Góp phần phát triển một số yêu tố tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trìn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THUẬN

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ YẾU TỐ
TƯ DUY HÀM THÔNG QUA DẠY HỌC
PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

VINH 2007


TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THUẬN

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ YẾU TỐ
TƯ DUY HÀM THÔNG QUA DẠY HỌC
PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOÁ LUẬN
ThS. Trương Thị Dung

ThS. Nguyễn Thị Mỹ Hằng
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thuận
Lớp 44A2 Toán

VINH 2007


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo hướng dẫn
Thạc sĩ Trương Thị Dung, Thạc sĩ Nguyễn Thị Mĩ Hằng, đã hết
lòng hướng dẫn tôi trong thời gian hoàn thành luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán và càc
thầy, cô trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình
hoàn thành luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Ba
Đình đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình kiểm
chứng sư phạm.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, người thân luôn
ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Vinh, tháng 5 năm 2007.
Tác giả

Nguyễn Thị Thuận


QUY ƯỚC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN
VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

Pt

:

Phương trình

Hpt

:

Hệ Phương trình

Bp

:

Bất Phương trình

TDH :

Tư duy hàm


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU.................................................................................................................
CHƯƠNG I:

Cơ sở lý luận và thực tiễn............................................................

I.

Tư duy hàm và các đặc trưng cơ bản.......................................................

II.

Tiềm năng của vấn đề phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình trong việc phát triển tư duy hàm...................................................

CHƯƠNG II: Các biện pháp sư phạm góp phần phát triển tư duy hàm

thông qua dạy học phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình...............................................................................
I.

Cơ sở khoa học để đưa ra các biện pháp...............................................

II.

Các biện pháp sư phạm góp phần phát triển tư duy hàm thông
qua dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình..............

CHƯƠNG III: Kiểm chứng sư phạm.................................................................
KẾT LUẬN...........................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................


6

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hàm là một khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm ở trường
phổ thông.Trong dự thảo (năm 1989) môn toán học ở trường phổ thông có quy
định “nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình phổ
thông trung học”.
- Mọi sự vật trong thế giới khách quan đều trong trạng thái vận động và biến
đổi và tồn tại những mối tương quan nhất định. Để nhận thức và cải tạo được hiện
thực con người phải phát hiện, nghiên cứu và lợi dụng những tương quan ấy. Bản
chất của khái niệm hàm là sự tương ứng, nhìn sự vật, hiện tượng trong trạng thái
biến đổi sinh động, phụ thuộc lẫn nhau. Theo nhà toán học Khinsin “Không có
khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một
cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không có khái niệm nào có
thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại
như khái niệm tương quan hàm”[11].
- Theo P.V.Kopnin “Kiến thức chỉ thực sự là kiến thức khi nó là thành quả
của những cố gắng của tư duy chứ không phải là trí nhớ”[1]. Thế nhưng việc dạy
học toán ở trường phổ thông và việc dạy học chủ đề hàm số nói riêng còn nhiều bất
cập. “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt, giải những bài
toán oái ăm giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ, mà làm học sinh xa rời
thực tế mỏi mệt, chán nản”[19].
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn “Mục tiêu của giáo dục là kiến thức, tư duy,
tính cách con người nhưng hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị chìm
đi trong kiến thức”[19]. Cách dạy thầy đưa ra kiến thức rồi giải thích, chứng minh,
trò cố gắng hiểu ghi nhớ và vận dụng còn rất phổ biến.
- Tư duy hàm là một loại hình tư duy liên quan đến nhiều loại hình kiến
thức khác nhau trong môn toán. Trong dạy học người giáo viên có nhiều cơ hội
phát triển TDH thông qua nhiều chủ đề kiến thức. Trong đó chủ đề pt, hpt, bpt là
một trong những chủ đề có những tiềm năng để phát triển TDH. “Vì khái niệm

7
phương trình ở trường phổ thông được xây dựng từ khái niệm biểu thức. Trong khi
đó khái niệm biểu thức lại được xây dựng theo quan điểm hàm. Vì thế khi hình
thành khái niệm pt học sinh được tập luyện những hoạt động liên quan đến khái
niệm hàm. Mặt khác bản thân chủ thể kiến thức này liên quan chặt chẽ đến các
hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng”[18].
Thực tế cho thấy “học sinh còn bộc lộ nhiều yếu kém về năng lực tư duy,
nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được những mối liên quan
phụ thuộc, giữa các kiến thức liên quan và các bài toán với nhau khi giải pt, hpt,
bpt. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Góp phần phát triển một số yêu
tố tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình”.
II. Mục đích nghiên cứu
Làm sáng tỏ các đặc trưng của TDH thông qua nghiên cứu cơ sở về TDH.
Từ đó đưa ra một số biện pháp nhằm”Góp phần phát triển TDH cho học sinh thông
qua dạy học pt, hpt, bpt”.
III. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề pt, hpt, bpt nói riêng nếu
người giáo viên chú ý phát triển tư duy hàm cho học sinh thì sẽ nâng cao chất
lượng dạy và học.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khoá luận sẽ làm rõ thêm những vấn đề sau đây:
1. Khái niệm TDH.
2. Các đặc trưng cơ bản của TDH.
3. Các biện pháp sư phạm “Bồi dưỡng TDH thông qua dạy học chủ đề pt,
hpt, bpt”.
V. Phương pháp nghiên cứu

