tai lieu hoc tap mon toan 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.45 MB, 79 trang )
TÀI LIỆU HỌC TẬP
Năm học: 2019 – 2020
TOÁN 11
TẬP 1
Cuốn sách này của: ______________________________
Biên soạn & giảng dạy: Thầy Duy – THPT Gia Định
LNG GIC
CNG TON 11
PHN 1:
HM S LNG GIC PHNG TRèNH LNG GIC
BI 1: ễN TP CễNG THC LNG GIC
A. TểM TT Lí THUYT
1. Giỏ tr lng giỏc ca mt cung
Trờn ng trũn lng giỏc (hỡnh 1.1) cho cung AM cú s AM :
Hỡnh 1.1
Gi M x M ; yM thỡ ta cú:
sin y M OK
tan
sin
; cos 0
cos
cos x M OH
cot
cos
; sin 0
sin
Lu ý:
1. Cỏc giỏ tr sin ; cos xỏc nh vi mi . V ta cú:
sin k 2 sin , k ;
cos k 2 cos , k .
2. 1 sin 1 ; 1 cos 1
3. tan xỏc nh vi mi
k , k v tan k tan .
2
4. cot xỏc nh vi mi k , k v cot k cot .
2. Cụng thc lng giỏc
H thc c bn
2
Cung liờn kt
2
sin a cos a 1
tan a. cot a 1
sin a
tan a
cos a
cos a
cot a
sin a
1
1 tan2 a
cos2 a
1
1 cot2 a
sin2 a
GV: TUN DUY THPT Gia nh
cos ủoiỏ
sin a sin a
sin buứ
phuù cheựo
cot a cot a
hụn keựm
cheo
ự sin
2
tan a tan a
cos a cos a
cos a
1
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Công thức cộng
sin a b sin a . cos b cos a . sin b
cos a b cos a . cos b sin a . sin b
tan a tan b
1 tan a. tan b
tan a tan b
tan a b
1 tan a. tan b
tan a b
Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc
sin 2a 2 sin a. cos a
cos 2a cos2 a sin2 a
2 cos2 a 1
1 2 sin2 a
1
sin a. cos a sin 2a
2
1 cos 2a
2
sin a
2
1 cos 2a
2
cos a
2
sin 3a 3 sin a 4 sin 3 a
cos 3a 4 cos3 a 3 cos a
Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
. cos
2
2
a b
a b
sin a sin b 2 cos
. sin
2
2
a b
a b
cos a cos b 2 cos
. cos
2
2
a b
a b
cos a cos b 2 sin
. sin
2
2
sin a sin b 2 sin
Một số công thức khác
sin a cos a 2 sin a
4
cos a sin a 2 cos a
4
sin2 a. cos2 a
1
sin2 2a
4
1
3 1 cos 4a
cos4 a sin 4 a 1 sin2 2a
2
4
cos6 a sin6 a 1
(3sin – 4sỉn)
(4cổ – 3 cô)
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a b sin a b
2
1
cos a. sin b sin a b sin a b
2
1
cos a. cos b cos a b cos a b
2
sin a. cos b
1
sin a. sin b cos a b cos a b
2
Công thức tính sin , cos theo t tan
2
2
2t
sin
1 t2
1 t2
cos
1 t2
2t
tan
1 t2
Đặt t tan
3 2
5 3 cos 4a
sin 2a
4
8
3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
k 2
k được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác.
m
Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung .
Bước 2: Xác định m 1 điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M .
Ví dụ:
Cung lượng giác x
1. Cung lượng giác x
k 2
k 2
được biểu diễn bởi một điểm M tại vị trí .
3
3
1
3
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
2
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
2. Cung lượng giác x
k 2
7
được biểu diễn bởi hai điểm M tại các vị trí và
.
k
6
6
2
6
6
3. Cung lượng giác x
k
k 2
3 5 7
thì có bốn điểm M tại các vị trí ,
,
;
.
