Chủ đề 10 hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác
vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường
hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:
1) a 2

b2

2) b 2

a.b ';c 2

3) h 2

b '.c '

4) a.h

b.c .

1
5) 2
h

1
b2

6)

b'
a

c2 .

A

a.c '

b
c

B

h

c'

b'

H
a

1
.
c2

b2
.

a2

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S

1
ab
2

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết
AB : AC 3 : 4 và AB AC 21cm .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH .

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


A

Giải:
a). Theo giả thiết: AB : AC

3 : 4,
H

B

suy ra

AB
3

AC
4

AB
3

AC

3.4

12 cm .

AC
4

3 . Do đó AB

3.3

C

9 cm ;

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có:

BC 2

AB 2

AC 2

92

122

225 , suy ra BC

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH .BC

AB.AC
BC

AH
AH 2

7,2

9.12
15

x

x 15
5, 4 x

Vậy BH

x2

x
9, 6

AB.AC , suy ra

7,2 cm .

BH .HC . Đặt BH
2

15cm .

0

x 0

15x
x

5,4cm . Từ đó HC

9 thì HC

x

51, 84

x x

0

5, 4 hoặc x
BC

BH

15

5, 4

x , ta có:

9, 6 x

9,6 (loại)

9, 6 cm .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:
AB

2

BH .BC suy ra BH

AB 2
BC

92
15

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC
b b

5, 4 cm .
2a , cạnh bên bằng

a .

a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Dựng BK

AC . Tính tỷ số

AK
.
AC

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

5, 4

0


Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có:
AH 2

AC 2

HC 2

b2

b). Ta có

1
BC .AH
2

AK

b2

a2

1
BK .AC
2

BK 2

2a 2
b

1
a b2

2

K

BC .AH
AC
giác vuông AKB ta có:
AB 2

A

a2
SABC

2a 2
b
b

Suy ra BK

AK 2

a2

1
BC .AH
2

Suy ra SABC

AH

b2

AK
do đó
AC

C

a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam

4a 2 2
b
b2

b2

H

B

b2

b2

a2

2a 2

2

. Suy ra

b2

2a 2
b2

.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với
các đỉnh tương ứng là: a,b, c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a
b) Chứng minh: a 2

b2

c2

4 3S

Giải:
A

a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

ABC

B,C là các góc nhọn. Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm
– Website chuyên tài liệu
H
B đề thi file word

C


H thuộc cạnh BC .
Ta có: BC

HC . Áp dụng định lý

BH

Pi ta go cho các tam giác vuông

AHB, AHC ta có: AB 2

AH 2

HB 2, AC 2

AH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2

b2

HB 2

HB
HB

c2

HC
HC

HC 2

HB

b2
a

a

BH

2

2

HC HB

HC

a. HB

HC

ta cũng có:
a2

c2
2a

b2

. Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông
AHB

a

AH

c

2

b2

2a

Đặt 2p

AH 2

a

c

.

b

16p p

b2

c2
2a

a

c

b2

2

2

a2

c2
2a

c a

c

c

a

b

b2

a2

c

b b

a

c2
2a

b2

c b

c

4a 2

2a

c thì

a p

b p

c

AH

4a 2
1
BC .AH
2

Từ đó tính được S
b). Từ câu a ) ta có: S
Cô si ta có: p

a p

p3
p.

27

p2

ra S

a2

3 3

p p

p p
b p

. Hay S

a p

p p

a

a p

b p

b
12 3

c

c
.

c

c . Áp dụng bất đẳng thức
p

b

p

c

3
a

b p

a

a p

b p

p

c

2

3

p3
. Suy
27

2

. Mặt khác ta dễ chứng minh

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

a


được: a

b

3 a2

S

c
b2

2

3 a2

c2

b2

a2

12 3

c 2 suy ra

b2

c2

4 3S

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam
giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB

900 . S , S1, S2 theo thứ

tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH . Chứng minh rằng

S

S1.S2 .

Giải:

A

Tam giác AMB vuông tại M có
AB nên MK 2

MK

AHK

M

AK .BK (1).

