ hai bµi tËp này học sinh đã hình thành được phương pháp
chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn để chặn là việc làm rất quan trọng
Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết  5x – 2 

13

Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi có thể làm được
theo cách giải bất phương trình. Tuy nhiên lời giải khá dài và phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm
lẫn. Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học
sinh có thể làm được
Giải :
- Nếu x  4 thì  5x – 2    5.4 – 2  =  18  = 18 > 13 => x
3
- Nếu x  - 3 thì  5x – 2    5.( - 3) – 2  =  – 17  = 17 > 13 .  x  - 2
Vậy : - 2  x  3  x Î  - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . Thử lại, ta có bảng sau :
x
-2
-1
0
1
2
3
12

7
2
3
8
13
 5x – 2 
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy x Î  - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 .


* Nhn xột: Vi phng phỏp trờn thỡ hc sinh trung bỡnh tr lờn ca lp 6, lp 7 cng cú th
hiu v gii c bi toỏn trờn.
Bài tập 4 : Tỡm ba s t nhiờn a , b , c bit a + b + c = abc v a > b > c > 0
Vớ d trờn l bi toỏn khỏ quen thuc, nú ó c s dng trong rt nhiu thi hc sinh gii,
thi vo cỏc trng chuyờn vi nhiu cỏch phỏt biu khỏc nhau. lm c bi trờn thỡ hc
sinh phi cú cỏi nhỡn ton din cú th chn n no cho thích hợp
Gii :
Vỡ a > b > c nờn a + b + c < a + a + a = 3a , m a + b + c = abc abc < 3a
hay bc < 3 . Vy bc ẻ 1 ; 2 do abc 0 . Mt khỏc vỡ b > c nờn b = 2 v c = 1.
Thay vo bi ta cú a + 2+ 1 = 2a a = 3 .
ỏp s : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhn xột : bài tập ny ta khụng th chn a trc tip bng mt s c th no m ch s
dng tớnh cht : " l s ln nht" trong ba số a, b, c . Ti sao khụng nờn chn theo b hoc
theo c ? bit thờm th mnh ca cỏch chn ny ta xột bài tập 5 sau õy:
Bài tập 5: Tỡm

xy

bit

( xx ) y xyyx

Gii :
1

xx =

Ta thy y > 1 vỡ nu y = 1 thỡ

Ta li thy y < 4 vỡ nu y 4 thỡ

vụ lý . Vy y 2 .

( xx) y

xyyx

104 = 10000 >

2 y4

Vy y ẻ 2 ; 3
2

xx = x 22 x

- Nu y = 2 ta cú

x2.121 = x.1001 + 220
x2.121 = 11(x.91 + 20)
x2.11 = x.91 + 20
x2.11 91x - 20 = 0

Phng trỡnh trờn khụng cú nghim nguyờn
3

- Nu y = 3 ta cú xx = x33 x
( Không thoả mãn ). Vy x = 1 .

. Nu x 2 thỡ xx

Th vo bi 11 = 1331 hp lý. ỏp s
Ta cng cú th gii nh sau : ta cú

=

3

22 = 10648 cú 5 ch s

xy =13
x3.113 = x.1001 + 330

x3.113 = 11( x.91 + 30 )
Vy x3. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 30x) (30 30x) M 121
30(1 x) M 121


mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x M 121,
do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.
Thử vào bài ta có 113 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì

4

( xx) y < 104 < xx nên y < 4 . Mặt khác

=13

xyyx  9999 < 10000 = 104. Vậy

( xx) y > 991 vì

( xx) y = xyyx

có 4 chữ số

Vậy y  2 . Vậy y Î  2 ; 3 . Phần còn lại giải như trên .
* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp,
cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải
bài toán trên
Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249
* Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi. Sau khi đã được trang
bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm
Giải :
- Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n)  99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Đặt n = abc thì ta có :
Vì

abc + a + b + c = 249

a + b + c  27 nên 200 < abc < 249  a = 2 , Thay vào bài ta được :

2bc + 2 + b + c = 249  200 + bc + 2 + b + c = 249
 bc + b + c = 249 – 202
 bc + b + c = 47 . Vậy b  4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên

nhỏ nhất

là 47 – 18 = 29 vậy b  2 . Ta có 2  b  4  b Î  2 ; 3 ; 4 
- Nếu b = 2 ta có
- Nếu b = 3 ta có

2c + 2 + c = 47  22 + 2c = 47  2c = 25 ( loại )
3c + 3 + c = 47  33 + 2c = 47  2c = 14  c = 7

- Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47  44 + 2c = 47  2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2x + 3y = 5
Giải :
Nếu y = 0 , ta có 2x = 5  x = 2,5 vô lý vì x Î Z
Xét y ≠ 0 thì 3y  3 nên 2x  2  x  1. Vậy x Î  0 ;1 
- Với x = 0 thì 3y = 5  y = 5/3 vô lý vì y Î Z
- Với x = 1  x Î  -1; 1  khi đó y = 1 và y Î  -1; 1  . Thử vào đề bài ta được
các đáp số là :