4
2
4
4
4 4
4 4
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Biến đổi biểu thức lượng giác
Phương pháp:
Sử dụng công thức lượng giác. Thông thường ta thực hiện như sau:
Có hệ số tự do biến đổi cho mất số
Có mũ cao hạ bậc
Có tích biến đổi thành tổng
Có tổng nhóm hạng tử và biến đổi thành tích
Các ví dụ
Câu 1. Biến đổi biểu thức sau thành tổng P cos x . cos 2x . cos 3x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Biến đổi biểu thức sau thành tổng P sin x . sin x . sin x
3
3
___________________________
___________________________
Câu 2.
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
3
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 3. Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 2x cos 2x 1
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 4. Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin x sin 2x sin 3x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 5. Biến đổi biểu thức sau thành tích P 1 cos x cos 2x cos 3x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 6. Biến đổi biểu thức sau thành tích P cos2 x cos2 2x sin 2 3x sin 2 4x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 7.
Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 8 x cos 8 x 2 sin10 x cos10 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 8. Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 6x 2 sin 3x cos x cos 2x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
4
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Dạng 2: Rút gọn, chứng minh biểu thức lượng giác
Các ví dụ
1 1
cos2 2x
2 2
___________________________
___________________________
Câu 9.
Chứng minh rằng: sin 4 x cos4 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
x
x
5 3 cos 2x
cos6
2
2
8
___________________________
___________________________
Câu 10. Chứng minh rằng sin 6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 11. Rút gọn biểu thức P 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
2
2
Câu 12. Rút gọn biểu thức P sin2 x sin2 x sin2 x
3
3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
5
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 13. Rút gọn biểu thức P cos 3x sin 3 x sin 3x cos 3 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Dạng 3: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Phương pháp:
k 2
có m điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
m
Bước 2: Xác định điểm M biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác
Bước 3: Xác định m 1 điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M
Bước 1: Đưa cung về dạng x
Các ví dụ
k 2 k
2
___________________________
Câu 14. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
k 2 k
4
___________________________
Câu 15. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 16. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x k k
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
6
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
k k
2
___________________________
Câu 17. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
k k
4
___________________________
Câu 18. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
k 2
k
3
___________________________
Câu 19. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
k
k
2
___________________________
Câu 20. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
k
k
3
2
___________________________
Câu 21. Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
7
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng 1: Phương trình sin u m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản: sin u m 1
m 1 m 1 : Phương trình vô nghiệm
1 m 1 : Với m sin , ta có:
u k 2
1 sin u sin u k 2 k
sin x 0 x k
Đặc biệt: sin x 1 x k 2
k
2
sin x 1 x k 2
2
2. Dạng mở rộng:
u v k 2
sin u sin v
k
u v k 2
(Với u, v là các biểu thức theo biến x )
Các ví dụ
Câu 1. Giải phương trình sin 2x 1
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 2. Giải phương trình sin 3x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
x
Giải phương trình sin 1
2 6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 3.
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
8
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
1
2
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
1
3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
x
Giải phương trình 2 sin 3 0
2 6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
5
Giải phương trình sin 3x sin 2x
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 4.
Câu 5.
Giải phương trình sin 5x
Giải phương trình sin 2x
Câu 6.
Câu 7.
1
Tìm các nghiệm của phương trình sin 2x trong khoảng ;
3
2
___________________________
___________________________
Câu 8.
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
9
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Tìm các nghiệm của phương trình sin 2x sin x thỏa x 2
6
3
___________________________
___________________________
Câu 9.
