Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

TIẾT: 43

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

KIỂM TRA BÀI CŨ
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải
thay x=1+2t, y=-1+t, z=-t
vào phương trình tổng
quát của (P) ta được:

 x = 1 + 2t

d  y = −1 + t
 z = −t


M(3;0;-1)
M(?;?;?)

(1+2t) +2(-1+t) - t -2=0
⇔ 3t – 3 = 0

⇔t = 1

Vậy d cắt (P) tại M(3;0;-1)

(P): x +2y + z -2= 0


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

?

Làm
Làmthế
thếnào
nàođểđể
xác xác
địnhđịnh
đượcđược
hình
chiếu
của xứng
điểm của
điểm đối
M trên
điểmmp(P)?
M qua
mp(P)?

?

M
M

H

(P)
Làm
thế
nào
Làm thế nào để
để xác
xác
định
được
điểm
định
được
hìnhđối
xứng của
chiếu
của điểm
điểm M
M
qua đường
trên
đường thẳng
thẳng M’
d?
d?

d
H

M’

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng.

?

M

Làm thế nào để
xác định được hình
chiếu của điểm
M trên mp(P)?

M’
(P)

?

Hãy nêu các bước
để giải bài toán ?


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán1: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng.
 x = x0 + At
d :  y = y0 + Bt
 z = z + Ct

0


Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình đường thẳng
đi qua M và vuông góc với mp (P): Ax + By + Cz + D= 0
(P).
* Tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng (P).

M(x0; y0; z0)
n(A; B; C)
H

d


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VD1

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M(1;
-2; 2) trên mặt phẳng (P) 2x – y + 2z + 1 =
0

x= 1+2t
d : y = -2 - t

d
M(1; -2; 2)

z = 2 + 2t
H(-1;

0)

-1;

(P): 2x – y + 2z + 12 =
0


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán2: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.
Giả sử C là điểm đối xứng của A qua mp(P),

A( x A ; y A ; z A )

B = AC ∩ (P)
 xA


 yA


 zA



Mp (P) có vai trò

= x
thế
B nào đối với
đoạn thẳng AC?,

+ xC
2
+ yC
= yB
2
+ zC
= zB
2

?

B ( xB ; y B ; z B )
P

Nhận xét: Nếu tìm được tọa độ hình
chiếu của A trên (P) thì ta sẽ xác định
được tọa độ điểm đối xứng của A qua
(P):

xC = 2xB - xA

yC = 2yB - yA
zC = 2zB - zA

?

C ( xC ; yC ; zC )

Hãy nêu các bước
để giải bài toán ?


Bài toán2: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.

?

Phương trình đường thẳng d
được xác định như thế nào?

Các bước để giải bài toán
*Lập ptđt d đi qua A và vuông
góc với mặt phẳng (P).

d

 x = xA + at
: y = y A + bt
 z = z + ct
A


A( x A ; y A ; z A )
n (a; b; c)

B ( xB ; y B ; z B )

(P): ax + by + cz + d= 0

* Tìm giao điểm B của đường
thẳng d và mặt phẳng (P).

* Tìm điểm đối xứng C của A qua (P):

xC = 2xB - xA
yC = 2yB - yA
zC = 2zB - zA

C ( xC ; yC ; zC )

d


VD2

Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(1; -2; 2)
qua mặt phẳng (P):2x – y + 2z + 1 = 0
M (1; −2; 2)

d

M '(−1; −1;0)
(P): 2x -y +2z +1= 0

CC((x−C3;0;
; yC ;−z2)
C)

Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng đi
qua M và vuông góc với
đường thẳng d

M

Có nhận xét gì về quan hệ của hai điểm M và M’ ?
d

M’

?

Hãy nêu các bước
để giải bài toán ?

P


Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng.

?

Mp(P) qua M và vuông góc với
đường thẳng d có phương trình

như thế nào?