H

CBK vì có
B

AKH

D

CKB

900 ; KAH

(cùng phụ với ABC ). Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra MK 2

SAMB

1
.AB.MK
2

Vậy S

S1.S2 .

C

K

KCB

AK
CK

HK
, do đó AK.KB
BK

CK .HK nên MK

1
AB. CK .HK
2

CK.KH

CK .HK ;

1
1
AB.CK . AB.HK
2
2

S1S 2 .

Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có
A

D

900, B

600,CD

30cm,CA

(2)

CB . Tính diện tích của hình

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

thang.
Giải:
Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác
vuông ACD ta có AC 2AD .
Theo định lý Pythagore thì: AC 2

2AD

2

AD 2

Suy ra 3AD2
Kẻ CH

AD2

302

AD 2

900

300 nên AD

10 3 cm .

AB . Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A

suy ra AH

CD

30cm;CH

AD

HB

CH 2
HA

AB

AH

10 3

1
CH AB
2

H

, suy ra
HAHB
.

2

300
30

30
HB

D

10 3 cm .

Tam giác ACB vuông tại C , ta có: CH 2

SABCD

DC 2 hay

30

CD

10

10 cm , do đó
40 cm .

1
.10 3. 40
2

30

350 3 cm 2 .

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm 2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

sin

AB
; cos
BC

AC
; tan
BC

(hình) được định nghĩa như sau:

AB
; cot
AC

AC
AB

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

900 ,


B

+ Nếu
0

là một góc nhọn thì

sin

tan

1;0

0;cot

cos

1;

Cạnh huyền

Cạnh đối

0

α

A

2. Với hai góc ,
ta có: sin

Nếu hai góc nhọn

0

và

C

90 ,

mà

cos ;cos

Cạnh kề

sin ; tan

có sin

sin

cot ;cot

tan .

hoặc cos

cos

thì

.
3. sin2

cos2

1; tg .cot g

1.

4. Với một số góc đặc biệt ta có:

1
; sin 450
2

sin 300

cos 600

cos 300

sin 600

3
; cot 600
2

tan 450

cot 450

1;cot 300

Ví dụ 1. Biết sin

2
2

cos 450
tan 300

tan 600

1
3

3.

5
. Tính cos , tan
13

và cot .

Giải:
C

Cách 1. Xét
Đặt B

AC
suy ra
5

ABC vuông tại A .

. Ta có: sin

BC
13

AC
BC

5
13
A

k , do đó

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

α

B


AC

5k, BC

AB 2

BC 2

AC 2
AB
BC

Vậy cos

tan

13k . Tam giác ABC vuông tại A nên:

AC
AB

12k
13k

5k
12k

tan
cot

sin
cos
cos
sin

2

5k

2

1

AB
AC

5
; cot
12

5 12
:
13 13
12 5
:
13 13

144k 2 , suy ra AB

12k .

12
;
13

5
suy ra sin2
13
25
sin2
1
169

Cách 2. Ta có sin
do đó cos2

13k

5 13
.
13 12
12 13
.
13 5

12k

5k

12
5

25
, mà sin2
169
144
, suy ra cos
169

cos2

1,

12
.
13

5
;
12
12
.
5

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại
lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

cos , tan , cot . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin
tính sin2 rồi tính cos từ sin2
cot qua sin và cos .

cos2

5
để
13

1 . Sau đó ta tính tan

và

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại
H . Biết HD : HA 1 : 2 . Chứng minh rằng tgB.tgC 3 .
Giải:
Ta có: tgB

A

AD
; tgC
BD

Suy ra tan B. tanC

E

AD

.
CD
AD 2
BD.CD

H

(1)

B

D

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


HBD

CAD (cùng phụ với ACB ); HDB

Do đó

BDH

DH
DC
DH .AD (2). Từ (1) và (2) suy ra

BD.DC

AD 2
DH .AD

HD
AH HD

BD
, do đó
AD

ADC (g.g), suy ra

tan B. tanC

1
2

1

hay

HD
AD
(3). Theo giả thiết
AH
DH
HD
AD

3HD
DH

được: tan B. tanC

900 .

