Ôn tạp Giải Tích 11

Ôn tập giải tích 11 1
A. Lí thuyết
1) Định nghĩa hàm số, tập xác định của hàm số.
2) Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm x
0
, giới hạn trái, phải.
3) Nêu một số cách tìm giới hạn của hàm số ( các dạng vô định )
4) Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, điều kiện để hàm số liên tục tại điểm x
0

5) Nêu định lí và hệ quả về hàm số liên tục trên một đoạn.
6) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính
đạo hàm của một số hàm số cơ bản.
B. Bài tập
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) y =
2 3
1
x
x

+
2) y =
2 5
3 1
x
x
+


3) y =

3 4 2x x+ +

4) y =
3
8
; 2
2
4; 2
x
x
x
x

+


+


=


5) y = tan
3
x


Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
1)
2

2
3
lim
x
x x x
x

+ +
2)
2
2
2
3 2
lim
6
x
x x
x x

+
+
3)
1
3 2
lim
1
x
x
x

+

4)
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x

+

5)
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x


6)
0
sin 3 sin 5
lim
2
x

x x
x

+
7)
2
0
1 cos 4
lim
( 1)
x
x
x x

+

8)
4
lim tan( )(sin cos )
4
x
x x x



+
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
3 2

lim
2
x
x
x


+

2)
2
3 2
lim
2
x
x x
x

+
+
3)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
+

+
+
4)
2
x 2
x 3x 2
lim
2 x


+

5)
2
2
2 3
lim
4
x
x
x
+

+

6)
2
3
5 1

lim
2 1
x
x x
x



7)
3
lim (1 2 3 )
x
x x


8)
3 4
4
(2 3 ) (1 2 )
lim
(1 ) (2 1)
x
x x
x x

+

9)
2
3

3
lim
3 6
x
x
x x




10)
2
3 2
lim
2 3
x
x x x
x

+

11)
(
)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
+

12)
(
)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x


Bài 4. Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau:
1) y =
2
3 2 1
1
x x
x x
>




tại điểm x = 1
2) y =
1 2 3
2
2
1 2
x
x
x

x







=

tại x = 2
Bài 5. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1) y =
2
1 1
0
0
x
x
x
a x






=

liên tục tại x = 0. 2) y =

2
2
2
2
2
x x
x
x
a x




+


=

liên tục trên R.
Bài 6. Chứng minh rằng:
1) Phơng trình x
3
3x +1 = 0 có ba nghịêm thuộc khoảng (-2; 2).
2) Phơng trình 4x
3
3x =
2
1 x
có ba nghiệm phân biệt.
Ôn tập giải tích 11 2

Bài 7. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho
1) y = x
2
-
1
x
- 3, tại x
0
= -2
2) y = sin2x tại x
0
=
8


3) y =
3
2 1
x
x

+
tại x =
3
2

4) y =
3
3
x

x +
tại x = 1
Bài 8. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
1) y = (3x
2
+2x-1)
3
2) y =
2
2
1
x
x
3) y =
4 2
1x x +
4) y =
2
2
1
x x
x
+
+
5)y = sin
3
2 1
x
x

+
6) y = tan
1
3
x +
7) y = cot
3
(1+x
2
)
8) y = sinx.tan(
2
x

+
)
9) y = sin
4
x + cos
4
x
10) y = (2-x
2
)cosx + 2x.sinx
11) y =
3 3
sin cos
sin cos
x x
x x

+
+
12) y =
2
1 cos 2x+

Bài 9. Hàm số nào sau đây có đạo hàm y = 2x +
2
1
x
A) y =
3
1x
x
+
B) y =
3
5 1x x
x
+
C) y =
3
2
2( 1)x
x
+
D) y =
2
2 1x x
x

+
Bài 10. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong:
1) (C): y = x
3
+1 tại điểm có hoành độ x
0
= -2
2) (C): y = x
2
2x +3 biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng 4x 2y + 5 = 0.
3) (C): y =
2
3 4
2 2
x x
x
+

tại điểm A(0; - 2).
4) (C): y =
2x
biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng d: 2x+y-3 = 0.
Bài 11. Xét tính liên tục và đạo hàm của hàm số y =
1
x
x +
tại điểm x
0
= 0.
Bài 12. Tìm a để hàm số y = f(x) =

2
; 1,
2
; 1.
x
x
ax b x





+ >

có đạo hàm tại x = 1.
Bài 13. Chứng minh rằng với y = x.sinx, ta có:
xy 2(y - sinx) + xy = 0
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = 4x
3
- 3x tiếp xúc với đờng thẳng mx-1.
Bài 15. Cho hàm số f(x) = x+
2 3 1
*
,
2 3 1
n
x x x
n N
n
+

+ +
+

Hãy tìm: a) f(x) b)
3
lim '( )
4
f
c)
1
lim '( )
x
f x

Bài 16. Xét dấu của f(x) biết
a) f(x) = -x
3
+ 3x
2
+4
b) f(x) = 3x
4
4x
3
5
c) f(x) =
3
2 1
x
x

+
d) f(x) =
2
1
x
x +
e) f(x) = 2x+1 -
1
2 1x
+
¤n tËp gi¶i tÝch 11 3