Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ GIÁO
CÙNG CÁC EM HỌC SINH

LỚP 12C2
THAM GIỮ TIẾT THAO GIẢNG


TIẾT 36

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN


Bài cũ:

Viết phương trình đường thẳng (d) Đi qua điểm M(2;0;1)
và có vtcp

u ( 1;3;5)
- Dạng tham số
- Dạng Chính tắc


Trả lời :Đường thẳng đi qua M(2;0;1) với vtcp u ( 1;3;5)
Có : phương trình dạng tham số :

 x 2  t

 y 0  3t
 z 1  5t


Phương trình dạng chính tắc :

x 2 y z 1
 
1
3
5


Ví dụ :
-Chứng minh hai đường thẳng sau đây song

song :  x 2  t


( d ).. y  2t
 z 3  3t


 x 1  2t '

( d ' ).. y 2  4t '
 z 4  6t '


-Các bước để chứng minh hai đường thẳng song song
với nhau ?


Trả Lời :

Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau . Vì :
- Các vtcp của chúng cùng phương , ta có :

u (1; 2;3) u '(  2;4; 6) u '  2u
- Điểm M(2;0;4) thuộc đường thẳng (d) có tọa độ
không thỏa mãn phương trình của đường thẳng (d’),
Khi ta thay tọa độ điểm M vào phương trình (d’) thì
được hệ phương trình ẩn t’ – Hệ phương trình vô
nghiệm

:

1

t ' 

2
 2 1  2t '

1

 t ' 
 0 2  4t '   t ' 
2
 3 4  6t '


 t ' 1

6

Ví dụ : Chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:

Đường thẳng (d) có phương trình :
 x 1  t

 y 2  2t
 z 1  t

song song với đường thẳng :

x  3 y  4 z 5
(d1) :


2 4
2
(d3) :

x  3 y  4 z 5


1
2
1

; (d2):

; (d4) :

x  3 y  4 z 5


1
2
1

x  3 y  4 z 5


1
2
1


ĐÁP ÁN
(d) // (d1)


Câu hỏi :
Với những điều kiện nào thì hai đường thẳng
trùng nhau ?
-Tìm giá trị của a,b để hai đường thẳng sau trùng nhau:

 x a  t

y 2t

(d1) :

 z 3  t


; (d2):

 x 2  2t '

 y  2  bt '
 z 2  2t '



Trả lời :
-Hai đường thẳng có các vtcp cùng phương và có một
điểm chung thì trùng nhau.
-Để hai đường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau thì phải
có :

u2 k u1

-Trong đó u1 (1;2;1) là vtcp của (d1)
Và

u 2 ( 2; b;2)

là vtcp của đường thẳng (d2)

Vậy,phải có u 2 k .u1 và điểm M1( a;0;3) thuộc (d1)
có tọa độ thỏa mãn phương trình (d2).

Hệ phương trình 3 ẩn : a , b , t’ phải có nghiệm :

 a 2  2t '

 0  2  bt ' 
 3 2  2t '


 a 3

1
 t'  
2

 b 4

 a 3

 b 4

Với a = 3 , b=4 thì u2 2.u1 và M(3;0;3) là điểm
chung của cả hai đường thẳng (d1) và (d2) .Do đó
(d1) và (d2) trùng nhau


Ví dụ :

Cho hai đường thẳng có phương trình :

 x 2  t '
 x 3  2t
(d): 
; (d’): 
 y 6  4t
 y 1  t '
 z 4  t
 z 5  2t '


a)Chứng tỏ rằng điểm M(1;2;3) là điểm chung của
(d)và (d’)
b)Nhận xét gì về các vtcp của các đường thẳng
(d) và (d’)


Lời giải :
a)Thay tọa độ của điểm M vào mỗi hệ phương trình ,
các hệ phương trình ẩn t , ẩn t’ đều có nghiệm :
Thật vậy , thay tọa độ của M vào phương trình của (d)
 1 3  2t

 2 6  4t  t  1
 3 4  t

Và thay tọa độ của M vào phương trình của (d’) :

 1 2  t '

 2 1  t '  t '  1

 3 5  2t '



b) Nhận xét về các vtcp của (d) và (d’)
Đường thẳng (d) có vtcp :
Và đường thẳng(d’) có vtcp :

u ( 2;4;1)

u ' (1; 1;2)

-Ta thấy (2 : 4 : 1)  ( 1 : (-1) : 2 )
Tức là hai vtcp của (d) và (d’) khác phương .
Hai đường thẳng (d) và (d’) có các vtcp khác phương
và chúng có điểm M chung .Ta nói (d) và (d’) cắt nhau


Bài tập :
a)Tìm giao điểm của hai đường thẳng : (Nhóm 1 và 2)

 x 1  t

(d):  y 2  2t
 z 1  t


 x 4  3t '

và (d’):  y 3  t '

 z 2  t '


b) Tìm giao điểm của hai đường thẳng : (Nhóm 3 và 4)

 x 2  t '
 x 1  t


 y 1  t '
 y 3  2t
(d) :  z m  t và (d’) : z 2  3t '




Lời giải :
a) Giao điểm của (d) và (d’) nếu có,thì tọa độ giao
điểm của chúng là nghiệm của hệ phương trình :

 1  t 4  3t '

 2  2t 3  t ' 
 1  t 2  t '


 t  3t ' 3

 2t  t ' 1 
 t  t '  1



 t 0
M (1;2;1)

 t '  1

b) Giao điểm của (d) và (d’) nếu có,thì tọa độ giao
điểm của chúng là nghiệm của hệ phương trình :

 1  t 2  t '

 3  2t 1  t ' 
 m  t 2  3t '


 t  t '  1

 2t  t '  2 
 t  3t ' 2  m


 t  1

 t ' 0 M ( 2;1;2)
 m 3



Bài Tập :

Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;1;0) và đường
thẳng (d) có phương trình tham số :

 x 1  2t

 y  1  t

z  t


Viết phương trình tham số của đường thẳng (d’) đi qua
điểm M,cắt và vuông góc với đường thẳng (d)


Lời giải : Đường thẳng (d) có vtcp u ( 2;1; 1)
Đường thẳng (d’) đi qua điểm M(2;1;0) , cắt và
vuông góc với đường thẳng (d) tại điểm
H(1+2t ; -1 +t ; -t) thì ta phải có : MH .u 0
Mà MH ( 1  2t ; 2  t ; t ) và u ( 2;1; 1)
Nên MH .u 0  2(-1+2t) +1(-2 + t) -1(- t) = 0

2
5 1 2
6t = 4 Vậy t =
Do đó : H ( ; ; )
3
3 3 3


Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm :

M(2;1;0)

,

5 1 2
H ( ; ; )
3 3 3

Tức là đi qua điểm M(2;1;0)

và có vtcp u  3.MH  u (1;4;2)
Do đó có phương trình dạng tham số là :

 x 2  t

 y 1  4t
 z 2t



XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN
QUÝ THẦY CÔ GIÁO
CÙNG

TẤT CẢ CÁC EM HỌC SINH YÊU QUÝ