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 10. Giải phương trình 2 sin x 2 0 và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng
4
giác
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Dạng 2: Phương trình cos u m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản: cosu m 1
m 1 m 1 : Phương trình vô nghiệm
1 m 1 : Với m cos , ta có:
u k 2
1 cos u cos u k 2 k
cos x 0 x k
2
Đặt biệt: cos x 1 x k 2
k
cos x 1 x k 2
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
10
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
2. Dạng mở rộng:
u v k 2
cos u cos v
k
u v k 2
(Với u, v là các biểu thức theo biến x )
Các ví dụ
Câu 11. Giải phương trình cos 3x 1
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 12. Giải phương trình cos x 0
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 13. Giải phương trình cos 2x 1
3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
3
2
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
x
Câu 15. Giải phương trình 2 cos 1 0
3 6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 14. Giải phương trình cos 2x
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
11
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
3
Câu 16. Giải phương trình cos 2x cos x
4
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 17. Tìm các nghiệm của phương trình 2 cos x 3 0 trong đoạn 3; 6
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
1
Câu 18. Giải phương trình cos x và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác
3
2
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Dạng 3: Phương trình tan u m và cot u m
Phương pháp:
1. Dạng cơ bản:
tan u m tan u tan u k k
cotu m cot u cot u k k
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
12
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
2. Dạng mở rộng:
tan u tan v u v k k
cot u cot v u v k k
(Với u, v là các biểu thức theo biến x )
Các ví dụ
Câu 19. Giải phương trình tan 2x 3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 20. Giải phương trình 3 cot 3x 3 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 21. Giải phương trình tan 2x tan x
6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 22. Giải phương trình cot 3x cot 2x
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
13
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Dạng 4: Đưa về phương trình cơ bản
Phương pháp:
Đưa dấu " " vào trong
sin a sin a
tan a tan a
cot a cot a
cos a cos a
Chuyển giữa sin và cos
sin a cos a
2
cos a sin a
2
Chuyển giữa tan và cot
tan a cot a
2
cot a tan a
2
1
1
cot a;
tan a
tan a
cot a
Chú ý các dạng sau
Có sin2 u, cos2 u hạ bậc
sin u sin v sin u sin v
sin u cos v sin u sin v
2
cos u cos v cos u cos v
cos u sin v cos u cos v
2
tan u cot v tan u tan v
2
tan u. cot v 1 tan u
1
tan u tan v
cot v
Các ví dụ
1
Câu 23. Giải phương trình sin 2 2x
6 2
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
14
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
3
Câu 24. Giải phương trình cos2 2x
4 4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 25. Giải phương trình sin 2x sin x
3
___________________________
6
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 26. Giải phương trình cos 3x cos x 0
3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
2
9
Câu 27. Giải phương trình sin 3x cos x
3
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 28. Giải phương trình sin 2x cos x 0
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
15
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 29. Giải phương trình sin 2 5x cos2 3x 0
3
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
4
Câu 30. Giải phương trình sin 3x sin 3x 3
5
5
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 31. Giải phương trình tan 3x tan 2x 0
4
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 32. Giải phương trình tan 4x cot 2x
6
3
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
16
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Dạng 5: Phương trình tích
Phương pháp:
A 0
Biến đổi phương trình về dạng A.B 0
B 0
Chú ý các công thức sau
1. Công thức nhân đôi
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
2. Công thức hạ bậc
________________________________________________________
________________________________________________________
3. Công thức tổng thành tích:
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
4. Công thức tích thành tổng
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Các ví dụ
Câu 33. Giải phương trình 1 cos x cos 2x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 34. Giải phương trình sin 4x cos 4x 1 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
17
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 35. Giải phương trình sin 3x sin 4x sin 5x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 36. Giải phương trình cos 3x sin 2x cos x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 37. Giải phương trình cos 6x cos 3x cos 7x cos 4x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 38. Giải phương trình sin 3x sin x sin 8x sin 4x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. 2 sin 4x 3 0
3
b. 1 2 cos 3x 0
3
c. sin 4x sin 2x 0
5
2
9
d. sin 3x cos x
3
4
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
18
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
2
e. sin 3x sin 2x 0
3
3
f. sin 2x cos x 0
4
x
3 cot 200 1 0
2
i. tan 4x cot 2x
3
h. tan 3x tan 2x 0
4
g.