8
1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các đề tài có liên
quan đến đề tài khoá luận.
2. Điều tra quan sát: Trao đổi với giáo viên để sơ bộ rút ra một số nhận xét
về “Bồi dưỡng TDH cho học sinh”.
3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành một số giờ dạy kiểm chứng ở trường
phổ thông, so sánh, đối chiếu với các lớp đối chứng nhằm xét tính khả thi và hiệu
quả của biện pháp đề ra trong khoá luận.
VI. Đóng góp của khoá luận
1. Về lý luận: góp phần làm sáng tỏ nội dung “Bồi dưỡng TDH cho học
sinh” trong dạy học toán ở trường phổ thông.
2. Về thực tiễn:
- Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng TDH cho học sinh qua dạy học chủ
đề pt, hpt, bpt.
- Vận dụng một số biện pháp trên trong một số giờ dạy ở trường phổ thông.


9

CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I. Tư duy hàm và các đặc trưng cơ bản
1. Khái niệm hàm số (Theo lý thuyết tập hợp)

Một tập G mà mỗi phần tử là một cặp được gọi là một đồ thị, tập hợp tất cả
các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị.
Tập hợp các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của đồ
thị. Một bộ ba (G, A, B) với G là một đồ thị mà miền xác định bị chứa trong A,
miền giá trị bị chứa trong B gọi là sự tương ứng giữa các tập A và B.
A là nguồn, B là đích của sự tương ứng.

Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phần
tử nào cùng chung phần tử thứ nhất.
Một sự tương ứng (G, A, B) được gọi là một hàm nếu G là một đồ thị hàm
và A chính là tập xác định của G.
Nói cách khác thì một bộ ba (G, A, B) trong đó G là một cặp sao cho tập xác
định của G nằm trong A, tập giá trị của G nằm trong B, được gọi là một hàm khi và
chỉ khi mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp trong
G.
Khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp có tính tổng quát cao đảm bảo tính đa
dạng, linh hoạt, chặt chẽ và rõ ràng nhất, vì nó bao hàm cả đại lượng hàm theo đại
lượng biến thiên, không cần dùng tới các thuật ngữ “đại lượng”, “ứng” đang còn ở
trạng thái mơ hồ.
2. Khái niệm hàm số trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành
Trong [5] định nghĩa:
Cho D là một tập con khác rỗng của R.
Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi x thuộc D
với một và chỉ một số thực y.
Trong [7] định nghĩa:


10
Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập
số D.
Nếu với mỗi giá trị x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng y
thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số, y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.
Trong [14] định nghĩa:
Cho một tập hợp khác rỗng D⊂ R.
Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với

một và chỉ một số, kí hiệu là f(x). Số f(x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số
của hàm số f.
Như vậy đặc trưng của khái niệm hàm số là:
f: D → R sao cho
- ∀x∈D, ∃ y=f(x)∈ R.
- Sự ∃ y ứng mỗi x là duy nhất.
Tuy nhiên mỗi y∈ R có thể có nhiều hơn một x∈D.
Theo Can-mo -go-rop thì vấn đề cơ bản trong dạy học hàm hiện nay là hình
thành ở học sinh những hiểu biết đúng đắn về nội dung khái niệm đó theo tinh thần
của lý thuyết tập hợp chứ không bắt buộc phải phát biểu định nghĩa tương ứng một
cách tường minh.
3. Tư duy hàm
3.1. Tư duy
- Theo Từ điển Tiếng việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,
đi sâu vào bản chất và tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như: Biểu
tượng, khái niệm phán đoán và suy lí ”[16].
- Theo Triết học: Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong các quá trình hoạt


11
động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián
tiếp, phát hiện các mối quan hệ hợp quy luật của thực tại khách quan.
Theo đó, tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:
1. Tư duy là sản phẩm của bộ não người và là một quá trình phản ánh tích
cực thế giới khách quan.
2. Kết quả của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ.
3. Bản chất của tư duy là sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng và