M (xM, yM, zM)

Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng
đi qua M và vuông góc với
đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường
thẳng và mặt phẳng (P).

u (a, b, c)
M’

 x = x0 + at
d  y = y + bt

0
 z = z + ct
0


P
(P) :a(x- xM)+b(y- yM)+c(z-zM)
=0


VD3

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M(4;

 x = −2 + 3t
-3; 2)

 y = −2 + 2t
trênđường thẳng d: z = −t

(P):
(P): 3(x3x +4)+2(y+3)-1(z-2)
2y – z - 4 = 0
=0

P
M (4; -3; 2)

d
M’ (1; 0; -1)

 x = −2 + 3t

 y = −2 + 2t
 z = −t



Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.

?

M

Em hãy cho biết quan hệ
của ba điểm M,I,M’?

I

d
M’

Nhận xét:

?

Hãy nêu các bước
để giải bài toán ?

Nếu tìm được tọa độ hình chiếu I của M trên d thì ta sẽ xác
định được tọa độ điểm đối xứng M’ của M qua d


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.
P

Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng
(P)đi qua M và vuông góc với
đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường

thẳng d và mặt phẳng (P).

M (xM, yM, zM)

I
M’

d

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Tìm điểm đối xứng M’:

xM’ = 2xI - xM
yM’ = 2yI - yM
zM’ = 2zI - zM

(P) :a(x- xM)+b(y- yM)+c(z-zM)
=0


VD4

Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(4; -3;
 x = −2 + 3t

2)

 y = −2 + 2t
 z = −t
quađường thẳng d:


M (4; -3; 2)

d
I (1;0;-1)

M’(-2;3;-4)
P


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

CỦNG CỐ
Bài toán1: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng.

Các bước để giải bài toán

 x = x0 + At
d :  y = y0 + Bt
 z = z + Ct
0


M(x0; y0; z0)

H
*Lập phương trình đường thẳng
đi qua M và vuông góc với mp
P
(P).
(P): Ax + By + Cz + D= 0
* Tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng (P).

d


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

CỦNG CỐ
Bài toán2: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.
Các bước để giải bài toán
*Lập ptđt d đi qua A và vuông
góc với mặt phẳng (P).
* Tìm giao điểm B của đường
thẳng d và mặt phẳng (P).

d

 x = x A + at
: y = y A + bt
 z = z + ct
A



A( x A ; y A ; z A )
n (a; b; c)

B ( xB ; y B ; z B )
P

* Tìm điểm đối xứng C của A qua (P): (P): ax + by + cz + d= 0

xC = 2xB - xA
yC = 2yB - yA
zC = 2zB - zA

C ( xC ; yC ; zC )

d


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

CỦNG CỐ
Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng.

Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng
đi qua M và vuông góc với
đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường

thẳng và mặt phẳng (P).

M (xM, yM, zM)
u (a, b, c)
M’

 x = x0 + at
d  y = y + bt

0
 z = z + ct
0


P
(P) :a(x- xM)+b(y- yM)+c(z-zM)
=0


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

CỦNG CỐ
Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một
đường thẳng.

Các bước để giải bài toán

*Lập phương trình mặt phẳng (P)đi
qua M và vuông góc với đường
thẳng d.

* Tìm giao điểm giữa đường
thẳng d và mặt phẳng (P).
* Tìm điểm đối xứng M’:

xM’ = 2xI - xM
yM’ = 2yI - yM
zM’ = 2zI - zM

P
M (xM, yM, zM)

I
M’

d  x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


:a(x- xM)+b(y- yM)+c(z-zM)
(P)=0


PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập về
nhà:
Bài 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
A(2; -3; 1) trên đường thẳng d:

 x = 2 + 3t

 y = 1 + 2t
z = t


Bài 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M(-2; 1; 0) qua mặt
phẳng (Q):x + 2y – 2z + 1 = 0


GIỜ HỌC KẾT THÚC

M ƠN QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC EM ĐÃ THAM GIA BÀI HỌ