Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

HÌNH HỌC 12

Giáo viên trường THPT Trần Phú – TP Móng cái.


Tháp Cầu (Bridge Tower – Lon Don)


Cầu Cổng vàng (Mỹ)


y

Nhắc lại
Ph.trình tham
số của
đường thẳng
trong
m.phẳng Oxy ?

r
u

M
O

∆

 x = x0 + at
Phương trình tham số: 
 y = y0 + bt

trong đó M ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆ )
r
- VTCP u = ( a; b)

x


Nhắc
Định
lại nghĩa
r
Véc tơ u
Véc tơ
khác
v.tơ-không
chỉ
phương
của
∆
Gọi là v.tơ chỉ phương
đường
của đường thẳng
thẳng
2
Nếu
giá của nó song∆
hoặc
? trùng với đ.t

r

u
∆


o
Điểm
TrongMknằm
giantrên
Oxyz
∆ ?r
u
u
u
u
u
u
r
cho
đ.thẳng
đi
qua
∆
Vậy
⇔ M 0M Cùng phương a
điểm
MộtM
đ.thẳng
uru0u(x
uuur0, y0r, z0)
a0=(a

M
M = t,aa (,t a
∈ ¡) )
Nghĩa
là:trong
và nhận
1
2
3
uuuuuur
không
gian
v.tơ
phương
M0làm
M =(x
– xchỉ
0, y – y0, z – z0)
∈
∆
hoàn
toàn
Điểm
M(x,
y,
z)
 x-x =ta

0
1

được
xác
địnhđiều
cần
mãn
O
thỏa
⇔
y-y
0 =ta2

z-z
=ta
khi
nào
? ?3
0 gì
 kiện

 x = x +a t

0
1
Hay:  y = y 0 +a2t x

 z = z0 +a3 t

z

∆

r
a

∆
M

*

M0
y


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Định lý

Trong k0gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

r
a = (a1; a2 ; a3 )

∆

và nhận
làm vectơ chỉ phương.

x=
x0 +M(x;
a1t y; z) nằm trên là
Điều kiện cần và đủđể
điểm

y = y0 + a2t
có một số thực t saocho

z = z + a t
0
3



Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

*Định lý:
*Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

&
phương
x0 + achỉ
 xcó=vectơ
1t


 y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3


r
a = (a1; a2 ; a3 )

có dạng:

(t ∈ ¡ )

Chú ý: *(với:a1, a2, a3 đều khác 0) phương trình

∆ dạng chính tắc:

x - x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

*Định lý:
*Định nghĩa:
*Ví dụ

 x = 1− 2t

VD 1: Cho đường thẳng d có p.trình:  y = 2 + t
 z = 2t


a) Hãy tìm tọar độ một véc tơ chỉ phương của d.

a = ( −2;1; 2)

b) Xác định tọa độ của các điểm thuộc d
ứng với giá trị t = 0, t = 1, t = -2.

M0(1; 2; 0)

M1(-1; 3; 2)

M2(5; 0; -4)

c) Trong các điểm: A(3; 1; -2), B(-3; 4; 2), C(0; 2,5; 1)
điểm nào thuộc d, điểm nào không thuộc d.

A∈ d

B∉d

C ∈d

(Phiếu học)


VD2: Viết ph.trình tham số & ph.trình chính tắc của
đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua 2 điểm A(2; 0; 1), B(-1;-3; 4)
b) Qua M(4; 1; 2) & vuông góc mp: 2x – y – z + 1 = 0
c) Đi qua điểm M(4; 1; 2) và song2 với giao tuyến của 2
mp: (P): 3x - y + z – 4 = 0, (Q): x - 2y - z = 0
d) Giao tuyến của 2 mp:
(P): 3x – y + z - 4 = 0