;

;

;

* Qua các bµi tËp trªn ta thấy phương pháp chặn có vai trò rất quan trọng trong các bài toán
tìm số. Nó không chỉ làm cho bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn mà còn làm cho lời giải
ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Qua bµi tËp sau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trò của phương pháp chặn
Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên abcd

abcd  abc  ab  a = 4321 
Ta thấy a < 4 , vì nếu a  4 thì

aaaa  bbb  cc  d = 4321

aaaa  bbb  cc  d  4444 + bbb  cc  d > 4321

aaaa  bbb  cc  d  2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321  2

và a > 2 vì nếu a  2 thì
Vậy a = 3 khi đó ta có

abcd  abc  ab  a = 4321
Giải :

biết

bbb  cc  d = 4321 – 3333 = 988 .

bbb = 999 > 988 chưa kể

Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì

.

Lại thấy b > 7 vì nếu b  7 thì bbb  cc  d  777 + 99 + 9 = 885 < 988
 7 < b < 9 .Vậy b = 8 .
Khi đó
= 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 ,
=> vậy c = 9 và d = 1
Đáp số

abcd = 3891
1 1 1
 
x y 3

Bµi tËp 9: Tìm các số nguyên dương x , y thỏa mãn

và

xy

Giải :



Vì x  y > 0 khi đó
Lại vì

> 0 nên

- Nếu y = 4 ta có

và

<

+
+

- Nếu y = 5 ta có

1 1 1 1 2
    . Vậy
x y y y y

=



 y6

vậy y > 3 , hay y  4 . Vậy ta có 4  y  6

=

+

=

+

=



=

=



=

 x = 12

-

=

loại vì x 

Z
- Nếu y = 6 ta có

+

Bài toán có 2 đáp số là

=

+

=



( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và

=
( x; y ) = ( 6 ; 6 )

x=6


Bµi tËp 10: Tìm số abcd

biết

1 1 1
   d với a > b > c
a b c
Giải :

Vì a > b > c > 0 nên c  1 ; b  2 ; a  3 khi đó ta có

1 1 1
   d nên d < 2 ,Vậy d = 1 .
a b c
1 1 1

   1 với a > b > c .
Ta có:
a b c

1 1 1 1 1 1 11
      2
a b c 3 2 1 6

mà

1 1 1
Lại vì a > b > c > 0    khi đó ta có
a b c

1 1 1
   1 nên
a b c

3
1
c

1 1 1 1 1 1 3
     
a b c c c c c

mà

Vậy c = 1 hoặc c = 2

1 1 1
   1 vô lý
a b 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 2
2 1 2
   1    , mà     nên  
Với c = 2 thì
a b 2
a b 2
a b b b b
b 2 4
1 1 1 1 1 1 1
do đó b < 4 mà b > c = 2 nên b = 3 . ta có      
, vậy a = 6
a 3 2 a 2 3 6
Với

c = 1 thì

Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : abcd = 6321
Bµi tËp 11: Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn
abc < ab + bc + ca và a  b  c
Giải :
Vì a  b  c . Ta có :
ab + bc + ca  ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab
 c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 .
Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b)  ab < 2(a + b)  2( a + a) = 4a .
Vậy ab < 4a nên b < 4  b Î  2 ; 3  .

Nếu b = 2, thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng với
mọi số nguyên tố a
Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a  a < 6 , do a
nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5


Bµi tËp 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9. Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít nhất
hai số bằng nhau
Giải :
Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau. Gọi 4 số đã cho là a, b, c, d với a
> b > c > d . Ta có : d  1 ; c  2 ; b  3 ; a  4 .
Như vậy a + b + c + d  1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9
 10 vô lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải
có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau . ( đpcm)
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tìm abc biết

abc  ab  a = 1037

4 yz.x5 = 17395
Bài 2 : Tìm xyz biết
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó
thì bằng 405

Bài 4 : Tìm số

abcd biết

ab.cb  ddd

Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết

1 1 1
 
x y 8

Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b .
a b

Chứng minh
>2
b a
Bài 7 : Cho a, b, c là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
a
b
c


1<
< 2
bc ca ab
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết  5x + 2   13

4bc.a5 = 17395
Bài 9: Tìm abc biết
Bài 10: Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau:
9 * * : 17 = * * (Biết rằng thương là một số nguyên tố)
Bài 11: Tìm số tự nhiên biết tổng của số đó và các chữ số của nó bằng 2020

Bài 12: (5 đ) Cho a + c = 9. Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba là một số có
ba chữ số.
Bài 13: (5đ) Tìm các số tự nhiên x , y sao cho: 2x + 5y = 21