được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của
con người nhằm phản ánh đối tượng
4. Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
5. Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau, từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.[21]
- Theo tâm lý học:
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện
thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Theo đó tư duy có các đặc điểm sau:
1. Tính có vấn đề
Khi gặp một hoàn cảnh có vấn đề mà những phương tiện, phương pháp hoạt
động cũ không đủ sức để giải quyết dẫn đến cần phải vạch ra một cách thức giải
quyết mới. Mặt khác hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, có
nhu cầu giải quyết.
2.Tính gián tiếp
Tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật giữa chúng
nhờ những công cụ phương tiện, kết quả nhận thức của loài người và kinh nghiệm
của mỗi cá nhân, tư duy được biểu hiện trong ngôn ngữ.
3. Tính trừu tượng và khả năng của tư duy
Tư duy phản ánh cái bản chất nhất và chung nhất cho những sự vật, hiện
tượng hợp thành một nhóm đồng thời trục xuất khỏi những sự vật, hiện tượng đó


12
những cái cụ thể và cá biệt. Nói cách khác, tư duy đồng thời mang tính trừu tượng
và khái quát.
4.Tư duy liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tư duy có tính trừu tượng, khái quát không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ. Nó
dùng ngôn ngữ làm phương tiện cho mình. Ngôn ngữ giúp các sản phẩm của tư

duy được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư
duy và nhờ đó làm khách quan hoá chúng cho người khác và cho cả bản thân chủ
thể nữa.
5. Tư duy có tính liên hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính. Lấy nhận thức cảm tính
làm cơ sở, tư duy đồng thời ảnh hưởng trở lại quá trình nhận thức cảm tính.
3.2. Tư duy toán học
3.2.1. Tư duy toán học
Cũng như những lĩnh vực khác, toán học luôn chứa đựng những điều mà con
người chưa biết. Nhưng nhiệm vụ của thực tiễn và cuộc sống đòi hỏi phải hiểu thấu
những điều chưa biết đó một cách sâu sắc. Vì vậy toán học cũng là một đối tượng
của tư duy, khi đó ta có tư duy của toán học.
Toán học với tư cách là đối tượng của tư duy, cũng như những đối tượng và
sự kiện khoa học khác, nó là những sao chép phản ánh mặt nào đó của thế giới hiện
thực, đó là tính hiện thực của tư duy toán học, ngoài ra tư duy toán học còn có tính
trìu tượng nữa.
Mặt hiện thực và trìu tượng thống nhất biện chứng với nhau, theo[8]: “Để
nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng; để nhận thức
được mặt nhận thức của hiện thực cần có tư duy logic. Do đó tư duy toán học là sự
thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy logic. Theo đó, tư duy toán học cũng
có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể- trừu tượng; nhận thức cảm tính- nhận
thức lý tính; cái chung- cái riêng.
“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển có
phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh


13
hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học.” (Iu.M. Koliagin và V.A.Ôganhêxian)
[19]. Do đó nếu không có tư duy toán học thì không thể đạt được mục tiêu của quá
trình giáo dục.

3.2.2. Một số quan điểm về thành phần của tư duy toán học- Tư duy hàm
Năm 1975, nhóm tác giả Iu.M. Koliagin và V.A.Ôganhêxian đã quan niệm
rằng các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:
- Tư duy cụ thể;
- Tư duy trìu tượng;
- Tư duy trực giác;
- Tư duy hàm;
- Tư duy biện chứng;
- Tư duy sáng tạo;
- Các phong cách toán học của tư duy.
Cũng nhóm tác giả đó, năm 1980 đã quan niệm rằng tư duy toán học bao
gồm các thành phần chủ yếu sau:
- Tư duy cụ thể;
- Tư duy trìu tượng;
- Tư duy trực giác;
- Tư duy hàm.
Trong đó tư duy hàm là “Trình bày các đối tượng toán học trong sự chuyển
động và sự biến đổi của chúng, thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng với các
sự kiện toán học trong mối liên hệ nhân quả và khuynh hướng diễn đạt các sự kiện
toán học một cách thực chất và tăng cường ứng dụng của toán học”[19].
Theo đó, tư duy hàm được vận dụng trong việc dạy toán ở trường phổ thông
được biểu hiện như sau:
- Trình bày các đối tượng toán học trong sự vận động và sự biến đổi của chúng.
- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán học trong
mối quan hệ nhân quả.


14
- Tăng cường ứng dụng các kết quả nghiên cứu về hàm vào thực tiễn học tập
và cuộc sống.

Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim tư duy hàm là loại tư duy được đặc trưng bởi
các hoạt động:
- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng.
- Nghiên cứu sự tương ứng.
- Lợi dụng sự tương ứng.
Dựa vào quan điểm hoạt động vào dạy học; tác giả có nêu lên bốn tư tưởng
chủ đạo trong việc hình thành và phát triển về hàm cho học sinh.
- Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng sự
tương ứng trong khi và nhằm vào việc truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng toán
học.
- Thực hiện gợi động cơ đặc biệt là động cơ kết thúc đối với những hoạt
động nhận thức về hàm sao cho các hoạt động này trở thành những khả năng gợi
động cơ trong nội tại toán học.
- Hình thành ở học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự
tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức,
phương pháp về tư duy hàm.
- Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực
quan của đối tượng, theo mức độ độc lập thành thạo của con người.[11]
Theo tác giả Trần Thúc Trình “Tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên
quan đến những tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp phản
ánh mối liên quan phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận
động của chúng”[4].
4. Phân tích các đặc trưng của tư duy hàm
4.1. Phát hiện, thiết lập sự tương ứng: tức là nhận ra một mối liên hệ tương ứng
tồn tại khách quan.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự liên hệ phổ biến là đặc trưng phổ quát
nhất của thế giới. Các sự vật, hiện tượng trong thế giới chỉ biểu hiện sự tồn tại của


15

chúng thông qua sự vận động, tác động qua lại lẫn nhau. Bản chất tính quy luật của
sự vật hiện tượng cũng chỉ bộc lộ thông qua sự tác động qua lại giữa các mặt của
bản thân chúng, hay sự tác động với các sự vật, hiện tượng khác.Vì vậy để nhận
thức được thế giới trước hết phải nhận ra những mối liên hệ liên quan đến sự vật,
hiện tượng đang quan tâm. Nói đến tư duy hàm là phải nhấn mạnh dạng tư duy có
liên hệ mật thiết với những hoạt động gắn với sự tương ứng đơn trị.Tất nhiên sự
tương ứng đơn trị ở đây không phải chỉ là ở giữa tập số với số mà giữa nhiều tập
hợp với đối tượng khác nhau.
Hàm là chân dung toán học của những quy luật bền vững mà con người nhận
thức được, để minh hoạ các tính chất đặc trưng của hàm ta thấy một cách tự nhiên
là phải để ý đến các câu châm ngôn, những câu châm ngôn cũng là sự phản ánh các
quy luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của nhân dân. Thật vậy ta xét ví dụ
sau “Trăng quầng trời hạn, trăng tán trời mưa”. Rõ ràng ông cha ta từ kinh nghiệm
lâu đời rút ra một quy luật của tự nhiên về đặc điểm của mặt trăng (Quầng, tán) với
thời tiết (hạn, mưa) trong trạng thái biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Đó là sự tương
ứng 1-1 giữa hai tập hợp {Trăng quầng, trăng tán} và{trời hạn, trời mưa}, toán học
gọi đó là song ánh. Ví dụ này có thể đưa ra giúp học sinh có những biểu tượng ban
đầu về sự tương ứng hàm.
Phát hiện ra các mối liên hệ là tiền đề để cải tạo thực tiễn cũng như phát
hiện sự tương ứng là hoạt động đầu tiên của tư duy hàm.
Ví dụ ở học sinh tiểu học khi yêu cầu các em hoàn thành bảng sau:
a
1
5
10
a+5
9
20
thì trước hết các em phải phát hiện ra có sự tương ứng giữa số hạng và tổng của nó.
Mỗi sự vật, hiện tượng tồn tại nhiều mối liên hệ, mỗi loại mối liên hệ là một

hình thức, một bộ phận, một mắt xích của mối liên hệ phổ biến. Có thể khi xem xét
sự vật, hiện tượng ở khía cạnh này thì cần phát hiện một sự tương ứng, ở khía cạnh
khác lại cần phát hiện sự tương ứng khác. Có khi phải xem xét một cách toàn diện
các mối liên hệ tương ứng mới hiểu được bản chất sự việc. Vì vậy việc phát hiện
sự tương ứng cũng phụ thuộc vào nhiều yếu tố.


16
Ví dụ1: Cho ∆ABCcó toạ độ các đỉnh A(1,1) ; B(2,1); C(3,2)
a)

Tính góc giữa đường thẳng AB và AC.

b)

Tính diện tích ∆ ABC.
Để giải bài toán này, đối với câu a, học sinh phải phát hiện được sự tương

ứng giữa góc của 2 đường thẳng với góc giữa 2 véc tơ, góc giữa 2 véc tơ với tích
vô hướng và độ dài véctơ.
Còn câu b, học sinh phải phát hiện được sự tương ứng giữa diện tích tam
giác với tích có hướng của 2 véc tơ tạo bởi các đỉnh của tam giác.
Trong nội dung môn toán ở trường phổ thông có chứa đựng nhiều sự tương
ứng mà học sinh cần phải phát hiện mới đạt được những yêu cầu và mục đích của
việc học. Theo [11] các lĩnh vực chủ yếu là:
- Các hệ thống số.
- Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
- Ánh xạ và hàm số.
- Các lĩnh vực hình học khác.
Ví dụ 2:

- Sự tương ứng giữa những số trong một hệ thống số nào đó và những điểm
trên tia số, đường thẳng số.
- Sự tương ứng giữa một số tự nhiên và số dư của phép chia chúng cho một
số tự nhiên cố định.
- Sự thay đổi giữa các đơn vị đo lường.
- Sự tương ứng giữa những cặp số tự nhiên và ước chung lớn nhất (hay bội
chung nhỏ nhất) của chúng.
Lĩnh vực phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa đựng nhiều
sự tương ứng sẽ được phân tích kỹ ở phần tiếp theo của khoá luận.
Lĩnh vực ánh xạ và hàm số là lĩnh vực trong đó các sự tương ứng được phát
biểu một cách tường minh.
Các lĩnh vực hình học khác cũng tồn tại nhiều sự tương ứng như diện tích
hình tròn với bán kính, giữa một góc với các giá trị lượng giác, sự tương ứng giữa


17
các điểm thuộc mặt phẳng hay không gian lên chính nó thể hiện trong các phép
biến hình…
Thiết lập sự tương ứng: là tự tạo ra những sự tương ứng quy định chủ quan
của mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó.
Những sự tương ứng tạo ra theo quy định chủ quan nhưng phải phù hợp với
điều kiện khách quan, không được trái quy luật, không được chứa đựng những mâu
thuẫn và xuất phát từ mục đích hoạt động của chủ thể.
Chẳng hạn để xác định trạng thái chuyển động của một vật tại thời điểm nào
đó, thì phải thiết lập được một hàm biểu diễn toạ độ, vận tốc theo thời gian. Để làm
được điều đó cần thiết lập được hệ quy chiếu, phân tích tổng hợp lực, giải các
phương trình vi phân…
Toán học có tính trừu tượng cao độ. Các trìu tượng tách ra khỏi mọi vật liệu
của đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi.Vì
vậy mọi đối tượng toán học sẽ tương ứng với một đối tượng nào đó của thực tiễn.

Thiết lập sự tương ứng trong toán học cũng phải lưu ý đến đặc điểm trên.
Ví dụ 3: Giải bài toán cổ.
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Giải:
Gọi x là số gà; y là số chó 0 ≤ x, y ≤ 100
Khi đó ta có:

 x+y =36
 x=22
⇒

2x+4y=100
 y=14

Bài toán trên minh hoạ cho sự trìu tượng đối tượng thực tế thành đối tượng
toán học. Để giải bài toán dạng này cần thiết phải thiết lập sự tương ứng giữa cá
mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán với các phương trình toán học. Lời giải
bài toán phụ thuộc vào việc thiết lập đúng đắn và khéo léo sự tương ứng này.


18
Cũng như hoạt động phát hiện sự tương ứng; để thiết lập một sự tương ứng
cần thiết phải dựa vào những mối liên hệ riêng là mắt xích của mối liên hệ phổ
biến.
Ví dụ 4:

Giải phương trình: 4x3- 3x- 1/2 = 0

Có thể nhìn phương trình dưới nhiều khía cạnh khác nhau:
- Là phương trình bậc ba có thể giải bằng công thức Cac-đa-Nô.
- Có thể nhẩm một nghiệm để đưa về phương trình bậc 2 đã biết cách giải.
Nhưng có thể phân tích bài toán sâu hơn để lựa chọn cách giải phù hợp.
Đặt f(x)= 4x3 - 3x- 1/2
Biểu thức 4x3- 3x làm ta liên hệ đến công thức cos3x theo cosx; ở đây nảy
sinh nhu cầu đặt x= cost để tìm nghiệm thuộc [-1,1] của phương trình f(x) = 0, từ
đó dẫn đến lời giải sáng sủa và độc đáo. Sự thiết lập t = cosx không dựa vào sự
kiện f(x) là hàm bậc ba hay có thể nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc hai,
mà dựa vào mối liên hệ giữa cos3x và cosx với việc giải phương trình f(x) = 0.
Như vậy để thiết lập sự tương ứng đúng đắn và khéo léo cũng đòi hỏi những
tiền đề nhất định. Bản thân hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng lại làm
tiền đề cho hoạt động tiếp theo của tư duy hàm. Đó là hoạt động nghiên cứa sự
tương ứng.
Nếu tư duy hàm chỉ dừng lại ở hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng
thì quá trình tư duy chưa có kết quả “kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là
một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ” [20]. Tư duy bao giờ cũng vận động từ
chỗ chưa biết, biết không đầy đủ đến chỗ biết và biết đầy đủ. Sau khi đã thiết lập
và phát hiện sự tương ứng, học sinh đặt ra câu hỏi: Liệu sự tương ứng đó là bản
chất hay chưa? có phục vụ gì cho việc giải quyết vấn đề đang quan tâm hay không?
sự thiết lập đó đã đúng đắn hay chưa? có lợi gì không? Để trả lời câu hỏi đó tất yếu
phải dẫn đến hoạt động nghiên cứu sự tương ứng.
4.2. Nghiên cứu sự tương ứng