ADC

1
, suy ra AD
3

1
suy ra
2

3HD . Thay vào (3) ta

3.
12
. Tính sin , cos .
25

Ví dụ 3. Biết sin .cos
Giải:

12
. Để tính sin , cos ta cần tính sin

25
giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos .
Biết sin .cos

cos

rồi

Ta có:

sin
ra sin

cos

2

cos
cos

7
5

cos

sin2

cos2

7

nên sin
5

12
25

2 sin .cos
7
5

7
cos
5

cos2

12
25

5 cos

5 cos

35 cos

12

0

5 cos

4 5 cos

3

0 . Suy ra cos

4
thì sin
5

12 4
:
25 5

2.

12
25

49
. Suy
25

cos . Từ đó ta có:

25 cos2

+ Nếu cos

1

4

3 5 cos

4
hoặc cos
5

3
.
5

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

4

3
.
5

0


+ Nếu cos

Vậy sin

3

thì sin
5

12 3
:
25 5

4
.
5

4
hoặc sin
5

3
, cos
5

4
, cos
5

3
.
5

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc
kề.
b a.sin B a cosC ;c a.sinC a.cos B;b c.tgB c.cot gC ;
c b.tgC b.cot gC
2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam
giác vuông đó.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB

16, AC

14 và B

600 .

a) Tính độ dài cạnh BC
b) Tính diện tích tam giác ABC .
Giải:

A

a). Kẻ đường cao AH .
Xét tam giác vuông ABH , ta có:

BH

AB.cos B

AB.cos 600

16.

1
2

8

B

600
H

3
8 3 . Áp dụng định lý
2
Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:
AH

AB.sin B

AB.sin 600

16.

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


HC 2

AC 2

Vậy BC

AH 2

CH

b) Cách 1. SABC

Cách 2. SABC

142

HB

8 3

2

8

2

196

4 . Suy ra HC

192

2.

10 .

1
BC .AH
2

1
.10.8 3
2

1
BC .BA.sin B
2

40 3 (đvdt)

1
3
.10.16.
2
2

40 3 (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC

450, ACB

600 bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .
Giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

A

giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam
giác vuông bằng cách. Dựng các đường
C

thẳng qua C , B lần lượt vuông góc với

600

450
H

AC , AB . Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên. Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

D

vuông và 4 điểm A, B,C , D cùng nằm trên đường tròn đường kính
AD

2R .

Ta có: AB
H

AH

AD.sin 600

BC .Tức là: BC

BH

BH

AB.sin 450

3
R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra
2
CH . Tam giác AHB vuông góc tại H nên

AD.

AB 2
2

AD

3 2
.

2 2

R 6
. Mặt khác tam
2

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

B


giác ACH vuông tại H nên AC 2

R 1

BC

2
2

AH 2

CH 2

. Từ đó tính được diện tích S

R

CH

2

R2 3

3
.

4

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với
các đỉnh tương ứng là: a,b, c . Chứng minh rằng:
a) a 2

b2

c2

2bc cos A

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh:

2bc.cos
AD

b

A
2

c

Giải:
B

a). Dựng đường cao BH của tam giác
c

ABC ta có:

a

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC .
Ta có: AC

AH

A

HC .

H

C

b

Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông
AHB, BHC ta có: AB 2

AH 2

HB 2, BC 2

BH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2

a2

HA

HA2

HC

HC 2

c2

a2
b

HA

HC HA

HC

b. HA

ta cũng có:

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

HC


HA

HC

b

b2

AH
AB

cos A

b2

AH

c2
2b

c2 a 2
2bc

a2

a2

. Xét tam giác vuông AHB ta có:

b2

c2

2bc cos A .

Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:

BC 2

BH 2

Ta có: AH

BC 2

HC 2

AC

AH

2

BH 2

AH 2

AC 2

c2

2bc cos A

2AC .AH

CB.cos A suy ra

BH 2

BC 2

BH 2

AH 2

BA2

AC 2

AC 2

2AC .CB.cos A hay

2AC .CB.cos A

a2

b2

b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
+ sin2
+S

2 sin .cos

1
ab sinC
2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A
BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của
AMB

2 .