(Q): x - 2y - z = 0

VD3:
Viết ph.trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

x + 1 y − 2 z+ 3
=
=
(d):
trên m.phẳng(Oxy).
2
3
1

Giải VD2:

a) Đi qua 2 điểm A(2; 0; 1), B(-1;-3; 4)
B
A

uuu
r
Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương
r AB=(-3; -3; 3)
Hay đường thẳng AB có v.t.c.p a =(1; 1; -1)

 x = 2+ t
P.t.t.s:  y = + t
 z = 1− t

x − 2 y z− 1
= =
P.t.c.t:
1 1 −1


GiảiVD2:

b) Qua M(4; 1; 2) & vuông góc

mp(P): 2x – y – z + 1 = 0
Gọi d là đường thẳng thỏa mãn y.c.b.t:
d
Dễ thấy d nhận v.t.p.t

r
M
của mp(P) làm v.t.c.p
n(P )
Vậy đường
thẳng d có
r
v.t.c.p a =(2; -1; -1)
H

P

 x = 4 + 2t
P.t.t.s:  y = 1− t
 z = 2− t
x − 4 y− 1 z− 2
=
=
P.t.c.t:
2
−1 −1


Giải VD2: c) Qua điểm M(4; 1; 2) & song2 với g.tuyến
của 2 mp: (P): 3x - y + z – 4 = 0, (Q): x - 2y - z = 0
Gọi d là đường thẳng giao tuyến 2 m.phẳng,
& ∆ là đường thẳng thỏa mãn y.c.b.t: r
Ta có: nr(P ) = (3; − 1;1)

r

n( p)

∆

r
a(d)

d

M

 x = 4 + 3t
⇒ pt
. .t.s(d):  y = 1+ 4t
 z = 2− 5t

r
n(Q)
P

rn(Q) = (1;r − 2;r− 1)
⇒ a(d) =  n(P ) , n(Q) 
r
r
a(d) = a(∆ ) (3;4; − 5)

Q

x − 4 y − 1 z− 2
pt

. .ct
. (d):
=
=
3
4
−5


Giải VD2:

d) Gọi d là giao tuyến của 2 mp:

(P): 3x – y + z - 4 = 0

(Q):
r x - 2y - z = 0

rn(P ) = (3; − 1;1)
n(Qr) = (1; − 2;r− 1)
Có: d ⊥ n(P ) , d ⊥ n(Q)
r
r r
⇒ a(d) =  n(P ) , n(Q) 

Ta có:
d

r
n( p)

M1

P

r
a(d)

M

r
* Vậy: a(d) = (3;4; − 5)

(1)

* Lấy 1 điểm M(1; 0; 1)
(2)
trên giao tuyến d

r
n(Q)
Q

Từ (1),(2) ta có
đường thẳng (d):

 x = 1 + 3t
 y = 4t
 z = 1− 5t

VD3: Gọi d1 là h/chiếu vuông góc của d trên mp(0xy)
z

Đ.thẳng d quar điểm M(-1; 2; -3)
& có v.t.c.p: a = (2; 3; 1)
Gọi H là h/chiếu của M lên(Oxy).
Khi đó H(-1; 2; 0)
Gọi M1 là g.điểm của d với (Oxy),
tọa độ M1 là n0 hệ:

 x + 1 y − 2 z+ 3  x = 5
=
=
⇔  y = 11
 2
3
1
z= 0


 z = 0

d

O

Vậy M1(5; 11; 0)
x
Ta thấy (d1) đi qua

2urđiểm
M
uuuuu
r 1 & H nên có v.t.c.p là:

u1 = M 1 H = (−6; −9;0)

M

d1

H

M1

 x = 5− 6t
⇒ d1 :  y = 11− 9t
 z = 0

y


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Củng cố bài học:
*Viết p.t.t.s & p.t.c.t của đường thẳng d cần:
1)Xác định 1 điểm cố định M(x0, yr0,z0) thuộc d.
2)Xác định 1 véc tơ chỉ phương a(a1; a2 ; a3 ) của d.

3)P.t.t.s & p.t.c.t của d lần lượt có dạng:

 x = x0 + a1t

d :  y = y0 + a2t (t ∈ ¡ )
z = z + a t
0
3

x - x0 y − y0 z − z0
d:
=
=
Nếu: a1, a2, a3 đều khác 0
a1
a2
a3


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
*TA THƯỜNG TÌM V.T.C.P CỦA ĐƯỜNG THẲNG CÓ ĐẶC ĐiỀM:
Đặc điểm đường thẳng
Véc tơ chỉ phương

Qua 2 điểm A, B
Vuông góc với mp (P)
Song song với 2 mp (P) & (Q)

uuu
r
AB
uu
r
np

uu
r uur
 n p ; nQ 



Vuông góc với d và d’

?

Song song với d và d’

?

BTVN: Bài 1, 2, 6, 8 trang 89, 90, 91(SGK)
(Cần xem lại vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong k0 gian)


Tháp Cầu (Bridge Tower – Lon Don)