19
Nghiên cứu sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối
liên hệ nào đó. Theo [11] hoạt động này được đặc trưng bởi nhiều phương diện mà
có thể cụ thể hoá thành những tình huống sau đây:

1. Xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra;
Nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong trường hợp có thể) khi
cho biết những cặp phần tử tương ứng trong mối liên hệ này.
2. Đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Thực hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Đoán nhận sự phụ thuộc.
3. Phát hiện và nghiên cứu những bất biến, những trường hợp đặc biệt và
những trường hợp suy biến.
Hoạt động xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào và xác định giá trị vào
khi cho biết giá trị ra là những hoạt động cơ bản để tiến tới biểu tượng của sự
tương ứng đơn trị cho học sinh từ đó hình thành khái niệm hàm số.
Ví dụ 1:
- Cộng số tự nhiên (học sinh lớp 2).
Hãy hoàn thành bảng sau
Một số hạng luôn bằng 5
Số hạng kia
Tổng

4

1

2

8

0
19

20

- Tính giá trị biểu thức x3y2+ xy tại x=1; y=1/2.
Những hoạt động đó có thể gợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc. Chẳng
hạn như bài toán sau:
Ví dụ 2 Giải thưởng toán học Việt Nam (dành cho giáo viên và học sinh phổ
thông) mang tên nhà toán học nổi tiếng nào?
Hãy tính giá trị các biểu thức sau tại x =3; y = 4 và z = 5 rồi viết các chữ tương
ứng vào các số tính được vào ô trống dưới đây em sẽ tìm được câu trả lời.
N= x2 ; T= y2 ; Ă = 1/2 (yx+z);

L= x2 +y2


20
Ê= 2z2+1;

H= x2+y2;

V= z2-1;

I= 2yz;

M= (x2+y2)1/2.

-7

51

24

8,5

9

16

25

18

51

5

L

Ê

V

Ă

N

T

H

I

Ê

M

Ở bài toán trên học sinh xác định giá trị ra (là các biểu thức tương ứng với
các chữ cái) khi cho biết giá trị vào (x = 3, y = 4, z =5) bằng cách gợi động cơ tìm
tên của nhà toán học tuy nhiên có những hoạt động không cần gợi động cơ vì
chúng đồng thời là những hoạt động toán học mà học sinh nhất thiết phải thực hiện
mới hoàn thành được nhiệm vụ học tập.
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình: x2 - m =0
Giải bài toán này ắt sẽ dẫn đến xét các trường hợp m = 0; m > 0; m < 0. Từ
đó học sinh có thể phát hiện ra có sự tương ứng giữa hệ số của phương trình x 2- m
= 0 nhưng chưa biết cụ thể là như thế nào, từ bài toán đó có thể dẫn đến được bài
toán (x+a)2- m = 0 và ax2+ bx + c = 0 hay không? Nghiên cứu sự tương ứng này có
thể dẫn học sinh đến công thức tính nghiệm của phương trình bậc 2.
Để thúc đẩy sự nghiên cứu đó có thể bắt đầu cho học sinh giải các phương
trình như
x2 - 5 = 0

(1)

x2+ 5x +5 = 0

(2)

Bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp:
- Có thể đưa (2) về (1) được không? đưa như thế nào?
- Từ (2) hãy nêu lên cách giải phương trình 2x2 + 5x+ 5 = 0
- Trong trường hợp tổng quát các phương trình x 2 + bx +c = 0 và ax2 + bx +

c = 0 được xét tương tự như thế nào?
Nhận biết quy tắc tổng quát khi cho biết cặp giá trị ra và giá trị vào có thể
được thực hiện khi chưa biết chỉ một số cặp giá trị tương ứng của một quy tắc nào
đó; công việc này cũng có thể chỉ là sự suy đoán dựa trên một cơ sở nào đó và
chứng minh điều vừa dự đoán.
Ví dụ 4: Cho bảng sau:
a

