Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

? HÃY XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH
ĐỀ:P(n) :"3n < n + 100"
VÀ
Trả lời:

Q(n) :"2 < n "
VỚI
n

n = 1, 2,3, 4,5

•n = 1: P(1): “ 31 < 1+100” (Đ) và Q(1): “ 21> 1” (Đ)
•n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) và Q(2): “ 22> 2” (Đ)
•n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) và Q(3): “ 23> 3” (Đ)
•n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) và Q(4): “ 24> 4” (Đ)
•n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) và Q(5): “ 25> 5” (Đ)

?

Với mọi

n ∈ N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
CM: P(n) đúng với

n∈ N

*

Phương pháp qui nạp
• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1
• Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
n = k ≥1
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với n = k + 1


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY
NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với n ∈ N *
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n)
đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng
n = k ≥1
với

II. VÍ DỤ:
Vd1:CMR với n ∈ N * thì
1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n2 (1)

Hoạt
2
n = 1:động
1 = 1nhóm
2

n
=
2:
1+3
=
2
CMR: với mọi n ∈ N *thì
n = 3: 1+3 +5 = 32 n( n + 1) (1)
1 + 2 + 3 + .... + n =
………………………………….

Nhóm 1,2: Bước 1

2

n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2
(P(k) gọi là giả thuyết quy Nhóm 3, 4: Bước 2 ( đến gt qui nạp)
n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1)
nạp)
(nêu ta phải CM?)
(k+1)2
n = k + 1 Nhóm 5, 6: Bước 2+[2(k+1)-1]=
CM: P(n) đúng với


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY
NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với n ∈ N *
Phương pháp qui nạp

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng
với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với

n = k ≥1

(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n = k + 1

II. VÍ DỤ:
Hoạt động nhóm

*
CMR: với mọi n ∈ N thì

n(n + 1)
1 + 2 + 3 + .... + n =
2
Giải: Đặt Sn = VT

(1)

Bước 1: Với n = 1 thì: 1=1 nên (1) Đ

n = k ≥ 1 .Nghĩa là:
k (k + 1)
(gt qui nạp)
Sk = 1 + 2 + 3 + ... + k =
2

Ta phải CM: (1) đúng với n = k + 1

Bước 2: G/s (1) đúng với

(k + 1)(k + 2)
Tức là: S k +1 = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =
2
k (k + 1)
+ (k + 1)
Thật vậy: Sk +1 = Sk + (k + 1) =
2
 k  ( k + 1) ( k + 2 )
= ( k + 1)  + 1÷ =
2
2 
*
Vậy: (1) đúng với n ∈ N


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

II. VÍ DỤ:
I. PHƯƠNG PHÁP QUY
*
Vd1:
CMR
với
thì
n
∈

N
NẠP TOÁN HỌC:
2 (1)
1
+
3
+
5
+
….+
(2n-1)
=
n
*
CM: P(n) đúng với n ∈ N
Vd2: CMR với n ∈ N *thì n 3 − n
Phương pháp qui nạp
chia hết cho 3
Bước 1: Kiểm tra P(n)
Giải: Đặt An = n 3 − n
đúng với n = 1
3
Bước 1: Với n = 1 ta có A1 = 0M
Bước 2: Giả sử P(n) đúng
Bước 2: G/s với n = k ta có:
n
=
k
≥
1

với
Ak = k 3 − k M
3 (gt qui nạp)
(P(k) gọi là giả thuyết quy
3
Ta phải CM Ak +1 M
nạp)
3
n = k + 1 Thậy vậy: Ak +1 = ( k + 1) + ( k + 1)
CM: P(n) đúng với
3
2

(

)

= k + 3k + 3k + 1 − k − 1
= (k 3 − k ) + 3(k 2 + k ) ⇒ Ak +1 M
3
14 2 43 14 2 43
M
3

M
3

Vậy: n3 − nchia hết cho 3 với

n∈ N*

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
CM: P(n) đúng với n ∈ N *
Phương pháp qui nạp
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng
với n = 1
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với
n = k ≥1
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với

n = k +1

* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n ≥ p
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p
với
• Bước 2: Giả sử P(n) đúng
với
nn == kk ≥≥ pp
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n = k + 1

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n ≥ p
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p
với
• Bước 2: Giả sử P(n) đúng
với
n=k≥ p
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n = k + 1

Hoạt động nhóm

n∈ N
Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp
Giải: a)
n
3n
?
8n
*

1

3

<

8

2

9

<

16

3

27

>

24

4

81

>

32

5

243

>

40

b) Kết quả: 3n > 8n với mọi

n≥3


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Hoạt động nhóm
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n ≥ p
( p là một số tự nhiên)
Phương pháp qui nạp
• Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p
với
• Bước 2: Giả sử P(n) đúng
với
n=k≥ p
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n = k + 1

Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp
Giải: b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n ≥ 3
Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n ≥ 3
Bước 1: Với n = 3 thì 33 > 8.3
nên P(1) đúng
n = k ≥. 3
Bước 2: G/s mđề đúng với
Nghĩa là: 3k > 8k (gt qui nạp)
Ta phải CM mđề đúng với n = k+1.
Tức là 3k+1 > 8(k+1)
Thậy vậy: 3k +1 > 8( k + 1) ⇔ 3k .3 > 8k + 8
k
⇔ (3k − 8k ) + 2.3
−8 > 0
14 2 43 14 2 43
>0

Vậy: 3n > 8n với mọi

>0

n≥3