Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
Lớp : 12A6
TIẾT DẠY MÔN TOÁN


KIỂM TRA KIẾN THỨC
1/Trong mặt phẳng Oxy, nhắc lại phương trình tham số và phương
trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M 0(x0;y0) và có vectơ
r
chỉ phương u  (a;b) ?

r
2/Tìm một vec tơ chỉ phương u và một điểm M thuộc đường thẳng
�x  2  t
d có phương trình tham số �y  3  2t
�

Đáp án:
�x  x 0  at
1/ Phương trình tham số: �
�y  y0  bt

Phương trình chính tắc:

x  x 0 y  y0

a
b

r
2/ Điểm M(2,-3) d và vec tơ chỉ phương u  ( 1; 2)

Tiết: 35
PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN


Cầu sông Hàn TP Đà Nẵng


Cầu Tràng Tiền – Huế


Cầu Hàm Rồng – TP Vinh


Tháp Cầu (Bridge Tower – Lon Don)


Cầu Cổng Vàng (Mỹ)


Câu hỏi: Hãy nhắc lại định nghĩa VTCP của đường thẳng?

r
r
Vectơ u khác 0 được gọi là VTCP của đường thẳng nếu

nó có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng ấy.

y

r
u'



z

r
u

r
u


ur
u'

x
O

o

x

y


�x  x 0  at

PTTS: �
�y  y0  bt

x  x 0 y  y0
PTCT :

a
b
y

Ta cần vectơ chỉ
phương và một
điểm thuộc đường
thẳng

r
Nêu các yếu u
tố xác định

phương trình tham sốM
và
phương trình chính tắc của
đường thẳng trong mặt phẳng?
O

x


Trong
không

gian cho vectơ
y
r
r
u �0 , có bao nhiêu đường
thẳng đi qua M vàrsong song
với giá của vec tơu ?

r
u



M
O
x

z


Ta chỉ cần một
vec tơ chỉ phương
và một điểm thuộc
đường thẳng đó

y

r
u

Theo em ta cần
những yếu tố nào để
xác định được một
đường thẳng trong
không gian ?
M



O
x

z


Bài toán:
Trong không
r gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0)
và nhận a  (a1;a 2 ;a 3 ) làm vec tơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để
điểm M(x;y;z) năm trên d
d
z
GIẢI
uuuuur
M

M 0 M   x  x 0 ; y  y0 ; z  z 0  r
uuuuur
Điểm M �d � M 0 M cùng phương với a
uuuuur r

� M 0 M  ta, t �R

x  x 0  ta 1
�x  x 0  ta1 �
�
�
� �y  y 0  ta 2 hay �y  y 0  ta 2
�
�
z

z

ta
z  z 0  ta 3
3
� 0
�

Đây là PTTS của d

r
a

0

y
M0

x

Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1. Định lý:
Trongr KG Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0;z0)
nhận a  (a1;a 2 ;a 3 ) làm VTCP. Điều kiện cần và đủ để điểm
M(x; y; z) nằm trên ∆ là có một số thực t sao cho

�x  x 0  ta1
�
�y  y 0  ta 2 , t �R
�
z  z 0  ta 3
�


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

2. Định nghĩa:
PTTS của đường thẳng
∆
đi
qua
M
(x
;y
;z

)
và
có
0
0
0
0
r
vectơ chỉ phươnga  (a1;a 2 ;a 3 ) là phương trình có dạng:

�x  x 0  ta1
�
�y  y0  ta 2
�
z  z 0  ta 3
�
trong đó t là tham số


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường
thẳng ∆ đi qua hai điểm M(1;-2;3) và N(3;1;-1)
Giải
uuuur
Đường thẳng ∆ đi qua M, N nên nhận MN  (2;3; 4)
làm vectơ chỉ phương
.
PTTS của đường thẳng là:

�x  1  2t
�
�y  2  3t
�
z  3  4t
�

N

.
M


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 2:
Viết PTTS của đ.thẳng ∆ qua M( -1;3;2) và song song với
�x  3  2t
d
đ.thẳng d có phương trình: �y  1  3t
�
r

�
u
z

2


t
�

Giải

uur
Đường thẳng d có VTCP u d   2;3; 1

uur uur uur
Ta có u   u d � u    2;3; 1

�x  1  2t
�
PTTS của đường thẳng ∆ là: �
y  3  3t
�
z  2t
�

M


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 3: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua A(1; -2; 3) và
vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y + 6z + 9 = 0

Giải uur
Mặt phẳng (P) có VTPTuurn P  (uur2 ; 4 ; 6)

uur
1
∆
�
u

(
1;
2
;
3)
u

n
Ta có: VTCP của ∆ là: 

P
2
.A
PTTS của đường thẳng ∆ là:

�x  1  t
�
�y  2  2t
�
z  3  3t
�

P)

uur
nP


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Từ phương trình tham số
của đường thẳng ∆
với
a1, a2, a3 đều khác 0 hãy
biểu diễn t theo x, y, z ?


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

�x  x 0  ta1
�
Từ phương trình tham số �
y  y 0  ta 2
�
z  z 0  ta 3
�

khử t , ta được

z  z 0 a .a .a �0
y  y0
x  x0

 1 2 3 
; t
t
; t
a3
a2
a1
x  x 0 y  y0 z  z 0
�


a1
a2
a3

(*)

(*) là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
Ví dụ 2:

�x  1  t
�
y  2t
Cho đường thẳng d có phương trình: �
�
z  3 t

�
Các vectơ có tọa độ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d:
A. (1;2;3)

B. (-2;-4;2)

C. (1;2;1)

D. (1;2;-1)


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 6:
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ �
x  4  2t

�
y  1  3t
có phương trình tham số �
�
z  2  5t
�

Giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:

x  4 y 1 z  2



2
3
5


Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 7: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)
Giải

r
r uuu
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a  AB
r
� a  (2;2; 3)

r
a

Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x -1 y  2 z 3


2
2
3

A

B


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Chú ý:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ

r
phương a  (a1;a 2 ;a 3 ) (với a1, a2, a3 đều khác 0) có phương trình
chính tắc dạng:

x  x 0 y  y0 z  z 0


a1
a2
a3


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 1: Trong các điểm sau đây,
�x  3  2t
�

điểm nào nằm trên đường thẳng d: �y  3  4t
�
z  4t
�
A. (3; -3; 4)

B. (2; 4; 1)

C. (5; 1; 5)

D. (1; 2; 1)