1

(2)-1/2

1/2

-1

-1/2

-(2)1/2


21
Sự biến thiên

Đồng

Đồng

Đồng

của y= ax

biến

biến

biến

Nghịch Nghịch Nghịch
biến

biến

biến

Hãy xác định sự biến thiên của hàm số y = 5x.
Từ bảng trên học sinh tìm ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có liên
quan đến hệ số a. Cụ thể
a > 0 hàm số đồng biến
a < 0 hàm số nghịch biến.
Tuy nhiên quy luật tổng quát đó có đúng hay không? Để trả lời câu hỏi này
học sinh phải xét trong trường hợp tổng quát như với a > 0 và x 1 > x2 có suy ra
được y1 > y2 hay không?
Hoạt động đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết giá trị vào. Thực
hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra có thể thực hiện thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 5
Cho phương trình: x4 - mx2 + 1 = 0

(1)

a) Giải phương trình khi m=2.
b) Tìm m để phương trình: vô nghiệm, có một nghiệm, hai nghiệm, ba
nghiệm, bốn nghiệm.
Phương trình (1) là phương trình trùng phương, học sinh dễ dàng đưa về dạng:
X2 - mX + 1 = 0

(2)

bằng cách đặt X = x2 ; X ≥ 0
Mỗi X∈R mà:
+) X = 0 cho x = 0
+) X > 0 cho 2 giá trị x là x = ± X
+) X < 0 không cho giá trị x tương ứng.
Câu a) đặc trưng cho hoạt động đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết
giá trị vào, cụ thể đánh giá xem phương trình có mấy nghiệm và nghiệm như thế
nào?


22
Với m =2, phương trình X 2 - 2X + 1 = 0 có nghiệm duy nhất X = 1. Do đó
phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ± 1.
Câu b) đặc trưng cho hoạt động thực hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị
ra. Sự biến thiên ở đây là số nghiệm của phương trình. Giá trị vào và giá trị ra
không nên chỉ hiểu là giá trị của đối số và giá trị của hàm số.
Từ sự nghiên cứu trên ta suy ra:
(1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm X1 < 0, X2 < 0
(1) có 1 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1= 0, X2< 0.
(1) có 2 nghiệm khi (2) có một nghiệm kép X > 0; hoặc có hai nghiệm X 1>
0, X2 < 0
(1) có 3 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1 = 0, X2 > 0.

(1) có 4 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1 > 0, X2 > 0, X1≠ X2.
Nếu không có câu a) thì khi giải quyết trường hợp phương trình (1) có 2 nghiệm,
học sinh rất dễ nhầm lẫn chỉ có trường hợp phương trình (2) có 2 nghiệm X1 > 0, X2 < 0
mà bỏ sót trường hợp (2) có nghiệm kép X > 0.
Đến đây bài toán hoàn toàn giải được nhờ xét nghiệm của tam thức bậc 2.
Ví dụ 6: Sự biến thiên của hàm số Logarit.
Ta có thể suy ra sự biến thiên của hàm số logarit từ sự biến thiên của hàm số
mũ. Cụ thể xét hàm số y = logax.
Ta có

y = logax ⇔ x = ay

(*)

Xét hàm số mũ y = a x ; a > 1 hàm số đồng biến, nghĩa là nếu x 1 > x2 thì
y(x1) > y(x2) (Hoạt động đánh giá biến thiên)
Ngược lại nếu y1 > y2 thì x1 > x2?

(tạo ra sự biến thiên)

Câu hỏi này được trả lời bằng phương pháp phản chứng..
Như vậy, với hàm số mũ với a > 1 thì:
- Khi đối số tăng giá trị hàm tương ứng tăng.
- Khi giá trị hàm tăng thì đối số tăng.
Từ (*) suy ra x là hàm số mũ đối số y nên x 1 > x2 ⇒ y1> y2, tức là hàm y =
logax đồng biến khi a > 1.


23
Trường hợp 0 < a < 1 xét tương tự.

Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (năm 2000), bảng biến thiên của
hàm số y = logax nhận được trực tiếp từ bảng biến thiên của hàm số mũ. Từ đó suy
ra sự biến thiên của hàm số logarit, việc này có vẻ hơi áp đặt, thiếu tự nhiên. Ở đây
chúng tôi xin đề xuất sự tiếp cận ngược lại là xét sự biến thiên rồi mới suy ra bảng
biến thiên. Cách làm này hoàn toàn không quá sức đối với học sinh lớp 11.
Làm việc với hằng đẳng thức cũng tạo cơ hội để tập luyện cho học sinh
nghiên cứu sự tương ứng, biểu thị ở mỗi vế của đẳng thức.
Ví dụ 7: Chứng minh: sin6x + cos6x = 1-

1
sin22x.
4

Đối với bài toán này ta có thể bổ sung một số câu hỏi để phát triển TDH
cho học sinh như sau:
- Em có nhận xét gì về bậc của vế phải và vế trái đối với sinx và cosx?
Đó là sự nghiên cứu về bậc của 2 vế, một đẳng thức thì bậc của các biến ở 2
vế phải bằng nhau.
Câu hỏi này giúp học sinh biến đổi 1/4 sin 22x = cos2x.sin2x là biểu thức bậc
4 đối với sinx và cosx.
- Bậc của 2 vế đối với sinx và cosx không bằng nhau. Cần làm thế nào để bậc
của vế trái giảm đi 2 để bằng vế phải?
Nếu học sinh chưa biết biến đổi:
cos6x+sin6x=(sin2x+cos2x)(cos4x - cos2x.sin2x+ sin4x)

(*)

ta có thể gợi ý:
- Em có liên hệ đến biểu thức bậc 2 nào của sinx và cosx mà kết quả là một
hằng số không?