j. tan x . cot 2x 1
Bài 2: Giải các phương trình sau
x 1
a. sin2
2 6 2
3x
3
b. cos2
4 4
2
7
2
c. sin 2 3x sin 2 x
3
5
d. sin2 5x cos2 x 0
3
4
e. sin 3x sin 3x 3
5
5
4
f. cos
x cos x 3
9
18
5
g. cos 3x sin 3x 2
3
6
Bài 3: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
a. sin 2x
1
với x 0;
2
b. tan 2x 150 1 với 1800 x 900
c. cos2 2x sin2 x với x 2
3
Bài 4: Giải các phương trình sau
a. sin 2x cos 2x 1 0
b. 1 cos 2x cos 4x 0
c. 1 cos x cos 2x cos 3x 0
d. sin x sin 2x sin 3x sin 4x 0
e. cos 5x cos 6x cos 7x 0
f. sin 6x sin 2x cos 3x cos x
g. sin2 x sin2 2x cos2 3x cos2 4x
h. sin2 2x sin2 3x sin2 4x sin2 5x 2
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
19
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
BÀI 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp:
Dạng
Đặt ẩn phụ
Điều kiện
a sin2 x b sin x c 0
a cos2 x b cos x c 0
a tan2 x b tan x c 0
a cot2 x b cot x c 0
a sin4 x b sin2 x c 0
a sin2 x b sin x c 0
a cos4 x b cos2 x c 0
a cos2 x b cos c 0
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
● sin a cos a
1
sin 2a
2
● cos 2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2 sin2 a
● cos 4 a sin 4 a cos2 a sin 2 a cos2 a sin 2 a cos 2a
1
3 1 cos 4a
● sin 4 a cos4 a 1 sin2 2a
2
4
● sin 6 a cos6 a 1
3 2
5 3 cos 4a
sin 2a
4
8
Các ví dụ
Câu 1. Giải phương trình sin2 2x 3 sin 2x 2 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
20
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 2. Giải phương trình sin2 3x cos 3x 1 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 3. Giải phương trình cos 4x 3 sin 2x 2 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 4.
Giải phương trình tan2 x
3 1 tan x 3 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
1
cot 2x 3
sin 2 2x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 6. Giải phương trình 4 sin4 x 12 cos2 x 7
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 5.
Giải phương trình
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
21
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 7. Giải phương trình cos 2x 3 cos4 x 4 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 8. Giải phương trình cos 4x 12 sin x cos x 5 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 9. Giải phương trình 2 cos 3x cos x 4 sin2 2x 1 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 10. Giải phương trình cos 5x . cos x cos 4x . cos 2x 3 cos2 x 1
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 11. Giải phương trình cos4 x sin4 x cos 4x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
22
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
Câu 12. Giải phương trình sin 4 x cos 4 x sin x cos x 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
15
1
cos 2x
8
2
___________________________
___________________________
Câu 13. Giải phương trình cos6 x sin 6 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Dạng 2: Phương trình đưa về bậc hai
Phương pháp:
Dạng
2
1
sin x 1 c 0
a sin x
b
sin x
sin 2 x
Đặt ẩn phụ
Chú ý
1
1
b cos x
c 0
a cos2 x
2
cos x
cos x
a tan 2 x cot2 x b tan x cot x c 0
Các ví dụ
1
sin x 1 7 0
Câu 14. Giải phương trình 4 sin2 x
4
sin x
sin 2 x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
23
LƯỢNG GIÁC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11
2
4
1 0
Câu 15. Giải phương trình 2 cos2 x
9
cos
x
cos2 x
cos x
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Câu 16. Giải phương trình 3 tan 2 x cot x 4 tan x cot x 2 0
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
Dạng 3: Phương trình đối xứng – phản đối xứng
Phương pháp:
● sin a cos a 2 sin a
4
● sin a cos a 2 sin a
4
● cos a sin a 2 cos a
4
● cos a sin a 2 cos a
4
Dạng
Đặt ẩn phụ
Điều kiện
a sin x cos x b sin x . cos x c 0
a sin x cos x b sin x . cos x c 0
a sin x cos x b sin x . cos x c 0
a sin x cos x b sin x . cos x c 0
GV: TUẤN DUY – THPT Gia Định
24