A

sinC

Ta có sin

cos

sin 2

cosC

AC
BC

sin AMH

Từ đó ta suy ra: sin2

AH
AC

h
b

b
h

b
a
AH
AM

B

h
a
2

H

2α

α

M

2h
.
a

2 sin .cos .

*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:

A
E

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C

SABC

1
BE .AC
2

1
BE .b (1)
2

Mặt khác trong tam giác vuông AEB

BE
AB

ta có: sin A

BE

c.sin A

thay vào (1)

1
ab sinC
2

Ta có: S

Trở lại bài toán:
Ta có SABD

1
AD.AB sin A1
2

1
A
AD.c.sin
2
2

A
1 2
b

c

SACD

1
A
AD.b.sin
2
2

1
AD.AC sin A2
2

Suy ra SABC

SACD

1
A
AD sin
c
2
2
A
AD sin
c
2

b

D

B

SABD

1
bc sin A
2

b . Mặt khác SABC

bc sin A

C

2bc cos

bc sin A

AD
b

c sin

c

A
2

A
2

b

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:
cos2

2 cos2

1

1

2 sin2

.

Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A
BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của

AMB

2 .

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


cosC

Ta có : cos

2

AM 2

cos AMH

cos 2

a
4

AB
BC

sinC

sin

AC
BC
c
,
a

b
a

A

c

MB 2 AB 2
2AM .MB

b

2α
a

B

α

M

2

a
c2
4
a a
2 .
2 2

a2

2c 2

1

a2

đó suy ra cos2

2 cos2

Áp dụng a 2

c2

b2

1

c
2
a

A b2 c2 a 2
2 cos
2
2bc
thức đường phân giác ta có:

1

2.

b2

c2

a2

b

A
cos

2
2

1

a2

b2

b
2
a

a2

2

1 . Từ

2 sin2

1

2bc cos A

2

2

2bc 2 cos2

c

2

a2

4bc

A
2

1 .

. Thay vào công

2

b c
a2
A
2bc
2bc cos
4bc
2
AD
c b
b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
bc
2p

b
2
a b

c

AD

b

c

a b

bc

b

c
b

c

a

2

a b

c

.

c

p(p

a

a ) với

c.

Áp dụng công thức: a 2 b 2 c 2 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được
hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:
‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:

AB 2 .CD

AC 2 .BD

BC AB 2

BD.DC ’’
A

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH

BC

không mất tính tổng quát,
ta giả sử D nằm trong đoạn
HC . Khi đó ta có:

AB 2

AD 2

BD 2

AD 2

2AD.BD.cos ADB

BD 2

2DB.DH (1)

Tương tự ta có: AC 2 AD 2 DC 2 2DH .DC (2). Nhân đẳng thức (1)
với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có:

AB 2 .CD

AC 2 .BD

BC AB 2

BD.DC

Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng

6

sin 750

2
4

.

Giải:
A

Vẽ tam giác ABC vuông tại A
với BC
,C

2a ( a là một độ dài tùy ý)
B

750 .

150 , suy ra B

H

I

Gọi I là trung điểm của BC , ta có
IA

IB

IC

IAC nên AIB
IH

AI .cos 300

CH

CI

IH

a . Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân

2C

300 . Kẻ AH

a 3
; AH

2
a

a 3
2

BC thì

AI .cos 300

a 2

a
;
2

3
2

.

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

C


Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:
AC

2

CH

2

4a 2 2

AH

3

1

a2
4

a2 4

3 , suy ra AC

a 2

3.

3

4

a 2
2a

3

4 3

3

1

2 2
6

2
4

2

2
2

3

2 2. 2

1

3

4

2 3
2 2

2

2 2
Vậy sin 750

2

3
4

AC
BC

sin B

3

2

a2 2

4
sin 750

a2 2

6

2
4

.

.

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

1