Khi học sinh biến đổi được về dạng (*). Hướng dẫn học sinh đưa vế trái về vế
phải.
Tư duy hàm liên quan chặt chẽ đến khái niệm hàm số, vì vậy mặc dù đã học
khái niệm này nhưng khi có cơ hội, giáo viên nên cho học sinh nhắc lại khái niệm này
nhằm củng cố kiến thức, đồng thời phục vụ cho mục đích góp phần phát triển TDH.
Chẳng hạn khi học giá trị lượng giác tan của một góc, ta có thể hỏi:


24
- Liệu mọi x ∈ R tanx có phải là hàm số không?
- Với giá trị nào của x thì tanx biểu thị một hàm số?
Hay đối với hàm số y= x2, có thể đặt câu hỏi:
- Với mỗi giá trị của y cho ta mấy giá trị của x?
- Tìm điều kiện của tập xác định để y= x2 có hàm số ngược?
Ví dụ này tất nhiên là rèn luyện kỹ năng tìm tập xác định, tập giá trị cho hàm
số. Nhưng điều đáng nói là ở chỗ nó hình thành cho học sinh những biểu tượng
tiến tới sự đơn trị. Đối với khái niệm hàm số nội hàm của nó là: Mỗi giá trị của đối
số cho duy nhất một giá trị của hàm số. Nhưng ứng với mỗi giá trị của hàm số có
thể cho một hay nhiều thậm chí vô số giá trị của đối số. Trường hợp một giá trị
hàm cho tương ứng một giá trị của đối số thì ta xác định được một hàm số ngược,
vì nó thoả mãn nội hàm của khái niệm hàm số. Ví dụ trên cho học sinh hiểu rõ hơn
về khái niệm hàm số, góp phần phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không
bản chất của khái niệm, đó là năng lực trìu tượng hoá. Tuy nhiên để phát triển
mạnh mẽ hơn nữa năng lực trên ta cần cho học sinh làm việc với nhiều hàm số có
đặc điểm khác nhau, để thấy được tính đa dạng của khái niệm này. Những hoạt
động trên có thể xem là hoạt động nghiên cứu những bất biến, những trường hợp
đặc biệt và những trường hợp suy biến. Hoạt động đó còn thể hiện rất rõ trong
dạng toán phép biến hình, đặc biệt những bài toán về dựng hình.
Ví dụ 8: Cho 2 điểm A.B nằm về 2 phía của đường thẳng d. Tìm trên d điểm M
·

sao cho phân giác góc AMB
thuộc d.
Giải:
Bước 1: Phân tích
Qua phép đối xứng trục d: a → a’ thì (d,a) = (d,a’).
Do trục là đường thẳng kép nên d → d.
Cơ sở để lựa chọn phép đối xứng trục.
Giả sử hình cần dựng đã dựng được.

A
B’

Qua phép đối xứng trục d: MA→MB;
A→A’ ∈ MB.

d

M

H
B
A’


25
Bước 2: Cách dựng
- Dựng A’ là ảnh của A qua Đd
- Dựng A’B.
- Dựng M= AB ∩d.
Bước 3: Chứng minh

Vì A’ là ảnh của A qua d nên AA’ ⊥ d tại trung điểm H của AA’.
·
Do đó ∆ AA’M cân, suy ra d chứa phân giác MH của góc AMA
'.
Bước 4: Biện luận
- Nếu d(A,d) =d(B, d); B’≠ A bài toán vô nghiệm.
B’

A
d

B

- Nếu d(A,d) =d(B, d); B’≡ A Bài toán có vô số nghiệm.
A≡ B’
d

B

- Các trường hợp còn lại có một nghiệm.
Những trường hợp đặc biệt là những trường hợp suy biến thể hiện ở bước
biện luận. Còn nghiên cứu các bất biến giúp học sinh lựa chọn phép biến hình nào
để giải.
Phát hiện, thiết lập, nghiên cứu sự tương ứng không có mục đích tự thân,
chúng phải phục vụ cho việc giải quyết một nhiệm vụ nào đấy. Theo [3] “ Một tư
duy được gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào